رياضيات

الثامن

icon

حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض

حل أسئلة أتحقق من فهمي : 

أتحقق من فهمي : 

أحل كلاً من أنظمة المعادلات الاتية مستعملاً التعويض: 

1)  y = 17 - 4x 

     2x + y = 9

المعادلة الثانية : 

2x + y = 9                                        المعادلة الثانية

2x  + ( 17 - 4x ) = 9                     ( 17 - 4x ) أعوض  y  ب

2x + 17 - 4x = 9

- 2x + 17 = 9

-2x + 17 - 17 = 9 - 17 

- 2x = - 8

-2x-2 = -8-2

x = 4 

أعوض  35  بدلاً من  y في المعادلة الاولى

y = 17 - 4x

y = 17 - 4 ( 45 ) 

y = 17 - 16 

y = 1

إذن حل النظام هو  ( 1 , 4 ) 

........................................................................................................................................................................................................................................................................

2) y - 5x = 1

     x = y + 3

أعوض  y + 3  بدلاً من x  في المعادلة الأولى 

y - 5x = 1                                      المعادلة الأولى

y - 5 ( y + 3 ) = 1

y - 5y + 15 = 1

- 4y - 15 = 1

- 4y - 15 + 15 = 1 + 15

- 4y = 16

-4y-4 = 16-4

y = -4

أعوض 4 -  بدلاً  من  y  في المعادلة الثانية : 

x = y + 3                    المعادلة الثانية

x = -4 + 3

x = - 1

إذن حل النظام ( 4 - , 1 - ) 

...................................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي : 

أحل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية مستعملاً التعويض: 

1) 4x + 3y = 37

    2x + y = 17

من المعادلة الثانية أعزل  y فيكون : 

2x + y = 17                                   المعادلة الثانية 

2x + y - 2x = 17 - 2x

y = 17 - 2x 

أعوض  ( 17 - 2x )   بدلاً من  y  في المعادلة الأولى :

4x + 3y = 37                                      المعادلة الأولى 

4x + 3 ( 17 - 2x ) = 37

4x + 51 - 6x = 37

-2x + 51 = 37

-2x + 51 - 51 = 37 - 51

- 2x = -14

-2x-2 = -14 -2

x = 7

أعوض 7  بدلاً من y   في المعادلة الثانية : 

2 ( 7 ) + y = 17

14 + y = 17

14 + y - 14 = 17 - 14

y = 3

إذن حل النظام  ( 3 , 7 ) 

.....................................................................................................................................................................................................................................................................

2) x + 3y = 7

    2x - y = 7

أعزل  x  من المعادلة الأولى : 

x + 3y = 7

x + 3y - 3y = 7 - 3y

x = 7 - 3y

أعوض  ( 7 - 3y )   بدلاً من x  في المعادلة الثانية :

2x - y = 7

2 ( 7 - 3y ) - y = 7

14 - 6y -y = 7

14 - 7y = 7

14 - 7y - 14 = 7 - 14

- 7y = - 7

-7y -7 = -7-7

y = 1

أعوض 1 بدلاً من  y في المعادلة الثانية :

2x - y = 7

2x - 1 = 7

2x - 1 + 1 = 7 + 1

2x = 8

2x2 = 82

x = 4 

إذن حل النظام  ( 1 , 4 ) 

....................................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي : 

أحل نظام كلاً من المعادلات الآتية مستعملاً التعويض : 

3)  x - 2y = 4

      8y - 4x = 8

أعزل  x  من المعادلة الأولى 

x - 2y = 4

x - 2y + 2y = 4 + 2y

x = 4 + 2y

أعوض  ( 4 + 2y )  بدلاً من  x  في المعادلة الثانية :

8y - 4x = 8

8y - 4 ( 4 + 2y ) = 8

8y - 16 - 8y = 8

- 16 = 8

الجملة الأخيرة خاطئة 

إذن لا يوجد حل لنظام المعادلتين.

....................................................................................................................................................................................................................................................................

4)  x - 5y = 15

    10 y - 2x = - 30

أعزل  x من المعادلة الأولى 

x - 5y = 15

x - 5y + 5y = 15 + 5y

x = 15 + 5y

أعوض  ( 15 + 5y ) بدلاً من  x في المعادلة الثانية :

10y - 2x = - 30

10 y - 2 ( 15 + 5y ) = - 30

10y - 30 - 10y = - 30

- 30 = - 30

الجملة الأخيرة صحيحة 

إذن يوجد عدد لا نهائي من الحلول

............................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي : 

اشترى خالد كتابا وناقلة بيانات ب 14 دينار، اذا كان مثلا ثمن الكتاب يزيد عن ثمن ناقلة البيانات بمقدار  10  دنانير،

فما سعر كل من ناقلة البيانات والكتاب؟

 

الحل : 

المعطيات :  - ثمن الكتاب وناقلة البيانات  14  دينار

                    - مثلا ثمن الكتاب يزيد عن ثمن ناقلة البيانات بمقدار   10 دنانير

المطلوب : سعر كل من ناقلة البيانات والكتاب 

المتغيرات :               x :    سعر ناقلة البيانات 

                                   y :     سعر الكتاب 

المعادلات :

x + y = 14

2y- x = 10

أحل نظام المعادلتين الخطيتين :

أعزل  x من المعادلة الاولى :

x = 14 - y

اعوض (    14 - y ) بدلاً من   x في المعادلة الثانية :

2 y - ( 14 - y ) = 10

2y - 14 + y = 10

3y - 14 = 10

3y = 10 + 14

3y = 24

3y3 = 243

y = 8

أعوض 8 بدلاً من y في المعادلة الاولى:

x + y = 14

x + 8 = 14

x = 14 - 8

x = 6

إذن ثمن ناقلة البيانات  هو  6  دينار  ، وثمن الكتاب هو  8 دنانير 

....................................................................................................................................................................................................................................................................

حل أسئلة وتمارين الكتاب :

أتدرب وأحل المسائل : 

أحل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية مستعملاً بالتعويض :

1) y = 4x + 2

    2x + y = 8

أعوض قيمة y من المعادلة الأولى في المعادلة الثانية: 

2x + y = 8                             المعادلة الثانية

2x + ( 4x + 2 ) = 8

2x + 4x + 2 = 8

6x + 2 = 8

6x + 2 - 2 = 8 - 2

6x = 6

6x 6 = 66

x = 1

أعوض  x = 1  في المعادلة الأولى : 

y = 4x + 2                          المعادلة الأولى

y = 4 ( 1 ) + 2

y = 4 + 2

y = 6

إذن حل النظام ( 6 , 1 ) 

....................................................................................................................................................................................................................................................................

2) y = x + 5

    y = - 2x - 4

أعوض قيمة y من المعادلة الاولى في المعادلة الثانية 

y = - 2x - 4

x + 5 = - 2x - 4

x + 5 + 2x = - 2x - 4 + 2x

3x + 5 = - 4

3x + 5 - 5 = - 4 -5

3x = - 9

3x3 = -93 

x = - 3

أعوض   x = -3 في المعادلة الأولى : 

y = -3 + 5

y = + 2

إذن حل النظام هو ( 2 , 3- ) 

......................................................................................................................................................................................................................................................................

3) x = 3 - 12 y 

   5x - y = 1

أعوض قيمة  x من المعادلة الأولى في المعادلة الثانية : 

5x - y = 1

5 ( 3 - 12y ) - y = 115 -  52y - y = 115 - 2.5 y - y = 115 -3.5 y = 115 - 3.5 y - 15 = 1 - 15- 3.5 y = - 14-3.5y-3.5 = - 14- 3.5y = 4

أعوض  y = 4  في المعادلة الأولى : 

x = 3 - 12yx = 3 - 12 ( 4 ) x = 3 - 2x = 1

إذن حل النظام هو  ( 4 , 1 ) 

............................................................................................................................................................................................................................................................................

4)  12x - y = 2

      y = 9 - 5x

أعوض قيمة y  من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى :

12 x - y = 212 x - ( 9 - 5x ) = 212 x -9 + 5x = 25.5 x - 9 = 25.5x - 9 + 9 = 2 + 95.5 x = 115.5x5.5 = 115.5x = 2

أعوض x = 2  في المعادلة الثانية :

y = 9 - 5 x

y = 9 - 5 ( 2 )

y = 9 - 10

y = -1

إذن حل النظام هو  ( 1- , 2 )

...................................................................................................................................................................................................................................................................

5) x - 4y = 20 

    y - 3x = 6

أعزل  x  من المعادلة الأولى 

x - 4y = 20 

x - 4y + 4y = 20 + 4y 

x = 20 + 4y

أعوض  ( 20 + 4y )  في المعادلة الثانية

y - 3x = 6

y - 3 ( 20 + 4y ) = 6 

y - 60 - 12y = 6

-11y - 60 = 6

-11y - 60 + 60 = 6 + 60

-11y = 66

-11y-11 = 66-11

y = - 6 

أعوض قيمة   y في المعادلة الأولى 

x - 4y = 20

x - 4 (- 6 ) = 20

x + 24 = 20

x + 24 - 24 = 20 - 24

x = - 4 

إذن حل النظام ( 6 - , 4 - ) 

...................................................................................................................................................................................................................................................................

6)  y - 6x = 3

      y - 2x = 3

أعزل y  من المعادلة الأولى : 

y - 6x = 3

y - 6x + 6x = 3 + 6x

y = 3 + 6x 

أعوض    ( 3 + 6x )  في المعادلة الثانية :

y - 2x = 3

( 3 + 6x ) - 2x = 3

3 + 6x - 2x = 3

3 + 4x = 3

3 + 4x - 3 = 3 - 3

4x = 0

4x4 = 04

x = 0

أعوض x = 0  في المعادلة الاولى 

y - 6x = 3

y - 6 ( 0 ) = 3

y - 0 = 3

y = 3

إذن حل النظام هو ( 3 , 0 )

.......................................................................................................................................................................................................................................................................

7)  8x - y = 16

14y - 2x = 3

أعزل   y  من المعادلة الأولى 

8x - y = 16

8x - y - 8x = 16 - 8x 

-y = 16 - 8x

+1 ( - y ) = - 1 ( 16 - 8x )

y = -16 + 8x

y = 8x - 16

أعوض ( 8x - 16 ) في المعادلة الثانية 

14y - 2x = 3

14 ( 8x - 16 ) - 2x = 384x - 164 - 2x = 32x - 4 -2x = 3-4 = 3

العبارة الرياضية الأخيرة خاطئة  ، إذن لا يوجد حل لنظام المعادلتين .

.....................................................................................................................................................................................................................................................................

8) 6x - 9y = 18

    -2x + 3y = -6

أعزل  y  من المعادلة الثانية : 

-2x + 3y = - 6

- 2x + 3y + 2x = -6 + 2x

3y = 2x - 6 

3y3 = 2x3 - 63y = 23x - 2

أعوض قيمة  y  في المعادلة الاولى :

6x - 9y = 18

6x - 9 ( 23x - 2 ) = 186x - 183x + 18 = 18

6x - 6x + 18 = 18

18 = 18 

إذن لنظام المعادلتين عدد لا نهائي من الحلول.

........................................................................................................................................................................................................................................................................

9)  y + 3x + 6 = 0

     y + 6x + 24 = 0

أعزل قيمة  y  من المعادلة الأولى :

y + 3x + 6 = 0

y + 3x + 6 - 3x -6 = 0 - 3x -6 

y = - 3x -6

أعوض قيمة   y من المعادلة الاولى في المعادلة الثانية :

y + 6x + 24 = 0

-3x -6 + 6x + 24 = 0

3x + 18 = 0

3x + 18 - 18 = 0 - 18

3x = - 18

3x3 = -183

x = - 6

أعوض 6 -  في المعادلة الأولى : 

y + 3x + 6 = 0

y + 3 ( - 6 ) + 6 = 0

y - 18 + 6 = 0

y - 12 = 0

y - 12 + 12 = 0 + 12

y = 12

إذن حل النظام هو ( 12 , 6 - ) 

............................................................................................................................................................................................................................................................................

10) مزرعة : مزرعة حيوانات فيها دجاج وأرانب ، إذا عددت رؤوسها سأجدها  18  رأساً ، وإذا عددت أرجلها سأجدها  50 رجلاً ،

كم دجاجة وكم أرنباً في هذه المزرعة؟

الحل : 

المعطيات : - عدد الدجاج والأرانب  18

                    - عدد أرجل الدجاج والأرانب  50 رجلاً 

علماً أن : للدجاجة  اثنتان من الأرجل 

وللأرانب  4  من الأرجل

المطلوب : عدد الدجاج وعدد الأرانب

المتغيرات :   x :   عدد الدجاج

                      y:    عدد الأرانب

المعادلات:

x + y = 18

2x + 4y = 50

أحل نظام المعادلات الخطية :

أعزل  y من المعادلة الأولى :

x + y = 18

x + y - x = 18 - x 

y = 18 - x

أعوض  18 - x بدلاً من  y   في المعادلة الثانية : 

2x + 4y = 50

2x + 4 ( 18 - x ) = 50

2x + 72 - 4x = 50

-2x + 72 - 72 = 50 - 72

- 2x = - 22

-2x-2= -22-2

x = 11

أعوض 11 بدلاً من  x في المعادلة الأولى : 

x + y = 18

11 + y = 18

11 + y - 11 = 18 - 11

y = 7

( 7 , 11 ) حل لنظام المعادلتين ، 

إذن عدد الدجاج هو  11

عدد الأرانب هو  7

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

فاكهة : اشترى مراد وفؤاد برتقالاً وتفاحاً من النوع نفسه ، فدفع مراد 3.25 JD  عند شرائه   5kg  برتقالاً و  1kg  تفاحاً ، 

ودفع فؤاد 3.75 JD  عند شرائه  3Kg  تفاحا و 3kg برتقالاً .

11) اكتب نظاماً من معادلتين خطيتين يمثل المسألة، ثم أحله لأجد سعر الكيلو غرام الواحد من كل من التفاح والبرتقال.

12) إذا اشترت منال  2kg  من نوع التفاح نفسه و  2kg  من نوع البرتقال نفسه ، فما المبلغ الذي دفعته.

الحل: 

11) المعطيات :  - مشتريات مراد : دفع  3.25 JD مقابل  5kg  برتقال و  1kg  تفاح

                            - مشتريات فؤاد : دفع  3.75 JD مقابل  3kg  تفاح و  3kg  برتقال

المطلوب : - كتابة نظام معادلتين خطيتين يمثل المسألة 

                  - سعر الكيلو غرام الواحد لكل من البرتقال والتفاح

المتغيرات:    x:    سعر كليو التفاح

                        y:   سعر كيلو البرتقال

المعادلات:

x + 5y = 3.25

3x + 3y = 3.75

أحل نظام المعادلتين : 

أعزل x من المعادلة الأولى :

x + 5y = 3.25

x + 5y - 5y = 3.25 - 5y

x = 3.25 - 5y

أعوض    ( 3.25 - 5y )   بدلاً من  x   في المعادلة الثانية :

3x + 3y = 3.75

3 ( 3.25 - 5y ) + 3y = 3.75

9.75 - 15y + 3y = 3.75

9.75 - 12y = 3.75

9.75 - 12y - 9.75 = 3.75 - 9.75

- 12y = - 6

-12y-12 = -6 -12y =  12

y = 0.5

أعوض  0.5 بدلاً من  y  في المعادلة الأولى :

x + 5y = 3.25

x + 5 ( 0.5 ) = 3.25

x + 2.5 = 3.25

x + 2.5 - 2.5 = 3.25 - 2.5

x = 0.75 

إذن ثمن كيلو التفاح   0.75 JD

وثمن كيلو البرتقال    0.5 JD

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

12) مشتريات منال : 

2x + 2y = ?

2 ( 0.75 ) + 2 ( 0.5 ) = ?

1.5 + 1 = 2.5

إذن المبلغ الذي دفعته منال هو    :  2.5  JD

.............................................................................................................................................................................................................................................................................

13) سياحة : يبين الجدول الآتي أعداد السياح في موقعين أثريين في أحد الأعوام ، ومعدل الزيادة المئوية في أعداد السياح ( بالآلاف )بعد ذلك العام : 

 

      أعداد السياح

       (بالالاف  )                         

       معدل الزيادة في أعداد السياح

              ( بالالاف لكل عام)

الموقع أ                      57                      1.1
الموقع ب                      61                      0.7

إذا استمرت الزيادة في أعداد السياح وفق المعدلات ، فبعد كم عام يمكن أن تتساوى أعداد السياح في الموقعين ؟ وكم يبلغ عددهم حينئذ؟

الحل: 

المعطيات : - الموقع أ :  أعداد السياح في عام معين 57000  سائح

                                         معدل الزيادة السنوية  1100 سائح

                   - الموقع ب : أعداد السياح في العام نفسه  61000 سائح

                                        معدل الزيادة  700 سائح

المطلوب : بعد كم عام يمكن أن تتساوى أعداد السياح في الموقعين 

المتغيرات :   x:    عدد السياح

                      y:     عدد الأعوام

المعادلات : 

x = 1100y + 5700

x = 700y + 61000

أعوض  ( 1100y + 57000) بدلاً من    x  في المعادلة الثانية : 

x = 700 y + 61000

1100 y + 57000 = 700 y + 61000

1100y + 57000 - 700 y = 700 y + 61000 - 700 y

400 y + 57000 = 61000

400 y + 57000 - 57000 = 61000 - 57000

400 y = 4000

400y400 = 4000400

y = 10

أعوض  10  بدلاً من x  في المعادلة الأولى:

x = 1100 y + 5700

x = 1100 ( 10 ) + 5700

x = 11000 + 5700

x = 68000

إذن يتساوى عدد السياح في الموقعين بعد  10  أعوام .

ويكون عدد السياح في كل موقع  68000 سائح.

........................................................................................................................................................................................................................................................................

14) هندسة : إذا كانت القيمة العددية لمحيط المثلث المجاور تساوي القيمة العددية لمساحته ، فما قيمة x ؟

الحل : 

مجموع أطوال أضلاعه  = محيط المثلث

محيط المثلث =   2x + x +1 + 8

محيط المثلث =   3x + 9

مساحة المثلث =   القائمين الضلعين ضرب حاصل2

مساحة المثلث =    8 ( x + 1 ) 2 = 8x +82 = 4x + 4

حسب معطيات المسألة : 

القيمة العددية لمحيط المثلث = القيمة العددية لمساحة المثلث

4x + 4 = 3x + 9

4x + 4 - 3x = 3x + 9 - 3x

x + 4 = 9

x + 4 - 4 = 9 - 4

x = 5

قيمة  x  هي  5 

......................................................................................................................................................................................................................................................................

15) تبرير : أجد قيمتي الثابتين a و  b في نظام المعادلات الخطية الآتي ، حيث الزوج المرتب ( 1 , 9- ) هو حل النظام ، مبرراً إجابتي : 

ax + by = - 31

ax - by = - 41

الحل: 

الزوج المرتب ( 1 , 9- )  هو حل للنظام

إذن يحقق المعادلتين وبالتالي أعوض  x = 9    ,    y = 1   في المعادلتين فيكون :

ax + by = - 31

a ( -9 ) + b ( 1 ) = - 31

- 9a + b = - 31                   المعادلة الأولى

ax - by = - 41

a ( - 9 ) - b ( 1 ) = - 41

- 9a - b = - 41                المعادلة الثانية

لحساب  a , b  أحل نظام المعادلتين الخطيتين : 

- 9a + b = - 31                 المعادلة الأولى 

- 9a - b = - 41                 المعادلة الثانية

أعزل b من المعادلة الأولى :

- 9a  + b = - 31

- 9a + b + 9 a = - 31 + 9a

b = 9a - 31

أعوض  9a - 31 بدلاً من  b في المعادلة الثانية :

- 9a - b = - 41

- 9a - ( 9a - 31 ) = - 41

- 9a -9a + 31 = - 41

- 18 a + 31 = - 41

-18 a  + 31 - 31 = - 41 - 31

- 18 a = - 72

- 18 a- 18 = - 72- 18

a = 4 

أعوض a = 4   في المعادلة الأولى :

- 9a + b = - 31

- 9 ( 4 ) + b = - 31

- 36 + b = - 31

- 36 + b  + 36 = - 31 + 36

b = 5

إذن قيمة  :    a = 4    ,   b = 5 

......................................................................................................................................................................................................................................................................

16) مسألة مفتوحة : اكتب نظام معادلات خطية مكوناً من معادلتين خطيتين حيث يمثل الزوج المرتب ( 5- , 3 ) حلاً لإحدى المعادلتين فقط،

ويمثل الزوج المرتب ( 7 , 1- ) حلاً للنظام.

الحل: 

أفرض أن المعادلة الأساسية هي

y = ax + b

أعلم أن  ( 5- , 3 ) ، ( 7 , 1- )  كلا الزوجين هو حل للمعادلة السابقة ، فيكون لدينا : 

- 5 = 3a + b                  أعوض ( 5- , 3 ) في المعادلة الأساسية

7 = - a + b                    أعوض ( 7 , 1- ) في المعادلة الأساسية

أحل نظام المعادلتين السابقتين لحساب   a , b

من المعادلة الأولى أعزل b  فيكون

b = - 5 - 3a

أعوض   ( -5 - 3a )  بدلاً من  b  في المعادلة الثانية : 

7 = -a + ( -5 - 3a ) 

7 = - a -5 - 3a

7 = - 4a -5

7 + 4a -7 = - 4a - 5 + 4a -7

4a = -5 -7

4a = - 12

4a4 = -124

a = - 3

أعوض  b  في احدى المعادلتين السابقتين مثلاً المعادلة الثانية : 

7 = - a + b 

7 = - ( -3 ) + b

7 = 3 + b

7 - 3 = 3 + b - 3

4 = b

b = 4

إذن المعادلة الأولى التي تحقق الزوجين هي : 

y = - 3x + 4

وبما أن المعادلة الثانية تحقق الزوج ( 7 , 1 - ) ، أختار مثلاً المعادلة : 

y = - x + 6

إذن جملة المعادلتين هي : 

y = - 3x + 4

y = -x + 6

............................................................................................................................................................................................................................................................................

17) تتألف دفعة من خريجي دورة للدفاع المدني من  240  شخصاً ، نسبة الذكور فيها الى الاناث  7 : 5 ، 

أكتب نظاماً من معادلتين خطيتين يمثل المسألة ، ثم احله لأجد عدد الذكور وعدد الاناث في هذه الدفعة من الخريجين.

الحل : 

المعطيات : - عدد أفراد الدورة  240  شخص

                    - نسبة الذكور الى الاناث  7 : 5  أي   xy = 57

المطلوب : أكتب نظام من معادلتين يمثل المسألة ، وأحل النظام لأجد عدد الذكور وعدد الاناث

المتغيرات :    x :     عدد الذكور 

                      y :       عدد الاناث

المعادلات : 

x + y = 240

7x - 5y = 0

أعزل  x  من المعادلة الأولى

x + y = 240

x = 240 - y 

وأعوض في المعادلة الثانية :

7x - 5y = 0

7 ( 240 - y ) - 5y = 0

1680 - 7y - 5y = 0

1680 - 12y = 0

1680 - 12y - 1680 = - 1680

- 12y = - 1680

- 12y - 12 = - 1680- 12

y = 140

أعوض    y = 140   في المعادلة الأولى :

x + 140 = 240

x + 140 - 140 = 240 - 140

x = 100

إذن  : عدد الذكور  100 فرد

          عدد الاناث  140 فرد

........................................................................................................................................................................................................................................................................

18) كيف أحل نظام معادلات خطية مكوناً من معادلتين بالتعويض ؟

الحل: 

لحل نظام المعادلات الخطية المكونة من معادلتين بالتعويض

1- أعزل أحد المتغيرات في أحد الطرفين 

2- أعوض قيمة المتغير الذي حصلت عليه من المعادلة السابقة في المعادلة الأخرى.

3- بعد ذلك أبسط وأحصل على قيمة المتغير وأعوض في احدى المعادلتين لأحصل على قيمة المتغير الثاني.

4- بذلك تحصل على زوج مرتب يمثل حلاً لنظام المعادلتين الخطيتين.

............................................................................................................................................................................................................................................................................

حل مسائل كتاب التمارين : 

اكتب بجانب كل نظام معادلات مما يأتي رمز التمثيل البياني المناسب له ، مبرراً إجابتي : 

الحل : 

أحل كل من انظمة المعادلات السابقة لايجاد نقطة التقاطع في كل نظام :

1) y = x - 2

   y = -2x + 1

 أعوض  y  من المعادلة الأولى في المعادلة الثانية : 

y = - 2x + 1

x - 2 = - 2x + 1

x - 2 + 2x + 2 = -2x + 1 + 2x + 2

3x = 3

3x3 = 33

x = 1

أعوض x = 1 في المعادلة الاولى : 

y = x - 2

y = 1 - 2 

y = - 1

إذن حل النظام ( 1- , 1 ) وهي ذاتها نقطة التقاطع في الشكل  b 

إذن رمز التمثيل البياني للنظام رقم  1   هو   b

....................................................................................................................................

2)  y = x - 3

     y = - 13  x + 1

أعوض قيمة  y  من المعادلة الاولى في المعادلة الثانية 

y = - 13 x + 1x - 3 = -13x + 13 ( x - 3 ) = 3 ( - 13x + 1 ) 3x - 9 = - x + 3

3x - 9 + x + 9 = - x + 3 + x + 9

4x = 12

4x4 = 124

x = 3

أعوض x = 3  في المعادلة الأولى :

y = x - 3

y = 3 - 3 

y = 0

إذن حل النظام ( 0 , 3 ) وهي ذاتها نقطة التقاطع في الشكل c

إذن رمز التمثيل البياني للنظام رقم  2  هو   c

...................................................................................................................

3) y = 12x - 2y = 4x + 5

أعوض قيمة  y  من المعادلة الثانية في المعادلة الاولى

y = 12x - 24x + 5 = 12x - 22 ( 4x + 5 ) = 2 ( 12x - 2 ) 

8x + 10 = x - 4

8x + 10 - 10 - x = x - 4 - 10 - x

7x = - 14

7x7 = -147

x = - 2

أعوض  x = - 2  في المعادلة الثانية : 

y = 4x + 5

y = 4 ( - 2 ) + 5

y = - 8 + 5

y = - 3

إذن حل النظام  ( 3- , 2 - ) وهي ذاتها تمثل نقطة التقاطع في الشكل a

إذن رمز التمثيل البياني للنظام رقم 3  هو  a

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

أحل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية مستعملاً التعويض: 

4) y = x + 1

     x + y = 7

أعوض قيمة  y من المعادلة الأولى في المعادلة الثانية :

x + y = 7

x + ( x + 1 ) = 7

x + x + 1 = 7

2x + 1 = 7

2x + 1 - 1 = 7 - 1

2x = 6

2x2 = 62

x = 3

أعوض   x = 3   في المعادلة الأولى: 

y = x + 1

y = 3 + 1

y = 4

إذن حل النظام  ( 4 , 3 )

...........................................................................................................................................................................................................................................................................

5) y = x + 5

     2x + 3y = 15

أعوض y من المعادلة الأولى في المعادلة الثانية :

2x + 3y = 15

2x + 3 ( x + 5 ) = 15

2x + 3x + 15 = 15

5x + 15 - 15 = 15 - 15

5x = 0

5x5 = 05

x = 0

أعوض x = 0  في المعادلة الأولى 

y = x + 5

y = 0 + 5

y = 5

إذن حل النظام  ( 5 , 0 ) 

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

6) x = 3 - y 

    x - y = - 1

أعوض قيمة  x  من المعادلة الاولى في المعادلة الثانية : 

x - y = -1

( 3 - y ) - y = - 1

3 - y -y = -1

3 - 2y = - 1

3 - 2y - 3 = -1 - 3

- 2y = - 4

-2 y- 2 = -4-2

y = 2

أعوض  y = 2  في المعادلة الأولى 

x = 3 - y

x = 3 - 2

x = 1

إذن حل النظام  ( 2 , 1 )

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

7)  14x - 2y = 0

       y = 17 - 2x

أعوض قيمة  y من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى :

14x - 2 y = 014x - 2 ( 17 - 2x ) = 014x - 34 + 4x = 04.25 x - 34 = 04.25x - 34 + 34 = 0 + 344.25x = 344.25x4.25 = 344.25x = 8

أعوض  x = 8  في المعادلة الثانية :

y = 17 - 2x

y = 17 - 2 ( 8 )

y = 17 - 16

y = 1

إذن حل النظام   ( 1 , 8 ) 

.............................................................................................................................................................................................................................................................................

8) 3x - 4y = 2

     y - 3x = -5

أعزل y  من المعادلة الثانية : 

y - 3x = - 5

y - 3x + 3x = -5 + 3x

y = 3x - 5

أعوض ( 3x - 5 )  في المعادلة الاولى :

3x - 4y = 2

3x - 4 ( 3x - 5 ) = 2

3x - 12x  + 20 = 2

- 9x + 20 - 20 = 2 - 20

- 9x = - 18

-9x-9 = -18-9

x = 2

أعوض  x = 2  في المعادلة الثانية:

y - 3x = - 5

y - 3 ( 2 ) = - 5

y - 6 = - 5

y - 6 + 6 = - 5 + 6

y = 1

إذن حل النظام ( 1 , 2 ) 

.............................................................................................................................................................................................................................................................................

9) y - x = 3

    y - 2x = 1

أعزل y  من المعادلة الأولى :

y - x = 3

y - x + x = 3 + x

y = x + 3

أعوض ( x + 3 )  في المعادلة الثانية :

y - 2x = 1

x + 3 - 2x = 1

-x + 3 = 1

-x + 3 - 3 = 1 - 3

- x = - 2

-x-1 = -2-1

x = 2

أعوض  2  في المعادلة الأولى : 

y - x = 3

y - 2 = 3

y - 2 + 2 = 3 + 2

y = 5

إذن حل النظام  ( 5 , 2 )

............................................................................................................................................................................................................................................................................

10) 2x - y = 14

      12 y + x = 9

أعزل  y من المعادلة الأولى : 

2x - y = 14

2x - y - 2x = 14 - 2x

-y = 14 - 2x

-1 ( - y ) = - 1 ( 14 - 2x )

y = 2x - 14

أعوض قيمة  y في المعادلة الثانية :  

12y + x = 912  ( 2x - 14 ) + x = 9x - 7 + x = 92x - 7 + 7 = 9 + 72x = 162x2 = 162

x = 8

أعوض 8  في المعادلة الأولى : 

2 ( 8 ) - y = 14

16 - y = 14

16 - y - 16 = 14 - 16

-y = -2

-1 ( - y ) = -1 ( - 2 )

y = + 2

إذن حل النظام   (  2 , 8 ) 

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

11) 5x - 3y = 18 

     - 2x + 2y = - 8

أعزل y من المعادلة الثانية :

- 2x + 2y = - 8

- 2x + 2y + 2x  = - 8 + 2x

2y = 2x - 8

2y2 = 2x - 8 2

y = x - 4

 أعوض  y = x - 4  في المعادلة الأولى : 

5x - 3y = 18

5x - 3 ( x - 4 ) = 18

5x - 3x + 12 = 18

2x + 12 - 12 = 18 - 12

2x = 6

2x2 = 62

x = 3

أعوض  x = 3   في المعادلة الثانية : 

-2x + 2y = -8

-2 ( 3 ) + 2y = - 8

- 6 + 2y = - 8 

- 6 + 2y + 6 = - 8 + 6

2y = -2

2y2 = -22

y = - 1 

إذن حل النظام  ( 1 - , 3 ) 

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

12) y + 3x = - 5

      y + 6x = - 11

أعزل  y من المعادلة الأولى : 

y + 3x = - 5

y + 3x - 3x = - 5 - 3x

y = -5 - 3x

أعوض قيمة y  في المعادلة الثانية : 

( - 5 - 3x ) + 6x = - 11

-5 - 3x + 6x = - 11

- 5 + 3x = - 11

-5 + 3x + 5 = - 11 + 5

3x =  - 6

3x3 = -63

x = -2

( طريقة تعويض ثانية ) : بما أن  y = -5 -3x   أعوض  x = -2 بهذه المعادلة : 

y = -5 - 3x

y = - 5 - 3 ( - 2 )

y = -5 + 6

y = 1

إذن حل النظام  ( 1 , 2- ) 

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

13 )  تملك فاتن وفدوى  75 JD  ، فإذا كان الملغ الذي تملكه فدوى مثلي المبلغ الذي تملكه فاتن ،

فاكتب نظاما من معادلتين خطيتين يمثل المسألة ، ثم أحله لأجد المبلغ الذي تملكه كل منهما.

الحل : 

المعطيات :  - تملك فاتن وفدوى  75  JD

                     - المبلغ الذي تملكه فدوى مثلي المبلغ الذي تملكه فاتن 

المطلوب : - كتابة معادلتين خطيتين تمثل المسألة

                   - إيجاد المبلغ الذي تملكه كل من فاتن وفدوى 

المتغيرات :  x :   المبلغ الذي تملكه فاتن

                      y :   المبلغ الذي تملكه فدوى

المعطيات :

x + y = 75

y = 2x

أعوض 2x بدلاً من  y في المعادلة الأولى

x + y = 75

x + 2x = 75

3x = 75

3x3 = 753

x = 25

أعوض  25  بدلاً من  x  في المعادلة الثانية 

y = 2x

y = 2 ( 25 )

y = 50

إذن مبلغ فاتن  25 JD

مبلغ فدوى  50  JD

................................................................................................................................................................................................................................................................................

14 ) أعمار : عمر طارق يساوي ثلاثة أمثال عمر أخته صفاء ، إذا كان مجموع عمريهما يساوي  36  سنة فكم عمر كل منهما ؟ 

الحل : 

 

المعطيات : - عمر طارق ثلاثة أمثال عمر أخته صفاء

                     - مجموع  عمريهما  36  سنة 

المطلوب :  إيجاد المبلغ الذي يملكه كل من طارق واخته 

المتغيرات :  x :   عمر طارق

                      y :    عمر أخته صفاء

المعادلات : 

x = 3y 

x + y = 36

أعوض  3y بدلاً من  x في المعادلة الثانية :

x + y = 36

3y + y = 36

4y = 36

4y4 = 364

 

y = 9

أعوض  9 بدلاً من y  في المعادلة الأولى :

x = 3 ( 9 ) 

x = 27

إذن : عمر طارق  27  سنة 

          عمر أخته صفاء  9  سنوات

 

................................................................................................................................................................................................................................................................................

15) كتب : مجموع عدد صفحات كتابين سيقرأهما جلال  150  صفحة ، إذا كان عدد  صفحات الكتاب الأول يقل عن نصف عدد صفحات الكتاب الثاني بمقدار  15  صفحة ، 

فكم صفحة في كل كتاب ؟

الحل :

المعطيات : - مجموع عدد صفحات كتابين  150  صفحة

                     - عدد صفحات الكتاب الاول يقل عن نصف عدد صفحات الكتاب الثاني بمقدار  15

المطلوب : عدد صفحات كل كتاب

المتغيرات :  x :  عدد صفحات الكتاب الأول

                     y :   عدد صفحات الكتاب الثاني

المعادلات : 

x + y = 150

x = 12 y - 15

اعوض قيمة x من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى :

12 y - 15 + y = 1502 ( 12 y - 15 + y ) = 2 ( 150 )y - 30 + 2y = 3003y - 30 + 30 = 300 + 303y = 3303y3 = 3303y = 110

أعوض  110  بدلاً من  y  في المعادلة الثانية : 

x = 12 ( 110 ) - 15x = 55 - 15

x = 40 

إذن عدد صفحات الكتاب الأول  40  صفحة

عدد صفحات الكتاب الثاني  110  صفحة 

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

16) أعداد : كتبت علياء عددين مجموعهما  37  ، والفرق بينهما يساوي  14 ، فما العددان ؟

الحل :

المعطيات : مجموع العددين  37

                     فرق العددين  12

المطلوب : ما هما العددان؟

المتغير  :  x :   العدد الأول 

                y :   العدد الثاني 

المعادلات:

x + y = 37

x - y = 14

نعزل  x في المعادلة الأولى : 

x + y = 37

x + y - y = 37 - y

x = 37 - y

نعوض قيمة x  في المعادلة الثانية : 

x - y = 14

37 - y - y = 14

37 - 2y - 37 = 14 - 37

-2y = - 23

-2y-2 = -23-2

y = 11.5

 نعوض y = 11.5  في المعادلة الأولى :

x + y = 37

x + 11.5 = 37

x = 37 - 11.5

x = 25.5

إذن العدد الأولى  =  25.5

والعدد الثاني = 11.5

...............................................................................................................................................................................................................................................................................