رياضيات فصل أول

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 27

أَجِدُ قيمة كلٍّ من المقادير الجبرية الآتية عند القيمة المُعطاة: 

a) |x - 2| + 10, x = - 4

b) -2 |3x + 1|, x = -1

الحل : 

a) |x - 2| + 10  ,  x = - 4

    | - 4 - 2 | + 10 = | -6 | + 10  = 6 + 10 = 16

---

b) -2 |3x + 1| ,  x = -1

   -2 |3(-1) + 1 | = -2 | -3 + 1 | = -2 | -2 | = -2 (2) = - 4 

---

أتحقق من فهمي صفحة 29

أَحُلّ كُلًّ من المُعادلات الآتية ، وأُمثّل مجموعةَ الحلِّ على خطِّ الأعداد (إنْ أمكن) :

a) | x  -  7|  = 5 

بكتابة المُعادلتين المُرتبطتين	x - 7   = 5         or       x - 7   = - 5
بجمع 7 لكلّ طرف	x =  12             or        x = 2

 

 

مجموعةُ حلِّ المُعادلةِ هِيَ: { 12 , 2} 

---

 b) 4|2x + 7| = 16 

بقسمة الطرفين على 4	|2x + 7| = 4
بكتابة المُعادلتين المُرتبطتين	2x + 7  = 4         or       2x + 7   = - 4
بطرح 7 من كل طرف	2x  = -3              or       2x  = - 11
بقسمة كل طرف على 2	x = - 1.5            or          x = -5.5

   

 

 

مجموعةُ حلِّ المُعادلةِ هِيَ: { 1.5- ,  5.5-} 

---

c) |x + 4| = -10

المُعادلةُ 10 - =   |x + 4|   تعني أنَّ المسافةَ بينَ x  و  4- تُساوي 10 -

وبما أنّه لا يمكنُ أنْ تكونَ المسافة سالبة ؛ فإنَّ مجموعةَ حلِّ هذهِ المُعادلةِ ∅ ؛ أيْ أنّه لا يوجدُ حلٌّ للمعادلةِ.

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 30

أَحُلُّ كُلًّ من المُتبايناتِ الآتيةِ، وأُمثِّل مجموعة الحلِّ على خطِّ الأعداد (إن أمكن) :

a) |x - 2| ≤ 1 

المُتباينة المُركّبة المُرتبطة	$-1 \le x - 2 \le 1$
بجمع 2 إلى كل طرف	$1 \le x \le 3$

 

 

إذنْ، مجموعةُ حلِّ المُتباينةِ هيَ  $\{ x | 1 \le x \le 3\}$ ، ويمكنُ كتابتُها باستعمالِ رمزِ الفترةِ على الصورةِ: [3 ، 1] ، وَيمكنُ تَمثيلُها على خطِّ الأعدادِ على النَّحوِ الآتي:

---

 b) |x + 7| + 10 < 2

 |x + 7| + 10 - 10 < 2 - 10

 |x + 7|  < - 8 

بِما أنَّ | x + 7 | لا يمكنُ أنْ تكونَ سالبةً، فلا يمكنُ أنْ تكونَ | x + 7 | أقلَّ مِنْ 8 - ، وَمِنْهُ فإنَّ مجموعةَ حلِّ هذهِ المُتباينةِ ∅ ؛ أيْ أنّه لا يوجدُ حلٌّ للمتباينةِ المُعطاةِ.

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 32

أَحُلُّ كُلًّ من المُتبايناتِ الآتيةِ، وأُمثِّل مجموعة الحلِّ على خطِّ الأعداد (إن أمكن) : 

$\mathit{a}\mathbf{)} |x - 3| \ge 4$

المُتباينة المُرَكّبة المُرتبطة	$x - 3 \le -4 or x-3 \ge 4$
بجمع 3 إلى كُلِّ طرف	$x\le -1 or x\ge 7$

 

 

إذنْ مجموعةُ الحلِّ هي : $\{ x | x \le -1 or x \ge 7 \}$  ، ويمكنُ كتابتُها باستعمالِ اتحادِ فترتينِ منفصلتينِ على الصورةِ : $(-\infty , -1] \cup [ 7 , \infty )$

وتمثيلها البياني على النحو الآتي : 

---

$\mathit{b}\mathbf{)} |10 - x| > -5$

يَنُصُّ تعريفُ القيمةِ المُطلقةِ على أنَّ مقدارَها يجبُ أنْ يكونَ أكبرَ مِنْ أوْ يُساوي صِفرًا ، وَمِنْهُ فإنَّ $|10 - x|$ دائمًا أكبرُ مِنْ $-5$  لأيٍّ مِنْ قِيَمِ

المُتَغَيِّرِ x .

إذنْ ، مجموعةُ الحلِّ هِيَ مجموعةُ الأعدادِ الحقيقيَّةِ R، ويمكنُ كتابتُها باستعمالِ رمزِ الفترةِ على الصورةِ : $(-\infty , \infty )$

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 33

صناعةٌ: إذا عَلمت أنَّ طول القُطر المثاليَّ لأحد المكابس الأُسطوانيَّة في مُحَرِّكات السيّارات 90 mm ، وَيُسمَحُ أنْ يزيد طولُ هذا القُطر أوْ يقلَّ بمقدارٍ لا يتجاوزُ  $0.008 mm$  ، فأكتبُ مُتباينةَ قيمةٍ مُطلقةٍ أَجِدُ بِها المدى المسموح به لطول قُطر المكبس.

الحل :

بالكلماتِ : الفرقُ بينَ طولِ القطر الحقيقيِّ وطولِ القطر المثاليِّ لا يتجاوزُ  $0.008 mm$

أختار مُتغيرًا : ليكن x مُمثّلًا طول القطر.

أكتبُ المُتباينة : $|x - 90| \le 0.008$

أحل المتباينة  : $-0.008+90 \le x - 90+90 \le 0.008+90$

بالتبسيط  : $89.992 \le x \le 90.008$

إذن ، المدى المسموحُ به لطول المسمار هو $[89.992 , 90.008]$ بوحدة mm.

---

 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل    

أَجِدُ قيمة كلٍّ من المقادير الجبرية الآتية عند القيمة المُعطاة: 

$\mathbf{1}\mathbf{)} |5x+2|+1, x=-3$

$=\left|5\right(-3)+2|+1=|-15+2|+1=|-13|+1=\mathbf{14}$

$\mathbf{2}\mathbf{)} |14-x|-18, x=1$

$=|14-1|-18=\left|13\right|-18=13-18=\mathbf{-}\mathbf{5}$

$\mathbf{3}\mathbf{)}-3|3x+8|+5, x=-4$

$=-3\left|3\right(-4)+8|+5=-3|-12+8|+5$ $=-3|-4|+5=-3\times 4+5=-12+5=\mathbf{-}\mathbf{7}$

                                                   

أَحُلّ كُلًّ من المُعادلات الآتية ، وأُمثّل مجموعةَ الحلِّ على خطِّ الأعداد (إنْ أمكن) :

 

$\mathbf{4}\mathbf{)} |x + 3| = 7$

$x+3=7 or x+3=-7$

$x=4 or x=-10$

---

$\mathbf{5}\mathbf{)} |x - 8| = 14$

$x-8=14 or x-8=-14$

$x=22 or x=-6$

---

$\mathbf{6}\mathbf{)} |-3x| = 15$

$-3x=15 or -3x=-15$

$x=-5 or x=5$

---

$\mathbf{7}\mathbf{)} |3x + 2| + 2 = 5$

$|3x+2|=3$

$3x+2=3 or 3x+2=-3$

$x=\frac{1}{3} or x=-\frac{5}{3}$

---

$\mathbf{8}\mathbf{)} |2x - 4| - 8 = 10$

$|2x-4|=18$

$2x-4=18 or 2x-4=-18$

$x=11 or x=-7$

---

$\mathbf{9}\mathbf{)} -4|8 - 5x| = 16$

$|8-5x| =-4$             $-4$  بقسمة الطرفين على     

 
القيمة المطلقة تمثل مسافة وبِما أنَّهُ لا يمكنُ أنْ تكونَ المسافةُ سالبةً فإنَّ مجموعةَ حلِّ هذهِ المُعادلةِ ∅ ؛ أيْ أنّه لا يوجدُ حلٌّ للمعادلةِ.

---

 

أَحُلّ كُلًّ من المُتباينات الآتية ، وأُمثّل مجموعةَ الحلِّ على خطِّ الأعداد (إنْ أمكن) :

 

$\mathbf{10}\mathbf{)} |x + 8| \le 3$

$-3\le x+8\le 3$

$-11\le x\le -5$

---

$\mathbf{11}\mathbf{)} |2x - 5| < 9$

$- 9<2x-5<9$

$-4<2x<14$

$-2<x<7$

 

---

$\mathbf{12}\mathbf{)} |3x + 1| > 8$

$3x+1<-8 or 3x+1>8$

$3x<-9 or 3x>7$

$x<-3 or x>\frac{7}{3}$

---

$\mathbf{13}\mathbf{)} |3x - 1|+6 > 0$

$|3x-1|+6-6>0-6$

$|3x-1|>-6$

يَنصّ تعريف القيمة المُطلقة على أنّ مقدارها يجب أن يكون أكبر من أو يُساوي صفرًا ، ومنهُ فإنّ | 3x - 1 | دائمًا أكبر من 6 - لأيٍّ من قيم المتغير x

إذن : مجموعة الحل هي مجموعة الأعداد الحقيقية R، ويمكن كتابتها باستعمال رمز الفترة على الصورة : $(-\infty , \infty )$ 

 

---

$\mathbf{14}\mathbf{)} 2|3x + 8|-13 \le -5$

$2|3x+8|-13+13\le -5+13$

$2|3x+8|\le 8\to |3x+8|\le 4$

$-4\le 3x+8\le 4$

$-12\le 3x\le -4$

$-4\le x\le -\frac{4}{3}$

---

$\mathbf{15}\mathbf{)} -3|2 - 4x|+5 <-13$

$-3|2-4x|+5-5<-13-5$

$-3|2-4x|<-18$

$|2-4x|>6$

$2-4x<-6 or 2-4x>6$

$-4x<-8 or -4x>4$

$x>2 or x<-1$

---

$\mathbf{16}\mathbf{)} |6x + 2| <-4$

بما أنَّ $|6x + 2|$  لا يمكن أن تكون سالبة، فلا يمكن أن تكون $|6x + 2|$ أقل من 4 -، ومنه فإنَّ مجموعة حلِّ هذه المُتباينة ∅ ؛ أي أنّه لا يوجد حل للمتباينة المُعطاة.

---

$\mathbf{17}\mathbf{)} 3|5x -7| -6 < 24$

$3|5x-7|-6+6<24+6$

$3|5x-7|<30\to |5x-7|<10$

$-10<5x-7<10$

$-3<5x<17$

$-\frac{3}{5}<x<\frac{17}{5}\to -0.6<x<3.4$

---

$\mathbf{18}\mathbf{)} |5x + 3|-4 \ge 9$

$|5x+3|-4+4\ge 9+4$

$|5x+3|\ge 13$

 

---

 

أكتب مُعادلة قيمة مُطلقة تُعبر عن كُلِّ تمثيلٍ على خطِّ الأعداد ممّا يأتي :

$\left|x\right| = 5$

 

$|x - 3 | = 5$

 

---

أكتب مُتباينة تمثِّل كلَّ جملةٍ ممّا يأتي، ثمَّ أُمثلها على خطِّ الأعداد :

21) المسافة بين عددٍ والصِّفر أكبر من 7

الحل :

أفرض أنّ العدد x  ، البعد بين x و الصفر أكبر من 7  ، إذن المتباينة : $| x | > 7$

 

---

22) المسافة بين عددٍ و 3 أقلُّ من أو تُساوي 4

الحل :

أفرض أنّ العدد x  ، البعد بين x و 3 أقل من أو يساوي 4 ، إذن المتباينة : $| x - 3 | \le 4$  

---

23) صناعةٌ: إذا عَلِمتُ أنَّ مصنعًا يُنتِجُ علبَ بسكويتٍ كتلتُها المثاليَّةُ $454 g$ ، وكانَ مراقبُ الجودة يستثني العلب التي تزيد على الكتلة المثالية أو

تنقُص عنها بمقدار  $5 g$ ، فأكتبُ مُتباينة قيمة مُطلقة أَجد بها المدى المسموح به لِكُتل علب البسكويت.

الحل :

بالكلماتِ : الفرقُ بين الكتلة الحقيقية والكتلة المثالية لا يتجاوز  $5 g$

أختار مُتغيرًا : ليكن x مُمثّلًا للكتلة.

أكتبُ المُتباينة : $|x - 454| \le 5$

أحل المتباينة  :

$-5\le x- 454\le 5$ $-5+454\le x-454+454\le 5+454$ $449\le x\le 459$

 إذن ، المدى المسموحُ به لكتل علب البسكويت هو $[449 , 459]$ بوحدة g.

---

 24) كرةُ قَدَم : إذا كانت الكتلة المثالية المُوصى بها لكرة القدم  $430 g$ ، وكان مسموحًا أنْ تزيد على الكتلةِ المثالية أوْ تنقُص عنها بمقدار  $20 g$ ، فأكتب مُعادلة قيمة مُطلقة لإيجاد أكبر وأقلِّ كتلة مسموح بها لكرة القدم ، ثمّ أحلُّها.

الحل :  

بالكلماتِ : الفرق بين الكتلة الحقيقية والكتلة المثالية لا يتجاوز $20 g$

أختار مُتغيرًا : ليكن x مُمثّلًا للكتلة.

أكتبُ المُعادلة : $| x - 430 | = 20$

أحل المعادلة  : 

$| x-430|=20$ $x-430=20 or x-430=-20$ $x=450 or x=410$

إذن أكبر كتلة مسموح بها هي $450 g$ ، وأقل كتلة مسموح بها هي : $410 g$  

---

مهاراتُ التفكيرِ العُليا

تبريرٌ : أكتبُ مُتباينة قيمة مُطلقة تُعبِّر عن كُلِّ تمثيلٍ على خطِّ الأعداد ممّا يأتي ، مُبرّرًا إجابتي :

الحل :

أفرض أن العدد هو x

المتباينة :  $| x | \le 3$

التبرير : العدد صفر في منتصف المسافة ، إذن البعد عن الصفر  $\Leftarrow$ $| x |$ ، منطقة الحل محصورة العددين 3 ، 3- بما في ذلك العددين$\le \Leftarrow$     

المسافة بين الحد الأعلى إلى الصفر أو الحد الأدنى إلى الصفر تساوي 3 وحدات  ، إذن المتباينة هي : $| x | \le 3$

---

 

الحل :

أفرض أن العدد هو x

المتباينة : $| x-1 | > 2$

التبرير : العدد 1 في منتصف المسافة ، إذن البعد عن 1 $\Leftarrow$ $| x - 1 |$ ، منطقة الحل محصورة العددين 3 ، 1-  باستثناء العددين $< \Leftarrow$

المسافة بين الحد الأعلى إلى 1 ،  أو الحد الأدنى إلى 1 تساوي 2 وحدة  ، إذن المتباينة هي : $| x-1 | > 2$

---

 

 

27) تبريرٌ: يُبَيِّنُ الشكلُ المجاوِرُ مُثَلَّثًا ومُستطيلً الفرقُ بين مساحتيهما أقلُّ من 2 وحدةٍ مُرَبَّعَةٍ. أكتبُ مُتباينة قيمة مُطلقة تمثّلُ الجملة السابقة وأَحُلُّها، مُبَرِّرًا إجابتي.

 

 

 

 

 

الحل :

مساحة المستطيل : $2 \times 6 =\mathbf{ }\mathbf{12}\mathbf{ }$

مساحة المثلث : $\frac{1}{2}\times 4 \times (x+6) =\mathbf{ }\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{12}$

الفرق بين مساحتيهما أقل من 2 :  $| 12 - (2x + 12) | < 2$

أحل المتباينة  : 

$| 12 - (2x + 12) | < 2$ $| 12 - 2x -12 |<2$ $| 2x | < 2$ $-2 < 2x < 2$ $-1 < x < 1$

---

28) تَحَدٍّ: أَحُلُّ المُتباينةَ المُرَكَّبَةَ الآتيةَ :  $| x - 3 | < 4 and | x + 2 | > 8$

الحل :

$|x-3|<4 and |x+2|>8$ $-4<x-3<4 and x+2<-8 or x+2>8$ $-1<x<7 and x<-10 or x>6$

مجموعة الحل هي الفترة المشتركة بين المتباينتين : $(6 , 7)$

---

 

أسئلة كتاب التمارين    

أَصِلُ المُتباينةَ بتمثيلِها على خطِّ الأعدادِ في كلٍّ ممّا يأتي:

الحل :

---

أكتبُ مُتباينةً تمثِّلُ كلَّ جملةٍ ممّا يأتي، ثمَّ أُمَثِّلُها على خطِّ الأعدادِ : 

4)  المسافةُ بينَ عددٍ و 2 على الأكثرِ 13 

الحل :

أفرض أن العدد هو x

المتباينة : $| x - 2 | \le 13$

أحل المتباينة  :  

$| x-2|\le 13$ $-13\le x-2\le 13$ $-11\le x\le 15$

---

5) المسافةُ بينَ عددٍ والصِّفرِ على الأقلِّ 6

الحل :

أفرض أن العدد هو x

المتباينة : $| x | \ge 6$

أحل المتباينة  :  

$| x | \ge 6$

$x\le -6 or x\ge 6$

---

6) أُصَنِّفُ المُعادلاتِ أدناهُ دونَ حَلِّها إلى واحدةٍ مِنَ الفئاتِ الآتيةِ : لها حلان ، لها حل واحد ، ليس لها حل .

الحل :

عدد الحلول	المعادلة
ليس لها حل	x  - 2 | + 6 = 0 |
لها حلان	x  - 3 | - 1  = 0 |
لها حلان	x + 8 | + 2  = 7 |
لها حل واحد	x - 1 | + 4  = 4 |
ليس لها حل	x - 6 | - 5  = - 9 |
لها حل واحد	x + 5 | - 8  = - 8 |

 

---

أَحُلُّ كلًّ مِنَ المُعادلاتِ والمُتبايناتِ الآتيةِ :

$\mathbf{7}\mathbf{)} |x - 8| = 5$

$x-8=5 or x-8=-5$ $x=13 or x=3$

مجموعة الحل  : $\{ 3 , 13\}$ 

---

$\mathbf{8}\mathbf{)} 2|x+3|=8$

$2|x+3|=8\to |x+3|=4$ $x+3 = 4 or x+3 =-4$ $x=1 or x=-7$

مجموعة الحل  : $\{ -7 , 1\}$

---

$\mathbf{9}\mathbf{)} |5x - 8| + 14 = 12$

$|5x-8|+14-14=12-14\to |5x-8|=-2$

مجموعة الحل  : $\varnothing$

---

$\mathbf{10}\mathbf{)} |8- (x - 1)| \le 9$

$|8-(x-1\left)\right|\le 9$ $|8-x+1|\le 9$ $|9-x|\le 9$ $-9\le 9-x\le 9$ $-18\le -x\le 0$ $18 \ge x \ge 0\Rightarrow 0 \le x \le 18$

 

 

 

مجموعة الحل  : $[ 0 , 18 ]$

 

 

 

---

$\mathbf{11}\mathbf{)} | \frac{2 - 3x}{5} | \ge 2$

مجموعة الحل  : $(-\infty , -\frac{8}{3}] \cup [ 4 , \infty )$

 

 

 

---

$\mathbf{12}\mathbf{)} |x - 6| + 4 > 1$

$|x-6|+4>1\to |x-6|>-3$

مجموعة الحل  : $(-\infty , \infty \hspace{0.17em})$

---

 

13) أكتشفُ الخطأ : أكتشفُ الخطأَ في حلِّ مُعادلةِ القيمةِ المُطلقةِ الآتيةِ، وأُصحِّحُهُ : 

الحل :

القيمة المطلقة لا تساوي عدد سالب لأنها تمثل مسافة ؛ والحل الصحيح لا يوجد حل لهذه المعادلة.  

---