حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين
أسئلة أتحقق من فهمي
أتحقق من فهمي صفحة 102
أَحلّ المُعادلة 0 = 2 - 2x2 بيانيًّا.
الحل : الاقترانُ التربيعيُّ المُرتبطُ بالمُعادلةِ : 2 - 2x2 = f(x) أُمَثِّلُ الاقتران التربيعيّ المُرتبط بالمُعادلة بيانيًّا. يقطع المنحنى محور x عند 1 , 1- ، إذنْ : للمُعادلة جذران ، هُما : 1 , 1- |
أتحقق من فهمي صفحة 103
أَحُلُّ المُعادلةَ x2 - 8x = -16 بيانِيًّا.
الحل : أكتب المعادلة بالصورة القياسية x2 - 8x + 16 = 0 ، إذن الاقتران التربيعي المرتبط بالمعادلة :
أُمَثِّلُ الاقتران التربيعيّ المُرتبط بالمُعادلة بيانيًّا. يقطع المنحنى محور x عند 4 ، إذنْ : للمُعادلة جذر واحد ، هُو : 4 |
أتحقق من فهمي صفحة 104
أَحُلُّ المُعادلة x2 + 5 = 4x بيانِيًّا.
الحل : أكتب المعادلة بالصورة القياسية x2 - 4x +5 = 0 ، إذن الاقتران التربيعي المرتبط بالمعادلة :
أُمَثِّلُ الاقتران التربيعيّ المُرتبط بالمُعادلة بيانيًّا. أُلاحظ أنَّ التمثيل البيانِيّ للاقتران المُرتبط لا يقطع المحور x ، إذنْ : لا يوجد جذر حقيقيّ للمُعادلة.
|
أتحقق من فهمي صفحة 105
فيزياء : في تجرِبة فيزيائيّة، قَذفت صفاء كتلة إلى الأعلى، فَمَثَّل الاقتران h(t) = -5t2 + 20t ارتفاع هذه الكتلة بالأمتار ، بعد t ثانية من قذفها.
أستعمل التمثيل البيانيّ لأجد زمن بقاء الكتلة في الهواء.
الحل : يكونُ ارتفاعُ االكتلة لحظة قذفها إلى الأعلى ، ويكونُ ارتفاعُها لحظة عودتها إلى الأرض ؛ لِذا فإنَّ أبعدَ فترة زمنية لبقاء الكتلة في الهواء تكون عندما يقطع الاقتران h(t) = -5t2 +20t المحور x. إذن ، أحلّ المُعادلة 0 = 5t2 +20t- بيانِيًّا لأحدِّد هاتين القيمتين. أُمثلُ الاقتران h(t) = -5t2 +20t بيانِيًّا ، ثم أجد القِيم التي يقطع عندها المنحنى المحور x يؤخذ من التمثيل البياني فقط الربع الأول من المستوى لأن الزمن والارتفاع لا يكون سالبًا ، وألاحظ من التمثيل أن المنحنى يقطع محور x عند 0 لحظة قذف صفاء للكتلة وعند 4 وهي لحظة عودة الكتلة إلى الأرض. إذن : زمن بقاء الكتلة في الهواء هي 4 ثوانٍ. |
أسئلة أتدرب وأحل المسائل
أحلّ كل من المعادلات الآتية بيانيًا :
1) x2 - 9 = 0 | 2) x2 - 5x = 0 | 3) -12x2 = 16 |
4) -x2 + 12x = 36 | 5) x2 - 6x + 9 = 0 | 6) x2 - 6x = 7 |
7) x2 + x - 6 = 0 | 8) x2 = 6x - 8 | 9) -x2 + 4 = 3x |
10) x2 + 3x + 6 = 0 | 11) 2x2 - 5x = -6 | 12) 2x2 + 32 = -20x |
الحل :
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو : يقطع المنحنى محور x عند 3 , 3- ، إذنْ : للمُعادلة جذران ، هُما : 3 , 3- |
1) x2 - 9 = 0
|
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو : يقطع المنحنى محور x عند 5 , 0 ، إذنْ : للمُعادلة جذران ، هُما : 5 , 0 |
2) x2 - 5x = 0
|
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو : أُلاحظ أنَّ التمثيل البيانِيّ للاقتران المُرتبط لا يقطع المحور x ، إذنْ : لا يوجد جذر حقيقيّ للمُعادلة. |
3) -12x2 = 16
|
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو : يقطع المنحنى المحور x عند 6 ، إذن : للمُعادلة جذر وحيد ، هو : 6 |
4) -x2 + 12x = 36 |
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو : يقطع المنحنى المحور x عند 3 ، إذن : للمُعادلة جذر وحيد ، هو : 3 |
5) x2 - 6x + 9 = 0
|
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو : يقطع المنحنى محور x عند 7 , 1- ، إذنْ : للمُعادلة جذران ، هُما : 7 , 1- |
6) x2 - 6x = 7
|
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو : يقطع المنحنى محور x عند 2 , 3- ، إذنْ : للمُعادلة جذران ، هُما : 2 , 3- |
7) x2 + x - 6 = 0 |
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو : يقطع المنحنى محور x عند 4 , 2 ، إذنْ : للمُعادلة جذران ، هُما : 4 , 2 |
8) x2 = 6x - 8
|
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو : يقطع المنحنى محور x عند 1 , 4- ، إذنْ : للمُعادلة جذران ، هُما : 1 , 4- |
9) -x2 + 4 = 3x
|
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو :
أُلاحظ أنّ التمثيل البيانِيّ للاقتران المُرتبط لا يقطع المحور x ، إذنْ : لا يوجد جذر حقيقيّ للمُعادلة. |
10) x2 + 3x + 6 = 0 |
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو : أُلاحظ أنّ التمثيل البيانِيّ للاقتران المُرتبط لا يقطع المحور x ، إذنْ : لا يوجد جذر حقيقيّ للمُعادلة. |
11) 2x2 - 5x = -6
|
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو : يقطع المنحنى محور x عند 2- , 8- ، إذنْ : للمُعادلة جذران ، هُما : 2- , 8-
|
12) 2x2 + 32 = -20x
|
رياضة : يبين الشكل المجاور ارتفاع لاعب جمبازٍ h بالأمتار بعد t ثانيةً من وثبه عن سطح الأرض. | |
13) كم ثانيةً بقي اللاعب في الهواء؟ الإجابة : 2 ثانية . |
|
14) ما أقصى ارتفاعٍ وصل إليه اللاعب؟ الإجابة : 5 متر . |
|
15) هل يمثل الاقتران حركة لاعب الجمباز؟ الإجابة : نعم . |
16) طيورٌ: التقط نسرٌ سمكةً من بحيرةٍ وطار بها، وعندما وصل إلى ارتفاع تمكنت السمكة من التحرر لتسقط مرةً أخرى في البحيرة. إذا علمت أن الاقتران يمثل ارتفاع السمكة بالأمتار بعد t ثانيةً من سقوطها، فأستعمل التمثيل البياني لأجد زمن بقاء السمكة في الهواء.
الحل :
الحل : الزمن الذي بقيت فيه السمكة في الهواء يساوي تقريبًا 1.4 ثانية . |
مهارات التفكير العليا
17) أكتشف المختلف : أي المعادلات الآتية مختلفةٌ؟ أبرر إجابتي.
18) تبريرٌ: يبين الشكل الآتي مستطيلً مساحته . أستعمل التمثيل البياني لأجد قيمة x، مبررًا إجابتي.
الحل : مساحة المستطيل = الطولالعرض
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو : يقطع المنحنى محور x عند 8 ، 7- ، إذن قيم x هي 8 ، 7- ، ولأنّ الطول والعرض لا يكون سالبًا تُهمل x = -7 ، إذن : x = 8 |
مسألةٌ مفتوحةٌ: أكتب معادلة تحقق الوصف المعطى في كل مما يأتي:
19) معادلةٌ تربيعيةٌ ليس لها جذرٌ حقيقي.
الإجابة :
x2 + 5 = 0
20) معادلةٌ تربيعيةٌ لها جذرٌ حقيقي واحدٌ.
الإجابة :
x2 - 4x + 4 = 0
21) معادلةٌ تربيعيةٌ لها جذران صحيحان موجبان.
x2 - 9 = 0
حلول أسئلة كتاب التمارين
أَحلّ كُلّ من المُعادلات الآتية بيانيًّا:
1) x2 + 7x + 12 = 0 | 2) x2 - x - 12 = 0 |
3) x2 - 4x - 5 = 0 | 4) x2 - 7x = -10 |
5) x2 - 2x = -1 | 6) x2 + 6x = -8 |
الحل :
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو : يقطع منحنى الاقتران المحور x عند 3- ، 4- ، إذن للمعادلة جذران هما 3- ، 4- |
1) x2 + 7x + 12 = 0
|
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو : يقطع منحنى الاقتران المحور x عند 3- ، 4 ، إذن للمعادلة جذران هما 3- ، 4 |
2) x2 - x - 12 = 0 |
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو : يقطع منحنى الاقتران المحور x عند 5 ، 1- ، إذن للمعادلة جذران هما 5 ، 1- |
3) x2 - 4x - 5 = 0
|
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو : يقطع منحنى الاقتران المحور x عند 5 ، 2 ، إذن للمعادلة جذران هما 5 ، 2 |
4) x2 - 7x = -10 |
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو : يقطع منحنى الاقتران المحور x عند 1 ، إذن للمعادلة جذر وحيد هو 1 |
5) x2 - 2x = -1 |
الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو : يقطع منحنى الاقتران المحور x عند 2- ، 4- ، إذن للمعادلة جذران هما 2- ، 4- |
6) x2 + 6x = -8
|
أعدادٌ: عددان صحيحان مجموعُهُما 2، وحاصلُ ضربِهِما 8-. يمكنُ استعمالُ المعادلةِ لتحديدِ هذَيْنِ العددَيْنِ. 7) أُمَثِّلُ الاقترانَ المُرتبطَ بالمعادلةِ بيانيا. 8) أستعملُ التَّمثيلَ البيانِيَّ لإيجادِ العددَيْنِ. |
الحل :
7) الاقتران التربيعي المرافق للمعادلة هو :
8) العددان هما 4 ، 2-
9) اختيار من مُتعدّد : أيُّ ممّا يأتي يُعَدُّ التمثيلَ البيانِيَّ لمنحنى الاقترانِ المُرتبطِ بالمعادلةِ
الإجابة : فرع c