رياضيات فصل أول

التاسع

icon

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 109

أَحل كُل من المُعادلات الآتية : 

a) x2 - 3x = 0                                                             b) 8x2 = -12x

الحل : 

a) x2 - 3x = 0 

المُعادلة المُعطاة x- 3x = 0
بإخراج العامل المُشترك الأكبر x(x - 3) = 0
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ x = 0  or  x - 3 = 0
بحلِّ كلِّ مُعادلة x = 0   or   x = 3 

 

 

 

 


 

  b) 8x2 = -12x

 

المُعادلة المُعطاة 8x= -12x
بجمع 12x  إلى طَرَفَيِ المُعادلة 8x+ 12x = 0
بإخراج العامل المُشترك الأكبر 4x(2x + 3) = 0
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ 4x = 0  or  2x + 3 = 0
بحلِّ كلِّ مُعادلة x = 0   or   x = -1.5 

 

 

 

 

 


 

أتحقق من فهمي صفحة 111

أَحل كُل من المُعادلات الآتية : 

a) x2 + 7x = -6                                         b) x2 -9x + 8 = 0                                       c) x2 - 4x - 21 = 0

الحل : 

a) x2 + 7x = - 6   

 

المُعادلة المُعطاة  x2 + 7x + 6 = 0
بالتحليل إلى العوامل (x + 6) (x + 1) = 0  
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ  x + 6 = 0    or   x + 1 = 0  
بحلِّ كلِّ مُعادلة  x = - 6   or  x = - 1

 

 

 

 


 b) x2 -9x + 8 = 0   

المُعادلة المُعطاة  x2 - 9x + 8 = 0
بالتحليل إلى العوامل (x - 8) (x - 1) = 0  
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ  x - 8 = 0    or   x - 1 = 0  
بحلِّ كلِّ مُعادلة  x = 8   or  x = 1

 

 

 

 


c) x2 - 4x - 21 = 0

المُعادلة المُعطاة  x2 - 4x - 21 = 0
بالتحليل إلى العوامل (x - 7) (x +3) = 0  
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ  x - 7 = 0    or   x + 3 = 0  
بحلِّ كلِّ مُعادلة  x = 7   or  x = -3

 

 

 

 


أتحقق من فهمي صفحة 112

أَحل كُل من المُعادلات الآتية : 

a) 4x2 - 1 = 0                                                                               b) 2x2 - 18 = 0

الحل : 

a) 4x2 - 1 = 0     

المُعادلة المُعطاة  4x2 - 1 = 0
بتحليل الفرق بين مربعين   (2x - 1) (2x + 1) = 0  
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ  2x - 1 = 0   or  2x + 1 = 0  
بحلِّ كلِّ مُعادلة  x = 0.5    or   x = -0.5

 

 

 

 


 b) 2x2 - 18 = 0

 

المُعادلة المُعطاة 2x2 - 18 = 0
بقسمة طرفي المُعادلة على 2 x2 - 9 = 0
بتحليل الفرق بين مربعين   (x - 3) (x + 3) = 0  
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ  x - 3 = 0   or  x + 3 = 0  
بحلِّ كلِّ مُعادلة  x = 3    or   x = -3

 

 

 

 

 


أتحقق من فهمي صفحة 113

أَحُلُّ المُعادلةَ :  x2-6x + 9 = 0

الحل : 

المُعادلة المُعطاة x2 - 6x + 9 = 0
بتحليلِ المُرَبَّعِ الكاملِ ثلاثِيِّ الحدودِ  (x - 3) (x - 3) = 0 
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ  x - 3 = 0    
بحلِّ المُعادلة  x = 3     

 

 

 

 


أتحقق من فهمي صفحة 114

أَحل كُل من المُعادلات الآتية :

a) 4x2 - 100 = 0                                           b) (x - 1)2 = 16

الحل : 

المُعادلة المُعطاة 4x2 - 100 = 0
بجمع 100 إلى طرفي المعادلة   4x2 = 100 
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين   2x = ± 100   
بالتبسيط    2x = ± 10     
بفصلِ الحَلّين  2x = 10   or    2x = -10
بحل المعادلتين  x = 5    or    x = -5 

 

 

 

 

 

 


 b) (x - 1)2 = 16

 

المُعادلة المُعطاة (x - 1)2 = 16 
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين x + 1 = ± 16 
 بالتبسيط x + 1 = ± 4   
 بطرح 1 من طرفي المعادلة   x=± 4 -1  
بفصلِ الحَلَّيْنِ  x= 4-1  or   x=-4-1 
بالتبسيط x=3  or   x=-5

 

 

 

 

 

 


أسئلة أتدرب وأحل المسائل

أَحل كُل من المُعادلات الآتية :

1) 4x2 + 9x = 0

x(4x+ 9) = 0x = 0   or   4x+9 = 0 x = 0   or  x = -94


2)  7x2 = 6x 

7x2- 6x = 0x(7x - 6) = 0x = 0    or    7x - 6 = 0x= 0     or  x = 67


3) x2 + 5x + 4 = 0

(x + 4) (x + 1) = 0x + 4 = 0    or    x + 1 =0x = -4     or    x = -1


4) x2 - 2x - 15 = 0

(x -5) (x + 3) = 0 x-5 = 0    or   x + 3 = 0x = 5    or    x = -3


5) t2 - 8t + 16 = 0

(t-4) (t-4) = 0t - 4 = 0t = 4 


6) x2 -18x = -32

x2-18x + 32 = 0(x -16) (x-2) = 0 x - 16 = 0    or    x - 2 = 0  x = 16     or     x = 2 


7) x2 + 2x = 24

 x2 + 2x-24 = 0(x-4) (x+6) = 0x-4 = 0    or   x+6 = 0x = 4   or   x =-6


8) x2 = 17x - 72

 x2- 17x + 72 = 0(x - 9) (x - 8) = 0 x - 9 = 0    or   x - 8 = 0x = 9    or   x = 8 


9) 2m2 = 50

  2m2 -50 = 0m2 - 25 = 0 (m-5) (m+ 5) = 0 m = 5    or   m = -5  


10) x2 - 9 = 0

(x -3) (x + 3) = 0x-3 = 0   or   x + 3 = 0 x = 3     or     x = -3


11) x2 - 25 = 0

(x-5) (x+5) = 0x-5 = 0   or   x+5 = 0 x = 5     or     x = -5


12) 13x2-3 = 0 
 
 13x2-3 = 0x2-9 = 0 (x-3) (x+3) = 0x-3 = 0   or   x+3 = 0x = 3   or   x = -3


13) s2 + 20s + 100 = 0

(s + 10) (s + 10) = 0s + 10 = 0 s = -10


14) y2+12y = -116

y2+12y +116=0(y +14) (y+14) = 0y + 14= 0y = -14


15) 9m2 - 12m + 4 = 0

(3m- 2) (3m - 2) = 03m- 2 = 0m = 23


16) (x + 1)2 = 4

x +1 = ± 4x + 1 = ± 2 x =  ± 2  - 1x = 2-1      or    x = -2-1x = 1      or    x = -3 


17) 9(x - 1)2 = 16

3(x-1) = ± 163(x-1) = ± 43(x-1) = 4     or     3(x-1) = -4 x-1 = 43        or      x-1 = -43x =  73            or         x =  -13


18) 5x2 + 2 = 6

5x2-4 = 0 (5x -2) (5x+2) = 0 5x -2 = 0     or   5x +2 = 0 x = 25         or     x = -25


19) فُرشاةٌ: سقطتْ فرشاةُ طلاءٍ منْ يدِ سفيانَ. إذا مَثَّلَ الاقترانُ h(t) = 3 - 5t2 ارتفاعَ تلكَ الفُرشاةِ بالأمتارِ عَنِ الأرضِ، بعدَ t ثانيةً مِنْ سُقوطِها،

فبعدَ كَمْ ثانيةً تصلُ إلى الأرضِ؟

الحل : 

3 - 5t2 = 0 3 =5t2 35  = t2   t = ± 35

يُهمل الحل السالب ؛ إذن t =  35  0.8  ، بعد 0.8 من الثانية تصل الفرشاة إلى الأرض .


 

أعمارٌ: إذا كانَ عمرُ لينةَ x عامًا، ويكبُرُها زوجُها بثلاثةِ أعوامٍ ، وكانَ حاصلُ ضربِ عمريهِما 700 ، فَأَجِدُ:

20) مُعادلةً تربيعيَّةً تُمَثِّلُ الموقفَ.

الحل : 

عمر لينة x  ، غمر زوجها x + 3

المعادلة التربيعية : x(x+3) = 700

21) عمرَ لينةَ.

x(x+3) = 700x2 + 3x -700 = 0(x + 28) (x -25) = 0 x + 28 = 0    or    x - 25 = 0 x = -28       or     x = 25 

يُهمل الحل السالب ، إذن عمر لينة 25 .


 22) حديقةٌ : حديقةٌ مستطيلةُ الشكلِ يزيدُ طولُها على عرضِها بمقدارِ 40 m ، ومساحتُها 48000 m2 ، يريدُ مزارعٌ إحاطَتَها بسياجٍ. أَجِدُ طولَ

السِّياجِ.

الحل : 

أفرض العرض x ، إذن الطول x + 40 

المساحة  = الطول × العرض 

x(x + 40) = 48000x2 + 40x - 48000 = 0 (x + 240) (x - 200) = 0 x + 240 = 0     or     x - 200 = 0  x = -240         or     x = 200

يُهمل الحل السالب ، إذن x = 200 

الطول = x + 40  ، إذن الطول = 240 مترًا.


 

23) هندسةٌ : يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ مثلثًّا مساحتُهُ 40 cm2 . أَجِدُ ارتفاعَهُ h، وطولَ قاعدتِهِ.

 

 

 

 

 

الحل : 

مساحة المثلث = نصف طول القاعدة × الارتفاع 

12(2h+6)×h = 40h2 + 3h = 40h2 + 3h - 40 = 0 (h + 8) (h - 5) = 0 h + 8 = 0    or    h-5 = 0 h = -8      or    h = 5 

يُهمل الحل السالب ، إذن h = 5 

الارتفاع 5 مترًا ، طول القاعدة 16 مترًا . 


24) أَحُلُّ المسألةَ الواردةَ في بدايةِ الدرسِ.

مسألة اليوم : يُمَثِّلُ الاقترانُ h(t) = -16t 2 + 7t ارتفاعَ كنغرٍ بالقدمِ فوقَ سطحِ الأرضِ بعدَ t ثانيةً مِنْ قفزِهِ. كمْ ثانيةً تقريبًا يحتاجُ الكنغرُ ليعودَ إلى

سطحِ الأرضِ؟

الحل : 

-16t2+7t = 0t(-16t + 7) = 0 t = 0      or   -16t + 7 = 0t = 0     or       t  = 0.4375

 

 

 

 

 

يحتاج الكنغر إلى 0.4375 من الثانية ليعود إلى سطح الأرض.  


مهاراتُ التفكيرِ العُليا

25) أكتشِفُ الخطأَ: حلَّ سلمانُ ومهنَّدٌ المُعادلةَ التربيعيَّةَ 0 = x2 - 3x - 4 ، كما هُوَ مُبَيَّنٌ أدناهُ. أيُّهما إجابتُهُ صحيحةٌ؟  أُبَرِّرُ إجابتي.

 الإجابة : 

 إجابة سلمان صحيحة ؛ لأنه لحل المعادلة (وبحسب خاصية الضرب الصفري) يجب أن يكون الطرف الآخر من المعادلة يساوي صفر.


تبريرٌ : أُحَدِّدُ عددَ حلولِ كلِّ مُعادلةٍ ممّا يأتي مِنْ دونِ حَلِّها، مُبَرِّرًا إجابتي:

26) y2 = -36                                       27) a2 - 12 = 6                           28) n2 - 15 = -15
 

الحل : 

26 ) ليس لها حلول حقيقية ؛ لأنه لا يوجد جذر تربيعي لعدد سالب .

27) لها حلان حقيقيان ؛ لأنه بنقل 12 إلى الطرف الآخر فيمكن أخذ الجذر التربيعي للطرفين .

28) يوجد حل واحد ؛ لأنه بنقل 15 إلى الطرف الآخر يصبح صفر ، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين فجذر الصفر يساوي صفر . 



29) تبريرٌ : أكتبُ مُعادلةً تربيعيَّةً على الصورةِ القياسيَّةِ، جذراها x = - 4 , x = 6 ، مُبَرِّرًا إجابتي.

الحل : 

x = - 4   أجمع 4 إلى الطرفين تصبح x + 4 = 0 

x = 6    أطرح 6 من الطرفين  تصبح x - 6  = 0 

أضرب المعادلتين الخطيتين :

(x+4) (x -6) = 0 x2 -2x -24 = 0 


أسئلة كتاب التمارين 

أَحل المُعادلات الآتية بالتحليل :

1) 9m2 - 18m = 0

 9m2  - 18m = 0m(m - 2) = 0m = 0    or    m-2 = 0m = 0    or m = 2


2) x2 + 11x + 18 = 0

(x + 9) (x + 2) = 0x + 9 = 0    or      x + 2 = 0x = -9        or      x = -2


3) x2 - 6x + 8 = 0

(x -4) (x - 2) = 0x -4 = 0     or     x - 2 = 0x = 4      or    x = 2 


4) x2 - 2x - 15 = 0

(x - 5) (x + 3) = 0x - 5 = 0    or      x + 3 = 0x = 5         or      x = -3


5) x2 + 10x = -24

 x2 + 10x+ 24 = 0(x + 6) (x + 4) = 0x + 6 = 0    or    x + 4 = 0 x = -6       or     x = -4 


6) a2 -14a + 49 = 0

(x - 7) (x - 7) = 0x - 7 = 0     x = 7      


7) 16t2 - 1 = 0

(4t - 1) (4t + 1) = 04t - 1 = 0    or     4t + 1 = 0  t = 14     or    t = -14      


8) (2x - 1)2 = 81

2x - 1 = ±  812x - 1 = ± 92x - 1 = 9      or         2x -1 = -92x = 10           or         2x = -8x = 5               or            x = -4


9) 4(x - 2)2 = 25

(x - 2)2  = 254 x - 2 = ± 254x - 2 = ± 52x - 2 = 52      or     x - 2 = - 52x = 4.5            or    x = - 0.5


10) t2 + 4t - 12 = 0

(t + 6) (t - 2) = 0t + 6 = 0    or      t - 2 = 0t = -6       or      t = 2


11) x2 + 4x + 4 = 0

(x + 2) (x + 2) = 0x + 2 = 0     x =-2   


12) 27 -  3y2  =  0

9 -y2 = 0(3 - y) (3 + y) = 03 - y = 0    or     3 + y = 0y = 3          or      y = -3


 

13) هندسةٌ : يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ مستطيلً مساحتُهُ 44 cm2 . أَجِد أبعادَهُ.

 

 

 

 

الحل : 

مساحة المستطيل = الطول × العرض 

(x-5) (x-12) = 44x2-17x + 60 = 44 x2-17x + 16 = 0 (x-1) (x-16) =0x - 1 = 0     or     x - 16 = 0x = 1    or    x = 16 

تُهمل x = 1 ؛ لأنها تجعل كل من الطول والعرض سالبيْن ، إذن x = 16  ، وعليه : الطول =  11 cm ، والعرض = 4 cm


14) أَجِدُ عددَيْنِ زَوجِيَّيْنِ مُتَتالِيَيْنِ حاصلُ ضربِهِما 168

الحل : 

أفرض العدد الزوجي الأول x  ، إذن العدد الزوجي التالي هو  x + 2 

x (x+2) = 168x2+2x = 168 x2+ 2x - 168 = 0(x + 14) (x - 12) = 0 x + 14 = 0      or     x - 12 = 0 x = -14         or      x = 12 

إذا كانت x = -14  فإن العدد الزوجي التالي هو  x + 2  ، أي 12 -  

وإذا كانت x = 12  فإن العدد الزوجي التالي هو x + 2  ، أي 14


 

15)  يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ متوازيَ مستطيلاتٍ طولُهُ يُساوي 4 أمثالِ
عرضِهِ، وحجمُهُ 320 m3 . أَجِدُ طولَهُ وعرضَهُ.

 

 

 

 

الحل : 

أفرض العرض x ، إذن الطول 4x 

حجم متوازي المستطيلات  = الطول × العرض × الارتفاع 

x(4x)(5) = 32020x2 = 320 x2 = 16 x  = ±16x = ± 4 

العرض = 4m  ،  الطول = 16m 


 

16) أكتشِفُ الخطأَ : حلَّ عامرٌ المُعادلةَ التربيعيَّةَ 39 = 33 - 2x2 ، كما هُوَ مُبَيَّنٌ أدناهُ. أكتشِفُ الخطأَ في حَلِّهِ وَأُصَحِّحُهُ.

الإجابة :  أخطأ عامر عندما أخذ الجذر التربيعي للطرفين بأخذ الجذر الموجب فقط ويفترض x = ± 6


 

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 109

أَحل كُل من المُعادلات الآتية : 

a) x2 - 3x = 0                                                 b) 8x2 = -12x

الحل: 

a) x2 - 3x = 0 

المُعادلة المُعطاة x- 3x = 0
بإخراج العامل المُشترك الأكبر x(x - 3) = 0
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ x = 0  or  x - 3 = 0
بحلِّ كلِّ مُعادلة x = 0   or   x = 3 

b) 8x2 = -12x

المُعادلة المُعطاة 8x= -12x
بجمع 12x  إلى طَرَفَيِ المُعادلة 8x+ 12x = 0
بإخراج العامل المُشترك الأكبر 4x(2x + 3) = 0
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ 4x = 0  or  2x + 3 = 0
بحلِّ كلِّ مُعادلة x = 0   or   x = -1.5 

أتحقق من فهمي صفحة 111

أَحل كُل من المُعادلات الآتية : 

a) x2 + 7x = -6                                b) x2 -9x + 8 = 0                       c) x2 - 4x - 21 = 0

الحل: 

a) x2 + 7x = - 6   

المُعادلة المُعطاة  x2 + 7x + 6 = 0
بالتحليل إلى العوامل (x + 6) (x + 1) = 0  
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ  x + 6 = 0    or   x + 1 = 0  
بحلِّ كلِّ مُعادلة  x = - 6   or  x = - 1

 b) x2 -9x + 8 = 0   

المُعادلة المُعطاة  x2 - 9x + 8 = 0
بالتحليل إلى العوامل (x - 8) (x - 1) = 0  
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ  x - 8 = 0    or   x - 1 = 0  
بحلِّ كلِّ مُعادلة  x = 8   or  x = 1

c) x2 - 4x - 21 = 0

المُعادلة المُعطاة  x2 - 4x - 21 = 0
بالتحليل إلى العوامل (x - 7) (x +3) = 0  
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ  x - 7 = 0    or   x + 3 = 0  
بحلِّ كلِّ مُعادلة  x = 7   or  x = -3

أتحقق من فهمي صفحة 112

أَحل كُل من المُعادلات الآتية: 

a) 4x2 - 1 = 0                                                    b) 2x2 - 18 = 0

الحل: 

a) 4x2 - 1 = 0     

المُعادلة المُعطاة  4x2 - 1 = 0
بتحليل الفرق بين مربعين   (2x - 1) (2x + 1) = 0  
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ  2x - 1 = 0   or  2x + 1 = 0  
بحلِّ كلِّ مُعادلة  x = 0.5    or   x = -0.5

b) 2x2 - 18 = 0

المُعادلة المُعطاة 2x2 - 18 = 0
بقسمة طرفي المُعادلة على 2 x2 - 9 = 0
بتحليل الفرق بين مربعين   (x - 3) (x + 3) = 0  
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ  x - 3 = 0   or  x + 3 = 0  
بحلِّ كلِّ مُعادلة  x = 3    or   x = -3

أتحقق من فهمي صفحة 113

أَحُلُّ المُعادلةَ :  x2-6x + 9 = 0

الحل : 

المُعادلة المُعطاة x2 - 6x + 9 = 0
بتحليلِ المُرَبَّعِ الكاملِ ثلاثِيِّ الحدودِ  (x - 3) (x - 3) = 0 
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ  x - 3 = 0    
بحلِّ المُعادلة  x = 3     

أتحقق من فهمي صفحة 114

أَحل كُل من المُعادلات الآتية :

a) 4x2 - 100 = 0                                           b) (x - 1)2 = 16

الحل : 

المُعادلة المُعطاة 4x2 - 100 = 0
بجمع 100 إلى طرفي المعادلة   4x2 = 100 
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين   2x = ± 100   
بالتبسيط    2x = ± 10     
بفصلِ الحَلّين  2x = 10   or    2x = -10
بحل المعادلتين  x = 5    or    x = -5 

 b) (x - 1)2 = 16

المُعادلة المُعطاة (x - 1)2 = 16 
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين x + 1 = ± 16 
 بالتبسيط x + 1 = ± 4   
 بطرح 1 من طرفي المعادلة   x=± 4 -1  
بفصلِ الحَلَّيْنِ  x= 4-1  or   x=-4-1 
بالتبسيط x=3  or   x=-5

أسئلة أتدرب وأحل المسائل

أَحل كُل من المُعادلات الآتية:

1) 4x2 + 9x = 0

حل معادلة تربيعية


2)  7x2 = 6x 

حل معادلة تربيعية بالتحليل


3) x2 + 5x + 4 = 0

حل معادلة تربيعية بالتحليل1


4) x2 - 2x - 15 = 0

ايجاد قيم المجهول للمعادلة التربيعية


5) t2 - 8t + 16 = 0

ايجاد قيم المجهول للمعادلة التربيعية تاسع


6) x2 -18x = -32

 

مثال على ايجاد جذور المعادلة التربيعية


7) x2 + 2x = 24

ايجاد جذور المعادلة التربيعية تاسع


8) x2 = 17x - 72

حلول المعادلة التربيعية


9) 2m2 = 50

مثال على فرق بين مربعين


10) x2 - 9 = 0

مثال على فرق بين مربعين رياضيات تاسع


11) x2 - 25 = 0

معادلة تربيعية على فرق بين مربعين رياضيات تاسع


12) 13x2-3 = 0 
 حل معادلة تربيعية تحتوي كسر


13) s2 + 20s + 100 = 0

حل معادلة تربيعية فرق بين مربعين


14) y2+12y =-116

حل معادلة تربيعية فرق بين مربعين تحتوي على كسر


15) 9m2 - 12m + 4 = 0

حل معادلة لها جذر واحد


16) (x + 1)2 = 4

ايجاد قيم المجهول للمعادلة


17) 9(x - 1)2 = 16

جذور المعادلة درس حل المعادلات بالتحليل تاسع


18) 5x2 + 2 = 6

حل معادلة تربيعية تحتوي جذورها على جذر


19) فُرشاةٌ: سقطتْ فرشاةُ طلاءٍ منْ يدِ سفيانَ. إذا مَثَّلَ الاقترانُ h(t) = 3 - 5t2 ارتفاعَ تلكَ الفُرشاةِ بالأمتارِ عَنِ الأرضِ، بعدَ t ثانيةً مِنْ سُقوطِها، فبعدَ كَمْ ثانيةً تصلُ إلى الأرضِ؟

الحل : 

حل سؤال 19 رياضيات تاسع درس حل المعادلة التربيعية

يُهمل الحل السالب؛ إذن t =  35  0.8  ، بعد 0.8 من الثانية تصل الفرشاة إلى الأرض .


أعمارٌ: إذا كانَ عمرُ لينةَ x عامًا، ويكبُرُها زوجُها بثلاثةِ أعوامٍ ، وكانَ حاصلُ ضربِ عمريهِما 700 ، فَأَجِدُ:

20) مُعادلةً تربيعيَّةً تُمَثِّلُ الموقفَ.

الحل : 

عمر لينة x  ، غمر زوجها x + 3

المعادلة التربيعية : x(x+3) = 700

21) عمرَ لينةَ.

حل سؤال 20 رياضيات تاسع درس حل المعادلة التربيعية

يُهمل الحل السالب ، إذن عمر لينة 25.


22) حديقةٌ: حديقةٌ مستطيلةُ الشكلِ يزيدُ طولُها على عرضِها بمقدارِ 40 m ، ومساحتُها 48000 m2 ، يريدُ مزارعٌ إحاطَتَها بسياجٍ. أَجِدُ طولَ السِّياجِ.

الحل: 

أفرض العرض x ، إذن الطول x + 40 

المساحة = الطول× العرض 

حل سؤال 22 رياضيات تاسع درس حل المعادلة التربيعية

يُهمل الحل السالب ، إذن x = 200 

الطول = x + 40  ، إذن الطول = 240 مترًا.


23) هندسةٌ: يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ مثلثًّا مساحتُهُ 40 cm2 . أَجِدُ ارتفاعَهُ h، وطولَ قاعدتِهِ.

الحل: 

مساحة المثلث = نصف طول القاعدة × الارتفاع 

حل سؤال 23 رياضيات تاسع درس حل المعادلة التربيعية

يُهمل الحل السالب ، إذن h = 5 

الارتفاع 5 مترًا ، طول القاعدة 16 مترًا . 


24) أَحُلُّ المسألةَ الواردةَ في بدايةِ الدرسِ.

مسألة اليوم : يُمَثِّلُ الاقترانُ h(t) = -16t 2 + 7t ارتفاعَ كنغرٍ بالقدمِ فوقَ سطحِ الأرضِ بعدَ t ثانيةً مِنْ قفزِهِ. كمْ ثانيةً تقريبًا يحتاجُ الكنغرُ ليعودَ إلى سطحِ الأرضِ؟

الحل: 

حل سؤال 24 رياضيات تاسع درس حل المعادلة التربيعية

يحتاج الكنغر إلى 0.4375 من الثانية ليعود إلى سطح الأرض.  


مهاراتُ التفكيرِ العُليا

25) أكتشِفُ الخطأَ: حلَّ سلمانُ ومهنَّدٌ المُعادلةَ التربيعيَّةَ 0 = x2 - 3x - 4 ، كما هُوَ مُبَيَّنٌ أدناهُ. أيُّهما إجابتُهُ صحيحةٌ؟  أُبَرِّرُ إجابتي.

اكتشف الخطأ

 الإجابة : 

إجابة سلمان صحيحة ؛ لأنه لحل المعادلة (وبحسب خاصية الضرب الصفري) يجب أن يكون الطرف الآخر من المعادلة يساوي صفر.


تبريرٌ : أُحَدِّدُ عددَ حلولِ كلِّ مُعادلةٍ ممّا يأتي مِنْ دونِ حَلِّها، مُبَرِّرًا إجابتي:

26) y2 = -36                                       27) a2 - 12 = 6                           28) n2 - 15 = -15
 

الحل : 

26 ) ليس لها حلول حقيقية ؛ لأنه لا يوجد جذر تربيعي لعدد سالب .

27) لها حلان حقيقيان ؛ لأنه بنقل 12 إلى الطرف الآخر فيمكن أخذ الجذر التربيعي للطرفين .

28) يوجد حل واحد ؛ لأنه بنقل 15 إلى الطرف الآخر يصبح صفر ، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين فجذر الصفر يساوي صفر  

29) تبريرٌ : أكتبُ مُعادلةً تربيعيَّةً على الصورةِ القياسيَّةِ، جذراها x = - 4 , x = 6 ، مُبَرِّرًا إجابتي.

الحل : 

x = - 4   أجمع 4 إلى الطرفين تصبح x + 4 = 0 

x = 6    أطرح 6 من الطرفين  تصبح x - 6  = 0 

أضرب المعادلتين الخطيتين :

(x+4) (x -6) = 0

x2 -2x -24 = 0


أسئلة كتاب التمارين 

أَحل المُعادلات الآتية بالتحليل :

1) 9m2 - 18m = 0

حل سؤال 1 من كتاب التمارين رياضيات تاسع درس حل المعادلة التربيعية


2) x2 + 11x + 18 = 0

حل سؤال 2 من كتاب التمارين رياضيات تاسع درس حل المعادلة التربيعية


3) x2 - 6x + 8 = 0

حل سؤال 3 من كتاب التمارين رياضيات تاسع درس حل المعادلة التربيعية


4) x2 - 2x - 15 = 0

حل سؤال 4 من كتاب التمارين رياضيات تاسع درس حل المعادلة التربيعية


5) x2 + 10x = -24

حل سؤال 5 من كتاب التمارين رياضيات تاسع درس حل المعادلة التربيعية


6) a2 -14a + 49 = 0

(x - 7) (x - 7) = 0x - 7 = 0     x = 7      


7) 16t2 - 1 = 0

(4t - 1) (4t + 1) = 04t - 1 = 0    or     4t + 1 = 0  t = 14     or    t = -14      


8) (2x - 1)2 = 81

2x - 1 = ±  812x - 1 = ± 92x - 1 = 9      or         2x -1 = -92x = 10           or         2x = -8x = 5               or            x = -4


9) 4(x - 2)2 = 25

(x - 2)2  = 254 x - 2 = ± 254x - 2 = ± 52x - 2 = 52      or     x - 2 = - 52x = 4.5            or    x = - 0.5


10) t2 + 4t - 12 = 0

(t + 6) (t - 2) = 0t + 6 = 0    or      t - 2 = 0t = -6       or      t = 2


11) x2 + 4x + 4 = 0

(x + 2) (x + 2) = 0x + 2 = 0     x =-2   


12) 27 -  3y2  =  0

9 -y2 = 0(3 - y) (3 + y) = 03 - y = 0    or     3 + y = 0y = 3          or      y = -3


13) هندسةٌ : يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ مستطيلً مساحتُهُ 44 cm2. أَجِد أبعادَهُ.

ايجاد مساحة مستطيل

الحل: 

مساحة المستطيل = الطول × العرض 

حل سؤال 13 من كتاب التمارين رياضيات تاسع درس حل المعادلة التربيعية

تُهمل x = 1 ؛ لأنها تجعل كل من الطول والعرض سالبيْن ، إذن x = 16  ، وعليه : الطول =  11 cm ، والعرض = 4 cm


14) أَجِدُ عددَيْنِ زَوجِيَّيْنِ مُتَتالِيَيْنِ حاصلُ ضربِهِما 168

الحل : 

أفرض العدد الزوجي الأول x  ، إذن العدد الزوجي التالي هو  x + 2 

حل سؤال 14 من كتاب التمارين رياضيات تاسع درس حل المعادلة التربيعية

إذا كانت x = -14  فإن العدد الزوجي التالي هو  x + 2  ، أي 12 -  

وإذا كانت x = 12  فإن العدد الزوجي التالي هو x + 2  ، أي 14


15) يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ متوازيَ مستطيلاتٍ طولُهُ يُساوي 4 أمثالِ عرضِهِ، وحجمُهُ 320 m3 أَجِدُ طولَهُ وعرضَهُ.

الحل : 

أفرض العرض x ، إذن الطول 4x 

حجم متوازي المستطيلات  = الطول × العرض × الارتفاع 

حل سؤال 15 من كتاب التمارين رياضيات تاسع درس حل المعادلة التربيعية

العرض = 4m  ،  الطول = 16m 


16) أكتشِفُ الخطأَ: حلَّ عامرٌ المُعادلةَ التربيعيَّةَ 39 = 33 - 2x2 ، كما هُوَ مُبَيَّنٌ أدناهُ. أكتشِفُ الخطأَ في حَلِّهِ وَأُصَحِّحُهُ.

اكتشف الخطأ كتاب التمارين

الإجابة :  أخطأ عامر عندما أخذ الجذر التربيعي للطرفين بأخذ الجذر الموجب فقط ويفترض x = ± 6