رياضيات فصل أول

 

أتحقق من فهمي صفحة 18

أحل نظام المعادلات الآتي، ثم أتحقق من صحة الحل: 

$$\begin{gathered} y=x^2- 2x+3 \\ y=x^2+2x-3 \\ {x}^2-2x+3 = x^2+2x-3\Rightarrow -2x+3=2x-3 \\ 6=4x\Rightarrow x=1.5\Rightarrow y={\left(1.5\right)}^2-2x\left(1.5\right)+3=2.25 \\ \left(1.5 ,2.25\right)\mathrm{النظام} \mathrm{حل} \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي صفحة 19

تمثل المعادلة: $y=x^2+2x$ مسار متزلج على الجليد، في حين تمثل المعادلة: $y=x^2-x+5$ مسار متزلج آخر. ابحث عن جميع النقاط التي قد يصطدم عندها المتزلجان إذا لم يكونا حذرين 

$$\begin{gathered} y=x^2+2x \\ y=x^2-x+5 \\ {x}^2+2x =x^2-x+5\Rightarrow 2x=-x+5\Rightarrow 3x=5 \\ x=1.67\Rightarrow y={\left(1.67\right)}^2+2\left(1.67\right)=6.128 \\ \left(1.67 , 6.128\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حل} \end{gathered}$$    النقطة التي قد يصطدم بها المتزلجان هي حل النظام

أتحقق من فهمي صفحة 20

أحل نظام المعادلات التي: 

$$\begin{gathered} y=x^2+4 \\ y=-x^2+2 \end{gathered}$$

$x^2+4=-x^2+2\Rightarrow 2x^2 =-2 \Rightarrow x^2=-1$

لا حل للنظام

أتحقق من فهمي صفحة 21

$$\begin{gathered} x^2+y^2=16 \\ 3y-x^2=-12 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x^2+y^2=16 \\ 3y-x^2=-12 \\ \Rightarrow y^2+3y -4=0\Rightarrow \left(y+4\right)\left(y-1\right)=0 \\ {y}_1=-4\Rightarrow x_1=16-16=0\Rightarrow \left(0 ,- 4\right) \\ {y}_2 =1\Rightarrow x_2=\pm \sqrt{15} =\pm 3.87\Rightarrow \left(3.87 , 1\right) \left(-3.87 ,1\right) \end{gathered}$$

التحقق

$$\begin{gathered} \left(0 , -4\right)\Rightarrow 0 +{\left(-4\right)}^2=16 \\ 3\left(-4\right)-0 -12 \\ \left(3.87 , 1\right)\Rightarrow {\left(3.87\right)}^2+1=15+1=16 \\ 3\left(1\right) -{\left(3.87\right)}^2 =3-15=-12 \\ \left(-3.87 ,1\right)\Rightarrow {\left(-3.87\right)}^2+1=315+1=16 \\ 3\left(1\right)-{\left(-3.87\right)}^2=3-15=-12 \end{gathered}$$

أتدرب وأحل المسائل صفحة 21

أحل كلا من أنظمة المعادلات التربيعية الآتية، ثم أتحقق من صحة الحل: 

$$\begin{gathered} 1) y=2x^2+x-5 \\ y=-x^2-2x-5 \\ 2x^2+x-5=-x^2-2x-5\Rightarrow 3x^2+3x=0\Rightarrow x^2+x=0 \\ x\left(x+1\right)=0\Rightarrow x=0 ,x=-1 \\ {x}_1=0\Rightarrow y_1=-5 \\ {x}_2=-1\Rightarrow y_2=-4 \\ \left(0 ,-5\right) , \left(-1 ,-4\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 2) y=x^2-4x+1 \\ y=-2x^2-4 \\ {x}^2-4x +1 = -2x^2-4 \Rightarrow 3x^2-4x+5=0 \\ 16-4x3x5=16-60=-44<0 \mathrm{المميز} \\ \mathrm{للنظام} \mathrm{حل} \mathrm{يوجد} \mathrm{لا} \mathrm{سالب} \mathrm{المميز} \mathrm{ان} \mathrm{بما} \\ 3) y=x^2+1 \\ y=2x^2-3 \\ {x}^2+1=2x^2-3\Rightarrow 4=x^2\Rightarrow x=\pm 2 \\ x=2\Rightarrow y=4+1=5 \\ x=-2\Rightarrow y=4+1=5\Rightarrow \\ \left(2 ,5\right) \left(-2 ,5\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 4) y=x^2+x+1 \\ y=-x^2+x-2 \\ {x}^2+x+1=-x^2+x-2\Rightarrow 2x^2=-3 \\ \mathrm{للنظام} \mathrm{حل} \mathrm{يوجد} \mathrm{لا} \\ 5) y=-x^2+5x \\ y=x^2-5x \\ -x^2+5x=x^2-5x\Rightarrow -2x^2+10x=0 \\ 5x-x^2=0\Rightarrow x\left(5-x\right)=0 \\ x=0 \Rightarrow y=0+5x0=0 \\ x=5\Rightarrow y=-{\left(5\right)}^2+5x5=0 \\ \left(0 ,0\right) \left(5 , 0\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 6)y=x^2 \\ y=x^2+x+6 \\ \Rightarrow x^2=x^2+x+6\Rightarrow x=-6\Rightarrow y=36\Rightarrow \left(-6 ,36\right)\mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 7)y=-x^2+6x+8 \\ y=-x^2-6x+8 \\ \Rightarrow -x^2+6x+8=-x^2-6x+8\Rightarrow 12x=0\Rightarrow x=0\Rightarrow y=8 \\ \left(0 ,8\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 8)x^2+y^2=16 \\ y=x^2-5 \\ {x}^2=y+5\Rightarrow y+5+y^2=16\Rightarrow y^2+y-11=0 \\ 1-4x1x-11=45 \mathrm{المميز} \\ {y}_1=\frac{-1+\sqrt{45}}{2x1}\approx 2.85\Rightarrow x=\pm 2.803 \\ {y}_2 =\frac{-1-\sqrt{45}}{2x1}\approx -3.85\Rightarrow x=\pm 1.07 \\ \left(2.803 ,2.85\right) \left(-2.803 ,2.85\right) \left(1.07 ,-3.85\right) \left(-1.07 ,-3.85\right) \mathrm{الحلول} \\ 9)5x^2-2y^2=18 \\ 3x^2+5y^2=17 \\ \Rightarrow 3x\left(5x^2-2y^2=18\right) \\ - 5x\left(3x^2+5y^2=17\right) \\ \Rightarrow 15x^2-6x^2=36 \\ -15x^2-25y^2=-85 \\ \Rightarrow -31y^2=-31\Rightarrow y^2=1 \\ y=\pm 1\Rightarrow x=\pm 2 \\ \left(2 ,1\right) \left(-2 ,1\right) \left(2 ,-1\right) \left(-2 ,-1\right) \mathrm{الحلول} \end{gathered}$$

10) اجد نقاظ التقاطع بين الدائرتين: 

$$\begin{gathered} x^2+{\left(y-2\right)}^2=4 \\ {x}^2+y^2=9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x^2+{\left(y-2\right)}^2 =4 \\ -x^2-y^2 =-9 \\ \Rightarrow {\left(y-2\right)}^2-y^2=-5\Rightarrow y^2-4y+4-y^2=-5 \\ -4y=-9\Rightarrow y=\frac{9}{4}=2.25\Rightarrow x^2=9-{\left(2.25\right)}^2=3.938 \\ x=\pm 1.97\Rightarrow \left(1.97 , 2.25\right) \left(-1.97 ,2.25\right) \mathrm{التقاطع} \mathrm{نقاط} \end{gathered}$$

11) عددان، مجموع مربعيهما 89، والفرق بين مربعيهما 39، ما هذان العددان؟ 

العدد الاول    $x$      العدد الثاني  $y$

$$\begin{gathered} x^2+y^2=89 \\ {x}^2-y^2=39 \\ \Rightarrow 2x^2=128\Rightarrow x^2=64\Rightarrow x=\pm 8 \\ {y}^2=89-64=25\Rightarrow y=\pm 5 \\ x=8 ,y=5 \\ x=8 ,y=-5 \\ x=-8 ,y=5 \\ x=-8 , y=-5 \end{gathered}$$

12)فيزياء: قذفت كرتان راسيا في الوقت نفسه من موقعين مختلفين. اذا كانت المعادلة: $y=-2t^2+12t+10$ تمثل ارتفاع الكرة الاولى بالامتار بعد مرور t ثانية، وكانت المعادلة: $y=-2t^2+4t+42$ تمثل ارتفاع الكرة الثانية، فاجد الزمن الذي يتساوى عنده ارتفاع كل من الكرتين، ثم اجد ارتفاع كل كرة في تلك اللحظة

$$\begin{gathered} -2t^2+12t+10=-2t^2+4t+42 \\ 8t=42-10=32\Rightarrow t=4 \\ y=-2x16+48+10=26 \end{gathered}$$

13) ثقافة مالية:  بالعودة الى مقدمة الدرس، استعمل نظام المعادلات المعطى لايجاد نقاط التوازن التي يتساوى عندها العرض والطلب 

$$\begin{gathered} y=x^2+6x \\ y=-x^2+24x \\ \Rightarrow x^2+6x=-x^2+24x\Rightarrow 2x^2-18x=0 \\ 2x\left(x-9\right)=0\Rightarrow x=0 \mathrm{تهمل} \backslash x=9 \\ y=135 \end{gathered}$$

14) احل نظام المعادلات الاتي: 

$$\begin{gathered} x^2-3xy+2y^2=0 \\ {x}^2+xy=6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x^2-3xy+2y^2=0\Rightarrow \left(x-2y\right)\left(x-y\right)=0 \\ x=y\Rightarrow 2x^2=6\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}\Rightarrow y=\pm \sqrt{3} \\ x=2y\Rightarrow y=\frac{x}{2}\Rightarrow x^2+x\frac{x}{2}=6\Rightarrow \frac{3x^2}{2}=6 \\ {x}^2=4\Rightarrow x=\pm 2\Rightarrow y=\pm 1 \\ \left(\sqrt{3} ,\sqrt{3}\right) ,\left(-\sqrt{3} ,-\sqrt{3}\right) ,\left(2 ,1 \right) , \left(-2 ,-1\right) \end{gathered}$$

 

 

مهارات التفكير العليا 

15) تبرير: قالت زينب انه لا يوجد حل لنظام المعادلات الاتي: 

$$\begin{gathered} x^2+y^2=4 \\ {x}^2+y^2=9 \end{gathered}$$

هل قول زينب صحيح؟ ابرر اجابتي

الحل : نعم قولها صحيح لان

$$\begin{gathered} z=x^2+y^2\Rightarrow z=4 \\ \mathrm{ايضا} z=9 \\ \mathrm{تناقض} \mathrm{وهذا} \end{gathered}$$

 اي انه لايمكن ان يكون نفس العدد وله قيمتان مختلفتان

16) مسالة مفتوحة: اكتب نظام مكونا من معادلتين تربيعيتين ليس له حل 

$$\begin{gathered} x^2+y^2=33 \\ {x}^2+y^2=7 \end{gathered}$$

17) تحد: قطعة ارض على شكل مثلث متطابق الضلعين، طول ضلعه المتطابق 50m، ومساحته $1200m^2$. اجد طول قاعدته، وارتفاعه 

القاعدة         $x$  الارتفاع    $y$

مساحة المثلث =    $\frac{1}{2}$   القاعدة   $x$ الارتفاع

$$\begin{gathered} 1200=\frac{1}{2}\times x\times y\Rightarrow 2400=xy \\ {50}^2=y^2+{\left(\frac{1}{2}x\right)}^2\Rightarrow 2500=y^2+{\left(\frac{1200}{y}\right)}^2 \\ 2500y^2=y^4+1440000 \\ {y}^4-2500y^2+1440000=0\Rightarrow \left(y^2-900\right)\left(y^2-1600\right)=0 \\ {y}^2=900\Rightarrow y=30\Rightarrow x=80 \\ {y}^2=1600\Rightarrow y=40\Rightarrow x=60 \\ \mathrm{مثلث} \mathrm{ابعاد} \mathrm{مع} \mathrm{نتعامل} \mathrm{لاننا} \mathrm{مرفوضة} \mathrm{السالبة} \mathrm{القيم} \end{gathered}$$

18) مسالة مفتوحة: اكتب نظام من معادلتين تربيعيتين، على ان تكون النقطة(5,3) احد حلوله 

$$\begin{gathered} x^2+y^2=34 \\ {x}^2-y^2=16 \\ \Rightarrow 2x=50\Rightarrow x^2=25\Rightarrow x=\pm 5 \\ {y}^2=34-25=9\Rightarrow y=\pm 3 \\ \left(5,3\right) \left(5 ,-3\right) \left(-5,3\right) \left(-5,-3\right) \end{gathered}$$

19) تحد: قطعة من ورق مقوى مستطلية الشكل، مساحتها $216 c{m}^2$، ثني طولاها، ولصقا معا، فتشكل انبوب اسطواني حجمه $224 c{m}^2$. اجد بعدي قطعة الورق 

الحل :

طول القطعة المستقيمة هو     $x$   العرض هو$y$                      $$\begin{gathered} xy=216 \\ v={\mathrm{\pi r}}^2\times \mathrm{x}\Rightarrow 224=\mathrm{\pi }{\left(\frac{\mathrm{v}}{2\mathrm{\pi }}\right)}^2\times \mathrm{x} \end{gathered}$$

حجم الاسطوانة = مساحة القاعدة   $x$  الارتفاع 

ارتفاع الاسطوانة هو    $x$

قاعدة الاسطوانة دائرة ومحيطها هو  $y$ 

محيط الدائرة هو $2\mathrm{\pi r}$     بالتالي       $2\mathrm{\pi r}=\mathrm{y} \Rightarrow \mathrm{r}=\frac{\mathrm{y}}{2\mathrm{\pi }}$

$$\begin{gathered} xy=216\Rightarrow 224=\frac{y^2}{4\mathrm{\pi }}x \\ x=\frac{216}{y} \\ \Rightarrow 224=\frac{y^2}{4\mathrm{\pi }}\times \frac{216}{y}\Rightarrow 4\mathrm{\pi }\times 224\mathrm{y}=216{\mathrm{y}}^2 \\ 216{\mathrm{y}}^2-4\times 224\mathrm{\pi y}=0\Rightarrow 8\mathrm{y}\left(27\mathrm{y}-112\mathrm{\pi }\right)=0 \\ \mathrm{y}=0 \mathrm{تهمل} \\ \mathrm{y}=\frac{112\mathrm{\pi }}{27}=13.03\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{216}{{\displaystyle \frac{112\mathrm{\pi }}{27}}}=\frac{27\times 216}{112\mathrm{\pi }}= 16.58 \end{gathered}$$
ا

 

كتاب التمارين صفحة 13

احل كلا من انظمة المعادلات التربيعية الاتية، ثم اتحقق من صحة الحل: 

$$\begin{gathered} 1) y=x^2-6x+9 \\ y=x^2-3x \\ {x}^2-6x+9=x^2-3x\Rightarrow -3x=-9\Rightarrow x=3 \\ y=9-9=0\Rightarrow \left(3 ,0\right)\mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 2) y-3x^2=x+2 \\ y=-6x^2+7x \\ y=3x^2+x+2\Rightarrow 3x^2+x+2=-6x^2+7x \\ 9x^2-6x+2=0\Rightarrow 36-4\times 9\times 2=-36\mathrm{المميز} \\ \mathrm{للنظام} \mathrm{حل} \mathrm{يوجد} \mathrm{لا} \mathrm{سالب} \mathrm{المميز} \\ 3) y=0.5x^2+0.5x+1 \\ y=-x^2+2x+4 \\ \Rightarrow 0.5x^2+0.5x+1=-x^2+2x+4 \\ 1.5x^2-1.5x-3=0\Rightarrow x^2-x-2=0 \\ \left(x-2\right)\left(x+1\right)=0\Rightarrow x_1=2 ,y_1=4 \\ {x}_2=-1\Rightarrow y_2=1 \\ \left(2,4\right) \left(-1, 1\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 4) y=2x^2+8x+4 \\ y=x^2+2x+4 \\ \Rightarrow 2x^2+8x+4=x^2+2x+4 \\ {x}^2+6x=0\Rightarrow x\left(x+6\right)=0 \\ {x}_1=0\Rightarrow y_1=4 \\ {x}_2=-6\Rightarrow y_2=28 \\ \left(0,4\right) ,\left(-6 ,28\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 5) y-x^2=0 \\ y+x^2=0 \\ \Rightarrow 2y=0\Rightarrow y=0\Rightarrow x=0 \\ \left(0,0\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 6)y=x^2+x-1 \\ y=5-x^2 \\ {x}^2+x-1=5-x^2\Rightarrow 2x^2+x-6=0 \\ 1-4\times 2\times -6=49 \\ {x}_1=\frac{-1+\sqrt{49}}{2x2}=\frac{-1+7}{4}=1.5 ,y_1=5-{\left(1.5\right)}^2=2.75 \\ {x}_2=\frac{-1-\sqrt{49}}{2x2}=\frac{-1-7}{4}=-2 ,y_2=5-{\left(-2\right)}^2=1 \\ \left(1.5 ,2.75\right) \left(-2 ,1\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 7) y=x^2+x+2 \\ y+x^2+2=0 \\ \Rightarrow y=-x^2-2\Rightarrow x^2+x+2=-x^2-2 \\ 2x^2+x+4=0\Rightarrow 1-4\times 2\times 4=-31 \mathrm{المميز} \\ \mathrm{للنظام} \mathrm{حل} \mathrm{يوجد} \mathrm{لا} \mathrm{سالب} \mathrm{المميز} \mathrm{لان} \\ 8)y=x^2+2x+2 \\ y=-x^2-2x+2 \\ \Rightarrow 2x^2+4x=0\Rightarrow 2x\left(x+2\right)=0 \\ {x}_1=0\Rightarrow y_1=2 \\ {x}_2=-2\Rightarrow y_2=2 \\ \left(0,2\right) \left(-2,2\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 9)y=-x^2+2x+2 \\ y=-x^2-2x+2 \\ \Rightarrow 4x=0\Rightarrow x=0\Rightarrow y=2 \\ \left(0,2\right)\mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 10) y^2=-x^2+4 \\ y=0.5x^2-2 \\ {x}^2=4-y^2\Rightarrow y=0.5\left(4-y^2\right)-2\Rightarrow 2y+y^2=0 \\ y\left(2+y\right)=0\Rightarrow y_1=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2 \\ {y}_2=-2\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0 \\ \left(2,0\right) \left(-2,0\right) \left(0,-2\right)\mathrm{النظام} \mathrm{حلول} \\ 11) 4y+9x^2=25 \\ y-x^2=3x-4 \\ \Rightarrow y=\frac{25-9x^2}{4}\Rightarrow \frac{25-9x^2}{4}-x^2-3x+4=0 \\ 25-9x^2-4x^2-12x+16=0\Rightarrow -13x^2-12x+41=0 \\ {x}_1=1.3 \Rightarrow y_1=1.57 \\ {x}_2 =0.46\Rightarrow y=-2.4 \\ \left(\mathrm{القانون} \mathrm{العام}\right)\Rightarrow \left(1.3 ,1.57\right) \left(0.46,-2.4\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حلول} \\ 12) x^2+y^2=16 \\ y^2={\left(x-3\right)}^2 \\ \Rightarrow x^2+{\left(x-3\right)}^2=16\Rightarrow 2x^2-6x-7=0 \\ {x}_1=3.91\Rightarrow y_1=0.83 \\ {x}_2=1.03\Rightarrow y_2=3.86 \\ \left(3.91,0.83\right) \left(1.03 ,3.86\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حلول} \end{gathered}$$

13) كرة طائرة: في اثناء لعب سامية وهند كرة طائرة، رمت سامية الكرة على شكل منحنى معادلة $y=-x^2+3$، ثم رمت هند الكرة على شكل منحنى معادلة $y=-x^2+2x$. اجد احداثيات نقطة التقاء الكرتين 

الحل:

$$\begin{gathered} y=-x^2+3 \\ y=-x^2+2x \\ \Rightarrow 3-2x=0\Rightarrow x=1.5\Rightarrow y=0.75 \\ \left(1.5 , 0.75\right) \mathrm{الحلول} \end{gathered}$$

 

14) ابراج: اراد مركز حراسة ايجاد نقطة التقاطع المبينة في الشكل المجاور لتركيب ابراج مراقبة عندها. اجد احداثيات هذه النقاط 

$$\begin{gathered} y=20-x^2 \\ {x}^2+y^2=64 \\ {x}^2+{\left(20-x^2\right)}^2=64\Rightarrow x^2+400-40x^2+x^4-64=0 \\ {x}^4-39x^2+336=0\Rightarrow x=\pm 3.58 , x=\pm 5.11 \\ \left(3.58 ,7.15\right) , \left(-3.58 ,7.15\right) , \left(5.11 ,-6.15\right), \left(-5.11 ,-6.12\right) \end{gathered}$$