حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين
أسئلة أتحقق من فهمي
أتحقق من فهمي صفحة 109
أَحل كُل من المُعادلات الآتية :
a) x2 - 3x = 0 b) 8x2 = -12x
الحل :
a) x2 - 3x = 0
المُعادلة المُعطاة | x2 - 3x = 0 |
بإخراج العامل المُشترك الأكبر | x(x - 3) = 0 |
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ | x = 0 or x - 3 = 0 |
بحلِّ كلِّ مُعادلة | x = 0 or x = 3 |
b) 8x2 = -12x
المُعادلة المُعطاة | 8x2 = -12x |
بجمع 12x إلى طَرَفَيِ المُعادلة | 8x2 + 12x = 0 |
بإخراج العامل المُشترك الأكبر | 4x(2x + 3) = 0 |
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ | 4x = 0 or 2x + 3 = 0 |
بحلِّ كلِّ مُعادلة | x = 0 or x = -1.5 |
أتحقق من فهمي صفحة 111
أَحل كُل من المُعادلات الآتية :
a) x2 + 7x = -6 b) x2 -9x + 8 = 0 c) x2 - 4x - 21 = 0
الحل :
a) x2 + 7x = - 6
المُعادلة المُعطاة | x2 + 7x + 6 = 0 |
بالتحليل إلى العوامل | (x + 6) (x + 1) = 0 |
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ | x + 6 = 0 or x + 1 = 0 |
بحلِّ كلِّ مُعادلة | x = - 6 or x = - 1 |
b) x2 -9x + 8 = 0
المُعادلة المُعطاة | x2 - 9x + 8 = 0 |
بالتحليل إلى العوامل | (x - 8) (x - 1) = 0 |
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ | x - 8 = 0 or x - 1 = 0 |
بحلِّ كلِّ مُعادلة | x = 8 or x = 1 |
c) x2 - 4x - 21 = 0
المُعادلة المُعطاة | x2 - 4x - 21 = 0 |
بالتحليل إلى العوامل | (x - 7) (x +3) = 0 |
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ | x - 7 = 0 or x + 3 = 0 |
بحلِّ كلِّ مُعادلة | x = 7 or x = -3 |
أتحقق من فهمي صفحة 112
أَحل كُل من المُعادلات الآتية :
a) 4x2 - 1 = 0 b) 2x2 - 18 = 0
الحل :
a) 4x2 - 1 = 0
المُعادلة المُعطاة | 4x2 - 1 = 0 |
بتحليل الفرق بين مربعين | (2x - 1) (2x + 1) = 0 |
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ | 2x - 1 = 0 or 2x + 1 = 0 |
بحلِّ كلِّ مُعادلة | x = 0.5 or x = -0.5 |
b) 2x2 - 18 = 0
المُعادلة المُعطاة | 2x2 - 18 = 0 |
بقسمة طرفي المُعادلة على 2 | x2 - 9 = 0 |
بتحليل الفرق بين مربعين | (x - 3) (x + 3) = 0 |
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ | x - 3 = 0 or x + 3 = 0 |
بحلِّ كلِّ مُعادلة | x = 3 or x = -3 |
أتحقق من فهمي صفحة 113
أَحُلُّ المُعادلةَ :
الحل :
المُعادلة المُعطاة | x2 - 6x + 9 = 0 |
بتحليلِ المُرَبَّعِ الكاملِ ثلاثِيِّ الحدودِ | (x - 3) (x - 3) = 0 |
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ | x - 3 = 0 |
بحلِّ المُعادلة | x = 3 |
أتحقق من فهمي صفحة 114
أَحل كُل من المُعادلات الآتية :
a) 4x2 - 100 = 0 b) (x - 1)2 = 16
الحل :
المُعادلة المُعطاة | 4x2 - 100 = 0 |
بجمع 100 إلى طرفي المعادلة | 4x2 = 100 |
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين | |
بالتبسيط | |
بفصلِ الحَلّين | |
بحل المعادلتين |
b) (x - 1)2 = 16
المُعادلة المُعطاة | (x - 1)2 = 16 |
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين | |
بالتبسيط | |
بطرح 1 من طرفي المعادلة | |
بفصلِ الحَلَّيْنِ | |
بالتبسيط |
أسئلة أتدرب وأحل المسائل
أَحل كُل من المُعادلات الآتية :
1) 4x2 + 9x = 0
2) 7x2 = 6x
3) x2 + 5x + 4 = 0
4) x2 - 2x - 15 = 0
5) t2 - 8t + 16 = 0
6) x2 -18x = -32
7) x2 + 2x = 24
8) x2 = 17x - 72
9) 2m2 = 50
10) x2 - 9 = 0
11) x2 - 25 = 0
13) s2 + 20s + 100 = 0
15) 9m2 - 12m + 4 = 0
16) (x + 1)2 = 4
17) 9(x - 1)2 = 16
18) 5x2 + 2 = 6
19) فُرشاةٌ: سقطتْ فرشاةُ طلاءٍ منْ يدِ سفيانَ. إذا مَثَّلَ الاقترانُ h(t) = 3 - 5t2 ارتفاعَ تلكَ الفُرشاةِ بالأمتارِ عَنِ الأرضِ، بعدَ t ثانيةً مِنْ سُقوطِها،
فبعدَ كَمْ ثانيةً تصلُ إلى الأرضِ؟
الحل :
يُهمل الحل السالب ؛ إذن ، بعد 0.8 من الثانية تصل الفرشاة إلى الأرض .
أعمارٌ: إذا كانَ عمرُ لينةَ x عامًا، ويكبُرُها زوجُها بثلاثةِ أعوامٍ ، وكانَ حاصلُ ضربِ عمريهِما 700 ، فَأَجِدُ:
20) مُعادلةً تربيعيَّةً تُمَثِّلُ الموقفَ.
الحل :
عمر لينة x ، غمر زوجها x + 3
المعادلة التربيعية :
21) عمرَ لينةَ.
يُهمل الحل السالب ، إذن عمر لينة 25 .
22) حديقةٌ : حديقةٌ مستطيلةُ الشكلِ يزيدُ طولُها على عرضِها بمقدارِ 40 m ، ومساحتُها 48000 m2 ، يريدُ مزارعٌ إحاطَتَها بسياجٍ. أَجِدُ طولَ
السِّياجِ.
الحل :
أفرض العرض x ، إذن الطول x + 40
المساحة = الطول العرض
يُهمل الحل السالب ، إذن x = 200
الطول = x + 40 ، إذن الطول = 240 مترًا.
23) هندسةٌ : يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ مثلثًّا مساحتُهُ 40 cm2 . أَجِدُ ارتفاعَهُ h، وطولَ قاعدتِهِ. | ![]() |
الحل :
مساحة المثلث = نصف طول القاعدة الارتفاع
يُهمل الحل السالب ، إذن h = 5
الارتفاع 5 مترًا ، طول القاعدة 16 مترًا .
24) أَحُلُّ المسألةَ الواردةَ في بدايةِ الدرسِ.
مسألة اليوم : يُمَثِّلُ الاقترانُ h(t) = -16t 2 + 7t ارتفاعَ كنغرٍ بالقدمِ فوقَ سطحِ الأرضِ بعدَ t ثانيةً مِنْ قفزِهِ. كمْ ثانيةً تقريبًا يحتاجُ الكنغرُ ليعودَ إلى
سطحِ الأرضِ؟
الحل :
![]() |
يحتاج الكنغر إلى 0.4375 من الثانية ليعود إلى سطح الأرض.
مهاراتُ التفكيرِ العُليا
25) أكتشِفُ الخطأَ: حلَّ سلمانُ ومهنَّدٌ المُعادلةَ التربيعيَّةَ 0 = x2 - 3x - 4 ، كما هُوَ مُبَيَّنٌ أدناهُ. أيُّهما إجابتُهُ صحيحةٌ؟ أُبَرِّرُ إجابتي.
الإجابة :
إجابة سلمان صحيحة ؛ لأنه لحل المعادلة (وبحسب خاصية الضرب الصفري) يجب أن يكون الطرف الآخر من المعادلة يساوي صفر.
تبريرٌ : أُحَدِّدُ عددَ حلولِ كلِّ مُعادلةٍ ممّا يأتي مِنْ دونِ حَلِّها، مُبَرِّرًا إجابتي:
26) y2 = -36 27) a2 - 12 = 6 28) n2 - 15 = -15
الحل :
26 ) ليس لها حلول حقيقية ؛ لأنه لا يوجد جذر تربيعي لعدد سالب .
27) لها حلان حقيقيان ؛ لأنه بنقل 12 إلى الطرف الآخر فيمكن أخذ الجذر التربيعي للطرفين .
28) يوجد حل واحد ؛ لأنه بنقل 15 إلى الطرف الآخر يصبح صفر ، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين فجذر الصفر يساوي صفر .
29) تبريرٌ : أكتبُ مُعادلةً تربيعيَّةً على الصورةِ القياسيَّةِ، جذراها x = - 4 , x = 6 ، مُبَرِّرًا إجابتي.
الحل :
x = - 4 أجمع 4 إلى الطرفين تصبح x + 4 = 0
x = 6 أطرح 6 من الطرفين تصبح x - 6 = 0
أضرب المعادلتين الخطيتين :
أسئلة كتاب التمارين
أَحل المُعادلات الآتية بالتحليل :
1) 9m2 - 18m = 0
2) x2 + 11x + 18 = 0
3) x2 - 6x + 8 = 0
4) x2 - 2x - 15 = 0
5) x2 + 10x = -24
6) a2 -14a + 49 = 0
7) 16t2 - 1 = 0
8) (2x - 1)2 = 81
9) 4(x - 2)2 = 25
10) t2 + 4t - 12 = 0
11) x2 + 4x + 4 = 0
12) 27 - 3y2 = 0
13) هندسةٌ : يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ مستطيلً مساحتُهُ . أَجِد أبعادَهُ. | ![]() |
الحل :
مساحة المستطيل = الطول العرض
تُهمل x = 1 ؛ لأنها تجعل كل من الطول والعرض سالبيْن ، إذن x = 16 ، وعليه : الطول = ، والعرض =
14) أَجِدُ عددَيْنِ زَوجِيَّيْنِ مُتَتالِيَيْنِ حاصلُ ضربِهِما 168
الحل :
أفرض العدد الزوجي الأول x ، إذن العدد الزوجي التالي هو x + 2
إذا كانت x = -14 فإن العدد الزوجي التالي هو x + 2 ، أي 12 -
وإذا كانت x = 12 فإن العدد الزوجي التالي هو x + 2 ، أي 14
15) يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ متوازيَ مستطيلاتٍ طولُهُ يُساوي 4 أمثالِ عرضِهِ، وحجمُهُ . أَجِدُ طولَهُ وعرضَهُ. |
![]() |
الحل :
أفرض العرض x ، إذن الطول 4x
حجم متوازي المستطيلات = الطول العرض الارتفاع
العرض = ، الطول =
16) أكتشِفُ الخطأَ : حلَّ عامرٌ المُعادلةَ التربيعيَّةَ 39 = 33 - 2x2 ، كما هُوَ مُبَيَّنٌ أدناهُ. أكتشِفُ الخطأَ في حَلِّهِ وَأُصَحِّحُهُ.
الإجابة : أخطأ عامر عندما أخذ الجذر التربيعي للطرفين بأخذ الجذر الموجب فقط ويفترض
حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين
أسئلة أتحقق من فهمي
أتحقق من فهمي صفحة 109
أَحل كُل من المُعادلات الآتية :
a) x2 - 3x = 0 b) 8x2 = -12x
الحل:
a) x2 - 3x = 0
المُعادلة المُعطاة | x2 - 3x = 0 |
بإخراج العامل المُشترك الأكبر | x(x - 3) = 0 |
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ | x = 0 or x - 3 = 0 |
بحلِّ كلِّ مُعادلة | x = 0 or x = 3 |
b) 8x2 = -12x
المُعادلة المُعطاة | 8x2 = -12x |
بجمع 12x إلى طَرَفَيِ المُعادلة | 8x2 + 12x = 0 |
بإخراج العامل المُشترك الأكبر | 4x(2x + 3) = 0 |
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ | 4x = 0 or 2x + 3 = 0 |
بحلِّ كلِّ مُعادلة | x = 0 or x = -1.5 |
أتحقق من فهمي صفحة 111
أَحل كُل من المُعادلات الآتية :
a) x2 + 7x = -6 b) x2 -9x + 8 = 0 c) x2 - 4x - 21 = 0
الحل:
a) x2 + 7x = - 6
المُعادلة المُعطاة | x2 + 7x + 6 = 0 |
بالتحليل إلى العوامل | (x + 6) (x + 1) = 0 |
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ | x + 6 = 0 or x + 1 = 0 |
بحلِّ كلِّ مُعادلة | x = - 6 or x = - 1 |
b) x2 -9x + 8 = 0
المُعادلة المُعطاة | x2 - 9x + 8 = 0 |
بالتحليل إلى العوامل | (x - 8) (x - 1) = 0 |
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ | x - 8 = 0 or x - 1 = 0 |
بحلِّ كلِّ مُعادلة | x = 8 or x = 1 |
c) x2 - 4x - 21 = 0
المُعادلة المُعطاة | x2 - 4x - 21 = 0 |
بالتحليل إلى العوامل | (x - 7) (x +3) = 0 |
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ | x - 7 = 0 or x + 3 = 0 |
بحلِّ كلِّ مُعادلة | x = 7 or x = -3 |
أتحقق من فهمي صفحة 112
أَحل كُل من المُعادلات الآتية:
a) 4x2 - 1 = 0 b) 2x2 - 18 = 0
الحل:
a) 4x2 - 1 = 0
المُعادلة المُعطاة | 4x2 - 1 = 0 |
بتحليل الفرق بين مربعين | (2x - 1) (2x + 1) = 0 |
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ | 2x - 1 = 0 or 2x + 1 = 0 |
بحلِّ كلِّ مُعادلة | x = 0.5 or x = -0.5 |
b) 2x2 - 18 = 0
المُعادلة المُعطاة | 2x2 - 18 = 0 |
بقسمة طرفي المُعادلة على 2 | x2 - 9 = 0 |
بتحليل الفرق بين مربعين | (x - 3) (x + 3) = 0 |
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ | x - 3 = 0 or x + 3 = 0 |
بحلِّ كلِّ مُعادلة | x = 3 or x = -3 |
أتحقق من فهمي صفحة 113
أَحُلُّ المُعادلةَ :
الحل :
المُعادلة المُعطاة | x2 - 6x + 9 = 0 |
بتحليلِ المُرَبَّعِ الكاملِ ثلاثِيِّ الحدودِ | (x - 3) (x - 3) = 0 |
خاصيَّة الضَّرب الصِّفريِّ | x - 3 = 0 |
بحلِّ المُعادلة | x = 3 |
أتحقق من فهمي صفحة 114
أَحل كُل من المُعادلات الآتية :
a) 4x2 - 100 = 0 b) (x - 1)2 = 16
الحل :
المُعادلة المُعطاة | 4x2 - 100 = 0 |
بجمع 100 إلى طرفي المعادلة | 4x2 = 100 |
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين | |
بالتبسيط | |
بفصلِ الحَلّين | |
بحل المعادلتين |
b) (x - 1)2 = 16
المُعادلة المُعطاة | (x - 1)2 = 16 |
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين | |
بالتبسيط | |
بطرح 1 من طرفي المعادلة | |
بفصلِ الحَلَّيْنِ | |
بالتبسيط |
أسئلة أتدرب وأحل المسائل
أَحل كُل من المُعادلات الآتية:
1) 4x2 + 9x = 0
2) 7x2 = 6x
3) x2 + 5x + 4 = 0
4) x2 - 2x - 15 = 0
5) t2 - 8t + 16 = 0
6) x2 -18x = -32
7) x2 + 2x = 24
8) x2 = 17x - 72
9) 2m2 = 50
10) x2 - 9 = 0
11) x2 - 25 = 0
13) s2 + 20s + 100 = 0
15) 9m2 - 12m + 4 = 0
16) (x + 1)2 = 4
17) 9(x - 1)2 = 16
18) 5x2 + 2 = 6
19) فُرشاةٌ: سقطتْ فرشاةُ طلاءٍ منْ يدِ سفيانَ. إذا مَثَّلَ الاقترانُ h(t) = 3 - 5t2 ارتفاعَ تلكَ الفُرشاةِ بالأمتارِ عَنِ الأرضِ، بعدَ t ثانيةً مِنْ سُقوطِها، فبعدَ كَمْ ثانيةً تصلُ إلى الأرضِ؟
الحل :
يُهمل الحل السالب؛ إذن ، بعد 0.8 من الثانية تصل الفرشاة إلى الأرض .
أعمارٌ: إذا كانَ عمرُ لينةَ x عامًا، ويكبُرُها زوجُها بثلاثةِ أعوامٍ ، وكانَ حاصلُ ضربِ عمريهِما 700 ، فَأَجِدُ:
20) مُعادلةً تربيعيَّةً تُمَثِّلُ الموقفَ.
الحل :
عمر لينة x ، غمر زوجها x + 3
المعادلة التربيعية :
21) عمرَ لينةَ.
يُهمل الحل السالب ، إذن عمر لينة 25.
22) حديقةٌ: حديقةٌ مستطيلةُ الشكلِ يزيدُ طولُها على عرضِها بمقدارِ 40 m ، ومساحتُها 48000 m2 ، يريدُ مزارعٌ إحاطَتَها بسياجٍ. أَجِدُ طولَ السِّياجِ.
الحل:
أفرض العرض x ، إذن الطول x + 40
المساحة = الطول العرض
يُهمل الحل السالب ، إذن x = 200
الطول = x + 40 ، إذن الطول = 240 مترًا.
23) هندسةٌ: يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ مثلثًّا مساحتُهُ 40 cm2 . أَجِدُ ارتفاعَهُ h، وطولَ قاعدتِهِ.
الحل:
مساحة المثلث = نصف طول القاعدة الارتفاع
يُهمل الحل السالب ، إذن h = 5
الارتفاع 5 مترًا ، طول القاعدة 16 مترًا .
24) أَحُلُّ المسألةَ الواردةَ في بدايةِ الدرسِ.
مسألة اليوم : يُمَثِّلُ الاقترانُ h(t) = -16t 2 + 7t ارتفاعَ كنغرٍ بالقدمِ فوقَ سطحِ الأرضِ بعدَ t ثانيةً مِنْ قفزِهِ. كمْ ثانيةً تقريبًا يحتاجُ الكنغرُ ليعودَ إلى سطحِ الأرضِ؟
الحل:
يحتاج الكنغر إلى 0.4375 من الثانية ليعود إلى سطح الأرض.
مهاراتُ التفكيرِ العُليا
25) أكتشِفُ الخطأَ: حلَّ سلمانُ ومهنَّدٌ المُعادلةَ التربيعيَّةَ 0 = x2 - 3x - 4 ، كما هُوَ مُبَيَّنٌ أدناهُ. أيُّهما إجابتُهُ صحيحةٌ؟ أُبَرِّرُ إجابتي.
الإجابة :
إجابة سلمان صحيحة ؛ لأنه لحل المعادلة (وبحسب خاصية الضرب الصفري) يجب أن يكون الطرف الآخر من المعادلة يساوي صفر.
تبريرٌ : أُحَدِّدُ عددَ حلولِ كلِّ مُعادلةٍ ممّا يأتي مِنْ دونِ حَلِّها، مُبَرِّرًا إجابتي:
26) y2 = -36 27) a2 - 12 = 6 28) n2 - 15 = -15
الحل :
26 ) ليس لها حلول حقيقية ؛ لأنه لا يوجد جذر تربيعي لعدد سالب .
27) لها حلان حقيقيان ؛ لأنه بنقل 12 إلى الطرف الآخر فيمكن أخذ الجذر التربيعي للطرفين .
28) يوجد حل واحد ؛ لأنه بنقل 15 إلى الطرف الآخر يصبح صفر ، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين فجذر الصفر يساوي صفر
29) تبريرٌ : أكتبُ مُعادلةً تربيعيَّةً على الصورةِ القياسيَّةِ، جذراها x = - 4 , x = 6 ، مُبَرِّرًا إجابتي.
الحل :
x = - 4 أجمع 4 إلى الطرفين تصبح x + 4 = 0
x = 6 أطرح 6 من الطرفين تصبح x - 6 = 0
أضرب المعادلتين الخطيتين :
أسئلة كتاب التمارين
أَحل المُعادلات الآتية بالتحليل :
1) 9m2 - 18m = 0
2) x2 + 11x + 18 = 0
3) x2 - 6x + 8 = 0
4) x2 - 2x - 15 = 0
5) x2 + 10x = -24
6) a2 -14a + 49 = 0
7) 16t2 - 1 = 0
8) (2x - 1)2 = 81
9) 4(x - 2)2 = 25
10) t2 + 4t - 12 = 0
11) x2 + 4x + 4 = 0
12) 27 - 3y2 = 0
13) هندسةٌ : يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ مستطيلً مساحتُهُ . أَجِد أبعادَهُ.
الحل:
مساحة المستطيل = الطول العرض
تُهمل x = 1 ؛ لأنها تجعل كل من الطول والعرض سالبيْن ، إذن x = 16 ، وعليه : الطول = ، والعرض =
14) أَجِدُ عددَيْنِ زَوجِيَّيْنِ مُتَتالِيَيْنِ حاصلُ ضربِهِما 168
الحل :
أفرض العدد الزوجي الأول x ، إذن العدد الزوجي التالي هو x + 2
إذا كانت x = -14 فإن العدد الزوجي التالي هو x + 2 ، أي 12 -
وإذا كانت x = 12 فإن العدد الزوجي التالي هو x + 2 ، أي 14
15) يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ متوازيَ مستطيلاتٍ طولُهُ يُساوي 4 أمثالِ عرضِهِ، وحجمُهُ أَجِدُ طولَهُ وعرضَهُ.
الحل :
أفرض العرض x ، إذن الطول 4x
حجم متوازي المستطيلات = الطول العرض الارتفاع
العرض = ، الطول =
16) أكتشِفُ الخطأَ: حلَّ عامرٌ المُعادلةَ التربيعيَّةَ 39 = 33 - 2x2 ، كما هُوَ مُبَيَّنٌ أدناهُ. أكتشِفُ الخطأَ في حَلِّهِ وَأُصَحِّحُهُ.
الإجابة : أخطأ عامر عندما أخذ الجذر التربيعي للطرفين بأخذ الجذر الموجب فقط ويفترض