حلُّ مُعادلاتِ القيمةِ المُطلقةِ ومُتبايناتِها
Solving Absolute-Value Equations and Inequalities
فكرةُ الدرسِ : حلُّ مُعادلاتِ القيمةِ المُطلقةِ ومُتبايناتِها.
أولًا : مقادير القيمة المُطلقة
المقدارَ الجبريَّ : هُوَ عبارةٌ تحتوي متغيّراتٍ وأعدادًا تفصلُ بينَها عمليّاتٌ. ويمكنُ أنْ يتضمَّنَ المقدارُ الجبريُّ قيمةً مُطلقةً. ولإيجاد قيمتِهِ، أُعَوِّضُ
قيمةَ المُتَغَيِّر الَّذي يحتويه ، ثمَّ أتَّبِعُ أولويات العمليات.
•• أتعلَّمُ : لإيجادِ قيمةِ مقدارٍ جبريٍّ يتضمَّنُ قيمةً مُطلقةً أُجرِي العملياتِ الحسابيَّةَ داخلَ القيمةِ المُطلقةِ أوَّلًا. |
مثال
أجِد قيمة كلٍّ من المقادير الجبرية الآتية عند القيمة المُعطاة :
1) | x - 6 | + 7 , x = 4 2) 5 - 2 |3 - x | , x = 8
الحل :
1) | x - 6 | + 7 , x = 4
بتعويض x = 4 | | x - 6 | + 7 = | 4 - 6 | + 7 |
2- = 6 - 4 | = | - 2 | + 7 |
= 2 + 7 | |
بالتبسيط |
2) 5 - 2 |3 - 2x | , x = 2
بتعويض x = 2 | 5 - 2 |3 - 2x | = 5 - 2 |3 - 23| |
3 - = 6 - 3 | = 5 - 2 | -3 | |
= 5 - 2 (3) | |
- 2 (3) = - 6 | = 5 - 6 |
بالتبسيط |
ثانيًا : معادلات القيمة المُطلقة
مُعادلة القيمة المُطلقة : هي مُعادلة تحتوي على قيمة مُطلقة. وبِما أنَّ القيمة المُطلقة لكلٍّ مِن العدد ومعكوسِه متُساويتان فيمكنُ تحويل
مُعادلة القيمة المُطلقة إلى مُعادلتين مُرتبطتين بها لا تحتويان على رمز القيمة المُطلقة ، وذلك بجعل العبارة الَّتي داخل القيمة المُطلقة موجبةً
مَرّة وسالبةً مَرَّة أُخرى.
•• أتذكَّرُ : القيمةُ المُطلقةُ للعددِ هِيَ المسافةُ بينَ ذلكَ العددِ والصِّفرِ على خطِّ الأعدادِ. |
مفهومٌ أساسيٌّ (حلُّ مُعادلاتِ القيمةِ المُطلقةِ)
لحلِّ المُعادلةِ ax + b | = c | ؛ حيثُ c ≥ 0 ، أَحُلُّ المُعادلتين المُرتبطتين بها، وهُما :
ax + b = c or ax + b = -c
مثال :
أَحُلُّ كُلًّ مِن المُعادلات الآتية، وَأُمثّل مجموعة الحلِّ على خطِّ الأعداد (إن أمكن):
a) | x - 5 | = 3 b) 3| x - 2 | - 4 = 8 c) | 9x - 2 | = - 10
الحل :
a) | x - 5 | = 3
بكتابة المُعادلتين المُرتبطتين | x - 5 = 3 or x - 5 = -3 |
بجمع 5 لكلّ طرف | x = 8 or x = 2 |
إذنْ، مجموعةُ حلِّ المُعادلةِ هِيَ: { 8 , 2}، وَتَمثيلُها على خطِّ الأعدادِ على النَّحوِ الآتي :
b) 3| x - 2 | - 4 = 8
لحلِّ هذهِ المُعادلةِ ، أكتبُ القيمةَ المُطلقةَ أوَّلًا معزولةً في أحدِ طَرَفَيِ المُعادلةِ.
المعادلة المعطاة | 3| x - 2 | - 4 = 8 |
بحمع 4 إلى طَرفي المُعادلةِ | 3| x - 2 | = 12 |
بِقِسمة طَرفي المُعادلة على 3 | | x - 2 | = 4 |
الآنَ ، أكتب مُعادلتين مُرتبطتين بالمُعادلة 4 = | x - 2 | ، ثُمّ أحلُّ كلًّ منهما.
بكتابة المُعادلتين المُرتبطتين | x - 2 = 4 or x - 2 = - 4 |
بجمع 2 لكلّ طرف | x = 6 or x = -2 |
إذنْ، مجموعةُ حلِّ المُعادلةِ هِيَ: { 6 , 2-}، وَتَمثيلُها على خطِّ الأعدادِ على النَّحوِ الآتي :
c) | 9x - 2 | = - 10
المُعادلةُ 10 - = | 9x - 2 | تعني أنَّ المسافةَ بينَ 9x وَ 2 تُساوي 10 -
وبما أنّه لا يمكنُ أنْ تكونَ المسافة سالبة ؛ فإنَّ مجموعةَ حلِّ هذهِ المُعادلةِ ∅ ؛ أيْ أنّه لا يوجدُ حلٌّ للمعادلةِ.
ثالثًا : متباينات القيمة المُطلقة
مُتباينةُ القيمةِ المُطلقةِ : هِيَ مُتباينةٌ تحتوي على قيمةٍ مُطلقةٍ.
•• متباينة القيمة المطلقة الأقل من عدد موجب
فمثلًا ، x | ≤ 5 | هِيَ مُتباينةُ قيمةٍ مُطلقةٍ، وتعني أنَّ المسافةَ بينَ x وَ 0 أقلُّ مِنْ أوْ تُساوي 5 ؛ لِذا فإنَّ :
وبذلكَ، فإنَّ مجموعةَ حلِّ هذهِ المُتباينةِ هِيَ الفترةُ [ 5 , 5-].
وبشكل عام ، يمكنُ تحويلُ مُتباينة القيمةِ المُطلقة ، التي تحتوي على الرَّمز (>) ، إلى مُتباينة مُرَكّبة تحتوي على أداة الرَّبط (و)، ثمَّ حلُّ المُتباينة المُركّبة الناتجة.
مفهومٌ أساسيٌّ : ( حلُّ مُتبايناتِ القيمةِ المُطلقةِ (>))
لحلِّ المُتباينةِ ax + b| < c | ؛ حيثُ c > 0 ، أَحُلُّ المُتباينة المُرَكّبة المُرتبطة بها، وهي :
•• تبقى القاعدةُ صحيحةً إذا احتَوَتِ المُتباينةُ على ()
مثال :
أَحُلّ كُلًّ من المُتباينات الآتية ، وَأُمَثِّل مجموعة الحلِّ على خطِّ الأعداد (إن أمكن) :
a) | x - 1 | < 4 b) | x + 5| + 3 < 1
الحل :
a) | x - 1 | < 4
المُتباينة المُركّبة المُرتبطة | |
بجمع 1 إلى كِلا الطرفين |
إذنْ، مجموعةُ حلِّ المُتباينةِ هيَ { x | -3 < x < 5 }، ويمكنُ كتابتُها باستعمالِ رمزِ الفترةِ على الصورةِ: ( 5 , 3-)، وَيمكنُ تَمثيلُها على خطِّ الأعدادِ على النَّحوِ الآتي:
b) | x + 5| + 3 < 1
| x + 5| + 3 - 3 < 1 - 3
| x + 5| < - 2
بِما أنَّ | x + 5 | لا يمكنُ أنْ تكونَ سالبةً، فلا يمكنُ أنْ تكونَ | x + 5 | أقلَّ مِنْ 2 - ، وَمِنْهُ فإنَّ مجموعةَ حلِّ هذهِ المُتباينةِ ∅ ؛ أيْ أنّه لا يوجدُ حلٌّ للمتباينةِ المُعطاةِ.
•• متباينة القيمة المطلقة الأكبر من عدد موجب
تعني مُتباينة القيمة المُطلقة x | > 5 | أنَّ المسافة بين x و 0 أكبر من 5 ؛ لذِا فإنَّ x > 5 أو x < -5
وبذلك، فإنَّ مجموعةَ حلِّ هذه المُتباينة هي : وبشكلٍ عامٍّ، يمكنُ تحويلُ مُتباينة القيمة المُطلقة ، التي تحتوي على الرَّمز
(<)، إلى مُتباينة مُرَكّبة تحتوي على أداة الرَّبط (أو) ، ثمَّ حلُّ المُتباينةِ المُرَكّبة الناتجة.
مفهومٌ أساسيٌّ : (حلُّ مُتبايناتِ القيمةِ المُطلقةِ (>))
لحلِّ المُتباينةِ ax + b| > c | ؛ حيثُ c > 0 ، أَحُلُّ المُتباينةَ المُرَكَّبَةَ المُرتبطةَ بها، وَهِيَ:
•• تبقَى القاعدةُ صحيحةً إذا احتَوَتِ المُتباينةُ على ()
مثال :
أَحُلّ كُلًّ من المُتباينات الآتية، وَأُمثل مجموعة الحلِّ على خطِّ الأعداد (إن أمكن) :
الحل :
المُتباينة المُرَكّبة المُرتبطة | |
بطرح 3 من كُلِّ طرف | |
بقِسمة كُلِّ طرف على 2 |
إذنْ ، مجموعةُ الحلِّ هِيَ ، ويمكنُ كتابتُها باستعمالِ اتحادِ فترتينِ منفصلتينِ على الصورةِ :
وتمثيلها البياني على النحو الآتي :
يَنُصُّ تعريفُ القيمةِ المُطلقةِ على أنَّ مقدارَها يجبُ أنْ يكونَ أكبرَ من أو يُساوي صفرًا ، ومنهُ فإنَّ دائمًا أكبرُ من لأيٍّ مِن قِيَمِ
المُتَغَيِّر x .
إذن ، مجموعةُ الحلِّ هي مجموعة الأعداد الحقيقيَّة R، ويمكنُ كتابتُها باستعمال رمز الفترة على الصورة :
•• رُموزٌ رياضيَّةٌ : يُرمز لمجموعة الأعداد الحقيقيَّة بالحرف R، وهوَ الحرفُ الأوَّلُ من كلمة Real باللغة الإنجليزيَّة ، وتعني حقيقيًّا. |
مثال من الحياة :
تُنتج آلة مسامير فولاذية طولها ، ويُسمح أن يزيد طول المسمار على الطول المُحدد أو يقل عنه بمقدار ، فأكتبُ مُتباينةَ قيمة مُطلقة أَجدُ بها المدى المسموح به لطولِ المسمار .
الحل :
بالكلماتِ : الفرقُ بينَ طولِ المسمار الحقيقيِّ وطولِ المسمار المثاليِّ لا يتجاوزُ
أختار مُتغيرًا : ليكن x مُمثّلًا طول المسمار .
أكتبُ المُتباينة :
المُتباينةُ المُركّبة المُرتبطة :
أحل المتباينة :
بالتبسيط :
إذن ، المدى المسموحُ به لطول المسمار هو بوحدةِ cm.