رياضيات 11 فصل ثاني

رسم الزاوية في الوضع القياسي 

تعلمت سابقاً أن الزاوية المرسومة في الوضع القياسي في المستوى الإحداثي هي زاوية يقع رأسها عند نقطة الأصل (0,0)  ، وضلع ابتدائها منطبق على المحور x الموجب .

تعلمت أيضاً أن قياس الزاوية يصف مقدار الدوران واتجاهه اللازمين للانتقال من ضلع الابتداء إلى ضلع الانتهاء ، وأن قياس الزاوية يكون موجباً اذا كان دوران ضلع الانتهاء عكس اتجاه حركة عقارب الساعة ، وسالباً اذا كان دوران ضلع الانتهاء مع اتجاه حركة عقارب الساعة .

 

مثال: أرسم في الوضع القياسي الزاوية التي عُلم قياسها في كل مما يأتي : 

1)  500°

الزاوية 500° تزيد على الزاوية 360° بمقدار 140°  ، فإن ضلع الانتهاء أكمل دورة كاملة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة ، ثم دار أيضاً 140°  عكس اتجاه دوران عقارب الساعة .

2) $-50°$

الزاوية $-50°$ زاوية سالبة ، فأننا نرسم ضلع الانتهاء بالدوران 50° في اتجاه دوران عقارب الساعة ، بدءاً بالجزء الموجب من x

---

الراديان: 

تعلمت سابقاً أنه يمكن قياس الزوايا بالدرجات ، ويمكن أيضاً قياسها بوحدة تعتمد على طول قوس الدائرة ، وتسمى الراديان . فقياس الزاوية المرسومة في الوضع القياسي ، التي يحدد ضلع انتهائها قوساً من الدائرة ، طوله مساوٍ لنصف قطر الدائرة ، هو 1 راديان .

وبما أن محيط الدائرة يساوي $2\pi r$ ، فإن قياس زاوية الدورة الكاملة هو $2\pi$ راديان ( عدد مرات تكرار r في $2\pi r$ ) . وبذلك فإن القياس بالدرجات والقياس بالراديان مرتبطان بالمعادلة الآتية: 

$360°=2\pi rad or 180°=\pi rad$
 

وهذه يعني أن قياس الزاوية المستقيمة $\pi rad$ ، وأن قياس الزاوية القائمة هو $\frac{\pi }{2} rad$ ، وأن قياس الزاوية التي يقابلها قوس طوله وحدتان هو $2 rad$ . 

 

وبما أن $180°=\pi rad$ ، اذن $1 rad=\left(\frac{180}{\pi }\right)° ، 1°=\frac{\pi }{180} rad$ ، ويمكن من خلال هاتين العلاقتين تحويل قياس أي زاوية من الدرجات إلى الراديان والعكس على النحو الآتي: 

• مثال: حول قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات إلى الراديان ، وقياس الزاوية المكتوبة بالراديان إلى الدرجات في كل مما يأتي : 

---

قياس الزوايا الخاصة بالدرجات والراديان: 

يبين الشكل المجاور القياسات المتكافئة بالدرجات والراديان للزوايا الخاصة من 0° إلى360°    ( من 0 rad إلى 2π rad ) .

• الزوايا المُشتركة:  

يُمكِن إيجاد زاوية مُشتركة في ضلع الانتهاء مع زاوية أخرى عن طريق جمع أو طرح أحد مضاعفات الزاوية °360 أو 2T

بالدرجات

إذا كانت $\theta$ تُمثِّل القياس بالدرجات لزاوية ما، فإنَّ جميع الزوايا ذات القياس $\theta + 360°n$ هي زوايا مشتركة مع $\theta$، حيث n عدد صحيح.

بالراديان

إذا كانت $\theta$ تُمثِّل القساس بالراديان لزاوية ما، فإنَّ جميع الزوايا ذات القياس $\theta + 2n\mathrm{\pi }$ هي زوايا مُشتركة مع $\theta$، حيث n عدد صحيح.

 

• مثال: جد زاويتين إحداهما قياسها موجب ، والأخرى قياسها سالب ، وكلتاهما مُشتركة في ضلع الانتهاء مع كل زاوية معطاة مما يأتي ، ثم أرسمها: 

1) $30°$

أولاً بتعويض n=1 لإيجاد زاوية مشتركة قياسها موجب $30°+360°\left(1\right)=390°$

ثانياً بتعويض n=-1 لإيجاد زاوية مشتركة قياسها سالب$30°+360°(-1)=-330°$

بالرسم:
 

 

 

2) $-\frac{\pi }{3}$

أولاً: بتعويض n=1 لإيجاد زاوية مشتركة قياسها موجب $-\frac{\pi }{3}+2\left(1\right)\pi =\frac{5\pi }{3}$

ثانياً: بتعويض n=-1 لإيجاد زاوية مشتركة قياسها سالب $-\frac{\pi }{3}+2(-1)\pi =-7\frac{\pi }{3}$
بالرسم:
 

 

---

تطبيقات : طول القوس ومساحة القطاع 

تعلمت سابقاً أن القوس جزء من الدائرة مُحدد بنقطتين عليها ، وأن القطاع هو الجزء المحصور بين قوس منها ونصفي القطرين اللذين يمران بطرفي القوس.

وسأتعلم الآن إيجاد طول القوس ومساحة القطاع عندما يكون قياس الزاوية المركزية بالراديان.

طول القوس: $s=r\theta$

مساحة القطاع: $A=\frac{1}{2}{r}^2\theta$

حيث : 
s : طول القوس            r : نصف القطر

مثال: يبين الشكل المجاور قطاعاً دائرياً زاويته المركزية 240°  في دائرة طول نصف قطرها 4cm . جد طول القوس ومساحة القطاع ، وأقرب إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة .

الحل:

لإيجاد طول قوس القطاع الدائري باستعمال الصيغة : s=rθ ، نحول قياس زاوية القطاع من الدرجات الى الراديان .
 

الخطوة1: أحول قياس الزاوية المركزية من الدرجات إلى الراديان

$240°=240°\left(\frac{\mathrm{\pi } \mathrm{rad}}{180°}\right)=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$

الخطوة2: أجد طول القوس

$s=r\theta =4\left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\right)=16.8$

الخطوة3: أجد مساحة القطاع

$A=\frac{1}{2}{r}^2\theta =\frac{1}{2}{\left(4\right)}^2\left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\right)\approx 33.5$

---

تطبيقات الحركة الدائرية: 

يمكن وصف حركة نقطة تتحرك على محيط الدائرة كما في الشكل المجاور باستعمال السرعة الخطية التي تمثل المعدل الذي تتغير فيه المسافة المقطوعة . فالسرعة الخطية هي المسافة المقطوعة مقسومة على المدة الزمنية المنقضية .

ويمكن وصف حركة النقطة باستعمال السرعة الزاوية وهي التي تمثل المعدل الذي يتغير فيه قياس الزاوية المركزية . فالسرعة المركزية هي قيمة التغير في قياس الزاوية بالراديان مقسومة على الزمن المنقضي .

ويمكننا إيجاد السرعة الخطية من خلال العلاقة: $v=\frac{s}{t}$
حيث : s طول القوس الذي تقطعه النقطة في مدة زمنية مقدارها t  و v السرعة الخطية 

ويمكننا ايجاد السرعة الزاوية من خلال العلاقة : $\omega =\frac{\theta }{t}$
حيث ω :  السرعة الزاوية  

معلومة : الحرف اليوناني ω  يقرأ اوميغا ويستعمل للدلالة على السرعة الزاوية .
 

---

مثال: يدور طفل حجراً مربوطاً بطرف حبل طول 3ft بمعدل 15 دورة في 10 ثوانٍ . جد السرعة الزاوية والسرعة الخطية للحجر

أولاً: نجد السرعة الزاوية

$\omega \left(t\right)=\frac{\theta }{t}=\frac{15(2\pi rad)}{10}=3\pi rad/s$

ثانياً: نجد السرعة الخطية .

$v\left(t\right)=\frac{s}{t}$

بتعويض: $s=r\theta$

$v\left(t\right)=\frac{r\theta }{t}=3\times 3\pi =9\pi ft/s$