رياضيات فصل أول

حل معادلات ومتباينات القيمة المطلقة

معادلات القيمة المطلقة

المعادلة التي تحتوي على قيمة مطلقة لمقدار جبري تسمى معادلة القيمة المطلقة.

ملاحظة: إذا كان $\left|x\right|=c$ حيث $c>0$ فإنه يوجد قيمتان محتملتان ($x=c , x=-c$) ويمكن تعميم هذه القاعدة لحل أي معادلة تحوي على قيمة مطلقة في أحد طرفيها.

 

ملاحظة: إذا كانت المعادلة تحوي قيمة مطلقة على طرفي المساواة مثل $\left|A\right|=\left|B\right|$ فإنه يوجد أربع حلول ممكنة لهذه المعادلة.

$1) A=B 2) A=-B 3) -A=B 4) -A=-B$

بالنظر للحول الأربعة نجد أن الحل الأول والرابع متساويان والحل الثاني والثالث متساويان لذا نكتفي بالحلين الأول والثاني.

 

متباينات القيمة المطلقة

المتباينة هي جملة رياضية تحوي أحد رموز التباين $>وأ < وأ \ge وأ \le$ والمتباينة التي تحوي على قيمة مطلقة لمقدار جبري تسمى متباينة القيمة المطلقة.

إذا كان X يمثل مقدارا جبريا وكان k عددا حقيقيا موجبا؛ فإن: $\left|x\right|<k\iff -k<x<k$ والقاعدة صحيحة أيضا إذا كانت إشارة المتباينة $\le$

 

إذا كان X يمثل مقدارا جبريا وكان k عددا حقيقيا موجبا؛ فإن: $\left|x\right|<k\iff x<-k or x>k$ والقاعدة صحيحة أيضا إذا كانت إشارة المتباينة $\ge$

 

ملاحظة: في حال حوت المتباينة قيمة مطلقة في كلي طرفيها فإننا نتبع الخطوات الآتية في الحل.

1) نساوي المقدارين داخل المطلق ببعضهما ونحل المعادلة الناتجة.

2) نساوي أحد المقدارين داخل المطلق بمعكوس الأخر ونحل المعادلة الناتجة.

3) نختار عدد بين الحلين ونعوضه  في المتباينة إذا كانت الجملة صحيحة فإن الفترة التي تحوي العدد تعتبر مجموعة حل المتباينة وإلا كانت مجموعة الأعداد الواقعة خارج الحلين.