رياضيات أدبي فصل أول

الأول ثانوي أدبي

icon

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 17

أمثل منطقة حل نظام المتباينات الآتي : 

5x + 2y < 32.5x- y  2

الحل : 

الخطوة 1 : أمثل المستقيمين الحدوديين  : 

5x + 2y = 32.5x- y = 2

الخطوة 2 :تحديد منطقة التقاطع بين حليّ المتباينتين : 

ألاحظ أنّ حل المتباينة 5x + 2y < 3 هو المنطقتان A  ، B  وأنّ حل المتباينة  2.5x- y  2هو المنطقتان C  ، B ، إذن المنطقة  B  المشتركة بين منطقتي حل  المتباينتين هي منطقة حل نظام المتباينات .


 

أتحقق من فهمي صفحة 18

-3x+4y  9x - 5y > 62x - 5y < -3

الحل : 

الخطوة 1 : أُمثِّل بيانيًّا المستقيمات الحدودية على المستوى الإحداثي نفسه:

-3x+4y = 9x - 5y = 62x - 5y = -3

الخطوة 2 : تحديد منطقة الحل.

أُظلِّل منطقة حل المتباينة : -3x+4y  9 ، وهي المناطق : E, A .B, F    

أُظلِّل منطقة حل المتباينة :   x - 5y > 6  ، وهي المناطق : A, B .C     

أُظلِّل منطقة حل المتباينة :  2x - 5y < -3   ، وهي المناطق : A, D, E   

أُلاحظ أنَّ المنطقة A هي المنطقة المشتركة بين مناطق حل المتباينات الثلاث. إذن ، هي منطقة حل النظام.


 

أتحقق من فهمي صفحة 20

محميات: يوجد في محمية للحيوانات مجموعة من الغزلان والأيائل، وقد أفاد الموظف الذي يُشرف على إطعامها والاعتناء بها أن:

•  في المحمية 6 حيوانات على الأقل.

• عدد الحيوانات في المحمية لا يزيد على 12 ًحيوانا.

• عدد الغزلان في المحمية أقل من عدد الأيائل.

في المحمية اثنين من الغزلان على الأقل.

 الحل : 

الخطوة 1 : أكوّن المتباينات من معطيات السؤال :

أفرض أن عدد الغزلان x  ، وعدد الأيائل y 

x + y  6 x + y  12x < y x  2

الخطوة 2 : أُمثِّل بيانيًّا المستقيمات الحدودية :

x + y = 6 x + y = 12x = y x = 2

الخطوة 3 : تحديد منطقة الحل.

أُظلِّل منطقة حل المتباينة : x + y  6   ، وهي المناطق :  G , , D , H , B , C 

أُظلِّل منطقة حل المتباينة :    x + y  12، وهي المناطق : G , , D , E , F , I , J  

أُظلِّل منطقة حل المتباينة :   x < y   ، وهي المناطق :  F, I , J ,A , B ,  H  

أُظلِّل منطقة حل المتباينة :    x  2   ، وهي المناطق :   B , A , I , E , D , C

ينحصر حل النظام في الربع الأول من المستوى الإحدائي ، ويؤخذ من منطقة الحل المشتركة (A) الأعداد الصحيحة فقط ؛ لأنها أعداد حيوانات.

 


 

 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

أمثل منطقة حل كل من المتباينات الآتية  :

1)  x + 3y > 1     5x - y  2 2) -3x - 12y > -9     x + 4 y  5 3)  x - 11y < 6    -2x + 22y > -12
     
4)  3x + 5y  1      3x + 5y  3  5)  2x - 7y > 2      2x - 7y  2  6)  13x -  y < 11       x + 5   0 
     
7)  9x - y < 2      x - y > -3  8)  5x - 5y < 2      2x - 2y > 1     x  y  9)  x  y     x - 5y < 6    10x-y>3

 

الحل : 

1)  x + 3y > 1     5x - y  2

 

منطقة حل النظام  : هي المنطقة المشتركة (A)   


 

2) -3x - 12y > -9     x + 4 y  5

لا يوجد مناطق حل مشتركة ؛ لذا مجموعة حل النظام هي 


 

3)  x - 11y < 6    -2x + 22y > -12

للمتباينتين منطقة الحل نفسها . 


 

4)  3x + 5y  1      3x + 5y  3 

منطقة حل النظام : المنطقة المشتركة A

 


 

5)  2x - 7y > 2      2x - 7y  2 

لا يوجد حلول مشتركة ؛ لذا حل النظام هو المجموعة الخالية 


 

6)  13x -  y < 11       x + 5   0 

منطقة حل المتباينة  13x -  y < 11  هي المناطق C , B 

منطقة حل المتباينة  x + 5   0    هي المناطق A , B  ، إذن حل النظام هي المنطقة المشتركة B 


 

7)  9x - y < 2      x - y > -3 

منطقة حل المتباينة  9x - y < 2  هي المناطق A , C 

منطقة حل المتباينة  x - y > -3    هي المناطق B , C  ، إذن حل النظام هي المنطقة المشتركة C 


 

8)  5x - 5y < 2      2x - 2y > 1     x  y 

لا يوجد حلول مشتركة ؛ لذا حل النظام هو المجموعة الخالية 

 


9)  x  y     x - 5y < 6    10x-y>3

منطقة حل المتباينة x  y   هي المناطق A , B , E 

منطقة حل المتباينة x - 5y < 6   هي المناطق A , F , C , B 

منطقة حل المتباينة  10x-y>3  هي المناطق B , C , D   ، إذن حل النظام هي المنطقة المشتركة B


 

10) سياحة : تبلغ تكلفة تذكرة ركوب قارب سياحي دينارين للبالغين، ودينارًا واحدًا للأطفال، ويتَّسع القارب لـ 10 أشخاص على الأكثر . إذا كانت x تُمثِّل عدد البالغين ، وَ y تُمثِّل عدد الأطفال ، فكم شخصًا من البالغين والأطفال قد يوجد على متن القارب، علمًا بأنَّ رَيْع بيع التذاكر أقل من 12 دينارًا ؟

الحل : 

أكون المتباينات من معطيات السؤال : 

x + y  102x + y <12

ثم أُمثِّل بيانيًّا المتباينتين على نفس المستوى الإحداثي وأحدد منطقة الحل المشتركة   :

منطقة حل المتباينة x + y  10  هي المناطق A , B  

منطقة حل المتباينة 2x + y <12  هي المناطق A , C 

يقع حل النظام في الربع الأول من المستوى الإحداثي لأن أعداد الأشخاص لا يكون سالبًا ، ويؤخذ من المنطقة المشتركة A الأعداد الصحيحة فقط .


11) نقل جوي: سعر تذكرة الدرجة السياحية للسفر بالطائرة بين مدينتي عمّان والعقبة 25 دينارًا ، وسعر تذكرة الدرجة الخاصة 50 دينارًا. إذا كان رَيْع بيع التذاكر 1600 دينار على الأقل، وبيعت 50 تذكرة على الأكثر، فأجد عدد التذاكر المُمكِن لكل درجة.

الحل : 

أكون المتباينات من معطيات السؤال :

أفرض أنّ عدد التذاكر  للدرجة السياحية x ، وعدد التذاكر للدرجة الخاصة y

25 x + 50 y  1600 x + y  50

ثم أُمثِّل بيانيًّا المتباينتين على نفس المستوى الإحداثي وأحدد منطقة الحل المشتركة   :

يقع حل النظام في الربع الأول من المستوى الإحداثي لأن أعداد التذاكر لا يكون سالبًا ، ويؤخذ من المنطقة المشتركة A الأعداد الصحيحة فقط .


 

11) أُظلِّل منطقة حَلِّ النظام الآتي من المتباينات في الشكل المجاور، ثم أكتب جميع حلول النظام المُمكِنة، علمًا بأنَّ y و x ، عددان صحيحان موجبان.

x + y ≥ 5

4x + 2y ≤ 16

الحل : 

يقع حل النظام في الربع الأول من المستوى الإحداثي ( المنطقة B) ويؤخذ من المنطقة B الأعداد الصحيحة الموجبة فقط .   

جميع حلول النظام المُمكِنة :  (1,4) , (1 ,5) , (1 , 6) , (2 , 3) , (2 , 4) , (3 , 2)


 

13) جامعات: أرادت سامية الالتحاق بجامعة تشترط عقد امتحاني قبول لذلك؛ أحدهما في مبحث الرياضيات، والآخر في مبحث اللغة الإنجليزية، وإحراز ما بين 900 نقطة و 1200 نقطة في الامتحانين معًا؛ بشرط ألّا يقل المجموع في امتحان الرياضيات عن 600 نقطة، وألّا يقل المجموع في امتحان اللغة الإنجليزية عن 200 نقطة. أجد عدد النقاط من مضاعفات المئة، التي يتعيَّن المجموع على سامية إحرازها في كل امتحان لتُقبَل في الجامعة.

الحل : 

أفرض أنّ عدد النقاط في الرياضيات x   ، وعدد النقاط  في اللغة الانجليزية y

x + y  900 x + y  1200x  600 y  200

يقع حل النظام في الربع الأول من المستوى الإحداثي حيث المنطقة المشتركة لحلول المتباينات هي المنطقة (A) . 


 

أحل المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم)

مسألة اليوم : قدّم محل لتبديل زيوت السيّارات عرضًا مجانيًّا لغسل السيّارات. إذا كان الحد الأقصى لذلك العرض هو غسل 30 سيّارة يوميًّا، بتكلفة لا تزيد
على 75 دينارًا، فكم سيّارة كبيرة وصغيرة يُمكن غسلها يوميًّا بحسب هذا العرض؟

 

 

 

 

 

الحل : 

أفرض أنّ عدد السيارات الصغيرة  x   ، وعدد السيارات الكبيرة  y

x + y  302x + 3y  75 

يقع حل النظام في الربع الأول من المستوى الإحداثي حيث المنطقة المشتركة لحلول المتباينات هي المنطقة (A) ، ويؤخذ من المنطقة A الأعداد الصحيحة فقط،لأنها أعداد سيارات . 

 


 

تبرير : أَصِف منطقة حَلِّ نظام المتباينات الآتي من دون تمثيلها بيانيًّا :

2x + y ≤ 7

2x + y ≥ 7

الحل : 

تُمثل منطقة حل كل متباينة أحد جهتي المستقيم 2x + y = 7  ، وكذلك جميع النقاط الواقعة على المستقيم هي نقاط حل للمتباينتين ؛ لذا كل المستوى الإحداثي يمثل منطقة حل ، أي أن حل المتباينتين هو مجموعة الأعداد الحقيقية. 


 

مسألة مفتوحة : أكتب نظامين يتكوَّن كلٌّ منهما من متباينتين خطيتين بمتغيرين، بحيث تكون مجموعة الحَلِّ:
16) مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية.

الحل :

x + y  32v - y >5

مجموعة الحل : مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية.



17) المجموعة الخالية.

الحل : 

3x + y > 23x + y < 2

مجموعة الحل : هي المجموعة الخالية   .


 

تحدٍّ: أكتب نظام المتباينات الذي منطقة حَلِّه هي المنطقة المُظلَّلة في التمثيل البياني الآتي:

الحل : 

ميل المستقيم الأيسر المائل : m =3 - 00 - 4 = - 34

معادلة الخط المستقيم :  y = -34x + 3  ، وباختبار نقطة في منطقة الحل أستنتج المتباينة y  -34x + 3

ميل المستقيم الأيمن المائل : m =2 - 05 - 4 = 2

معادلة الخط المستقيم : y - 0 = 2 (x - 4)       y = 2x -8  ، وباختبار نقطة في منطقة الحل أستنتج المتباينة y  2x -8

المستقيم الموازي لمحور  x هو y = 6  ، والمتباينة  y  6      

المستقيم الموازي لمحور  y هو x = 5  ، والمتباينة x  5

وحيث منطقة الحل في الربع الأول x  0

إذن نظام المتباينات هو  : 

y - 0.75 x + 3y  2x - 8 y  6x 5x 0


 

أسئلة كتاب التمارين

أمثل منطقة حل  كل من أنظمة المتباينات الآتية ، ثم أتحقق من صحة الحل : 

2) -8x - 5y  -3      2x + 7y < 6  1) 7x - 5y > 1      x + 3y < 1 
   
4) 9x +3y  6    3x + y  2 3) 4x -8y  5  -2y + x <-3
   
6) 9x + y < 8    4x + 3y  6 -8x + y  5 5) -x - y  2  7x - 6y  4  2x + 5y > 4
   
8) -6x -3 y  -12  3x + 32y  6   x + 12y  2 7)  x-3 y < 1   2x - 6y  5  4x- 12y  9

 

الحل : 

1) 7x - 5y > 1     x + 3y < 1 

التحقق : 

اختبار نقطة في منطقة الحل ، ولتكن (2- ، 1)

 7(1) - 5(-2) = 17 > 1 1 + 3 (-2) = -5  < 1 


 

2) -8x - 5y  -3      2x + 7y < 6 

التحقق : 

اختبار نقطة في منطقة الحل ، ولتكن (0 ، 2)

 -8 (2) - 5(0) = -16  -3 2(2) + 7 (0) = 4 < 6 


 

3) 4x -8y  5  -2y + x <-3

لا يوجد منطقة حلول مشتركة ؛ لذا مجموعة حل النظام هي المجموعة الخالية 


 

4) 9x +3y  6    3x + y  2

مجموعة حل النظام هي كل النقاط التي تقع على المستقيم 3x + y = 2  


 

5) -x - y  2  7x - 6y  4  2x + 5y > 4

منطقة حل النظام هي المنطقة المشتركة (A) 

التحقق : 

اختبار نقطة في منطقة الحل ، ولتكن (1 ، 3)

 -3 -1 = - 4  2  7(3) - 6(1) = 15  4  2(3) + 5(1) = 11 > 4


 

6) 9x + y < 8    4x + 3y  6 -8x + y  5

منطقة حل النظام هي المنطقة المشتركة (A) 

التحقق : 

اختبار نقطة في منطقة الحل ، ولتكن (5 ، 1-)

  9 (-1) + 5 = - 4 < 8    4(-1) + 3(5) = 11  6 -8(-1) + 5 = 13  5


 

7)  x-3 y < 1   2x - 6y  5  4x- 12y  9

لا يوجد منطقة حلول مشتركة ؛ لذا مجموعة حل النظام هي المجموعة الخالية 


 

8) -6x -3 y  -12  3x + 32y  6   x + 12y  2

مجموعة حل النظام هي كل النقاط التي تقع على المستقيم x + 12y = 2


 

عمل خيري : مع حاتم 20 دينارًا ، أراد أن يشتري بها نوعين من وجبات الافطار في شهر رمضان للتصدق بها ، فوجد أنّ سعر النوع الأول (A) هو 1.5 دينارًا ، وسعر النوع الثاني (B) هو دينارين ، وقد قرر شراء أكثر من 9 وجبات من كلا النوعين :

9) أكثب نظام المتباينات الخطية الذي يمثل عدد الوجبات التي يُمكن لحاتم شراؤها من كلا النوعين .  

الحل : 

أفرض عدد الوجبات من النوع (A) = x  ، وعدد الوجبات من النوع  (B) = y 

x + y >91.5 x + 2y  20 


10) أمثل نظام المتباينات بيانيًا .


حل النظام يقع في الربع الأول (المنطقة المشتركة A) ، ويؤخذ منها الأعداد الصحيحة فقط .
 


11) أجد ثلاث حلول ممكنة لنظام المتباينات الآتي : 

x + y  0 y  0 x  0

الحل : 

حل النظام يقع في الربع الأول من المستوى الاحداثي .

حلول ممكنة  :  (1 , 1) , (3 , 2) , (4 , 3)