رياضيات7 فصل أول

مفهوم أساسي : 

عندما أضربُ عددًا في حدٍّ جبريٍّ، فإنَّني أجدُ ناتجَ ضربِ العددِ في معامِلِ الحدِّ الجبريِّ، ثمَّ أضعُ الناتجَ جانبَ المتغيّرِ. 

$\mathbf{4}\mathbf{\times }\mathbf{2}\mathbf{z}\mathbf{=}\mathbf{8}\mathbf{z}$

2z		2z		2z		2z
z	z	z	z	z	z	z	z
8z

يمكنُني تطبيقُ قواعدِ الأسسِ لضربِ حدٍّ جبريٍّ في آخرَ حتى لوِ اختلفَتْ مُتغيِّراتُهُما.

مثال1: أجدُ ناتجَ ضربِ الحدودِ الجبريَّةِ في كلٍّ ممّا يأتي:

1) $\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{\times }\mathbf{3}\mathbf{x}$

أضربُ العددَ 5- في معامِلِ الحدِّ (3)               $$\begin{gathered} -5\times 3\mathrm{x}=\left(-5\times 3\right)\mathrm{x} \\ =-15\mathrm{x} \end{gathered}$$                             

2) $\mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{\times }\mathbf{3}\mathbf{x}$

الخاصيُّة التبديليّةُ والتجميعيّةُ في الضربِ         $4\mathrm{x}\times 3\mathrm{x}=\left(4\times 3\right)\times \left(\mathrm{x}\times \mathrm{x}\right)$                       

قاعدةُ ضربِ القوى                                             $=12{\mathrm{x}}^2$                                   

3) $\mathbf{xy}\mathbf{\times }\mathbf{3}\mathbf{xy}$

الخاصيُّة التبديليّةُ والتجميعيّةُ في الضربِ                $\mathrm{xy}\times 3\mathrm{xy}=\left(1\times 3\right)\times \left(\mathrm{x}\times \mathrm{x}\right)\times \left(\mathrm{y}\times \mathrm{y}\right)$       

قاعدةُ ضربِ القوى                                                   $=3{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2$                     

4)$\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{xy}\mathbf{)}\mathbf{\times }\mathbf{\left(}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{y}\mathbf{\right)}$

الخاصيُّة التبديليّةُ والتجميعيّةُ في الضربِ                         $(-\mathrm{xy})\times \left({\mathrm{x}}^2\mathrm{y}\right)=\left(-\mathrm{x}\times {\mathrm{x}}^2\right)\times \left(\mathrm{y}\times \mathrm{y}\right)$         

قاعدةُ ضربِ القوى                                                            $=-{\mathrm{x}}^3{\mathrm{y}}^2$                             

 

يمكنُني ضربُ حدٍّ جبريٍّ في مقدارٍ جبريٍّ باستخدامِ خاصيّةِ التوزيعِ؛ وذلكَ بضربِ الحدِّ في كلِّ واحدٍ منْ حدودِ المقدارِ.

مثال2: أُبسِّطُ كلَّ مقدارٍ جبريٍّ ممّا يأتي، ثمَّ أجدُ قيمتَهُ عندَ القِيَمِ المُعطاةِ:

1) $\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{y}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{7}$

أضربُ حدًّا جبريًّا في مقدارٍ جبريٍّ                  $2\mathrm{x}(3\mathrm{x}-\mathrm{y})=6{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{xy}$                   

أعوض x=3 , y=-7                                          $=6\times 3^2-2\times 3\times -7$                                   

أطبِّقُ أولويّاتِ العمليّاتِ                              $$\begin{gathered} =6\times 9-\left(-42\right) \\ =54+42 \\ =96 \end{gathered}$$                                   

2) $\mathbf{x}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{–}\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{5}$

أضربُ حدًّا جبريًّا في مقدارٍ جبريٍّ                     $=3{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{xy}-4\mathrm{x}-9$               

أعوض x=-1,y=5                            $=3{(–1)}^2+2(–1)\left(5\right)-4(-1)-9$               

أطبِّقُ أولويّاتِ العمليّاتِ           $$\begin{gathered} =3\left(1\right)-10+4-9 \\ =-12 \end{gathered}$$               

 

يمكنُني أنْ أضربَ مقداريْنِ جبريَّيْنِ باستخدامِ نماذجِ المساحةِ، أوْ باستخدامِ خاصيَّةِ التوزيعِ؛ وذلكَ بضربِ كلِّ حدٍّ منْ حدودِ المقدارِ الأولِ في كلِّ حدٍّ منْ حدودِ المقدارِ الثاني.

مثال 3 : أجدُ ناتجَ الضربِ $\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{)}$ في أبسطِ صورةٍ. 

الطريقةُ 1: نماذجُ المساحةِ.

طولُ المستطيلِ الكبيرِ $\left(\mathrm{x}+4\right)$ وحداتٍ، وعرضُهُ $\left(\mathrm{x}+3\right)$ وحداتٍ.

مساحةُ المستطيلِ الكبيرِ تساوي ناتجَ ضربِ المقدارينِ الجبريَّينِ. 

مساحةُ المربّعِ الأخضرِ تساوي $\mathrm{x}\times \mathrm{x}={\mathrm{x}}^2$ وحدةً مربَّعَةً.

مساحةُ كلِّ واحدٍ منَ المستطيلاتِ الحمراءِ تساوي $\left(\mathrm{x}\times 1=\mathrm{x}\right)$ وحدةً مربَّعَةً.

مساحةُ كلِّ واحدٍ منَ المربَّعاتِ البرتقاليّةِ تساوي $\left(1=1\times 1\right)$ وحدةً مربَّعَةً. .

 

إذنْ، مساحةُ المستطيلِ الكبيرِ، هيَ ناتج جمع مساحات الأشكال المكونة له: ${\mathrm{x}}^2+7\left(\mathrm{x}\right)+12={\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{7}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{12}$

الطريقةُ 2: خاصيَّةُ التوزيعِ.

$$\begin{gathered} = ({\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x})+(4\mathrm{x}+12) \\ = {\mathrm{x}}^2+(3\mathrm{x}+4\mathrm{x})+12 \\ = {\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}+12 \end{gathered}$$

يمكنُني أيضًا استخدامُ خاصيّةِ التوزيعِ بطريقةٍ مختلفةٍ كما يأتي:

أفصلُ المقدارَ (x+4) إلى حدَّيْنِ x,4  ثم أضربُ كلًّ منْهُما في المقدارِ (x+3)      $$\begin{gathered} (\mathrm{x}+4)(\mathrm{x}+3) \\ =\mathrm{x}(\mathrm{x}+3)+4(\mathrm{x}+3) \end{gathered}$$                               

أستخدمُ خاصيَّةَ التوزيعِ                                                                                      $=({\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x})+(4\mathrm{x}+12)$                                 

أجمعُ الحدودَ المتشابهةَ                                                                                     $={\mathrm{x}}^2+(3\mathrm{x}+4\mathrm{x})+12$                               

أكتبُ المقدارَ في أبسطِ صورةٍ                                                                           $={\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}+12$                                         

 

يمكنُني استخدامُ ضربِ المقاديرِ الجبريّةِ في التطبيقاتِ الحياتيّةِ.

مثال 4: منَ الحياةِ: ملعبٌ مستطيلُ الشكلِ، طولُهُ $\mathbf{(}\mathbf{5}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{m}$ وعرضُهُ $(3x+2)$ يُرادُ زراعتُهُ بالنجيلِ. أجدُ مساحةَ المنطقةِ المزروعةِ بالنجيلِ بدلالةِ x 

A=L×W                                                                           $\mathrm{A}=(5\mathrm{x}+4)(3\mathrm{x}+2)$                               

أفصلُ المقدارَ (5x+4) إلى حدَّيْنِ                      $=5\mathrm{x}(3\mathrm{x}+2)+4(3\mathrm{x}+2)$                                

أستخدمُ خاصيَّةَ التوزيعِ              $=(5\mathrm{x}\times 3\mathrm{x}+5\mathrm{x}\times 2)+(4\times 3\mathrm{x}+4\times 2)$                               

قاعدةُ ضربِ القوى في الأسسِ                $=(15{\mathrm{x}}^2+10\mathrm{x})+(12\mathrm{x}+8)$                                   

الخاصيّةُ التجميعيّةُ                    $=15{\mathrm{x}}^2+(10\mathrm{x}+12\mathrm{x})+8$                             

أجمعُ الحدودَ المتشابهةَ           $=15{\mathrm{x}}^2+22\mathrm{x}+8$