رياضيات10 فصل أول

العاشر

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

أتحقق من فهمي صفحة 126

أجد قيمة $x$ في المثلث المجاور

الحل:

$x^{2} = 8^{2} + 8^{2} - 2 \times 8 \times 8 \times c o s 65$

$x^{2} = 64 + 64 - 16 \times 8 \times 0.423$

$x^{2} = 64 + 64 - 54.095$

$x^{2} = 128 - 54.095$

$x^{2} = 73.904$

$x = \sqrt[]{73.904} \approx 8.597$

أتحقق من فهمي صفحة 127

في المثلث $A B C$ ،إذا كان $A B = 16, B C = 12, A C = 20$ فأثبت أن الزاوية $B$ قائمة

الحل:

$20^{2} = 16^{2} + 12^{2} - 2 \times 16 \times 12 \times c o s B$

$400 = 256 + 144 - 32 \times 12 \times c o s B$

$400 = 400 - 384 \times c o s B$

$384 \times \cos B = 400 - 400$

$\cos B = 0$

$B = \cos^{- 1} (0) \Rightarrow B = 90 °$

أتحقق من فهمي صفحة 128

سفن: أبحرت سفينة من الميناء $A$ باتجاه الشمال، فقطعت مسافة $240 k m$ ،ثم انحرفت بزاوية $50 °$ ،وقطعت مسافة $160 k m$ حتى وصلت إلى الميناء $B$ .ما المسافة بين الميناء $A$ والميناء $B$ ؟

$x^{2} = 240^{2} + 160^{2} - 2 \times 240 \times 160 \times c o s 50$

$x^{2} = 57600 + 25600 - 480 \times 160 \times 0.643$

$x^{2} = 57600 + + 25600 - 49382.4$

$x^{2} = 83200 - 49382.4$

$x^{2} = 33817.6$

$x = \sqrt[]{33817.6} \approx 183.896$

أتحقق من فهمي صفحة 128

سار قطار من المحطة $A$ في اتجاه $080 °$ إلى المحطة $B$ التي تبعد عنها $120 k m$ ،ثم تحول إلى اتجاه $070 °$ ، وسار مسافة $90 k m$ إلى المحطة $C$ .ما المسافة بين المحطة $A$ والمحطة $C$ ؟

الحل:

$x^{2} = 120^{2} + 90^{2} - 2 \times 120 \times 90 \times c o s 170$

$x^{2} = 14400 + 8100 - 240 \times 90 \times - 0.984$

$x^{2} = 14400 + 8100 + 21272$

$x^{2} = 22500 + 21272$

$x^{2} = 43772$

$x = \sqrt[]{43772} \approx 209.21$

أتدرب وأحل المسائل صفحة 129

أجد قيمة $x$ في كل من المثلثات الآتية:

الحل:

$x^{2} = 8^{2} + 6^{2} - 2 \times 8 \times 6 \times \cos 65$

$x^{2} = 64 + 36 - 96 \times 0.423$

$x^{2} = 64 + 36 - 40.608$

$x^{2} = 100 - 40.608$

$x^{2} = 59.392$

$x = \sqrt[]{59.392} \approx 7.707$

الحل:

$x^{2} = 22^{2} + 15^{2} - 2 \times 22 \times 15 \times \cos 102$

$x^{2} = 484 + 225 - 660 \times - 0.208$

$x^{2} = 484 + 225 + 137.208$

$x^{2} = 709 + 137.208$

$x^{2} = 846.208$

$x = \sqrt[]{846.208} \approx 29.089$

الحل:

$x^{2} = 45^{2} + 32^{2} - 2 \times 45 \times 32 \times c o s 37$

$x^{2} = 2025 + 1024 - 2880 \times 0.799$

$x^{2} = 2025 + 1024 - 2301.12$

$x^{2} = 3049 - 2301.12$

$x^{2} = 747.88$

$x = \sqrt[]{747.88} \approx 27.347$

الحل:

$10^{2} = 9^{2} + 7^{2} - 2 \times 9 \times 7 \times \cos x$

$100 = 81 + 49 - 126 \times \cos x$

$100 = 130 - 126 \times \cos x$

$100 - 130 = - 126 \times \cos x$

$- 30 = - 126 \times \cos x$

$\cos x = \frac{- 30}{- 126} = 0.238$

$x = \cos^{- 1} 0.238$

$x = 76.23$

الحل:

$24^{2} = 15^{2} + 12^{2} - 2 \times 15 \times 12 \times c o s x$

$576 = 225 + 144 - 360 \times c o s x$

$576 = 369 - 360 \times c o s x$

$576 - 369 = - 360 \times c o s x$

$207 = - 360 \times c o s x$

$c o s x = \frac{207}{- 360} = - 0.575$

$x = c o s^{- 1} - 0.575$

$x = 125.099$

الحل:

$50^{2} = 40^{2} + 30^{2} - 2 \times 40 \times 30 \times \cos x$

$2500 = 1600 + 900 - 2400 \times \cos x$

$2500 = 2500 - 2400 \times \cos x$

$2500 - 2500 = - 2400 \times \cos x$

$= 0 - 2400 \times \cos x$ $\cos x = \frac{0}{- 2400} = 0$

$x = \cos^{- 1} 0$

$x = 90$

7) ملاحة جوية: أبحرت سفينة من أحد المواني مسافة $50 k m$ في اتجاه $050 °$ ،ثم غير القبطان خط سيرها إلى اتجاه $150 °$ وقطعت مسافة $40 k m$ ،ثم توقفت بسبب إصابة أحد أفراد الطاقم.ما المسافة التي ستقطعها مروحية الإنقاذ من الميناء لتصل إلى السفينة في أقصر وقت ممكن؟

${(P S)}^{2} = 50^{2} + 40^{2} - 2 \times 50 \times 40 \times \cos 80$

${(P S)}^{2} = 2500 + 1600 - 4000 \times 0.174$

${(P S)}^{2} = 2500 + 1600 - 696$

${(P S)}^{2} = 4100 - 696$

${(P S)}^{2} = 3408$

$P S = \sqrt[]{3408} \approx 58.344$

8) كرة قدم: يبين الشكل المجاور موقع لاعب كرة قدم يركل الكرة مرمى عرضه $5 m$ .أجد قياس الزاوية التي يستطيع منها اللاعب أن يركل الكرة لتسديد هدف،علما بأنه يبعد عن طرفي المرمى مسافة $23 m و 26 m$

الحل:

$5^{2} = 26^{2} + 23^{2} - 2 \times 26 \times 23 \times \cos x$

$25 = 676 + 529 - 1196 \times \cos x$

$25 = 1205 - 1196 \times \cos x$

$25 - 1205 = - 1196 \times \cos x$

$- 1180 = - 1196 \times \cos x$

$\cos x = \frac{- 1180}{- 1196} = 0.987$

$x = \cos^{- 1} 0.987$

$x = 9.38$

9) خرائط طيران: أقلعت طائرة من المدينة $A$ في اتجاه $000 °$ مسافة $150 k m$ ، ثم اتجهت إلى $050 °$ ، وسارت $100 k m$ حتى وصلت المدينة $C$ كما في الشكل المجاور.ما أقصر مسافة ممكنة بين المدينتين إذا كان مسموحا للطائرة اتخاذ المسار الذي تريد؟

الحل:

$x^{2} = 150^{2} + 100^{2} - 2 \times 150 \times 100 \times \cos 130$

$x^{2} = 22500 + 10000 - 30000 \times - 0.643$

$x^{2} = 22500 + 10000 + 19290$

$x^{2} = 32500 + 19290$

$x^{2} = 51790$

$x = \sqrt[]{51790} \approx 227.574$

10) ساعات: طول عقربي ساعة $4 c m و ، 3 c m$ .أجد المسافة بين راسي العقربين عندما يشيران إلى الساعة 4 تمام

الحل:

$x^{2} = 4^{2} + 3^{2} - 2 \times 4 \times 3 \times \cos 120$

$x^{2} = 16 + 9 - 24 \times - 0.5$

$x^{2} = 16 + 9 + 12$

$x^{2} = 25 + 12$

$x^{2} = 37$

$x = \sqrt[]{37} \approx 6.08$

11) مروحة إنقاذ: أرسلت مروحة إنقاذ من القاعدة $A$ لإسعاف رجل على جبل عند النقطة $M$ إلى الشمال من هذه القاعدة،ثم أوصلت إلى المستشفى $H$ الذي يبعد عن القاعدة مسافة $38 k m$ كما في الشكل المجاور.أجد المسافة من الجبل إلى المستشفى بطريقتين

الحل:

${(M H)}^{2} = 44^{2} + 38^{2} - 2 \times 44 \times 38 \times \cos 103$

${(M H)}^{2} = 1936 + 1444 - 3344 \times - 0.225$

${(M H)}^{2} = 1936 + 1444 + 752.4$

${(M H)}^{2} = 4132.4$

$M H = \sqrt[]{4132.4} = 64.28$

مهارات التفكير العليا

12) تحد: أجد قياس أصغر زاوية في المثلث أطوال أضلاعه $3 a, 5 a, 7 a$ ،حيث $a$ عدد حقيقي موجب

الزاوية الأولى:

${(3 a)}^{2} = {(7 a)}^{2} + {(5 a)}^{2} - 2 \times 7 a \times 5 a \times \cos x$

$9 a^{2} = 49 a^{2} + 25 a^{2} - 70 a^{2} \times \cos x$

$9 a^{2} = 74 a^{2} - 70 a^{2} \times \cos x$

$9 a^{2} - 74 a^{2} = - 70 a^{2} \times \cos x$

$- 65 a^{2} = - 70 a^{2} \times \cos x$

$\cos x = \frac{- 65 a^{2}}{- 70 a^{2}} = \frac{65}{70} = 0.929$

$x = \cos^{- 1} 0.929$

$x = 21.79$

الزاوية الثانية:

${(5 a)}^{2} = {(7 a)}^{2} + {(3 a)}^{2} - 2 \times 7 a \times 3 a \times \cos x$

$25 a^{2} = 49 a^{2} + 9 a^{2} - 42 a^{2} \times \cos x$

$25 a^{2} = 58 a^{2} - 42 a^{2} \times \cos x$

$25 a^{2} - 58 a^{2} = - 42 a^{2} \times \cos x$

$- 33 a^{2} = - 42 a^{2} \times \cos x$

$\cos x = \frac{- 33 a^{2}}{- 42 a^{2}} = \frac{33}{42} = 0.786$

$x = \cos^{- 1} 0.786$

$x = 38.21$

الزاوية الثالثة:

${(7 a)}^{2} = {(5 a)}^{2} + {(3 a)}^{2} - 2 \times 5 a \times 3 a \times \cos x$

$49 a^{2} = 25 a^{2} + 9 a^{2} - 30 a^{2} \times \cos x$

$49 a^{2} = 34 a^{2} - 30 a^{2} \times \cos x$

$49 a^{2} - 34 a^{2} = - 30 a^{2} \times \cos x$

$15 a^{2} = - 30 a^{2} \times \cos x$

$\cos x = \frac{15 a^{2}}{- 30 a^{2}} = \frac{15}{- 30} = - 0.5$

$x = \cos^{- 1} - 0.5$

$x = 120$

$21.79 هي زاوية اصغر$

13) تحد: يمثل الشكل $A B C D$ المجاور حقل نخيل يريد مالكه إحاطته بسياج.أجد طول السياج

${(D B)}^{2} = 50^{2} + 30^{2} - 2 \times 50 \times 30 \times \cos 80$

${(D B)}^{2} = 2500 + 900 - 3000 \times 0.174$

${(D B)}^{2} = 2500 + 900 - 522$

$x^{2} = 3400 - 522$

$x^{2} = 2878$

$x = \sqrt[]{2878} \approx 53.65$

(المحيط) $50 + 30 + 25.679 + 36.57 = 142.249$

14) تحد: يرتفع برج $500 m$ على تلة تميل بزاوية $5 °$ عن المستوى الأفقي كما في الشكل المجاور.أرادت المندسة صفاء تثبين البرج بساكين من قمته إلى نقطتين على الأرض، تبعد كل منها مسافة $100 m$ عن قاعدة البرج.أجد طول السكين

$x^{2} = 500^{2} + 100^{2} - 2 \times 500 \times 100 \times \cos 85$

$= 250000 + 10000 - 8715.57$

$= 260000 - 8715.57$

$= 251284.43 \Rightarrow x = \sqrt[]{251284.43} \approx 501.28$

$x^{2} = 500^{2} + 100^{2} - 2 \times 500 \times 100 \times \cos 95$

$= 250000 + 10000 + 8715.57$

$= 260000 + 8715.57$

$= 268715.57 \Rightarrow x = \sqrt[]{268715.57} \approx 518.38$

كتاب التمارين

أجد القياس المجهول في كل من المثلثات الآتية:

$1) b^{2} = 2^{2} + 4^{2} - 2 \times 2 \times 4 \times c o s 45$

$= 4 + 16 - 16 \times 0.7071$

$= 8.67$

$b = \sqrt[]{8.67} = 2.9$

$\frac{s i n C}{4} = \frac{s i n 45}{2.9} \Rightarrow s i n C = \frac{4 \times 0.7071}{2.9} = 0.97 \Rightarrow θ' = 75.9 \approx 76 ° \Rightarrow C = 180 - 76 = 104$

$A = 180 - (45 + 104) = 180 - 149 = 31 °$

$a^{2} = 3^{2} + 4^{2} - 2 \times 3 \times 4 c o s 30$

$= 9 + 16 - 24 \times 0.866$

$= 25 - 20.784 = 4.216 \Rightarrow a = 2.05$

$\frac{\sin B}{3} = \frac{\sin 30}{2.05} \Rightarrow \sin B = \frac{3 \times 0.5}{2.05} \Rightarrow B = 47$

$C = 180 - (30 + 47) = 180 - 77 = 103$

$c^{2} = 3^{2} + 2^{2} - 2 \times 3 \times 2 \times c o s 95$

$= 14.05$

$c = 3.7$

$\frac{s i n A}{2} = \frac{s i n 95}{3.7} \Rightarrow s i n A = 0.5 \Rightarrow A = 30$

$B = 180 - (30 + 95) = 55$

$b^{2} = 2^{2} + 4^{2} - 2 \times 2 \times 4 c o s 20$

$= 4.96$

$b = \sqrt[]{4.96} = 2.2$

$\frac{s i n A}{2} = \frac{s i n 20}{2.2} \Rightarrow s i n A = 0.31 \Rightarrow A = 18$

$C = 180 - (20 + 18) = 142$

$8^{2} = 5^{2} + 6^{2} - 2 \times 5 \times 6 c o s C \Rightarrow c o s C = - 0.05 \Rightarrow C = 93$

$\frac{s i n A}{6} = \frac{s i n 93}{8} \Rightarrow s i n A = 0.75 \Rightarrow A = 49$

$B = 180 - (93 + 49) = 38$

$8^{2} = 5^{2} + 4^{2} - 2 \times 5 \times 4 c o s A$

$c o s A = - 0.75 \Rightarrow A = 139$

$\frac{s i n 139}{8} = \frac{s i n B}{5} \Rightarrow s i n B = 0.41 \Rightarrow B = 24$

$C = 180 - (139 + 24) = 17$

$6^{2} = 9^{2} + 4^{2} - 2 \times 9 \times 4 c o s B$

$c o s B = 0.85 \Rightarrow B = 32$

$\frac{s i n C}{4} = \frac{s i n 32}{6} \Rightarrow s i n C = 0.35 \Rightarrow C = 21$

$A = 180 - (32 + 21) = 127$

$3^{2} = 4^{2} + 4^{2} - 2 \times 4 \times 4 c o s B$

$c o s B = 0.72 \Rightarrow B = 44$

$\frac{s i n C}{4} = \frac{s i n 44}{3} \Rightarrow s i n C = 0.93 \Rightarrow C = 69 = A {(الساقين متساوي)}_{}$

$6^{2} = 7^{2} + 9^{2} - 2 \times 7 \times 9 c o s B$

$c o s B = 0.75 \Rightarrow B = 41$

$\frac{s i n A}{7} = \frac{s i n 41}{6} \Rightarrow s i n A = 0.77 \Rightarrow A = 50$

$C = 180 - (41 + 50) = 89$

أجد القياسات المجهولة في المثلث $A B C$ في كل من الحالات الآتية:

$10) a = 3, b = 4, C = 40 °$

$c^{2} = 3^{2} + 4^{2} - 2 \times 3 \times 4 c o s 40$

$c^{2} = 6.6 \Rightarrow c = \sqrt[]{6.6} = 2.6$

$\frac{sinB}{4} = \frac{\sin 40}{2.6} \Rightarrow s i n B = 0.98 \Rightarrow B = 79$

$A = 180 - (40 + 79) = 61$

$11) a = 2, c = 1, B = 10 °$

$b^{2} = 1^{2} + 2^{2} - 2 (2) (1) c o s 10 = 1 + 4 - 4 \times 0.9848 = 5 - 3.939 = 1.061$

$b = \sqrt[]{1.061} = 1.03$

$\frac{\sin A}{2} = \frac{\sin 10}{1.03} \Rightarrow s i n A = 0.33 \Rightarrow A = 19.3$

$C + 10 + 19.3 = 180 \Rightarrow C = 150.7$

$12) b = 1, c = 3, A = 80 °$

$a^{2} = 3^{2} + 1^{2} - 2 (3) (1) \cos 80$

$\sqrt[]{a^{2}} = \sqrt[]{8.96} \Rightarrow a 2.99$

$\frac{\sin B}{1} = \frac{\sin 80}{2.99} \Rightarrow \sin B = 0.33$

$B = 19.3$

$80 + 19.3 + C = 180$

$C = 80.7$

$13) a = 4, b = 5, c = 3$

$3^{2} = 5^{2} + 4^{2} - 2 (5) (4) \cos C$

$\cos C = 0.8 \Rightarrow C = 36.9$

$\frac{sinA}{4} = \frac{\sin 36.9}{3} \Rightarrow \sin A = 0.8$

$A = 53.1$

$53.1 + 36.9 + B = 180$

$B = 90$

$14) a = 5, b = 8, c = 9$

$5^{2} = 9^{2} + 8^{2} - 2 (9) (8) \cos A$

$\cos A = 0.83$

$A = 33.9$

$\frac{sinB}{8} = \frac{\sin 33.9}{5} \Rightarrow \sin B = 0.89$

$B = 62.8$

$C + 62.8 + 33.9 = 180$

$C = 83.3$

$15) a = 9, b = 7, c = 10$

$9^{2} = 10^{2} + 7^{2} - 2 (10) (7) \cos A$

$\cos A = 0.48$

$A = 61.3$

$\frac{sinB}{7} = \frac{\sin 61.3}{9} \Rightarrow \sin B = 0.68$

$B = 42.8$

$C + 42.8 + 61.3 = 75.9$

16) قوارب: انطلق قاربان من الرصيف نفسه في وقت واحد.وقد اخذ القارب الاول اتجاه $060 °$ ،وسار بسرعة $7 k m / h$ ،واخذ الثاني اتجاه $123 °$ ،وسار بسرعة $29 k m / h$ .ما المسافة بين القاربين بعد ساعتين من انطلاقهما؟

الزاوية بين خطي سير القاربين $123 ° - 60 ° = 63 °$

المسافة التي يقطعها الأول : 14km

المسافة التي قطعها الثاني : 58km

${(A B)}^{2} = 14^{2} + 58^{2} - 2 \times 14 \times 58 \times c o s 63 ° \Rightarrow A B \approx 53.1 k m$

17) سفن: ابحرت السفينتان $Y و ، X$ من الميناء عند الساعة التاسعة صباحا.وقد اخذت السفينة $X$ اتجاه $075 °$ ، وسارت بسرعة متوسطة مقدارها $20 k m / h$ ،واخذت السفينة $Y$ اتجاه $130 °$ ، وسارت بسرعة متوسطة مقدارها $25 k m / h$ .ما المسافة بين السفينتين عند الساعة الحادية عشرة صباحا؟

الزاوية بين خطي سير السفينتين : $130 ° - 75 ° = 55 °$

المسافة التي قطعتها السفينة الأولى من الساعة 9 صباحًا إلى الساعة 11 صباحًا : 40km

المسافة التي قطعتها السفينة الثانية من الساعة 9 صباحًا إلى الساعة 11 صباحًا : 50km

لتكن المسافة بين السفينتين عندئذٍ d :

$d^{2} = 40^{2} + 50^{2} - 2 \times 40 \times 50 c o s 55 ° \Rightarrow d \approx 42.5 k m$

رياضيات10 فصل أول

العاشر

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS