رياضيات 8 فصل ثاني

حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف

حل أسئلة أتحقق من فهمي : 

أتحقق من فهمي: 

أحل كلاً من أنظمة المعادلات الاتية مستعملاً الحذف: 

1) 2x + y = 7

    5x - y = 14         أجمع

--------------------

 7x     = 21

$\frac{\mathbf{7}\mathbf{x}}{\mathbf{7}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{21}}{\mathbf{7}}$

x = 3

أعوض 3 في المعادلة الاولى : 

2x + y = 7

2 ( 3 ) + y = 7

6 + y = 7

y = 7 - 6

y = 1

إذن حل النظام ( 1 , 3 ) 

..............................................................................................................................................................................................................

2)   3x + 2y = 16

       6y - 3x = - 12

أرتب النظام بحيث تكون الحدود المتشابهة فوق بعضها 

3x + 2y = 16

-3x + 6y = -12         أجمع

------------------------

 8y = 4

$\frac{\mathbf{8}\mathbf{y}}{\mathbf{8}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{8}}$

$\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

أعوض  $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ في المعادلة الاولى:

3x + 2y = 16

$\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{16}$

3x + 1 = 16

3x = 16 - 1 

3x = 15

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{15}}{\mathbf{3}}$

x = 5

إذن حل النظام  ( 0.5 , 5 ) 

..............................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي : 

أحل كل من انظمة المعادلات الاتية مستعملاً الحذف :

1)   2x + 5y = 16

      2x + 3y = 18             أطرح

----------------------------

   2y = -2

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{y}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{2}}$

y = -1

أعوض 1- في المعادلة الثانية : 

2x + 3y = 18

2x + 3 ( - 1 ) = 18

2x - 3 = 18

2x = 18 + 3

2x = 21

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{21}}{\mathbf{2}}$

x = 10.5

حل النظام (  1- , 10.5 ) 

..............................................................................................................................................................................................................

2) 3x - 4y = 17

     x - 4y = 3         أطرح

--------------------

 2x  = 14

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{14}}{\mathbf{2}}$

x = 7

أعوض  7  في المعادلة الثانية: 

x - 4y = 3

7 - 4y = 3

$\mathbf{-}\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{7}$

$\mathbf{-}\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{4}$

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{4}}{\mathbf{-}\mathbf{4}}$

y = 1

إذن حل النظام  ( 1 , 7 ) 

..............................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي : 

أحل كلاً من أنظمة المعادلات الاتية مستعملاً الحذف :

1)  5x + 2y = 4

      4x - y = 11

 

5x + 2y = 4

8x - 2y = 22           أضرب المعادلة الثانية ب 2  وأجمع

---------------------

13x   = 26

$\frac{\mathbf{13}\mathbf{x}}{\mathbf{13}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{26}}{\mathbf{13}}$

x = 2

أعوض 2 في المعادلة الاولى :

5x + 2y = 4

5 ( 2 ) + 2y = 4

10 + 2y = 4

2y = 4 - 10 

2y = -6

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{y}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{6}}{\mathbf{2}}$

y = - 3

إذن حل النظام ( 3 - , 2 ) 

..............................................................................................................................................................................................................

2)  3x + 5y = 15

      x + 3y = 7

أضرب المعادلة الثانية ب 3

3x + 5y = 15

3x + 9y = 21                           أطرح

-------------------

 -4y = -6

  y = 1.5

أعوض  1.5 في المعادلة الثانية :

x + 3y = 7

x + 3 ( 1.5 ) = 7

x + 4.5 = 7

x = 7 - 4.5

x = 2.5

إذن حل النظام ( 1.5 , 2.5 )

............................................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي :

أحل كلاً من أنظمة المعادلات الاتية مستعملاً الحذف : 

1)  2x + 5y = 15

     3x - 2y = 13

أضرب المعادلة الاولى ب 3 واضرب المعادلة الثانية ب 2 لتصبح المعادلتين: 

6x + 15y =  45

6x - 4y = 26                 أطرح

-------------------------

      19y = 19

$\frac{\mathbf{19}\mathbf{y}}{\mathbf{19}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{19}}{\mathbf{19}}$

y = 1

أعوض  1  في المعادلة الاولى : 

2x + 5y = 15

2x + 5 ( 1 ) = 15

2x + 5 = 15

2x = 15 - 5

2x = 10

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{2}}$

x = 5

إذن حل النظام ( 1 , 5 )

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

2)  5x - 3y = 14

     4x - 5y = 6

أضرب المعادلة الاولى ب 5 والمعادلة الثانية ب 3 لتصبح المعادلتين : 

25x - 15y = 70

12x - 15y = 18                  أطرح

----------------------

13x   = 52

x = 4

أعوض 4 في المعالة الثانية : 

4x - 5y = 6

4 ( 4 ) - 5y = 6

16 - 5y = 6

$\mathbf{-}\mathbf{5}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{6}\mathbf{-}\mathbf{16}$

$\mathbf{-}\mathbf{5}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{10}$

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{10}}{\mathbf{-}\mathbf{5}}$

y = 2

إذن حل النظام ( 2 , 4 ) 

....................................................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي : 

حافلة فيها ركاب من النساء والاطفال ، إذا كان ثلاثة أمثال عدد النساء مضافاً اليه  مثلا عدد الاطفال يساوي 29 ، 

وكان مثلا عدد النساء مضافا اليه عدد الاطفال يساوي 17 ، فكم امرأة وكم طفل في الحافلة ؟

الحل : 

المعطيات : حافلة فيها نساء واطفال:

                     - ثلاثة أمثال عدد النساء مضافاً اليه مثلا عدد الاطفال يساوي 29

                    - مثلا عدد النساء مضافاً اليه عدد الاطفال يساوي 17

المطلوب : كم امراة وكم طفل في الحافلة

المتغيرات : أفرض   x  : عدد النساء في الحافلة 

                     أفرض  y  : عدد الاطفال في الحافلة 

المعادلات : 

3x + 2y = 29

2x + y = 17

أضرب المعادلة الثانية ب 2 فتصبح المعادلات :

3x + 2y = 29

4x + 2y = 34        أطرح

--------------------

-x = -5

x = 5

أعوض 5 في المعادلة الثانية : 

2x + y = 17

2( 5 ) + y = 17

10 + y = 17

y = 17 - 10

y =7

إذن حل النظام ( 7 ، 5 ) ، وبالتالي عدد النساء في الحافلة يساوي  5  ، وعدد الاطفال في الحافلة يساوي  7 

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

حل تمارين ومسائل الكتاب : 

أتدرب وأحل المسائل : 

أحل كلاً من أنظمة المعادلات الاتية مستعملاً الحذف :

1) 4x - y = -2

   2x + y = 8             أجمع

------------------

    6x   = 6

$\frac{\mathbf{6}\mathbf{x}}{\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{6}}$

x = 1

أعوض 1 في المعالة الثانية : 

2x + y = 8

2 ( 1 ) + y = 8

2 + y = 8

y = 8 - 2

y = 6

إذن حل النظام ( 6 , 1 ) 

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

2)  3x + y = 4

     5x + y = 6              أطرح

---------------------

$\mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}$ 

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{2}}$

x = 1

أعوض 1 في المعادلة الاولى : 

3 ( 1 ) + y = 4

3 + y = 4

y = 4 - 3

y = 1

إذن حل النظام ( 1 , 1 ) 

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

3)  6x + 2y = 14

      3x - 5y = 10

أضرب المعادلة الثانية ب 2  فتصبح المعادلتين : 

6x + 2y = 14

6x - 10y = 20     أطرح

-----------------------

      12y = - 6

$\frac{\mathbf{12}\mathbf{y}}{\mathbf{12}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{6}}{\mathbf{12}}$

y = - 0.5

أعوض 0.5 - في المعادلة الاولى : 

6x + 2y = 14

6x + 2 ( -0.5 ) = 14

6x - 1 = 14

6x = 14 + 1

6x = 15

$\frac{\mathbf{6}\mathbf{x}\mathbf{ }}{\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{15}}{\mathbf{6}}$

x = 2.5

إذن حل النظام ( 0.5 - , 2.5 )

..............................................................................................................................................................................................................................................................................

4) 11x - 20y = 28

    3x + 4y = 36

أضرب المعادلة الثانية ب 5 لتصبح المعادلتين : 

11x - 20y = 28

15x + 20 y = 180                 أجمع

-----------------------------

26x       = 208

26x = 208

$\frac{\mathbf{26}\mathbf{x}}{\mathbf{26}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{208}}{\mathbf{26}}$

x = 8

أعوض 8 في المعادلة الثانية : 

3x + 4y = 36

3 ( 8 ) + 4y = 36

24 + 4y = 36

4y = 36 - 24

4y = 12

$\frac{\mathbf{4}\mathbf{y}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{12}}{\mathbf{4}}$

y = 3

إذن حل النظام ( 3 , 8 ) 

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

5) -2x  - 5y = 9

     3x + 11y = 4

اضرب المعادلة الاولى ب 3 والمعادلة  الثانية ب 2 لتصبح المعادلتين : 

$\mathbf{-}\mathbf{6}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{15}\mathbf{=}\mathbf{27}$

6x + 22y = 8          أجمع

-------------------

     7y = 35

$\frac{\mathbf{7}\mathbf{y}}{\mathbf{7}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{35}}{\mathbf{7}}$

y = 5

أعوض 5 في المعادلة الثانية : 

3x + 11y = 4

3x + 11 ( 5 ) = 4

3x + 55 = 4

3x = 4 - 55

3x = -51 

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{-}\frac{\mathbf{51}}{\mathbf{3}}$

x = -17

إذن حل النظام ( 5 , 17- )

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

6)  y + 2x = 4

      x - y = 5

أرتب النظام لتصبح بحيث تكون الحدود المتشابهة فوق بعضها

2x + y = 4

x - y = 5            أجمع

--------------

3x  = 9

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{3}}$

x = 3

أعوض 3 في المعادلة الاولى : 

y + 2x = 4

y + 2 ( 3 ) = 4

y + 6 = 4

y = 4 - 6

y = -2

إذن حل النظام  ( 2- , 3 ) 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7)  2x + 3y = 30

      5x + 7y = 71

أضرب المعادلة الاولى ب 5 والمعادلة الثانية ب 2 لتصبح المعادلتين :

10x + 15y = 150

10x + 14y = 142        أطرح

----------------------

     y = 8

أعوض 8 في المعادلة الاولى: 

2x + 3y = 30

2x + 3 (8) = 30

2x + 24 = 30

2x = 30 - 24

2x = 6

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{2}}$

x = 3

إذن حل النظام ( 8 , 3 ) 

....................................................................................................................................................................................................................................................................................

8)  3x - 4y = 4.5

      x + y = 5

اضرب المعادلة الثانية ب 3 لتصبح المعادلتين : 

3x - 4y = 4.5

3x + 3y = 15            أطرح

-----------------

   7y = 10.5

$\frac{\mathbf{7}\mathbf{y}}{\mathbf{7}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{10}\mathbf{.}\mathbf{5}}{\mathbf{7}}$

y = 1.5

أعوض  1.5 في المعادلة الثانية : 

x + y = 5

x + 1.5 = 5

x = 5 - 1.5

x = 3.5

إذن حل النظام  ( 1.5 , 3.5 )

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

9) 0.5x - 9y = 28

     30.5x +7y = 40

اضرب المعادلة الاولى ب 7 والمعادلة الثانية ب 9 لتصبح المعادلتين : 

3.5x  -  63y = 196

274.5x + 63y = 360    أجمع

-----------------------------

278x =     556

$\frac{\mathbf{278}\mathbf{x}}{\mathbf{278}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{556}}{\mathbf{278}}$

x = 2

أعوض 2 في المعادلة الثانية : 

30.5x + 7y = 40

30.5 ( 2 ) + 7y = 40

61 + 7y = 40

7y = 40 - 61

7y = -21

$\frac{\mathbf{7}\mathbf{y}}{\mathbf{7}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{21}}{\mathbf{7}}$

y = -3

إذن حل النظام ( 3- , 2 ) 

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

10) 8x + y = 1

      8x - y = 3             أجمع 

---------------------

      16x    = 4

$$\begin{gathered} \frac{\mathbf{16}\mathbf{x}}{\mathbf{16}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{16}} \\ \mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}} \end{gathered}$$

أعوض   $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$  في المعادلة الاولى:

8x + y = 1

$\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{1}$

2 + y = 1

y = 1 - 2

y = -1

إذن حل النظام ( 1- , $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$ ) 

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

11) 12x - 7y = -2

      8x + 11y = 30

أضرب المعادلة الاولى ب 2 والمعادلة الثانية ب 3 لتصبح المعادلتين : 

24x - 14y = -4

24x + 33y = 90          أطرح

----------------------

  $\mathbf{-}\mathbf{47}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{94}$        

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{47}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{47}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{94}}{\mathbf{-}\mathbf{94}}$

y = 2

أعوض  2  في المعادلة الاولى : 

12x - 7y = - 2

12x - 7 ( 2 ) = - 2

12x - 14 = -2

12x = -2 + 14

12x = 12

$\frac{\mathbf{12}\mathbf{x}}{\mathbf{12}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{12}}{\mathbf{12}}$

x = 1

إذن حل النظام ( 2 , 1 )

....................................................................................................................................................................................................................................................................................

12) 9x + 2y =39

      6x + 13y = -9

أضرب المعادلة الاولى ب 2 واضرب المعادلة الثانية ب 3 لتصبح المعادلتين : 

18x + 4y = 78

18x + 39y = - 27           أطرح

-------------------------

 $\mathbf{-}\mathbf{35}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{105}$  

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{35}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{35}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{105}}{\mathbf{-}\mathbf{35}}$

y = - 3

أعوض 3- في المعادلة الاولى : 

9x + 2y = 39

9x + 2 ( -3 ) = 39

9x - 6 = 39

9x = 39 + 6

9x = 45

$\frac{\mathbf{9}\mathbf{x}}{\mathbf{9}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{45}}{\mathbf{9}}$

x = 5

إذن حل النظام  ( 3- , 5 ) 

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................

13)  طقس : لاحظ راصد جوي أن عدد الايام من شهر كانون الاول التي تساقطت فيها الامطار يزيد 7 ايام عن تلك التي لم تتساقط فيها الامطار ،

اكتب نظاماً من معادلتين خطيتين يمثل المسألة ، ثم أحله لأجد عدد الايام التي تساقطت فيها الامطار وعدد الايام التي لم تتساقط فيها الامطار في هذا الشهر ؟

الحل : 

المعطيات:   في شهر كانون الاول :

                    - عدد الايام التي تساقطت فيها الامطار يزيد 7 ايام عن تلك التي لم تتساقط فيها الامطار

المطلوب : - كتابة نظام من معادلتين خطيتين يمثل المسألة 

                  - حل النظام وايجاد عدد الايام التي تساقطت فيها الامطار وعدد الايام التي لم تتساقط

المتغيرات : أفرض   x  : عدد الايام التي تساقطت فيها الامطار من شهر كانون الاول

                    وأفرض  y  : عدد الايام التي لم تتساقط فيها الامطار من شهر كانون الاول

المعادلات : 

أعلم أن عدد ايام شهر كانون الاول يساوي 31 يوم وبذلك تكون المعادلتين:

 

x + y = 31

x - y = 7

لحل نظام المعادلتين :

x + y = 31

x - y = 7              أجمع 

-------------

2x  = 38

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{38}}{\mathbf{2}}$

x = 19

أعوض  19  في المعادلة الاولى :

x + y = 31

19 + y = 31

y = 31 - 19

y = 12

إذن حل النظام  ( 12 , 19 ) 

إذن عدد الايام التي تساقطت فيها الامطار من شهر كانون الاول هي 19 يوم

وعدد الايام التي لم تتساقط فيها الامطار من شهر كانون الاول هي 12 يوم 

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

14) اربط كل زوج مرتب مع نظام معادلات خطية مكون من معادلتين من المعادلات الاربع المعطاة ، بحيث يكون الزوج المرتب حلاً للمعادلتين : 

الحل:

....................................................................................................................................................................................................................................................................................

15) أعداد : ثلاثة أمثال عدد مطروحاً منها عدد آخر يساوي 3- ، إذا كان مجموع العددين = 11 ، فما العددان ؟

الحل : 

المعطيات : - ثلاثة أمثال عدد مطروحاً منه عدد آخر = 3-

                     - مجموع العددين = 11

المطلوب :   ما هما العددان 

المتغيرات : أفرض   x  : العدد الاول

                                 y  : العدد الثاني

المعادلات:

3x - y = -3

x + y = 11           أجمع

--------------

4x    = 8

$\frac{\mathbf{4}\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{4}}$

x = 2

أعوض 2  في المعادلة الثانية : 

x + y = 11

2 + y = 11

y = 11 - 2

y = 9

إذن حل النظام ( 9 , 2 )

العدد الاول  هو  2

العدد الثاني هو  9

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

16) مواد غذائية : في مخزن أحد المطاعم مجموعة من أكياس الأرز وأكياس السكر ، كتلة 3 اكياس من السكر و 4 اكياس من الارز 12 كيلو غرام ،

وكتلة 5  اكياس من السكر وكيسين من الارز 13 كيلو غرام ، كيف يمكن مساعدة طباخ المطعم على ايجاد كتلة كيسين من السكر وخمسة أكياس من الارز؟

الحل : 

المعطيات : - كتلة 3 اكياس سكر و 4 أكياس أرز = 12 كيلو

                    - كتلة 5 أكياس سكر و كيسين أرز = 13 كيلو

المطلوب : ايجاد كتلة كيسين من السكر وخمسة اكياس من الارز

المتغيرات : أفرض    x  : كتلة كيس واحد من السكر

                   أفرض   y   : كتلة كيس واحد من الأرز

المعادلات :

3x + 4y = 12

5x + 2y = 13      

أضرب المعادلة الثانية ب 2 لتصبح المعادلتين : 

3x + 4y = 12

10x + 4y = 26          أطرح

---------------------

$\mathbf{-}\mathbf{7}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{14}$

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{7}\mathbf{x}}{\mathbf{-}\mathbf{7}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{14}}{\mathbf{-}\mathbf{7}}$

x = 2

أعوض 2 في المعادلة الاولى :

3x + 4y = 12

3 ( 2 ) + 4y = 12

6 + 4y = 12

4y = 12 - 6

4y = 6

$\frac{\mathbf{4}\mathbf{y}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{4}}$

y = 1.5

إذن حل النظام ( 1.5 , 2 ) 

إذن كتلة الكيس الواحد من السكر هو 2 كيلو غرام ، وبالتالي كتلة كيسين من السكر هو 

2 $\mathbf{\times }$ 2 = 4      

إذن كتلة كيسين من السكر  يساوي 4 كيلو غرام

وكتلة الكيس الواحد من الأرز هو   1.5 كيلو غرام ، وبالتالي كتلة خمسة أكياس من الارز هو 

5 $\mathbf{\times }$ 1.5 = 7.5

إذن كتلة خمسة أكياس من الأرز يساوي 7.5 كيلو غرام 

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................

17) مبنى حكومي : يبلغ ارتفاع مبنى حكومي مع سارية العلم الاردني المثبتة على سطحة  21.6  m ، إذا كان ارتفاع المبنى مطروحاً منه ارتفاع سارية العلم يساوي 10.4 m ، 

فما ارتفاع المبنى ؟ وكم يبلغ طول سارية العلم ؟

الحل : 

المعطيات: - ارتفاع المبنى مع سارية العلم = 21.6 m

                    - ارتفاع المبنى مطروحاً منه ارتفاع السارية = 10.4 m

المطلوب : إيجاد ارتفاع المبنى وارتفاع سارية العلم 

المتغيرات : أفرض   x    : ارتفاع المبنى الحكومي

                    أفرض   y    : ارتفاع سارية العلم 

المعادلات:

x + y = 21.6

x - y = 10.4              أجمع

----------------------

2x = 32

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{32}}{\mathbf{2}}$

x = 16

أعوض 16 في المعادلة الاولى :

x + y = 21.6

16 + y = 21.6

y = 21.6 - 16

y = 5.6

إذن حل النظام ( 5.6 , 16 ) 

وبالتالي ارتفاع المبنى الحكومي يساوي 16 m

وارتفاع سارية العلم يساوي 5.6 m

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

18) أعود الى فقرة استكشف بداية الدرس ، وأحل المسألة

الحل : 

المعطيات : - مدة ممارسة الرياضة لسميرة  40 دقيقة

                     - تحرق 4 سعرات حرارية في الدقيقة في تمارين الاطالة

                    - تحرق 11 سعرة حرارية في الدقيقة في التمارين الهوائية

المطلوب : عدد الدقائق اللازمة لحرق  335 سعرة حرارية 

المتغيرات : أفرض   x   : عدد الدقائق في تمارين الاطالة 

                                 y   : عدد الدقائق في التمارين الهوائية 

المعادلات :

x + y = 40

4x + 11y = 335

أضرب المعادلة الاولى ب 4 لتصبح المعادلتين : 

4x + 4y = 160

4x + 11y = 335        أطرح

_______________

  $\mathbf{-}\mathbf{7}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{175}$  

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{7}\mathbf{y}\mathbf{ }}{\mathbf{-}\mathbf{7}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{175}}{\mathbf{-}\mathbf{7}}$

y = 25

اعوض  25  في المعادلة الاولى :

x + y = 40

x + 25 = 40

x = 40 - 25

x = 15

حل النظام ( 25 , 15 ) 

إذن عدد دقائق تمارين الاطالة  15  دقيقة

وعدد دقائق التمارين الهوائية  25  دقيقة

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

19) أكتشف الخطأ : انظر الحل الاتي ، واكتشف الخطأ الوارد فيه ، وأصححه 

 

الخطأ : عند ضرب المعادلة الثانية ب 4 - تصبح المعادلتين :

$\mathbf{4}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{8}$

$\mathbf{-}\mathbf{4}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{8}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{52}$          أجمع

-----------------------

 11y = 60

11y = 60

$\frac{\mathbf{11}\mathbf{y}}{\mathbf{11}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{60}}{\mathbf{11}}$

$\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{60}\mathbf{ }}{\mathbf{11}}$

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

20) مسألة مفتوحة : أقترح قيمة ل a ، تجعل لنظام المعادلات الاتي حلاً مبرراً اجابتي :

x + y = 4

ax + 3y = 4

أضرب المعادلة الاولى ب 3- لتصبح المعادلتين : 

$\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{12}$

ax + 3y = 4            أجمع

_____________

( a - 3 ) x = -8

$\frac{\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{x}}{\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{8}}{\mathit{a}\mathbf{-}\mathbf{3}}$

$\mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{8}}{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{3}}$

حتى يكون لنظام المعادلات حلاً ويكون هناك قيمة معروفة ل x يجب أن تكون :

a - 3   لا تساوي الصفر

وبالتالي  a لا تساوي  3

إذن يمكن اعتبار اي قيمة ل   a باستثناء  ( 3 ) 

حل مقترح :   بفرض   a = 1   فيكون:  

$\mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{8}}{\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{3}}$

 

$\mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{8}}{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{\to }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{4}$

وبالتالي بعد تعويض 4 في المعادلة الاولى : 

x + y = 4

4 + y = 4

y = 4 - 4 

y = 0

إذن حل النظام ( 0 , 4 )  عندما تكون  a = 1

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

21) تحد : أجد عدداً من منزلتين مجموع رقميه 8 ، وعند طرح رقم منزلة احاده من رقم منزلة عشراته يكون الناتج = 4 -

الحل :

المعطيات : - عدد من منزلتين مجموعهما 8

                  - عند طرح منزلة احاده من منزله عشراته يكون الناتج 4 -

المطلوب : ما هو العدد 

المتغيرت : أفرض    x  : منزلة الأحاد من العدد

                                y   : منزلة العشرات من العدد

المعادلات :

x + y = 8

y - x = -4

أرتب النظام بحيث تكون الحدود المتشابهة فوق بعضها

x + y = 8

$\mathbf{-}\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{4}$    أجمع

----------------

  2y = 4

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{y}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{2}}$

y = 2

أعوض 2 في المعادلة الاولى : 

x + y = 8

x + 2 = 8

x = 8 - 2

x = 6

إذن حل النظام ( 2 , 6 ) 

وبالتالي آحاد العدد هي الرقم 6 وعشراته هي الرقم 2

إذن الرقم هو  26

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

22) كيف أجد حل نظام معادلات خطية مكون من معادلتين بالحذف ؟

 

لحل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف: 

1- أرتب النظام بحيث تكون الحدود المتشابهة فوق بعضها.

2- أضرب ان لزم الأمر إحدى المعادلتين أو كليهما بعدد ثابت بحيث يكون هناك حدان متشابهان معاملاهما متساويان أو متعاكسان.

3- اجمع المعادلتين أو اطرحهما للتخلص من إحدى المتغيرات.

4- تنتج قيمة إحدى المتغيرات وأعوضها في إحدى المعادلتين لأحصل على المتغير الآخر

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................

حل مسائل كتاب التمارين : 

استعمل الحذف لحل كل من أنظمة المعادلات الآتية: 

1) 3x + 2y = 11

 2x - 2y = 14        أجمع 

----------------------

  5x = 25

$\frac{\mathbf{5}\mathbf{x}}{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{25}}{\mathbf{5}}$

x = 5

أعوض 5 في المعادلة الاولى

3x + 2y = 11

3 ( 5 ) + 2y = 11

15 + 2y = 11

2y = 11 - 15

2y = - 4

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{y}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{4}}{\mathbf{2}}$

y = - 2

إذن حل النظام ( 2- , 5 ) 

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2) 3x - 4y = 17

     x - 4y = 3      أطرح 

---------------------

      2x  = 14

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{14}}{\mathbf{2}}$

x = 7

أعوض 7 في المعادلة الثانية 

x - 4y = 3

7 - 4y = 3

- 4y = 3 -7

- 4y = - 4

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{4}}{\mathbf{-}\mathbf{4}}$

y = 1

حل النظام ( 1 , 7 ) 

................................................................................................................................................................................................................................................................................   

3)  2y + 3x = 16

      x - 2y = 4

أرتب النظام لتصبح الحدود المتشابهة فوق بعضها

3x + 2y = 16

x - 2y = 4                أجمع

-----------------

4x   = 20

$\frac{\mathbf{4}\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{20}}{\mathbf{4}}$

x = 5

أعوض 5 في المعادلة الاولى

2y + 3x = 16

2y + 3 ( 5 ) = 16

2y + 15 = 16

2y = 16 - 15

2y = 1

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{y}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

$\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

y = 0.5

إذن حل النظام ( 0.5 , 5 ) 

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

4) 2x + 5y = 37

     y = 11 - 2x

أنقل المتغيرات لطرف واحد في المعادلة الثانية ثم أرتب النظام لتصبح الازواج المتشابهة فوق بعضها

2x + 5y = 37

2x + y = 11             أطرح 

------------------

      4y = 26

$\frac{\mathbf{4}\mathbf{y}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{26}}{\mathbf{4}}$

y = 6.5

أعوض 6.5  في المعادلة الاولى

2x + 5 ( 6.5 ) = 37

2x + 32.5 = 37

2x = 37 - 32.5

2x =  4.5

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{5}}{\mathbf{2}}$

x = 2.25

إذن حل النظام  ( 6.5 , 2.25 ) 

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

5) 4x - 3y = 7

    x = 13 - 3y

أنقل المتغيرات لطرف واحد في المعادلة الثانية ثم أرتب النظام لتصبح الحدود المتشابهة فوق بعضها

4x - 3y = 7

x + 3y = 13         أجمع

------------------

5x  = 20

$\frac{\mathbf{5}\mathbf{x}}{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{20}}{\mathbf{5}}$

x = 4

أعوض 4 في المعادلة الثانية :

x = 13 - 3y

4 = 13 - 3y

3y = 13 - 4

3y = 9

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{y}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{3}}$

y = 3

إذن حل النظام ( 3 , 4 ) 

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

6) 4x - y = 17

     x = 2 + y

أنقل المتغيرات الى طرف واحد في المعادلة الثانية ثم ارتب النظام لتصبح الازواج المتشابهة فوق بعضها

4x - y = 17

x - y = 2            أطرح

__________

3x =  15

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{15}}{\mathbf{3}}$

x = 5

أعوض 5 في المعادلة الثانية : 

x = 2 + y

5 = 2 + y

y = 5 - 2

y = 3

إذن حل النظام ( 3 , 5 ) 

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................

7) 2x + 3y = 13

    x + 2y = 7

أضرب المعادلة الثانية ب 2 لتصبح المعادلتين : 

2x + 3y = 13

2x + 4y = 14          أطرح

____________

 $\mathbf{-}\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}$  

$\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{y}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }$

y = 1

أعوض 1  في المعادلة الثانية:

x + 2y = 7

x + 2 ( 1 ) = 7

x + 2 = 7

x = 7 - 2

x = 5

إذن حل النظام ( 1 , 5 ) 

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

8) 3x + 3 = 3y

    2x - 6y = 2

أنقل المتغيرات الى طرف واحد في المعادلة الاولى ثم ارتب النظام لتصبح المتغيرات فوق بعضها: 

3x - 3y = - 3

2x - 6y = 2

اضرب المعادلة الاولى ب 2 لتصبح المعادلتين : 

6x - 6y = - 6

2x - 6y = 2             أطرح

-------------------

4x = - 8

$\frac{\mathbf{4}\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{-}\mathbf{8}}{\mathbf{4}}$

x = - 2

أعوض 2- في المعادلة الثانية : 

2x - 6y = 2

$\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{2}$

$\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{2}$

$\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{4}$

$\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{6}$

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{6}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{-}\mathbf{6}}$

y = -1

إذن حل النظام ( 1- , 2 - ) 

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

9) 2x - 6 = 4y 

    7y = - 3x + 9

أنقل المتغيرات الى طرف واحد في كل من المعادلة الاولى والثانية ثم أرتب النظام لتصبح المتغيرات فوق بعضها: 

2x - 4y = 6

3x + 7y = 9 

أضرب المعادلة الاولى ب 3 والمعادلة الثانية ب 2 لتصبح المعادلتين : 

6x - 12y = 18

6x + 14y = 18           أطرح

_____________

26y = 0

$\frac{\mathbf{26}\mathbf{y}}{\mathbf{26}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{0}}{\mathbf{26}}$

y = 0

أعوض 0 في المعادلة الاولى : 

2x - 6 = 4y

2x - 6 = 4 ( 0 ) 

2x = 0 + 6

2x = 6

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{2}}$

x = 3

إذن حل النظام  ( 0 , 3 ) 

..................................................................................................................................................................................................................................................................................

10) ألعاب أولومبية : خلال إحدى دورات الالعاب الاولومبية ، فاز دولة ب 32 ميدالية ذهبية وفضية ، وكان مثلا عدد الميداليات الفضية التي فازت بها  يزيد بمقدار 4 عن عدد الميداليات الذهبية . اكتب نظاماً من معادلتين خطيتين يمثل المسألة ، ثم أحله لأجد عدد الميداليات الذهبية والفضية التي فازت بها الدولة ؟

الحل : 

المعطيات: - فازت دولة ما في 32 ميدالية ذهبية وفضية 

                  - عدد الميداليات الفضية يزيد بمقدار 4 على عدد الميداليات الذهبية

المطلوب : كتابة نظام من معادلتين خطيتين يمثل المسألة وحله 

                وإيجاد عدد الميداليات الذهبية والفضية التي فازت بها الدولة 

المتغيرات :      x    : عدد الميداليات الذهبية

                        y     : عدد الميداليات الفضية

 

$x+y=32$

$2y=x+4$

$x=20 , y=12$

 

 

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

11) حلت هند نظام المعادلات الاتي فوجدت أن   y = 6 ,   x = 5 :

4x - 2y = 8

2x - y = 4

أبرر لماذا لا يمكن أن يكون ما أوجدته هند حلاً وحيداً لهذا النظام من المعادلات : 

الحل : 

أضرب المعادلة الثانية ب 2 لحل نظام المعادلتين فتصبحان : 

4x - 2y = 8

4x - 2y = 8       أطرح

_____________

0 = 0 

الجملة الرياضية الاخيرة صحيحة دوماً وبالتالي يوجد عدد لا نهائي من الحلول .

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

12) أكتشف المختلف : أي أنظمة المعادلات الاتية مختلف ؟ أبرر إجابتي : 

3x + 3y = 3                           - 2x + y = 6                              6x - 2y = 5                                2x + 3y = 11

2x - 3y = 7                             2x - 3y = - 10                           3x - y = 3                                  3x - 2y = 10

الحل:

ألاحظ أن نظام المعادلتين :

6x - 2y = 5

3x - y = 3

هو المختلف ، وذلك لأنه ليس لنظام المعادلتين حلاً مشتركاً

أضرب المعادلة الثانية ب 2 فتصبح :

6x - 2y = 5

6x - 2y = 6          أطرح

___________

  $0-0=-1$

$0=-1$0           غير صحيح

إذن ليس لنظام المعادلتين حل .

......................................................................................................................................................................................................................................................................................