الرياضيات فصل أول

التوجيهي أدبي

icon

مشتقتا اقتران الجيب واقتران جيب التمام

أتحقق من فهمي ( صفحة 83)

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

a) f𝒙=7 + sin𝒙                             b) f𝒙=3𝒙 - cos𝒙                           c) f𝒙=3 sin𝒙 + 2 cos𝒙         

 

a) أجد مشتقة الاقتران: f𝒙=7 + sin𝒙.

الحل:

الاقتران المعطى f𝒙=7 + sin𝒙
اشتق باستعمال قواعد مشتقة الثابت ومشتقة المجموع ومشتقة الجيب f '𝒙=cos𝒙

 

b) أجد مشتقة الاقتران: f𝒙=3𝒙 - cos𝒙.

الحل:

الاقتران المعطى f𝒙=3𝒙 - cos𝒙
اشتق باستعمال قواعد مشتقة المضاعفات ومشتقة الفرق ومشتقة جيب تمام f '𝒙=3--sin𝒙        =3 + sin𝒙

c) أجد مشتقة الاقتران: f𝒙=3 sin𝒙 + 2cos𝒙.

الحل:

الاقتران المعطى f𝒙=3 sin𝒙 +2 cos𝒙
اشتق باستعمال قواعد مشتقة المضاعفات ومشتقة المجموع ومشتقة الجيب ومشتقة جيب تمام f '𝒙=3 cos𝒙-2 sin𝒙 

أتحقق من فهمي (صفحة 84)

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

                                           a) fx=e𝒙 cos𝒙                                                            b) f𝒙=𝒙 + cos𝒙sin𝒙   

a) أجد مشتقة الاقتران: f𝒙=e𝒙 cos𝒙.

الحل: 

الاقتران المعطى f𝒙=e𝒙 cos𝒙
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب f '𝒙=e𝒙dd𝒙cos𝒙 + cos𝒙dd𝒙e𝒙
باستعمال قاعدتا مشتقة  اقتران الجيب ومشتقة الاقتران الأُسي الطبيعي f '𝒙=e𝒙-sin𝒙 + cos𝒙e𝒙
بإعادة الترتيب f '𝒙=e𝒙 cos𝒙 - e𝒙 sin𝒙

  b) أجد مشتقة الاقتران: f𝒙=𝒙 + cos𝒙sin𝒙.

الحل:

الاقتران المعطى f𝒙=𝒙 + cos𝒙sin𝒙
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القسمة f '𝒙=sin𝒙dd𝒙𝒙+cos𝒙-𝒙+cos𝒙dd𝒙sin𝒙sin𝒙2
باستعمال قواعد: مشتقة المضاعفات ومشتقة اقتران الجيب تمام ومشتقة اقتران الجيب f '𝒙=sin𝒙1-sin𝒙-𝒙+cos𝒙cos𝒙sin𝒙2
بالتبسيط حيث: sin2𝒙+ cos2𝒙=1 f '𝒙=sin𝒙 -sin2𝒙-𝒙cos𝒙-cos2𝒙sin𝒙2        =sin𝒙-𝒙cos𝒙-sin2𝒙+cos2𝒙sin2𝒙        =sin𝒙 - 𝒙cos𝒙 - 1sin2𝒙

 

أتحقق من فهمي (صفحة 86)

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

a) f𝒙=cos 5𝒙                                           b) f𝒙=sin𝒙                                            c) f𝒙=ln cos 3𝒙             

 

a) أجد مشتقة الاقتران: f𝒙=cos 5𝒙.

الحل:

الاقتران المعطى f𝒙=cos 5𝒙
اشتق: cos u، حيث: u=5𝒙 f '𝒙=-sin 5𝒙 (5)
بالتبسيط f '𝒙=-5 cos 5𝒙

 

b) أجد مشتقة الاقتران: f𝒙=sin𝒙.

الحل:

الاقتران المعطى f𝒙=sin𝒙
بتحويل الجذر إلى الصورة الأُسية f𝒙=sin𝒙12
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة سلسلة القوة ومشتقة اقتران الجيب f '𝒙=12sin𝒙-12× cos𝒙
بالتبسيط وتحويل الصورة الأُسية إلى الصورة الجذرية f '𝒙=cos𝒙2sin𝒙

 

c) أجد مشتقة الاقتران: f𝒙=ln cos 3𝒙.

الحل:

الاقتران المعطى f𝒙=ln cos 3𝒙

اشتق: ln u، حيث: u=cos 3𝒙 ، اشتق:cos w، حيث: w=3𝒙

f '𝒙=-sin 3𝒙 ( 3)cos 3𝒙
بالتبسيط ، حيث tan w=sin wcos w f '𝒙=-3 sin 3𝒙cos 3𝒙        =-3 tan 3𝒙

أتحقق من فهمي (صفحة 86)

ميناء: يُمثل الاقتران: ht=10 + 4 sin π6t ارتفاع الماء (بالأقدام) عند رصيف أحد الموانئ بعد t ساعة تلي الساعة .6 a.m. أجد معدل تغير ارتفاع الماء عند الرصيف بالنسبة إلى الزمن t.

الحل:

الاقتران المعطى ht=10 + 4 sin π6t
اشتق: باستعمال قواعد مشتقة الثابت ومشتقة المجموع ومشتقة المضاعفات ومشتقة: sin u، حيث: u=π6t h't=4 cos π6t × π6
بالتبسيط h't=2π3 cos π6t

إذًا، معدل تغير ارتفاع الماء عند الرصيف بالنسبة إلى الزمنt هو: h't=2π3 cos π6t.

أتدرَّب وأحُلُّ المسائل (صفحة 86 ، 87)

1) أجد مشتقة الاقتران:f𝒙=2 cos𝒙 + sin𝒙.

الحل: 

الاقتران المعطى fx=2 cos x + sin x
اشتق باستعمال قواعد مشتقة المضاعفات ومشتقة اقتران الجيب تمام ومشتقة اقتران الجيب f 'x=2-sin x + cos x        =-2 sin x + cos x

 

2) أجد مشتقة الاقتران: fx=5 + cos x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=5 + cos x
اشتق باستعمال قواعد مشتقة الثابت ومشتقة المجموع ومشتقة اقتران جيب التمام f 'x=-sin x

3) أجد مشتقة الاقتران: fx=sin x - cos x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=sin x - cos x
اشتق باستعمال قواعد مشتقة  اقتران الجيب ومشتقة الفرق ومشتقة اقتران جيب تمام f 'x=cos x - -sin x        =cos x + sin x

 

4) أجد مشتقة الاقتران: fx=x sin x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=x sin x
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب f 'x=xddxsin x+sin xddxx
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة المضاعفات ومشتقة اقتران الجيب f 'x=xcos x+sin x1        =x cos x + sin x

 

5) أجد مشتقة الاقتران: fx=sin x cos x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=sin x cos x
اشتق باستعمال قاعدة الضرب f 'x=sin xddxcos x+cos xddxsinx
باستعمال قاعدتا مشتقة اقتران جيب التمام ومشتقة اقتران الجيب f 'x=sin x-sin x+cos xcos x
بالتبسيط f 'x=-sin x2 + cos x2        =cos2x - sin2x

 

6) أجد مشتقة الاقتران: fx=ex sin x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=ex sin x
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب f 'x=exddxsin x+sin xddxex
باستعمال قاعدتا مشتقة اقتران الجيب ومشتقة الاقتران الأُسي الطبيعي f 'x=excos x+sin xex
بإعادة الترتيب f 'x=ex cos x + ex sin x

7) أجد مشتقة الاقتران: fx=excos x.

الحل: 

الاقتران المعطى fx=excos x
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القسمة f 'x=cos xddxex-exddxcos xcos x2
باستعمال قاعدتا مشتقة الاقتران الأُسي ومشتقة اقتران جيب التمام f 'x=cos xex-ex-sin xcos x2

بالتبسيط

كتابة الإجابة بصورة أخرى (إخراجex عامل مشترك)

f 'x=ex cos x + exsin xcos2x        = ex( cosx + sinx)cos2x

 

8) أجد مشتقة الاقتران: f𝒙=sin 𝒙2+1.

الحل: 

الاقتران المعطى مركب fx=sin 𝒙2+1
اشتق مستعملا قاعدة السلسلة: sin u، حيث: u=𝒙2+1 f 'x=cos 𝒙2+1 × 2𝒙
بإعادة الترتيب f 'x=2𝒙 cos 𝒙2+1

9) أجد مشتقة الاقتران: f𝒙=ln sin 𝒙.

الحل:

الاقتران المعطى f𝒙=ln sin 𝒙
اشتق: ln u، حيث: u=sin𝒙 f '𝒙=cos 𝒙sin 𝒙

10) أجد مشتقة الاقتران: f𝒙=cos 5𝒙-2.

الحل:

الاقتران المعطى f𝒙=cos 5𝒙-2
اشتق: cos u، حيث: u=5𝒙-2 f '𝒙=-sin 5𝒙-2 × 5
بالتبسيط f '𝒙=-5 sin 5𝒙-2

11) أجد مشتقة الاقتران: f𝒙=sin 3𝒙 + cos 6𝒙.

الحل: 

الاقتران المعطى f𝒙=sin 3𝒙 + cos 6𝒙
اشتق: sin u، حيث: u=3𝑥،         اشتقcos u، حيث: u=6𝑥 f '𝒙=(cos 3𝒙)×( 3) +-sin 6𝒙×( 6)
بإعادة الترتيب f 'x=3 cos 3𝒙- 6 sin 6𝒙

12) أجد مشتقة الاقتران: f𝒙=cos 𝒙2-3𝒙-4.

الحل:

الاقتران المعطى f𝒙=cos𝒙2-3𝒙-4
اشتق: cos u، حيث: u=𝒙2-3𝒙-4 f '𝒙=-sin𝒙2-3𝒙-4 × 2𝒙-3
بالتبسيط وإعادة الترتيب f '𝒙=-2𝒙-3 sin 𝒙2-3𝒙-4        =3-2𝒙 sin 𝒙2-3𝒙-4

 

13) أجد مشتقة الاقتران: f𝒙=e2𝒙 sin 10𝒙.

الحل:

الاقتران المعطى f𝑥=e2𝑥 sin 10𝑥
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب f '𝑥=e2𝑥dd𝑥sin 10𝑥+sin 10𝑥dd𝑥e2𝑥
اشتق: sin u، حيث: u=10𝒙،  اشتق: eu، حيث: u=2𝑥 f'x=e2xcos 10x × 10+sin 10xe2x × 2
بإعادة الترتيب f '𝑥=10 e2𝑥 cos 10𝑥 + 2e2𝑥 sin 10𝑥

 

14) أجد مشتقة الاقتران: fx=cos x2ln x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=cos x2ln x
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب f 'x=cos x2ddxln x+ln xddxcos x2
باستعمال قاعدتا مشتقة اللوغاريتم الطبيعي ومشتقة: cos u، حيث: u=x2 f 'x=cos x21x+ln x-sin x2 × 2x
بإعادة الترتيب f 'x=1x cos x2 - 2x sin x2 ln x

15) أجد مشتقة الاقتران: fx=x+1 sin πx2.

الحل:

الاقتران المعطى fx=x+1 sin πx2
اشتق باستعمال قاعدة الضرب f 'x=x+1 ddxsin πx2+sin πx2ddxx+1 
باستعمال قاعدتا مشتقة: sin u، حيث: u=πx2 ومشتقة الجذر التربيعي f 'x=x+1 cos πx2 × π2+sin πx212x+1
بإعادة الترتيب f 'x=π2x+1 cos πx2 + 12x+1 sin πx2

16) أجد مشتقة الاقتران: fx=4 sin2x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=4 sin2x
بإعادة كتابة الاقتران fx=4 sin x2
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة سلسلة القوة ومشتقة المضاعفات f 'x=4 × 2sin xcos x
بالتبسيط f 'x=8 sin x cos x

17) أجد مشتقة الاقتران: fx=cos3 2x cos x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=cos3 2x cos x
بإعادة كتابة الاقتران fx=cos 2x3 cosx
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب f 'x=cos 2x3 ddxcos x+cos x ddxcos 2x3
باستعمال قواعد مشتقة الجيب تمام ومشتقة سلسلة القوة ومشتقة:cos u، حيث: u=2x f 'x=cos 2x3 -sin x + cos x3cos 2x2 -sin 2x2
بالتبسيط f 'x=-sin x cos 2x3 - 6 sin 2x cos x cos2 2x

 

18) أجد مشتقة الاقتران: fx=5 sin x

الحل:

الاقتران المعطى fx=5 sin x
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة المضاعفات ومشتقة: sin u، حيث: u=x f 'x=5 cos x × 12x
بإعادة الترتيب  f 'x=52x cos x

 

19) أجد مشتقة الاقتران: fx=cos 2x - sin x2.

الحل:

الاقتران المعطى fx=cos 2x - sin x2
اشتق باستعمال قواعد مشتقة سلسلة القوة ومشتقة: cos u، حيث: u=2x ومشتقة الجيب f 'x=2 cos 2x - sin x×-sin 2x × 2 - cos x
بالتبسيط f 'x=2 cos 2x - sin x-2 sin 2x - cos x

 

20) أجد مشتقة الاقتران: fx=sin x + sin 2x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=sin x + sin 2x
اشتق باستعمال مشتقة: sin u، حيث: u=x، u=2x f 'x=cos x × 12x + cos 2x × 22sin 2x
بالتبسيط f 'x=12x cos x + cos 2xsin 2x

 

21) أجد مشتقة الاقتران: fx=ln x2sin x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=ln x2sin x

اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القسمة

 

f 'x=sin x ddxln x2 - ln x2 ddxsinxsin x2

باستعمال قواعد مشتقة سلسلة القوة ومشتقة اللوغاريتم ومشتقة الجيب

 

f 'x=sin x 2ln x × 1x - ln x2 cos xsin x2
بالتبسيط f 'x=2xsin x ln x -cos x ln x2sin2 x

22) غزلان: يُمثِّل الاقتران: Dt=1500 + 400 sin 0.4t عدد الغزلان في الغابة بعد t سنة من بدء دراسة لأحد الباحثين عليها. أجد معدل تغير عدد الغزلان في الغابة بالنسبة إلى الزمن t.

الحل:

الاقتران المعطى Dt=1500 + 400 sin 0.4t
اشتق باستعمال قواعد مشتقة الثابت ومشتقة المجموع ومشتقة المضاعفات ومشتقة:sin u، حيث: u=0.4t D't=400 cos 0.4t × 0.4
بالتبسيط D't=160 cos 0.4t

إذًا، معدل تغير عدد الغزلان في الغابة بالنسبة إلى الزمن t هو: D't=160 cos 0.4t

23) نهار: يُمكن إيجاد عدد ساعات النهار H في أي يوم t من العام في إحدى المدن باستعمال الاقتران:Ht=12 + 2.4 sin 2π365t-80. أجد معدل تغير عدد ساعات النهار بالنسبة إلى الزمن t في هذه المدينة.

الحل:

الاقتران المعطى Ht=12 + 2.4 sin 2π365t-180
اشتق باستعمال قواعد مشتقة الثابت ومشتقة المجموع ومشتقة المضاعفات ومشتقة: sin u، حيث: u=2π365t-180 H't=2.4 cos 2π365t-180 ×2π3651
بالتبسيط H't=4.8π365 cos 2π365t-1

إذًا، معدل تغير عدد ساعات النهار بالنسبة إلى t في هذه المدينة هو: H't=4.8π365 cos 2π365t-1

مهارات التفكير العليا

24) تبرير: إذا كان: y=12x - sin x cos x، فأُثبت أن dydx=sin2 x، مبررًا إجابتي.

الحل:

الاقتران المعطى y=12x - sinx cos x

اشتق باستعمال قواعد مشتقة المضاعفات ومشتقة الفرق ومشتقة الضرب

 

dydx=121 - sin xddxcos x+cos xddxsin x

باستعمال قاعدتا مشتقة جيب التمام ومشتقة الجيب

 

dydx=121-sin x-sin x+cos xcos x
بالتبسيط dydx=121+sin x2 - cos x2      =121-cos2 x + sin2 x     , sin2 x +cos2 x=1      = 12sin2 x+sin2 x             , sin2 x=1- cos2 x      =122sin2 x      =sin2 x

إذًا، dydx=sin2 x.

 

25) تحدٍّ : أجد مشتقة الاقترانfx=exsin2 x cos x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=ex sin2 x cos x
بإعادة كتابة الاقتران fx=ex cos xsin x2
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب f 'x=ex cos xddxsin x2+sin x2ddxex cos x
باستعمال قاعدة مشتقة الضرب  ومشتقة سلسلة القوة ومشتقة الاقتران الأُسي ومشتقة الجيب ومشتقة جيب التمام f 'x=ex cos x2sin xcos x+sin x2exddxcos x+cos xddxex
بالتبسيط f 'x=2 ex sin x cos x2+sin x2ex-sin x+cos xex        =2ex sin x cos2 x+sin2 x-ex sin x +ex cos x        =2ex sin x cos2 x - ex sin3 x +excos x sin2 x

26) اكتشف الخطأ:  اكتشف الخطأ في الحل الآتي، ثم أُصححه:

                                                                                                                                                                                                                               ×fx=sin1xf 'x=1x2sin 1x                                           

الخطأ في الحل هو أن مشتقة sin بقيت sin والصحيح هي cos  ومشتقة الزاوية ليست 1x2 وإنما -1x2، لذلك تصبح مشتقة الاقتران هي: f 'x=-1x2cos 1x

تمارين كتاب الطالب(صفحة 18)

1) أجد مشتقة الاقتران: fx=sin35x-1.

الحل:

الاقتران المعطى fx=sin35x-1
اشتق باستعمال قواعد مشتقة سلسلة القوة ومشتقة الجيب ومشتقة المضاعفات ومشتقة الثابت f'x=3 sin25x-1×cos5x-1×5
بالتبسيط f'x=15 sin25x-1cos5x-1

2) أجد مشتقة الاقتران: fx=sinx3-2x+4.

الحل:

الاقتران المعططى fx=sinx3-2x+4
اشتق باستعمال قواعد مشتقة السلسلة ومشتقة القوة ومشتقة المضاعفات ومشتقة الثابت f'x=cosx3-2x+4×3x2-2
بإعادة الترتيب f'x=3x2-2cosx3-2x+4

3) أجد مشتقة الاقتران: fx=2 cos-4x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=2 cos-4x
اشتق cos u، حيث: u=-4x f'x=2-sin-4x×-4
بالتبسيط f'x=8 sin-4x

4) أجد مشتقة الاقتران:fx=3 sin3x+7.

الحل:

 

الاقتران المعطى fx=3 sin3x+7
اشتق sin u، حيث: u=3x+7 f'x=3 cos3x+7×3
بالتبسيط f'x=9 cos3x+7

5) أجد مشتقة الاقتران: fx=2x3sin x-3x cos x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=2x3sin x-3x cos x
اشتق باستعمال قاعدة الضرب f'x=2x3 ddxsin x+sin x ddx2x3-3xddxcos x+cos xddx3x
باستعمال قواعد مشتقة الجيب ومشتقة جيب التمام ومشتقة القوة ومشتقة المضاعفات ومشتقة الفرق  f'x=2x3cos x+sin x6x2-3x-sin x+cos x 3
بإعادة الترتيب f'x=2x3cos x+6x2sin x+3xsin x-3cos x

6) أجد مشتقة الاقتران: fx=sin2x+cos2x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=sin2x+cos2x
بتعويض  sin2x+cos2x=1 fx=1
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الثابت f'x=0

7) أجد مشتقة الاقتران: fx=cosln x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=cosln x
اشتق cos u، حيث: u=ln x f'x=sinln x×1x
بإعادة الترتيب f'x=1xsinln x

8) أجد مشتقة الاقتران: fx=excos x+sin x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=excos x+sin x
اشتق باستعمال قاعدة  مشتقة الضرب f'x=exddxcos x+sin x+cos x+sin xddxex
باستعمال قواعد مشتقة الجيب ومشتقة جيب التمام ومشتقة الاقتران الأُسي f'x=ex-sin x+cos x+cos x+sin xex
بالتبسيط f'x=-exsin x+excos x+excos x+exsin x         =2excos x

9) أجد مشتقة الاقتران: fx=cos1-2x2.

الحل:

الاقتران المعطى fx=cos1-2x2
اشتق cos u، حيث: u=1-2x2 f'x=-sin1-2x2 ×21-2x×-2
بالتبسيط f'x=4-8xsin1-2x2

10) أجد مشتقة الاقتران: fx=2cos x+sin x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=2cos x+sin x
اشتق باستعمال قواعد مشتقة الجذر التربيعي ومشتقة جيب التمام ومشتقة الجيب f'x=2-sin x+cos x2cos x+sin x
بالتبسيط f'x=-sin x+cos xcos x+sinsin x

11) أجد مشتقة الاقتران: fx=1+cos 2x3.

الحل:

الاقتران المعطى fx=1+cos 2x3
اشتقى باستعمال قواعد مشتقة سلسلة القوة ومشتقة الثابت ومشتقة cos u، حيث: u=2x f'x=31+cos 2x2×-sin 2x ×2
بالتبسيط f'x=-6sin 2x1+cos 2x2

12) أجد مشتقة الاقتران: fx=sin3x cos 4x.

الحل: 

الاقتران المعطى fx=sin3x cos 4x
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب f'x=sin3x ddxcos 4x+cos 4xddxsin3x
باستعمال مشتقة cos u، حيث: u=4x وقاعدة مشتقة سلسلة القوة f'x=sin3x-sin 4x ×4+cos 4x 3 sin2 x × cos x
بإعادة الترتيب f'x=-4 sin 4x sin3x+3 cos 4x cos x sin2x

13) أجد مشتقة الاقتران: fx=sinex1+ex.

الحل:

الاقتران المعطى fx=sinex1+ex
اشتق sin u، حيث: u=ex1+ex f'x=cosex1+ex×1+exddxex-exddx1+ex1+ex2
باستعمال مشتقة الاقتران الأُسي ومشتقة الثابت f'x=cosex1+ex×1+exex-exex1+ex2
بالتبسيط f'x=cosex1+ex×ex+e2x-e2x1+ex2         =ex1+ex2 cosex2+ex

14) أجد مشتقة الاقتران: fx=cos x2ex.

الحل:

الاقتران المعطى fx=cos x2ex
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القسمة f'x=exddxcos x2-cos x2ddxexex2
باستعمال قواعد مشتقة cos u، حيث: u=x2 ومشتقة الاقتران الأُسي f'x=exsin x2×2x-cos x2 exe2x
بالتبسيط  f'x=2xexsin x2-excos x2e2x         =ex2x sin x2-cos x2e2x         =2x sin x2-cos x2ex

15) أجد مشتقة الاقتران: fx=cos x1-sin x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=cos x1-sin x
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القسمة f'x=1-sin xddxcos x-cos xddx1-sin x1-sin x2
باستعمال قواعد مشتقة جيب التمام ومشتقة الثابت ومشتقة الجيب f'x=1-sin x-sin x-cos x -cos x1-sin x2
 بتعويض sin2x+cos2x=1بالتبسيط  f'x=-sin x+sin2x+cos2x1-sin x2          =-sin x+11-sin x2=1-sin x1-sin x2          =11-sin x

16) أجد مشتقة الاقتران: fx=x sin x1+x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=x sin x1+x
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القسمة f'x=1+xddxx sin x-x sin xddx1+x1+x2
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب  f'x=1+xxddxsin x+sin xddxx-x sin xddx1+x1+x2
باستعمال قواعد مشتقة الجيب ومشتقة المضاعفات ومشتقة الثابت f'x=1+xx cos x+sin x 1-x sin x 11+x2
بالتبسيط f'x=x cos x+sin x+x2cos x+x sin x-x sin x1+x2         =x cos x+sinx+x2cos x1+x2

17) أجد مشتقة الاقتران: fx=x2-cos x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=x2-cos x
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القسمة f'x=2-cos xddxx-xddx2-cos x2-cos x2
باستعمال قواعد مشتقة المضاعفات ومشتقة الثابت ومشتقة جيب التمام f'x=2-cos x1-xsin x2-cos x2
بالتبسيط f'x=2-cos x-x sin x2-cos x2

18) أجد مشتقة الاقتران: fx=lncos x-sin x.

الحل:

الاقتران المعطى fx=lncos x-sin x
اشتق ln u، حيث: u=cos x-sin x f'x=-sin x-cos xcos x-sin x

19)حيونات مُفترِسة: يُمثِّل الاقتران: Dt=500+200 sin0.4t-2 عدد الحيونات المُفترِسة في إحدى الغابات بعد t سنة من بدء دراسة لأحد الباحثين عليها . أجد مُعدَّل تغيُّر عدد الحيونات المُفترِسة في الغابة بالنسبة إلى الزمن t.

الحل:

الاقتران المعطى Dt=500+200 sin0.4t-2
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة الثابت ومشتقة sin u، حيث: u=0.4t-2 D't=200 cos0.4t-2×0.4
بالتبسيط D't=80 cos0.4t-2

إذًا، مُعدَّل تغيُّر عدد الحيونات المُفترِسة في الغابة بالنسبة إلى الزمن t هو: D't=80 cos0.4t-2.

20) وقود: يُمثِّل الاقتران:Ct=30+21.6 sin 2πt365+10.9 الاستهلاك اليومي من الوقود (باللترات) لإحدى السيارات، حيث t الزمن بالأيام. أجد مُعدَّل تغيُّر استهلاك السيارة للوقود بالنسبة إلى الزمن t.

الحل:

الاقتران المعطى Ct=30+21.6 sin 2πt365+10.9
اشتق باستعمال مشتقة الثابت ومشتقة sin u، حيث: u=2πt365+10.9 C't=21.6 cos 2πt365+10.9×2π365
بالتبسيط C't=43.2π365 cos 2πt365+10.9

إذًا، مُعدَّل تغيُّر استهلاك السيارة للوقود بالنسبة إلى الزمن t هو: C't=43.2π365 cos 2πt365+10.9

21) أكتشف الخطأ: أكتشف الخطأ في الحل الآتي، ثم أُصححه:

                            fx=cos x sin xf'x=cos x cos x +sin x -sin x         =cos2x - sin2x         =1                                                       الخطأ في الحل إعتبار cos2x - sin2x=1  والصحيح أنcos2x + sin2x=1

إذا، الحل الصحيح هو:

الحل الصحيح f'x=cos2x-sin2x
أو بتعويض sin2x=1-cos2x f'x=cos2x-1-cos2x         =2 cos2x -1
أو بتعويض cos2x=1-sin2x fx=1-sin2x-sin2x        =1-2 sin2x