رياضيات11 فصل أول

قوانين اللوغاريتمات

تعلمنا سابقا بعض قوانين  الأسس التي استخدمناها في تبسيط مقادير أسية ، وإيجاد قيمة مقادير عددية ومن هذه القوانين

1) قانون ضرب القوى

2)  قانون قسمة القوى

3) قانون قوة القوة

إذا كانت b,x,y أعدادا حقيقية موجبة، وكان p عددا حقيقيا، حيث $b\ne 1$ فإن: قانون الضرب:         $lo{g}_b xy=lo{g}_{b }x+lo{g}_b y$ قانون القسمة:        ${\log }_b \frac{x}{y}={\log }_b x-{\log }_b y$ قانون القوة:            ${\log }_b x^p=p {\log }_b x$

وبما أنه توجد علاقة عكسية بين اللوغاريتمات والأسس فيمكننا التوصل إلى بعض القوانين الخاصة باللوغاريتمات

ملاحظة: يمكننا إثبات صحة القوانين السابقة باستعمال قوانين الأسس كالآتي 

إثبات قانون الطرح

أفرض أن $m={\log }_b\left(x\right)$ ، ومنه $b^m=x$

أفرض أن $n={\log }_b\left(y\right)$ ، ومنه $b^n=y$

ومنه $\frac{x}{y}= \frac{b^m}{b^n}= b^{m-n}$

وعند كتابة التعبير السابق بالصورة اللوغاريتمية فإن الناتج:

${\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)=m-n{\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)= {\log }_b\left(x\right)- {\log }_b\left(y\right)$

يمكننا إثبات باقي القوانين بنفس الطريقة 

 

كتابة اللوغايتمات بالصورة المطولة:

ويتم ذلك باستخدام باستعمال قوانين اللوغاريتمات

 

كتابة اللوغاريتمات بالصورة المختصرة: 

ويتم ذلك عند كتابة العبارة اللوغاريتمية على شكل لوغاريتم واحد.

 

تغيير الأساس:

نستطيع استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد اللوغاريتمات الاعتيادية والطبيعية فقط ولكن بعض اللوغاريتمات ليست اعتيادية ولا طبيعية (أساس اللوغاريتم ليس 10 ولا العدد النيبري e) ولتفادي هذه المشكلة نقوم بتغيير الأساس غير المرغوب فيه ثم إيجاد اللوغاريتم المطلوب.

إذا كانت a,b,x أعدادا حقيقية موجبة، حيث $a\ne 1$, $b\ne 1$ فإن: ${\log }_b x=\frac{{\log }_a x}{{\log }_a b}$

 

المعادلات الأسية:

هي المعادلات التي تتضمن قوى أسسها متغيرات وتحل عند كتابة طرفي المعادلة بصورة قوة للأساس نفسه ثم المقارنة بين أسي الطرفين.

إذا كان $b>1$ حيث $b\ne 1,x>0,y>0$ فإن: $x=y \mathrm{إذا} \mathrm{وفقط} \mathrm{إذا} {\log }_b x={\log }_b y$

ملاحظة: في بعض المعادلات الأسية لا يمكن كتابة طرفي المعادلة بصورة قوة للأساس نفسه وفي هذه الحالة يمكن استعمال خاصية المساواة اللوغاريتمية.

 

 

المعادلات اللوغاريتمية:

وهي معادلات تحوي متغيرا داخل تعبير لوغاريتمي ويمكن حلها جبريا عند كتابتها بدلالة لوغاريتم واحد في أحد طرفي المعادلة ثم نستعمل خاصية المساواة اللوغاريتمية