رياضيات أدبي

الأول ثانوي أدبي

icon

حل نظام متباينات خطية بيانيًا 

فكرة الدرس : حل نظام مُكوّن من متباينات خطية بيانيًا 

يتكون نظام المتباينات الخطية من متباينتين خطيّتين أو أكثر ،  ويُطلق على مجموعة الأزواج المرتبة التي تُحقق جميع المتباينات اسم مجموعة الحل  . 

مثلًا : يتكون النظام الآتي من ثلاث متباينات  : 

2x + y > 3     ...... (1)3y - x < 0     ...... (2)4x + 3y  6   ...... (3)

يُمثل الزوج المُرتب (3 , -1) أحد حلول هذا النظام ؛ لأنه يحقق المتباينات جميعها .

الزوج المرتب يحقق المتباينة الأولى (1) 2 (3) + (-1) = 5 >  3    
الزوج المرتب يحقق المتباينة الثانية (2) 3 (-1)- 3 =-6 >  0    
الزوج المرتب يحقق المتباينة الثالثة (3) 4(3) +3(-1) = 9 >  6    

 

 

 

 

 

•• علمًا أنه يوجد عدد لا نهائي من الأزواج المرتبة التي تحقق هذا النظام وليس (3 , -1) فقط.

 

لحل نظام متباينات ، أمثل كل متباينة فيه بيانيًا على المستوى الإحداثي نفسه ثم أظلل المنطقة المشتركة بين مناطق حل المتباينات جميعها التي تمثل حل النظام .  

مثال : 

أمثل منطقة حل نظام المتباينات الآتي ، ثم أتحقق من صحة الحل . 

x + 2y  1 x - y > 3                                                                                                                                                                       

الحل  : 

الخطوة 1 : أمثل المستقيمين الحدوديين  : 

                                    x + 2y = 1 x - y = 3

 

الخطوة 2 :تحديد منطقة التقاطع بين حليّ المتباينتين : 

ألاحظ أنّ حل المتباينة x + 2y  1  هو المنطقتان A  ، C  وأنّ حل المتباينة  x - y > 3هو المنطقتان B  ، C ، إذن المنطقة  C  المشتركة بين منطقتي حل  المتباينتين هي منطقة حل نظام المتباينات .

الخطوة 3 : أتحقق من صحة الحل :

أتحقق من صحة الحل باختيار زوج مرتب يقع في منطقة حل النظام C مثل (1 ، 5) ثم أعوضه في متباينات النظام جميعها : 

المتباينة الأولى  x + 2y  1 5 + 2(1) = 7   ,   7  1    
   
المتباينة الثانية   x - y > 35 - 1 = 4   ,   4 > 3     

 

 

 

 

 

 


••  لا يكون لنظام المتباينات حل أحيانًا ؛ لعدم وجود منطقة مشتركة  بين مناطق حل المتباينات المُكونة له ، عندئذ تكون مجموعة الحل هي المجموعة الخالية .

مثال : 

أمثل منطقة حل نظام المتباينات الآتي:

x+y  4x+y < 1 

الحل  : 

أمثل بيانيًا المستقيمين الحدوديين : 

x+y = 4x+y = 1

على المستوى الإحداثي نفسه ، وأستخدم لونين مختلفين لتظليل منطقتي الحل ، كما في الشكل المجاور 

ألاحظ أنّ حل المتباينة   4  x + y  هو المنطقة A ، وأنّ حل المتباينة  x + y < 1 هو المنطقة B ، وأنه لا يوجد تقاطع بين منطقتي حل المتباينتين . إذن حل النظام هو المجموعة الخالية .

 

  


•• قد يحوي النظام أكثر من متباينتين ،عندئذ تكون منطقة الحِّل هي المنطقة المشتركة بين مناطق حِّل المتباينات جميعها.

مثال : 

أمثل منطقة حل نظام المتباينات الآتي: 

x + y  1x - y > 2y < 4

الحل  : 

الخطوة 1 : أُمثِّل بيانيًّا المستقيمات الحدودية :

x + y = 1x - y = 2y = 4

على المستوى الإحداثي نفسه كما في الشكل المجاور. 

الخطوة 2 : تحديد منطقة الحل.


أُظلِّل منطقة حل المتباينة : x + y 1  ، وهي المناطق: .A, B, C   


أُظلِّل منطقة حل المتباينة : x - y > 2  ، وهي المناطق: .E, D, C


أُظلِّل منطقة حل المتباينة: y < 4  ، وهي المناطق:  .F, D, E, C   


أُلاحظ أنَّ المنطقة C هي المنطقة المشتركة بين مناطق حل المتباينات الثلاث. إذن ، هي منطقة حل النظام.

 

مثال : 

مع عبير  40 ديناراً ، أرادت أن تشتري بها صنفين من الشوكولاتة ، إذا كان سعر العلبة من الصنف الأول 9 دنانير ، وسعر العلبة من الصنف الثاني 4 دنانير  ، 

فما عدد علب الشوكولاتة من كِلا الصنفين التي ممكن أن تشتريها عبير إذا أرادت شراء 4 علب على الأقل . 

الحل  :  

أكوّن المتباينات من معطيات السؤال : 

أفرض عدد علب الشوكولاتة التي ستشتريها عبير من الصنف الأول x  ،  وعدد علب الشوكولاتة من الصنف الثاني y 

متباينة عدد العلب  : x + y  4 

متباينة الثمن :      9x + 4y  40

أمثل المتباينات في المستوى الإحداثي نفسه : 

أظلل منطقة حل المتباينة x + y  4  ، وهي المناطق A , B 

أظلل منطقة حل المتباينة 9x + 4y  40 وهي المناطق A , C

المنطقة المشتركة هي A   

إذن حل النظام هي المنطقة A ، ويؤخذ منها فقط الأعداد الصحيحة الموجبة ، لأن أعداد علب الشوكولاتة لا تكون إلا أعداد صحيحة موجبة .