رياضيات10 فصل أول

اتحقق من فهمي صفحة 30

احل المعادلات الاسية الاتية: 

$a) 4^{x-5}={32}^{2x+1}$

${\left(2^2\right)}^{x-5}={\left(2^5\right)}^{2x+1}$

$\Rightarrow 2(x-5)=5(2x+1)$

$2x-10=10x+5$

$-5-10=10x-2x$

$-15=8x\Rightarrow x=\frac{-15}{8}$

 

$b) 9^x=3\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^x$

${\left(3^2\right)}^x=3\times {\left(3\right)}^{-x}$

$3^{2x}=3^{1-x}$

$\Rightarrow 2x=1-x$

$3x=1\Rightarrow x=\frac{1}{3}$

 

$c) {625}^{2x+1}=\frac{5}{\sqrt[]{5}}$

${\left(5^4\right)}^{2x+1}=5{\left(5\right)}^{\frac{-1}{2}}4(2x+1)=1+\frac{-1}{2}$

$8x+4=\frac{2-1}{2}\Rightarrow 2(8x+4)=1$

$16x+8=1\mapsto 16x=-7\mapsto x=\frac{-7}{16}$

 

---

اتحقق من فهمي صفحة 30

تعليم: يزداد عدد المشتركين في موقع تعليمي على الانترنت عاما بعد عام، وتستعمل المعادلة $y=2\left(3^{2x-6}\right)$ لحساب عدد المشتركين y بالالوف بعد مرور x عاما من اطلاق الموقع. ما الزمن اللازم ليصبح عدد المشتركين في الموقع 162 الف مشترك؟ 

$162=2\left(3^{2x-6}\right)$

$81=\left(3^{2x-6}\right)$

$\left(3^4\right)=\left(3^{2x-6}\right)$

$4=2x-6\to x=5$

---

اتحقق من فهمي صفحة 31 

احل نظام المعادلات المجاور:  $\frac{4^x}{{256}^y}=64$

$3^{2x}\times 9^y=243$

$4^x\times {256}^{-y}=64\Rightarrow 4^x\times ({{\left(4\right)}^4)}^{-y}=4^3$

$\Rightarrow 4^x\times 4^{-4y}=4^3\Rightarrow x-4y=3$

$3^{2x}\times {\left(3^2\right)}^y=3^5\Rightarrow 3^{2x}\times 3^{2y}=3^5$

$\Rightarrow 3^{2x+2x}=3^5\Rightarrow 2x+2y=5$

$\begin{array}{r}x-4y=3\\ 2x+2x=5\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{r}x-4y=3\\ 4x+4y=10\end{array}\}\Rightarrow 5x=13\Rightarrow x=\frac{13}{5}$

$\frac{13}{5}-4y=3\Rightarrow \frac{-2}{5}=4y\Rightarrow -2=20y\Rightarrow y=\frac{-1}{10}$

---

اتحقق من فهمي صفحة 32

$a) 3^x=-6^{x+2}+1$

$3^x=-{\left(3\times 2\right)}^{x+1}+1$

لا يمكن حل المعادلة بطريقة كتابة طرفي المعادلة بنفس الاساس
لذلك تحل بيانيا
نستخدم جيوحيبرا

 

 

b)$$\begin{gathered} 5=4^{x+1} \\ \mathrm{الاساس} \mathrm{بنفس} \mathrm{المعادلة} \mathrm{طرفي} \mathrm{كتابة} \mathrm{بطريقة} \mathrm{المعادلة} \mathrm{حل} \mathrm{يمكن} \mathrm{لا} \\ \mathrm{بيانيا} \mathrm{تحل} \mathrm{لذلك} \\ \mathrm{جيوحيبرا} \mathrm{نستخدم} \end{gathered}$$

 

---

اتدرب واحل المسائل صفحة 32

احل المعادلات الاسية الاتية: 

$1) 64={\left(32\right)}^{3-x}$

${\left(2\right)}^6={\left(2^5\right)}^{3-x}\Rightarrow 2^6=2^{15-5x}\Rightarrow 6=15-5x\Rightarrow x=\frac{9}{5}$

 

$2) {81}^{5x+1}={27}^{4x-3}$

${\left(3^4\right)}^{5x+1}={\left(3^3\right)}^{4x-3}\Rightarrow 3^{20x+4}=3^{12x-9}\Rightarrow 20x+4=12x-9$

$8x=-13\Rightarrow x=\frac{-13}{8}$

 

$3) {128}^{x-5}=\frac{2}{\sqrt[]{2}}$

${\left(2^7\right)}^{x-5}=2{\left(2\right)}^{\frac{-1}{2}}\Rightarrow 2^{7x-35}=2^{1+\frac{-1}{2}}$

$\Rightarrow 2^{7x-35}=2^{\frac{1}{2}}\Rightarrow 7x-35=\frac{1}{2}\Rightarrow 14x-70=1$

$\Rightarrow 14x=71\Rightarrow x=\frac{71}{14}$

 

$4) {64}^{7x+1}=\frac{2}{{16}^{4x-3}}$

${\left(2^6\right)}^{7x+1}=2\times {\left(2^4\right)}^{-4x+3}\Rightarrow 2^{42x+6}=2^{1+-16x+12}$

$\Rightarrow 42x+6=13-16x\Rightarrow 58x=7\Rightarrow x=\frac{7}{58}$

 

$5) {\left(\frac{11}{\sqrt[]{11}}\right)}^{3x+1}={\left(11\right)}^{x+7}$

${(11\times {11}^{\frac{-1}{2}})}^{3x+1}={\left(11\right)}^{x+7}\Rightarrow {\left({11}^{\frac{1}{2}}\right)}^{3x+1}={\left(11\right)}^{x+7}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}(3x+1)=x+7\Rightarrow 3x+1=2x+14\Rightarrow x=13$

 

$6) {\left(\sqrt[]{7}\right)}^{4x+5}={\left(\frac{\sqrt[]{28}}{2}\right)}^{7x-2}$

${(7^{\frac{1}{2}})}^{4x+5}={\left(\frac{2\sqrt[]{7}}{2}\right)}^{7x-2}\Rightarrow {\left(7\right)}^{\frac{1}{2}(4x+5)}={\left(7\right)}^{\frac{1}{2}(7x-2)}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}(4x+5)=\frac{1}{2}(7x-2)\Rightarrow 4x+5=7x-2\Rightarrow 7=3x\Rightarrow x=\frac{7}{3}$

 

$7) 9^{x^2}\times {27}^{x^2}=243$

${\left(3\right)}^{2x^2}\times {\left(3\right)}^{3x^2}={\left(3\right)}^5\Rightarrow 3^{2x^2+3x^2}=3^5\Rightarrow 5x^2=5\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

 

$8) 5^{2x}\times {25}^x=125$

$5^{2x}\times {\left(5\right)}^{2x}=5^3\Rightarrow 5^{2x+2x}=5^3\Rightarrow 4x=3\Rightarrow x=\frac{3}{4}$

 

$9) 2^{x^2}\times 2^{6x}=\frac{1}{32}$

$2^{x^2+6x}=2^{-5}\Rightarrow x^2+6x=-5\Rightarrow x^2+6x+5=0$

$(x+1)(x+5)=0\Rightarrow x=-1, x=-5$

احل انظمة المعادلات الاتية: 

$10) 5^y={25}^{x-3}$

${125}^y={25}^{x-1}$

$\Rightarrow 5^y=5^{2(x-3)}\Rightarrow y=2x-6$

$5^{3y}=5^{2(x-1)}\Rightarrow 3y=2x-2$

$\Rightarrow -2y=-4\Rightarrow y=2\Rightarrow x=4$

 

$11) 3^y=3^{2x+y}$

      ${27}^y={27}^{x+3}$

$\Rightarrow y=2x+y\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0$

$3^{3y}=3^{3(x+3)}\Rightarrow 3y=3(x+3)\Rightarrow 3y=3(0+3)=9\Rightarrow y=3$

 

$12) 5^{2x}\times {25}^y=125$

$\frac{8^x}{2^y}=16$

$5^{2x}\times 5^{2y}=5^3$

$2^{3x-y}=2^4$

$\begin{array}{r}2x+2y=3\\ 3x-y=4\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{r}2x+2y=3\\ 6x-2y=8\end{array}\}\Rightarrow 8x=11\Rightarrow x=\frac{11}{8}\Rightarrow y=\frac{1}{8}$

 

$13) 9^{2-x}={81}^{6y}$

${\left(\frac{1}{216}\right)}^{-2x-3}={36}^{3y}$

$3^{2(2-x)}=3^{4\left(6y\right)}$

$6^{-3(-2x-3)}=6^{2\left(3y\right)}$

$\begin{array}{r}2(2-x)=24y\\ 6x+9=6y\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{r}2-x=12y\\ 2x+3=2y\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{r}-2x+4=24y\\ 2x+3=2y\end{array}\}\Rightarrow 7=26y$

$y=\frac{7}{26}\Rightarrow x=2-12\left(\frac{7}{26}\right)=2-\frac{42}{13}=\frac{26-42}{13}=\frac{-16}{13}$

 

$14) \frac{{16}^{-x}}{{64}^{-3x}}={16}^{-3y-3}$

                  $8^{x^2}={\left(\frac{1}{2^{y+1}}\right)}^2$

$\frac{{\left(2^4\right)}^{-x}}{{\left(2^6\right)}^{-3x}}={\left(2^4\right)}^{-3y-3}\to \frac{2^{-4x}}{2^{-18x}}=2^{-12y-12}\to 2^{-4x--18x}=2^{-12y-12}$

$2^{14x}=2^{-12y-12}$

${\left(2^3\right)}^{x^2}={\left(2^{-y-1}\right)}^2\to 2^{3x^2}=2^{-2y-2}$

$14x=-12y-12$

$3x^2=-2y-2$

$y \mathrm{سنحذف}$

$14x=-12y-12$

$\times 6 (3x^2=-2y-2)$

$\to$

$14x=-12y-12$

$18x^2=-12y-12$

$\mathrm{المعادلتين} \mathrm{بطرح}$

$14x-18x^2=0$

$2x(7-9x)=0\Rightarrow x=0,x=\frac{7}{9}$

$14x=-12y-12$

$x=0\Rightarrow 0=-12y-12\to 12=-12y\to y=-1$

$(0,-1) \mathrm{الاول} \mathrm{الحل}$

$x=\frac{7}{9}\to 14\times \frac{7}{9}=-12y-12$

$14\times \frac{7}{9}+12=-12y\to \frac{98}{9}+\frac{108}{9}=-12y$

$\frac{206}{9}=-12y\to \frac{206}{9}÷-12=y\to \frac{206}{9}\times \frac{-1}{12}=y\to y=\frac{-206}{108}=\frac{-103}{54}$

$(\frac{7}{9},\frac{-103}{54}) \mathrm{الثاني} \mathrm{الحل}$

 

$15) \frac{1}{27}\times 9^{2-n}=3^{m^2-2}$

     $2^{m^2}\times 2^n=64$

$\frac{1}{3^3}\times {\left(3^2\right)}^{2-n}=3^{m^2-2} \to 3^{-3}\times 3^{4-2n}=3^{m^2-2}\to 3^{1-2n}=3^{m^2-2}$

$2^{m^2}\times 2^n=2^6\to 2^{m^2+n}=2^6$

$m^2=3-2n$

$-(m^2=6-n)$

$\Rightarrow 0=-3-n$

$\Rightarrow n=-3$

$m^2=3-2\times -3=9$

$\Rightarrow m=\pm 3$

$(n,m)=(3,3),(3,-3): \mathrm{الحل}$

 

احل كلا من المعادلات الاسية الاتية بيانيا: 

$16) 4^{x+3}=6$

$x\approx -1.71$

$17) 2^x=1.8$

$x\approx 0.85$

$18) 4=8^x$

$x\approx 0.\overline{6}$

$19) {\left(\frac{3}{4}\right)}^{x+2}=10$

$x\approx -10$

$20) 2^{-x-3}=3^{x+1}$

$x\approx -1.77$

$21) 5^x=-4^{x+4}$

$x\approx -541.5$

22) تصوير: تستعمل المعادلة $y=2^{x+2}$ لحساب مقاس ورقة y  بعد تكبيرها بنسبة $100\%$ عدد x من المرات، مقارنة بمقاسها الاصلي، باستعمال الة ناسخة. كم مرة يجب تكبير صورة ليصبح مقاسها 32 ضعف مقاسها الاصلي؟ 

$2^{32}=2^{x+2}\Rightarrow x+2=32\Rightarrow x=30$

23) بكتيريا: يمثل المقدار $3^{t-2}$ عدد الخلايا البكتيرية في تجربة مخبرية بعد مرور t من الساعات. ما الزمن اللازم ليصبح عدد الخلايا البكتيرية 2187 خلية؟ 

$2187=3^{t-2}\to 3^7=3^{t-2}\to 7=t-2\to t=9$

24) هندسة: اكتب في ابسط صورة عبارة اسية تمثل حجم الشكل المجاور 

$v=v_1+v_2+v_3$

   

$v_1=\mathrm{الطول} \times \mathrm{العرض} \times \mathrm{الارتفاع}=5^{1+5x}\times 2^x\times 4^{2x+1}$

 

 

 

            $v_2=5^{1+5x}\times 2^x\times 4^{2x+1}$

$v_1=5^{1+5x}\times 2^x\times 4^{2x+1}$

 $v=5^{1+5x}\times 2^x\times 4^{2x+1}+5^{1+5x\times }\times 2^x\times 4^{2x+1}+5^{1+5x}\times 2^x\times 4^{2x+1}$ 

 

 

 

 

 

مهارات التفكير العليا 

25) تبرير: هل يمكن حل المعادلة الاسية الاتية: $2+2^x=1$؟ ابرر اجابتي 

الحل: 

$2^x=1-2$

$2^x=-1$

لا يمكن حل المعادلة لان مدى الاقتران الاسي $2^x$ هو مجموعة الاعداد الحقيقية الموجبة بالتالي لا يمكن ان  يكون  $2^x=-1$

26) تبرير: احل المعادلة: $x^{\frac{1}{2}}+3x^{-\frac{1}{2}}=4$، مبررا خطوات الحل 

27) تحد: احل نظام المعادلات الاسية الاتي: 

$2^x+3^y=10$

$2^{x+1}+3^{y+1}=29$

$2^x+3^y=1+9$

$2^{x+1}+3^{y+1}=2+27$

$2^x+3^y=2^0+3^2$

$2^{x+1}+3^{y+1}=2^1+3^3$

$x=0, y=2$

---

كتاب التمارين صفحة 15

احل كلا من المعادلات الاتية: 

$1) 64={\left(16\right)}^{5x+7}$

${\left(2\right)}^6={\left(2\right)}^{4(5x+7)}\Rightarrow 6=20x+28\Rightarrow -22=20x\Rightarrow x=\frac{-11}{10}$

 

$2) 49={\left(343\right)}^{7x+1}$

${\left(7\right)}^2={\left(7\right)}^{3(7x+1)}\Rightarrow 2=21x+3\Rightarrow -1=21x\Rightarrow x=\frac{-1}{21}$

 

$3) {16}^{2x+3}=4^{x+1}$

${\left(4\right)}^{2(2x+3)}=4^{x+1}\Rightarrow 4x+6=x+1\Rightarrow 3x=-5\Rightarrow x=\frac{-5}{3}$

 

$4) {36}^{3x-1}=6^{x-2}$

${\left(6\right)}^{2(3x-1)}=6^{x-2}\Rightarrow 6x-2=x-2\Rightarrow 5x=0\Rightarrow x=0$

 

$5) {125}^x=5\times {\left(\frac{1}{25}\right)}^x$

${\left(5\right)}^{3x}=5\times {\left(5\right)}^{-2x}\Rightarrow 3x=1-2x\Rightarrow 5x=1\Rightarrow x=\frac{1}{5}$

 

$6) {81}^x=3\times {\left(\frac{1}{9}\right)}^x$

${\left(3\right)}^{4x}=3\times {\left(3\right)}^{-2x}\Rightarrow 4x=1-2x\Rightarrow 6x=1\Rightarrow x=\frac{1}{6}$

 

$7) {128}^{5x-4}=\frac{2}{\sqrt[]{2}}$

${\left(2\right)}^{7(5x-4)}=2\times {\left(2\right)}^{\frac{-1}{2}}\Rightarrow 35x-28=1-\frac{1}{2}\Rightarrow 35x-28=\frac{1}{2}$

$70x-56=1\Rightarrow 70x=57\Rightarrow x=\frac{57}{70}$

 

$8) 2^x=\frac{{16}^{2x}}{{32}^{x+1}}$

$2^x={\left(2\right)}^{4\left(2x\right)}\times {\left(2\right)}^{-5(x+1)}\Rightarrow x=8x-5x-5\Rightarrow x-3x=-5\Rightarrow x=\frac{5}{2}$

 

$9) \frac{3^{x+2}}{9^{1-x}}=\frac{{27}^{2-x}}{3^{1-x}}$

${\left(3\right)}^{x+2}\times {\left(3\right)}^{-2(1-x)}={\left(3\right)}^{3(2-x)}\times {\left(3\right)}^{-(1-x)}$

$x+2-2+2x=6-3x-1+x\Rightarrow 3x=5-2x\Rightarrow 5x=5\Rightarrow x=1$

 

$10) \frac{{25}^{\frac{x}{2}}}{{125}^{-x}}=\frac{5^{3x+1}}{{25}^x}$

${\left(5\right)}^{2\left(\frac{x}{2}\right)}\times {\left(5\right)}^{3(-x)}=5^{3x+1}\times 5^{-2x}\Rightarrow x-3x=3x+1-2x$

$-2x=x+1\Rightarrow -3x=1\Rightarrow x=\frac{1}{3}$

 

$11) \frac{8^{x-\frac{1}{3}}}{{64}^{\frac{2x}{3}}}=\frac{4^{\frac{x}{2}}}{{32}^{-x}}$

$2^{3(x-\frac{1}{3})}\times 2^{-6\left(\frac{2x}{3}\right)}=2^{2\left(\frac{x}{2}\right)}\times 2^{-5(-x)}\Rightarrow 3x-1-4x=x+5x$

$\Rightarrow -x-1=6x\Rightarrow -7x=1\Rightarrow x=\frac{-1}{7}$

 

$12) \frac{{100}^{2-\frac{x}{2}}}{{1000}^{\frac{x}{3}}}=\frac{{1000}^{\frac{x}{3}-1}}{{100}^{\frac{5x}{2}}}$

${10}^{2(2-\frac{x}{2})}\times {10}^{-3\left(\frac{x}{3}\right)}={10}^{3(\frac{x}{3}-1)}\times {10}^{-2\left(\frac{5x}{2}\right)}$

$4-x-x=x-3-5x\Rightarrow 4-2x=-3-4x\Rightarrow 2x=-7\Rightarrow x=\frac{-7}{2}$

13) كهرباء: تقاس شدة التيار الكهربائي بوحدة الامبير A. اذا كانت العاقة بين شدة التيار I و الزمن بالثواني t  هي: $I=2^{-t}$، فبعد كم ثانية تصبح شدة التيار  $0.125 A$ ؟ 

$I=2^{-t}$

$\frac{125}{1000}=2^{-t}$

${\left(\frac{5}{10}\right)}^3=2^{-t}$

${\left(\frac{1}{2}\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^t\Rightarrow t=3$

 

احل المعادلات الاتية:

$14) {125}^x\times {25}^{-y}=625$

      $4^x\times 2^y=8$

$5^{3x}\times 5^{-2y}=5^4$

$2^{2x}\times 2^y=2^3$

$\begin{array}{r}3x-2y=4\\ 2x+y=3\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{r}3x-2y=4\\ 4x+2y=6\end{array}\}\Rightarrow 7x=10\Rightarrow x=\frac{10}{7}\Rightarrow y=3-2\left(\frac{10}{7}\right)=\frac{1}{7}$

 

$15) {16}^x\times 2^{3y}=2048$

      ${49}^x\times 7^y=16807$

$2^{4x}\times 2^{3y}=2^{11}$

$7^{2x}\times 7^y=7^5$

$\begin{array}{r}4x+3y=11\\ 2x+y=5\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{r}4x+3y=11\\ -4x-2y=-10\end{array}\}\Rightarrow y=1\Rightarrow 4x=11-3\Rightarrow x=2$

 

$16) {25}^x\times 5^y=125$

$4^{2x}\times 2^{2y}=64$

$5^{2x}\times 5^y=5^3$

$2^{4x}\times 2^{2y}=2^6$

$\begin{array}{r}2x+y=3\\ 4x+2y=6\end{array}\}\Rightarrow 0=0\Rightarrow \mathrm{الحلول} \mathrm{من} \mathrm{نهائي} \mathrm{لا} \mathrm{عدد} \mathrm{يوجد}$

 

$17) {27}^x\times 9^{2y}=81$

$2^{5x}\times {32}^y=128$

$3^{3x}\times 3^{4y}=3^4$

$2^{5x}\times 2^{5y}=2^7$

$\begin{array}{r}3x+4y=4\\ 5x+5y=7\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{r}-15x-20y=-20\\ 15x+15y=21\end{array}\}\Rightarrow -5y=1\Rightarrow y=\frac{1}{-5}\Rightarrow 3x=4-4\left(\frac{-1}{5}\right)$

$3x=\frac{24}{5}\Rightarrow x=\frac{8}{5}$

احل كلا من المعادلات الاسية الاتية بيانيا: 

$18) {\left(\frac{1}{2}\right)}^{7x+1}=-9$

اذا لايوجد حل 

$19) {\left(\frac{1}{3}\right)}^{x+3}=10$

$x\approx -5.25$

$20) 2^{x+6}=2x+15$

اذا لايوجد حل

$21) 3x-2=5^{x-1}$

$x\approx 2.1$