رياضيات

التاسع

icon

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 27

أَجِدُ قيمة كلٍّ من المقادير الجبرية الآتية عند القيمة المُعطاة: 

a) |x - 2| + 10, x = - 4

b) -2 |3x + 1|, x = -1

الحل : 

a) |x - 2| + 10  ,  x = - 4

    | - 4 - 2 | + 10 = | -6 | + 10  = 6 + 10 = 16


b) -2 |3x + 1| ,  x = -1

   -2 |3(-1) + 1 | = -2 | -3 + 1 | = -2 | -2 | = -2 (2) = - 4 


أتحقق من فهمي صفحة 29

أَحُلّ كُلًّ من المُعادلات الآتية ، وأُمثّل مجموعةَ الحلِّ على خطِّ الأعداد (إنْ أمكن) :

a) | x  -  7|  = 5                                       b) 4|2x + 7| = 16                                        c) |x + 4| = -10

الحل : 

a) | x  -  7|  = 5 

بكتابة المُعادلتين المُرتبطتين x - 7   = 5         or       x - 7   = - 5 
بجمع 7 لكلّ طرف x =  12             or        x = 2

 

 

مجموعةُ حلِّ المُعادلةِ هِيَ: { 12 , 2} 


 b) 4|2x + 7| = 16 

 بقسمة الطرفين على 4  |2x + 7| = 4 
بكتابة المُعادلتين المُرتبطتين   2x + 7  = 4         or       2x + 7   = - 4 
بطرح 7 من كل طرف    2x  = -3              or       2x  = - 11 
بقسمة كل طرف على 2    x = - 1.5            or          x = -5.5

   

 

 

مجموعةُ حلِّ المُعادلةِ هِيَ: { 1.5- ,  5.5-} 


c) |x + 4| = -10

المُعادلةُ 10 - =   |x + 4|   تعني أنَّ المسافةَ بينَ x  و  4- تُساوي 10 -

وبما أنّه لا يمكنُ أنْ تكونَ المسافة سالبة ؛ فإنَّ مجموعةَ حلِّ هذهِ المُعادلةِ ∅ ؛ أيْ أنّه لا يوجدُ حلٌّ للمعادلةِ.


 

أتحقق من فهمي صفحة 30

أَحُلُّ كُلًّ من المُتبايناتِ الآتيةِ، وأُمثِّل مجموعة الحلِّ على خطِّ الأعداد (إن أمكن) :

a) |x - 2|  1                                     b) |x + 7| + 10 < 2

الحل : 

a) |x - 2| ≤ 1 

المُتباينة المُركّبة المُرتبطة  -1  x - 2  1 
بجمع 2 إلى كل طرف   1  x  3

 

 

إذنْ، مجموعةُ حلِّ المُتباينةِ هيَ  { x | 1  x  3} ، ويمكنُ كتابتُها باستعمالِ رمزِ الفترةِ على الصورةِ: [3 ، 1] ، وَيمكنُ تَمثيلُها على خطِّ الأعدادِ على النَّحوِ الآتي:


 b) |x + 7| + 10 < 2

 |x + 7| + 10 - 10 < 2 - 10

 |x + 7|  < - 8 

بِما أنَّ | x + 7 | لا يمكنُ أنْ تكونَ سالبةً، فلا يمكنُ أنْ تكونَ | x + 7 | أقلَّ مِنْ 8 - ، وَمِنْهُ فإنَّ مجموعةَ حلِّ هذهِ المُتباينةِ ∅ ؛ أيْ أنّه لا يوجدُ حلٌّ للمتباينةِ المُعطاةِ.


 

أتحقق من فهمي صفحة 32

أَحُلُّ كُلًّ من المُتبايناتِ الآتيةِ، وأُمثِّل مجموعة الحلِّ على خطِّ الأعداد (إن أمكن) : 

a) |x - 3|  4                               b) |10 - x| > -5

الحل :

a) |x - 3|  4  

المُتباينة المُرَكّبة المُرتبطة x - 3 -4    or     x-3  4  
بجمع 3 إلى كُلِّ طرف x-1    or     x7 

 

 

إذنْ مجموعةُ الحلِّ هي : { x | x -1   or  x  7 }  ، ويمكنُ كتابتُها باستعمالِ اتحادِ فترتينِ منفصلتينِ على الصورةِ : (- , -1]  [ 7 , )

وتمثيلها البياني على النحو الآتي : 


b) |10 - x| > -5

يَنُصُّ تعريفُ القيمةِ المُطلقةِ على أنَّ مقدارَها يجبُ أنْ يكونَ أكبرَ مِنْ أوْ يُساوي صِفرًا ، وَمِنْهُ فإنَّ |10 - x| دائمًا أكبرُ مِنْ -5  لأيٍّ مِنْ قِيَمِ

المُتَغَيِّرِ x .

إذنْ ، مجموعةُ الحلِّ هِيَ مجموعةُ الأعدادِ الحقيقيَّةِ R، ويمكنُ كتابتُها باستعمالِ رمزِ الفترةِ على الصورةِ : (- , )

 


أتحقق من فهمي صفحة 33

صناعةٌ: إذا عَلمت أنَّ طول القُطر المثاليَّ لأحد المكابس الأُسطوانيَّة في مُحَرِّكات السيّارات 90 mm ، وَيُسمَحُ أنْ يزيد طولُ هذا القُطر أوْ يقلَّ بمقدارٍ لا يتجاوزُ  0.008 mm  ، فأكتبُ مُتباينةَ قيمةٍ مُطلقةٍ أَجِدُ بِها المدى المسموح به لطول قُطر المكبس.

الحل :

بالكلماتِ : الفرقُ بينَ طولِ القطر الحقيقيِّ وطولِ القطر المثاليِّ لا يتجاوزُ  0.008 mm

أختار مُتغيرًا : ليكن x مُمثّلًا طول القطر.

أكتبُ المُتباينة : |x - 90|  0.008

أحل المتباينة  : -0.008+90  x - 90+90  0.008+90

بالتبسيط  : 89.992  x  90.008

إذن ، المدى المسموحُ به لطول المسمار هو [89.992 , 90.008] بوحدة mm.


 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل    

أَجِدُ قيمة كلٍّ من المقادير الجبرية الآتية عند القيمة المُعطاة: 

1) |5x + 2| + 1  , x = -3                               2) |14 - x| -18   , x = 1                      3) -3|3x + 8| + 5   , x = -4

الحل :

1) |5x + 2| + 1  , x = -3  2) |14 - x| -18   , x = 1  3) -3|3x + 8| + 5   , x = -4
= |5(-3) + 2| + 1  = |-15+2| +1 = |-13| + 1= 13 +1 = 14  = |14 - 1| - 18  = |13| -18 =13 - 18= -5   = -3|3(-4) + 8| +5  = -3|-12+8| +5 = -3|-4|+5= -3 × 4+5 = -12 + 5 = -7

                                                   

أَحُلّ كُلًّ من المُعادلات الآتية ، وأُمثّل مجموعةَ الحلِّ على خطِّ الأعداد (إنْ أمكن) :

 
4) |x + 3| = 7                                5) |x - 8| = 14                                 6) |-3x| = 15 7) |3x + 2| + 2 = 5                      8) |2x - 4| - 8 = 10                        9) -4|8 - 5x| = 16                                                                

الحل :

4) |x + 3| = 7 

x + 3 = 7    or   x + 3 = -7 x = 4           or    x = -10


5) |x - 8| = 14 

x - 8 = 14    or    x - 8 = -14 x = 22           or    x = -6


6) |-3x| = 15 

-3x=15        or    -3x =-15 x =-5         or          x = 5 


7) |3x + 2| + 2 = 5 

|3x + 2|=3 3x + 2 = 3       or      3x + 2 =-33x = 1              or      3x = -5x = 13              or        x =-53 


8) |2x - 4| - 8 = 10

|2x-4| =18 2x-4 = 18       or      2x -4 =-182x = 22            or      2x = -14x =11               or        x =-7 


9) -4|8 - 5x| = 16  

|8-5x| =-4              -4  بقسمة الطرفين على     

 
القيمة المطلقة تمثل مسافة وبِما أنَّهُ لا يمكنُ أنْ تكونَ المسافةُ سالبةً فإنَّ مجموعةَ حلِّ هذهِ المُعادلةِ ∅ ؛ أيْ أنّه لا يوجدُ حلٌّ للمعادلةِ.


 

أَحُلّ كُلًّ من المُتباينات الآتية ، وأُمثّل مجموعةَ الحلِّ على خطِّ الأعداد (إنْ أمكن) :

 
10) |x + 8|  3                                     11) |2x - 5| < 9                                   12) |3x + 1| > 813) |3x - 1|+6 > 0                             14) 2|3x + 8|-13 -5                       15) -3|2 - 4x|+5 <-13 16) |6x + 2| <-4                                17) 3|5x -7| -6 < 24                         18) |5x + 3|-4  9
 

الحل :

10) |x + 8|  3 

 -3  x + 8  3 -11  x  -5


11) |2x - 5| < 9

- 9 < 2x - 5 < 9-4 < 2x < 14-2 < x < 7


 


12) |3x + 1| > 8

3x + 1 < -8       or       3x + 1 > 83x < -9              or       3x > 7x < -3                or        x > 73


13) |3x - 1|+6 > 0 

|3x - 1|+6-6 > 0-6|3x - 1| > -6  

يَنصّ تعريف القيمة المُطلقة على أنّ مقدارها يجب أن يكون أكبر من أو يُساوي صفرًا ، ومنهُ فإنّ | 3x - 1 | دائمًا أكبر من 6 - لأيٍّ من قيم المتغير x

إذن : مجموعة الحل هي مجموعة الأعداد الحقيقية R، ويمكن كتابتها باستعمال رمز الفترة على الصورة : (-, ) 

 


14) 2|3x + 8|-13 -5

2|3x + 8|-13+13 -5+132|3x + 8| 8 |3x + 8|  4-4  3x + 8  4-12  3x  -4-4  x  -43


15) -3|2 - 4x|+5 <-13

-3|2 - 4x|+5-5 <-13-5-3|2 - 4x| < -18|2 - 4x| > 62 - 4x < -6     or         2 - 4x > 6-4x < -8         or            -4x > 4x > 2                  or               x < -1   


16) |6x + 2| <-4

 بما أنَّ |6x + 2|  لا يمكن أن تكون سالبة، فلا يمكن أن تكون |6x + 2| أقل من 4 -، ومنه فإنَّ مجموعة حلِّ هذه المُتباينة ∅ ؛ أي أنّه لا يوجد حل

للمتباينة المُعطاة.


17) 3|5x -7| -6 < 24

3|5x -7| -6+6 < 24+63|5x -7| < 30|5x -7| < 10-10 < 5x -7 < 10-3 < 5x < 17-35< x < 175-0.6 < x < 3.4


18) |5x + 3|-4  9

|5x + 3|-4+4  9+4|5x + 3|  135x + 3  -13      or        5x + 3  135x  -16             or        5x  10x  -165             or          x  2x  -3.2             or          x  2  


 

أكتب مُعادلة قيمة مُطلقة تُعبر عن كُلِّ تمثيلٍ على خطِّ الأعداد ممّا يأتي :

|x| = 5 

 

|x - 3 | = 5 

 


أكتب مُتباينة تمثِّل كلَّ جملةٍ ممّا يأتي، ثمَّ أُمثلها على خطِّ الأعداد :

21) المسافة بين عددٍ والصِّفر أكبر من 7

الحل :

أفرض أنّ العدد x  ، البعد بين x و الصفر أكبر من 7  ، إذن المتباينة : | x | > 7 

 


22) المسافة بين عددٍ و 3 أقلُّ من أو تُساوي 4

الحل :

أفرض أنّ العدد x  ، البعد بين x و 3 أقل من أو يساوي 4 ، إذن المتباينة : | x  - 3 |  4  


23) صناعةٌ: إذا عَلِمتُ أنَّ مصنعًا يُنتِجُ علبَ بسكويتٍ كتلتُها المثاليَّةُ 454 g ، وكانَ مراقبُ الجودة يستثني العلب التي تزيد على الكتلة المثالية أو

تنقُص عنها بمقدار  5 g ، فأكتبُ مُتباينة قيمة مُطلقة أَجد بها المدى المسموح به لِكُتل علب البسكويت.

الحل :

بالكلماتِ : الفرقُ بين الكتلة الحقيقية والكتلة المثالية لا يتجاوز  5 g

أختار مُتغيرًا : ليكن x مُمثّلًا للكتلة.

أكتبُ المُتباينة : |x - 454|  5

أحل المتباينة  :

-5  x- 454  5 -5+454  x- 454+454   5+454449  x  459

 

 

 

إذن ، المدى المسموحُ به لكتل علب البسكويت هو [449 , 459] بوحدة g.


 

24) كرةُ قَدَم : إذا كانت الكتلة المثالية المُوصى بها لكرة القدم  430 g ، وكان مسموحًا أنْ تزيد على الكتلةِ المثالية أوْ تنقُص عنها بمقدار  20 g ،

فأكتب مُعادلة قيمة مُطلقة لإيجاد أكبر وأقلِّ كتلة مسموح بها لكرة القدم ، ثمّ أحلُّها.

الحل :  

بالكلماتِ : الفرق بين الكتلة الحقيقية والكتلة المثالية لا يتجاوز 20 g

أختار مُتغيرًا : ليكن x مُمثّلًا للكتلة.

أكتبُ المُعادلة : | x - 430 | = 20

أحل المعادلة  : 

| x - 430 | = 20 x - 430 = 20        or       x - 430 = -20x = 450                  or       x = 410

 

 

 

إذن أكبر كتلة مسموح بها هي 450 g ، وأقل كتلة مسموح بها هي : 410 g  


 

مهاراتُ التفكيرِ العُليا

تبريرٌ : أكتبُ مُتباينة قيمة مُطلقة تُعبِّر عن كُلِّ تمثيلٍ على خطِّ الأعداد ممّا يأتي ، مُبرّرًا إجابتي :

الحل :

أفرض أن العدد هو x

المتباينة :  | x |  3

التبرير : العدد صفر في منتصف المسافة ، إذن البعد عن الصفر   | x | ، منطقة الحل محصورة العددين 3 ، 3- بما في ذلك العددين       

المسافة بين الحد الأعلى إلى الصفر أو الحد الأدنى إلى الصفر تساوي 3 وحدات  ، إذن المتباينة هي : | x |  3


 

الحل :

أفرض أن العدد هو x

المتباينة : | x-1 | > 2

التبرير : العدد 1 في منتصف المسافة ، إذن البعد عن 1  | x - 1 | ، منطقة الحل محصورة العددين 3 ، 1-  باستثناء العددين <  

المسافة بين الحد الأعلى إلى 1 ،  أو الحد الأدنى إلى 1 تساوي 2 وحدة  ، إذن المتباينة هي : | x-1 | > 2


 

 

27) تبريرٌ: يُبَيِّنُ الشكلُ المجاوِرُ مُثَلَّثًا ومُستطيلً الفرقُ بين مساحتيهما أقلُّ من 2 وحدةٍ مُرَبَّعَةٍ.

أكتبُ مُتباينة قيمة مُطلقة تمثّلُ الجملة السابقة

وأَحُلُّها، مُبَرِّرًا إجابتي.

 

 

 

 

 

الحل :

مساحة المستطيل : 2 × 6 = 12 

مساحة المثلث : 12× 4 × (x+6) = 2x + 12

الفرق بين مساحتيهما أقل من 2 :  | 12 - (2x + 12) | < 2 

أحل المتباينة  : 

| 12 - (2x + 12) | < 2 | 12 - 2x - 12 | < 2| 2x | < 2-2 < 2x < 2 -1 < x < 1

 

 

 

 


28) تَحَدٍّ: أَحُلُّ المُتباينةَ المُرَكَّبَةَ الآتيةَ :  | x - 3 | < 4  and  | x + 2 | > 8

الحل :

|x - 3| < 4                  and         |x + 2| > 8       -4 < x-3 < 4           and           x + 2 < -8     or      x+2 > 8-1 < x < 7                and            x < -10          or       x > 6

 

 

 

مجموعة الحل هي الفترة المشتركة بين المتباينتين : (6 , 7)


 

أسئلة كتاب التمارين    

أَصِلُ المُتباينةَ بتمثيلِها على خطِّ الأعدادِ في كلٍّ ممّا يأتي:

الحل :


أكتبُ مُتباينةً تمثِّلُ كلَّ جملةٍ ممّا يأتي، ثمَّ أُمَثِّلُها على خطِّ الأعدادِ : 

4)  المسافةُ بينَ عددٍ و 2 على الأكثرِ 13 

الحل :

أفرض أن العدد هو x

المتباينة : | x - 2 |  13 

أحل المتباينة  :  

| x - 2 |  13 -13  x-2  13-11  x  15

 

 

 


5) المسافةُ بينَ عددٍ والصِّفرِ على الأقلِّ 6

الحل :

أفرض أن العدد هو x

المتباينة : | x |  6

أحل المتباينة  :  

| x |  6x  -6   or   x  6


6) أُصَنِّفُ المُعادلاتِ أدناهُ دونَ حَلِّها إلى واحدةٍ مِنَ الفئاتِ الآتيةِ : لها حلان ، لها حل واحد ، ليس لها حل .

الحل :

عدد الحلول  المعادلة 
ليس لها حل   x  - 2 | + 6 = 0 | 
لها حلان   x  - 3 | - 1  = 0 | 
لها حلان   x + 8 | + 2  = 7 | 
لها حل واحد   x - 1 | + 4  = 4 | 
ليس لها حل  x - 6 | - 5  = - 9 | 
لها حل واحد x + 5 | - 8  = - 8 | 

 

 


أَحُلُّ كلًّ مِنَ المُعادلاتِ والمُتبايناتِ الآتيةِ :

7) |x - 8| = 5                               8) 2|x+3|=8                         9) |5x - 8| + 14 = 1210) |8- (x - 1)|  9                  11) | 2 - 3x5 |  2                12) |x - 6| + 4 > 1

الحل :

7) |x - 8| = 5

x-8=5       or      x-8=-5 x = 13        or      x =  3

 

 

مجموعة الحل  : { 3 , 13} 


8) 2|x+3|=8

2|x+3|=8|x+3| = 4 x+3 = 4        or       x+3 =-4x = 1             or        x = -7

 

مجموعة الحل  : { -7 , 1}

 

 


9) |5x - 8| + 14 = 12

|5x - 8| + 14-14 = 12-14|5x - 8| = -2

مجموعة الحل  : 

 

 


10) |8- (x - 1)|  9 

|8-(x - 1)|  9 |8-x+1|  9 |9-x| 9 -9  9-x  9 -18  -x  018  x  0 0  x  18

 

 

 

مجموعة الحل  : [ 0 , 18 ]

 

 

 


11) | 2 - 3x5 |  2

| 2 - 3x5 |  22 - 3x5  -2            or           2 - 3x5  22 - 3x  -10           or             2 - 3x  10-3x  -12               or             -3x  8x  4                         or              x  -83

 

 

 

مجموعة الحل  : (- , -83]  [ 4 , )

 

 

 


12) |x - 6| + 4 > 1

|x - 6|+4 > 1|x - 6| > -3 

 

مجموعة الحل  : (- , )

 


 

13) أكتشفُ الخطأ : أكتشفُ الخطأَ في حلِّ مُعادلةِ القيمةِ المُطلقةِ الآتيةِ، وأُصحِّحُهُ : 

الحل :

القيمة المطلقة لا تساوي عدد سالب لأنها تمثل مسافة ؛ والحل الصحيح لا يوجد حل لهذه المعادلة.