رياضيات فصل أول

 

أتحقق من فهمي صفحة 18

أحل نظام المعادلات الآتي، ثم أتحقق من صحة الحل:

 $y=-x^2- 2x+3$

$y=x^2+2x-3$

الحل:

 

$-x^2-2x+3 = x^2+2x-3$

$\Rightarrow 2x^2+4x-6=0$

$\Rightarrow x^2+2x-3=0$

$\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0$

$\Rightarrow x=-3 , x=1$

$y={(-3)}^2+2(-3)-3=12 (-3,0)$

$y={\left(1\right)}^2+2\left(1\right)-3=2 (1,0)$

---

أتحقق من فهمي صفحة 19

تمثل المعادلة: $y=x^2+2x$ مسار متزلج على الجليد، في حين تمثل المعادلة: $y=x^2-x+5$ مسار متزلج آخر.

ابحث عن جميع النقاط التي قد يصطدم عندها المتزلجان إذا لم يكونا حذرين . 

الحل:

$y=x^2+2x$

$y=x^2-x+5$

$x^2+2x =x^2-x+5$

$\Rightarrow 2x=-x+5$

$\Rightarrow 3x=5$

$x=\frac{5}{3}\Rightarrow y={\left(\frac{5}{3}\right)}^2+2\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{55}{9}$

$(\frac{5}{3} , \frac{55}{9}) \mathrm{النظام} \mathrm{حل}$   

النقطة التي قد يصطدم بها المتزلجان هي حل النظام

أتحقق من فهمي صفحة 20

أحل نظام المعادلات الآتي: 

$y=x^2+4$

$y=-x^2+2$

الحل:

$x^2+4=-x^2+2$

$\Rightarrow 2x^2 =-2 \Rightarrow x^2=-1$

نظام المعادلات ليس له حل .

أتحقق من فهمي صفحة 21

$x^2+y^2=16$

$3y-x^2=-12$

الحل:

$x^2=16-y^2$

$x^2=3y+12$

$\Rightarrow y^2+3y -4=0$

$\Rightarrow (y+4)(y-1)=0$

$y_1=-4\Rightarrow x_1=16-16=0\Rightarrow (0 ,- 4)$

$y_2 =1\Rightarrow x_2=\pm \sqrt[]{15} =\pm 3.87$

$(\sqrt[]{15},1)(-\sqrt[]{15},1)$

التحقق: 

$x^2=16-y^2 ، x^2=3y+12$

$(0 , -4)\Rightarrow {(-4)}^2=16-{\left(0\right)}^2 \Rightarrow 16=16$

$(0 , -4)\Rightarrow 3(-4)-0 =-12$

$\left(\sqrt{15} , 1\right)\Rightarrow {\left(\sqrt{15}\right)}^2+1=15+1=16$

$\left(\sqrt{15} , 1\right)\Rightarrow 3\left(1\right) -{\left(\sqrt{15}\right)}^2 =3-15=-12$

$(-\sqrt{15} ,1)\Rightarrow {(-\sqrt{15})}^2+1=15+1=16$

$(-\sqrt{15} ,1)\Rightarrow 3\left(1\right)-{(-\sqrt{15})}^2=3-15=-12$

أتدرب وأحل المسائل صفحة 21

أحل كلا من أنظمة المعادلات التربيعية الآتية، ثم أتحقق من صحة الحل: 

$1) y=2x^2+x-5$

$y=-x^2-2x-5$

$Solution: 2x^2+x-5=-x^2-2x-5$

$\Rightarrow 3x^2+3x=0\Rightarrow x^2+x=0$

$x(x+1)=0\Rightarrow x=0 ,x=-1$

$x_1=0\Rightarrow y_1=-5$

$x_2=-1\Rightarrow y_2=-4$

$(0 ,-5) , (-1 ,-4) \mathrm{النظام} \mathrm{حل}$

---

$2) y=x^2-4x+1$

    $y=-2x^2-4$

$Solution: x^2-4x +1=-2x^2-4$

$\Rightarrow 3x^2-4x+5=0$

$16-4x3x5=16-60=-44<0 \mathrm{المميز}$

$\mathrm{للنظام} \mathrm{حل} \mathrm{يوجد} \mathrm{لا} \mathrm{سالب} \mathrm{المميز} \mathrm{ان} \mathrm{بما}$

---

$3) y=x^2+1$

       $y=2x^2-3$

$ٍSolution: x^2+1=2x^2-3$

$\Rightarrow 4=x^2\Rightarrow x=\pm 2$

$x=2\Rightarrow y=4+1=5$

$x=-2\Rightarrow y=4+1=5$

$(2 ,5) ، (-2 ,5) \mathrm{النظام} \mathrm{حل}$

---

$4) y=x^2+x+1$

$y=-x^2+x-2$

$Solution: x^2+x+1=-x^2+x-2$

$\Rightarrow 2x^2=-3 \mathrm{للنظام} \mathrm{حل} \mathrm{يوجد} \mathrm{لا}$

---

$5) y=-x^2+5x$

$y=x^2-5x$

$Solution:-x^2+5x=x^2-5x$

$\Rightarrow -2x^2+10x=0$

$5x-x^2=0\Rightarrow x(5-x)=0$

$x=0 \Rightarrow y=0+5\left(0\right)=0$

$x=5\Rightarrow y=-{\left(5\right)}^2+5x5=0$

$(0 ,0) ، (5 , 0) \mathrm{النظام} \mathrm{حل}$

---

$6)y=x^2$

$y=x^2+x+6$

$Solution: x^2=x^2+x+6$

$\Rightarrow x=-6\Rightarrow y=36 (-6 ,36) \mathrm{النظام} \mathrm{حل}$

---

$7)y=-x^2+6x+8$

$y=-x^2-6x+8$

$Solution:-x^2+6x+8=-x^2-6x+8$

$\Rightarrow 12x=0$

$\Rightarrow x=0\Rightarrow y=8 (0 ,8) \mathrm{النظام} \mathrm{حل}$

---

$8) x^2+y^2=16$

  $y=x^2-5$

$Solution: x^2=y+5$

$\Rightarrow y^2+y+5=16$

$\Rightarrow y^2+y-11=0$

$1-4x1x-11=45 \mathrm{المميز}$

$y_1=\frac{-1+\sqrt{45}}{2x1}\approx 2.85\Rightarrow x=\pm 2.803$

$y_2 =\frac{-1-\sqrt{45}}{2x1}\approx -3.85\Rightarrow x=\pm 1.07$

$(2.803 ,2.85)، (-2.803 ,2.85)،(1.07 ,-3.85)،(-1.07 ,-3.85) \mathrm{الحلول}$

---

$9) 5x^2-2y^2=18$

     $3x^2+5y^2=17$

$Solution: 3x(5x^2-2y^2=18)$

$- 5\times (3x^2+5y^2=17)$

$\Rightarrow 15x^2-6x^2=36$

$-15x^2-25y^2=-85$

$\Rightarrow -31y^2=-31$

$\Rightarrow y^2=1$

$y=\pm 1\Rightarrow x=\pm 2$

$(2 ,1)،(-2 ,1) ،(2 ,-1)، (-2 ,-1) \mathrm{الحلول}$

---

10( اجد نقاط التقاطع بين الدائرتين:

                          $x^2+{\left(y-2\right)}^2=4$ 

                            $x^2+y^2=9$

  

$Solution: x^2+{\left(y-2\right)}^2 =4$

         $-x^2-y^2 =-9$

$\Rightarrow {(y-2)}^2-y^2=-5$

$\Rightarrow y^2-4y+4-y^2=-5$

$-4y=-9\Rightarrow y=\frac{9}{4}$

$\Rightarrow x^2=9-{\left(\frac{9}{4}\right)}^2=\frac{63}{16}\Rightarrow x=\pm \frac{63}{16}$

$(\frac{63}{16} , \frac{9}{4}) (-\frac{63}{16} ,\frac{9}{4}) \mathrm{التقاطع} \mathrm{نقاط}$

---

11) عددان، مجموع مربعيهما 89، والفرق بين مربعيهما 39، ما هذان العددان؟ 

العدد الاول    $x$      العدد الثاني  $y$

$x^2+y^2=89$

$x^2-y^2=39$

$\Rightarrow 2x^2=128\Rightarrow x^2=64\Rightarrow x=\pm 8$

 

$$\begin{gathered} x^2+y^2=89 \\ {x}^2-y^2=39 \\ \Rightarrow 2x^2=128\Rightarrow x^2=64\Rightarrow x=\pm 8 \\ {y}^2=89-64=25\Rightarrow y=\pm 5 \\ x=8 ,y=5 \\ x=8 ,y=-5 \\ x=-8 ,y=5 \\ x=-8 , y=-5 \end{gathered}$$

12)فيزياء: قذفت كرتان راسيا في الوقت نفسه من موقعين مختلفين. اذا كانت المعادلة: $y=-2t^2+12t+10$ تمثل ارتفاع الكرة الاولى بالامتار بعد مرور t ثانية، وكانت المعادلة: $y=-2t^2+4t+42$ تمثل ارتفاع الكرة الثانية، فاجد الزمن الذي يتساوى عنده ارتفاع كل من الكرتين، ثم اجد ارتفاع كل كرة في تلك اللحظة

$$\begin{gathered} -2t^2+12t+10=-2t^2+4t+42 \\ 8t=42-10=32\Rightarrow t=4 \\ y=-2x16+48+10=26 \end{gathered}$$

13) ثقافة مالية:  بالعودة الى مقدمة الدرس، استعمل نظام المعادلات المعطى لايجاد نقاط التوازن التي يتساوى عندها العرض والطلب 

$$\begin{gathered} y=x^2+6x \\ y=-x^2+24x \\ \Rightarrow x^2+6x=-x^2+24x\Rightarrow 2x^2-18x=0 \\ 2x\left(x-9\right)=0\Rightarrow x=0 \mathrm{تهمل} \backslash x=9 \\ y=135 \end{gathered}$$

14) احل نظام المعادلات الاتي: 

$$\begin{gathered} x^2-3xy+2y^2=0 \\ {x}^2+xy=6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x^2-3xy+2y^2=0\Rightarrow \left(x-2y\right)\left(x-y\right)=0 \\ x=y\Rightarrow 2x^2=6\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}\Rightarrow y=\pm \sqrt{3} \\ x=2y\Rightarrow y=\frac{x}{2}\Rightarrow x^2+x\frac{x}{2}=6\Rightarrow \frac{3x^2}{2}=6 \\ {x}^2=4\Rightarrow x=\pm 2\Rightarrow y=\pm 1 \\ \left(\sqrt{3} ,\sqrt{3}\right) ,\left(-\sqrt{3} ,-\sqrt{3}\right) ,\left(2 ,1 \right) , \left(-2 ,-1\right) \end{gathered}$$

 

 

مهارات التفكير العليا 

15) تبرير: قالت زينب انه لا يوجد حل لنظام المعادلات الاتي: 

$$\begin{gathered} x^2+y^2=4 \\ {x}^2+y^2=9 \end{gathered}$$

هل قول زينب صحيح؟ ابرر اجابتي

الحل : نعم قولها صحيح لان

$z=x^2+y^2\Rightarrow z=4\to z=9$ وأيضا هذا تناقض

 

 اي انه لايمكن ان يكون نفس العدد وله قيمتان مختلفتان

16) مسالة مفتوحة: اكتب نظام مكونا من معادلتين تربيعيتين ليس له حل 

$$\begin{gathered} x^2+y^2=33 \\ {x}^2+y^2=7 \end{gathered}$$

    

17) تحد: قطعة ارض على شكل مثلث متطابق الضلعين، طول ضلعه المتطابق 50m ، ومساحته $1200 m^2$ .

  اجد طول قاعدته، وارتفاعه .   

الحل:

بفرض طول القاعدة يساوي 2x ، والارتفاع يساوي y .

مساحة المثلث = $\frac{1}{2}$ القاعدة  × الارتفاع

$1200=\frac{1}{2}\times 2x\times y\Rightarrow 1200=xy$

$2500=y^2+x^2$

  $2500=y^2+{\left(\frac{1200}{y}\right)}^2$

       $2500y^2=y^4+1440000$

$y^4-2500y^2+1440000=0$ 

    $(y^2-900)(y^2-1600)=0$

$y^2=900\Rightarrow y=30\Rightarrow x=80$

       $y^2=1600\Rightarrow y=40\Rightarrow x=60$

---

18) مسالة مفتوحة: اكتب نظام من معادلتين تربيعيتين، على ان تكون النقطة(5,3) احد حلوله 

$$\begin{gathered} x^2+y^2=34 \\ {x}^2-y^2=16 \\ \Rightarrow 2x=50\Rightarrow x^2=25\Rightarrow x=\pm 5 \\ {y}^2=34-25=9\Rightarrow y=\pm 3 \end{gathered}$$

$(5,3) (5,-3) (-5,3) (-5,-3)$

19) تحد: قطعة من ورق مقوى مستطلية الشكل، مساحتها $216 c{m}^2$، ثني طولاها، ولصقا معا، فتشكل انبوب اسطواني حجمه $224 c{m}^2$. اجد بعدي قطعة الورق 

الحل :

طول القطعة المستقيمة هو     $x$   العرض هو$y$                      $$\begin{gathered} xy=216 \\ v={\mathrm{\pi r}}^2\times \mathrm{x}\Rightarrow 224=\mathrm{\pi }{\left(\frac{\mathrm{v}}{2\mathrm{\pi }}\right)}^2\times \mathrm{x} \end{gathered}$$

حجم الاسطوانة = مساحة القاعدة   $x$  الارتفاع 

ارتفاع الاسطوانة هو    $x$

قاعدة الاسطوانة دائرة ومحيطها هو  $y$ 

محيط الدائرة هو $2\mathrm{\pi r}$     بالتالي       $2\mathrm{\pi r}=\mathrm{y} \Rightarrow \mathrm{r}=\frac{\mathrm{y}}{2\mathrm{\pi }}$

$$\begin{gathered} xy=216\Rightarrow 224=\frac{y^2}{4\mathrm{\pi }}x \\ x=\frac{216}{y} \\ \Rightarrow 224=\frac{y^2}{4\mathrm{\pi }}\times \frac{216}{y}\Rightarrow 4\mathrm{\pi }\times 224\mathrm{y}=216{\mathrm{y}}^2 \\ 216{\mathrm{y}}^2-4\times 224\mathrm{\pi y}=0\Rightarrow 8\mathrm{y}\left(27\mathrm{y}-112\mathrm{\pi }\right)=0 \\ \mathrm{y}=0 \mathrm{تهمل} \\ \mathrm{y}=\frac{112\mathrm{\pi }}{27}=13.03\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{216}{{\displaystyle \frac{112\mathrm{\pi }}{27}}}=\frac{27\times 216}{112\mathrm{\pi }}= 16.58 \end{gathered}$$
ا

 

كتاب التمارين صفحة 13

احل كلا من انظمة المعادلات التربيعية الاتية، ثم اتحقق من صحة الحل: 

$$\begin{gathered} 1) y=x^2-6x+9 \\ y=x^2-3x \\ {x}^2-6x+9=x^2-3x\Rightarrow -3x=-9\Rightarrow x=3 \\ y=9-9=0\Rightarrow \left(3 ,0\right)\mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 2) y-3x^2=x+2 \\ y=-6x^2+7x \\ y=3x^2+x+2\Rightarrow 3x^2+x+2=-6x^2+7x \\ 9x^2-6x+2=0\Rightarrow 36-4\times 9\times 2=-36\mathrm{المميز} \\ \mathrm{للنظام} \mathrm{حل} \mathrm{يوجد} \mathrm{لا} \mathrm{سالب} \mathrm{المميز} \\ 3) y=0.5x^2+0.5x+1 \\ y=-x^2+2x+4 \\ \Rightarrow 0.5x^2+0.5x+1=-x^2+2x+4 \\ 1.5x^2-1.5x-3=0\Rightarrow x^2-x-2=0 \\ \left(x-2\right)\left(x+1\right)=0\Rightarrow x_1=2 ,y_1=4 \\ {x}_2=-1\Rightarrow y_2=1 \\ \left(2,4\right) \left(-1, 1\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 4) y=2x^2+8x+4 \\ y=x^2+2x+4 \\ \Rightarrow 2x^2+8x+4=x^2+2x+4 \\ {x}^2+6x=0\Rightarrow x\left(x+6\right)=0 \\ {x}_1=0\Rightarrow y_1=4 \\ {x}_2=-6\Rightarrow y_2=28 \\ \left(0,4\right) ,\left(-6 ,28\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 5) y-x^2=0 \\ y+x^2=0 \\ \Rightarrow 2y=0\Rightarrow y=0\Rightarrow x=0 \\ \left(0,0\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 6)y=x^2+x-1 \\ y=5-x^2 \\ {x}^2+x-1=5-x^2\Rightarrow 2x^2+x-6=0 \\ 1-4\times 2\times -6=49 \\ {x}_1=\frac{-1+\sqrt{49}}{2x2}=\frac{-1+7}{4}=1.5 ,y_1=5-{\left(1.5\right)}^2=2.75 \\ {x}_2=\frac{-1-\sqrt{49}}{2x2}=\frac{-1-7}{4}=-2 ,y_2=5-{\left(-2\right)}^2=1 \\ \left(1.5 ,2.75\right) \left(-2 ,1\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 7) y=x^2+x+2 \\ y+x^2+2=0 \\ \Rightarrow y=-x^2-2\Rightarrow x^2+x+2=-x^2-2 \\ 2x^2+x+4=0\Rightarrow 1-4\times 2\times 4=-31 \mathrm{المميز} \\ \mathrm{للنظام} \mathrm{حل} \mathrm{يوجد} \mathrm{لا} \mathrm{سالب} \mathrm{المميز} \mathrm{لان} \\ 8)y=x^2+2x+2 \\ y=-x^2-2x+2 \\ \Rightarrow 2x^2+4x=0\Rightarrow 2x\left(x+2\right)=0 \\ {x}_1=0\Rightarrow y_1=2 \\ {x}_2=-2\Rightarrow y_2=2 \\ \left(0,2\right) \left(-2,2\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 9)y=-x^2+2x+2 \\ y=-x^2-2x+2 \\ \Rightarrow 4x=0\Rightarrow x=0\Rightarrow y=2 \\ \left(0,2\right)\mathrm{النظام} \mathrm{حل} \\ 10) y^2=-x^2+4 \\ y=0.5x^2-2 \\ {x}^2=4-y^2\Rightarrow y=0.5\left(4-y^2\right)-2\Rightarrow 2y+y^2=0 \\ y\left(2+y\right)=0\Rightarrow y_1=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2 \\ {y}_2=-2\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0 \\ \left(2,0\right) \left(-2,0\right) \left(0,-2\right)\mathrm{النظام} \mathrm{حلول} \\ 11) 4y+9x^2=25 \\ y-x^2=3x-4 \\ \Rightarrow y=\frac{25-9x^2}{4}\Rightarrow \frac{25-9x^2}{4}-x^2-3x+4=0 \\ 25-9x^2-4x^2-12x+16=0\Rightarrow -13x^2-12x+41=0 \\ {x}_1=1.3 \Rightarrow y_1=1.57 \\ {x}_2 =0.46\Rightarrow y=-2.4 \\ \left(\mathrm{القانون} \mathrm{العام}\right)\Rightarrow \left(1.3 ,1.57\right) \left(0.46,-2.4\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حلول} \\ 12) x^2+y^2=16 \\ y^2={\left(x-3\right)}^2 \\ \Rightarrow x^2+{\left(x-3\right)}^2=16\Rightarrow 2x^2-6x-7=0 \\ {x}_1=3.91\Rightarrow y_1=0.83 \\ {x}_2=1.03\Rightarrow y_2=3.86 \\ \left(3.91,0.83\right) \left(1.03 ,3.86\right) \mathrm{النظام} \mathrm{حلول} \end{gathered}$$

 

13) كرة طائرة: في اثناء لعب سامية وهند كرة طائرة، رمت سامية الكرة على شكل منحنى معادلة $y=-x^2+3$، ثم رمت هند الكرة على شكل منحنى معادلة $y=-x^2+2x$. اجد احداثيات نقطة التقاء الكرتين 

الحل:

$$\begin{gathered} y=-x^2+3 \\ y=-x^2+2x \\ \Rightarrow 3-2x=0\Rightarrow x=1.5\Rightarrow y=0.75 \\ \left(1.5 , 0.75\right) \mathrm{الحلول} \end{gathered}$$

 

14) ابراج: اراد مركز حراسة ايجاد نقطة التقاطع المبينة في الشكل المجاور لتركيب ابراج مراقبة عندها. اجد احداثيات هذه النقاط 

$$\begin{gathered} y=20-x^2 \\ {x}^2+y^2=64 \\ {x}^2+{\left(20-x^2\right)}^2=64\Rightarrow x^2+400-40x^2+x^4-64=0 \\ {x}^4-39x^2+336=0\Rightarrow x=\pm 3.58 , x=\pm 5.11 \\ \left(3.58 ,7.15\right) , \left(-3.58 ,7.15\right) , \left(5.11 ,-6.15\right), \left(-5.11 ,-6.12\right) \end{gathered}$$