رياضيات11 فصل أول

أتحقق من فهمي ص 28

استعمل طريقة الجدول؛ لأجد ناتج كل مما يأتي:

$a) (x^3+6x^2-9x-14)÷(x+1)$

ناتج القسمة هو $x^2+5x-14$، والباقي 0

$b) (2x^3-x^2+3)÷(x-3)$

ناتج القسمة هو $2x^2+5x+15$، والباقي 48

أتحقق من فهمي ص 31

أستعمل نظرية الباقي؛ لأجد باقي قسمة P(x) على h(x) في كل مما يأتي:

$a) P(x)=4x^4-7x^3+5x^2+2, h(x)=x-1$

الباقي هو $p\left(1\right)=4$

$b) P(x)=3x^3+8x^2-3x-6, h(x)=x+3$

الباقي هو $p(-3)=-6$

$c) P(x)=-2x^3-5x^2+10x+9, h(x)=2x+8$

الباقي هو $p(-\frac{8}{2})=p(-4)=17$

أتحقق من فهمي ص 32

إذا كان $P\left(x\right)=x^3-2x^2-13x-10$، فأُجيب عن السؤالين الآتيين:

a) أبين أن x-5 عامل من عوامل p(x).

$$\begin{gathered} p\left(5\right)=5^3-2{\left(5\right)}^2-13\left(5\right)-10 \\ =125-50-65-10=0 \end{gathered}$$

إذن، (x-5) عامل من عوامل p(x).

b) أحلل P(x) تحليلا كاملا.

لتحليل p(x) أقسم p(x) على (x-5)

$$\begin{gathered} P\left(x\right)=(x-5)(x^2+3x+2) \\ =(x-5)(x+2)(x+1) \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي ص 35

أجد جميع أصفار كثير الحدود في ما يأتي:

$a) P(x)=5x^3-x^2-5x+1$

عوامل الحد الثابت هي $\pm 1$، وعوامل المعامل الرئيس هي $\pm 1$، و $\pm 5$، الأصفار المحتملة للاقتران هي: $\pm \frac{1}{5}$، $\pm 1$

بالتعويض نجد أن $p\left(1\right)=5-1-5+1=0$

إذن، (x-1) هو أحد عوامل p(x)، أجد العوامل الأخرى بالقسمة وتحليل الناتج إن أمكن.

$p\left(x\right)=(x-1)(5x^2+4x-1)=(x-1)(5x-1)(x-1)$

إذن، أصفار p(x) هي: $1 , -1.\frac{1}{5}$

$b) Q(x)=x^4+6x^3+7x^2-6x-8$

معامل الحد الرئيس يساوي 1، فالأصفار المحتملة هي عوامل الحد الثابت 8، وهي: $\pm 1, \pm 2,\pm 4,\pm 8$ بالتعويض نجد أن $Q\left(1\right)=1+6+7-6-8=0$

إذن، (x-1) هو أحد عوامل Q(x)

أجد العوامل الأخرى بالقسمة وتحليل الناتج إن أمكن.

$Q\left(x\right)=(x-1)(x^3+7x^2+14x+8)$

وبتعويض x = -1 في العامل التكعيبي نجد أن الناتج 0 ، نقسم $x^3+7x^2+14x+8$ على (x+1)

فنجد أن:

$Q\left(x\right)=(x-1)(x+1)(x^2+6x+8)=(x-1)(x+1)(x+2)(x+4)$

إذن، أصفار Q(x) هي: $-1,1,-2,-4$

أتحقق من فهمي ص 37

أحل كل معادلة مما يأتي:

$a) x^3-x^2-9x+9=0$

$x^2-(x-1)-9(x-1)=0$

$(x-1)(x^2-9)=0$

$(x-1)(x-3)(x+3)=0$

$x=1 , x=3 , x=-3$

$b) x^3+3x^2-4=0$

حلول هذه المعادلة هي x = 1، x = -2، ويمكن حلها بتحليل الطرف الأيسر إلى عوامل بطريقة مشابهة لحل الفقرة a.

---

أتدرب وأحل المسائل

أستعمل طريقة الجدول؛ لأجد ناتج القسمة والباقي في كل مما يأتي:

$1) (6x^4-5x^3+8x^2-7x-12)÷(3x-4)$

الناتج: $2x^3+x^2+4x+3$

الباقي: 0

$2) (2x^5-5x^4+9x^2-10x+15)÷(1-2x)$

الناتج: $-x^4+2x^3+x^2-4x+3$

الباقي: 12

أستعمل نظرية الباقي؛ لأجد باقي قسمة f(x) على h(x) في كل مما يأتي:

$3) f(x)=8x^4+2x^3-53x^2+37x-6, h(x)=x+1$

الباقي هو: $f(-1)=8-2-53-37-6=-90$

$4) f(x)=4x^3+2x^2-6x-8, h(x)=3x+4$

الباقي هو: $f(-\frac{4}{3})=4{(-\frac{4}{3})}^3+2(-\frac{4}{3})-8=-\frac{160}{27}$

أبين أن h(x) عامل من عوامل f(x) في كل مما يأتي:

$5) f(x)=x^3-37x+84, h(x)=x+7$

$f(-7)={(-7)}^3-37(-7)+84=0$

إذن، (x+7) عامل من عوامل f(x).

$6) f(x)=2x^3-5x^2-x+6, h(x)=2x-3$

$f(1.5)=2{(1.5)}^3-5{(1.5)}^2-1.5+6=0$

إذن، (2x-3) عامل من عوامل f(x).

أحلل كل اقتران مما يأتي تحليلا كاملا:

$7) f(x)=x^3+3x^2-13x-15$

$f\left(x\right)=(x+5)(x-3)(x+1)$

$8) g(x)=x^4-7x^3+13x^2+3x-18$

$g\left(x\right)=(x+1)(x-2){(x-3)}^2$

$9) h(x)=2x^3-13x^2+17x+12$

$h\left(x\right)=(x-3)(x-4)(2x+1)$

$10) q(x)=3x^3-18x^2+2x-12$

$q\left(x\right)=(x-6)(3x^2+2)$

أحل كلا من المعادلات الآتية:

$11) x^3-4x^2-7x+10=0$

$$\begin{gathered} (x-1)(x^2-3x-10)=0 \\ (x-1)(x-5)(x+2)=0 \\ x=1, x=5,x=-2 \end{gathered}$$

$12) 5x^3-15x^2-47x-15=2x^3-10x^2$

$$\begin{gathered} 3x^3-5x^2-47x-15=0 \\ (x+3)(3x^2-14x-5)=0 \\ (x+3)(3x+1)(x-5)=0 \\ x=-3 , x=-\frac{1}{3}, x=5 \end{gathered}$$

$13) 3x^3+3x^2-14x-8=0$

$$\begin{gathered} (x-2)(3x^2+9x+4)=0 \\ x=2 , x=\frac{-9\pm \sqrt{81-48}}{2\left(3\right)} \\ x=2, x=\frac{-9+\sqrt{33}}{6}, x=\frac{-9-\sqrt{33}}{6} \\ x=2 , x\approx -0.54, x\approx -2.46 \end{gathered}$$

$14) 6x^3-13x^2+x+2=0$

$$\begin{gathered} \left(x-2\right)\left(6x^2-x-1\right)=0 \\ \left(x-2\right)\left(3x+1\right)\left(2x-1\right)=0 \\ x=2 , x=-\frac{1}{3} , x=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

 

أستعمل التمثيل البياني لمنحنى كل اقتران مما يأتي؛ لإيجاد أحد أصفاره النسبية، ثم أجد أصفار الاقتران جميعها:

$15) f(x)=4x^3-20x+16$

أحد أصفار الاقتران هو x = 1

صفراه الآخران هما جذرا المعادلة:

$4x^2+4x-16=0$

$x^2+x-4=0$

$x=\frac{-1\pm \sqrt[]{1+16}}{2}$

$x\approx 1.56 , x\approx -2.56$

$16) f(x)=4x^3-12x^2-x+15$

أحد أصفار الاقتران هو x = -1

صفراه الآخران هما جذرا المعادلة:

$4x^2+16x+15=0$

$(2x-3)(2x-5)=0$

$x=1.5 , x=2.5$

17) إذا كان x=1 , x=4 هما حلان للمعادلة $x^3-3x^2+ax+b=0$، فأجد الحل الثالث لها.

$x^3-3x^2+ax+b=(x-1)(x-4)(x-c)$

$x^3-3x^2+ax+b=(x^2-5x+4)(x-c)$

$x^3-3x^2+ax+b=x^3-c{x}^2-5x^2+5cx+4x-4c$

$x^3-3x^2+ax+b=x^3-(c+5)x^2+(4+5c)x-4c$

معامل $x^2$: $-3=-(c+5)$

$c+5=3\to c=-2$

إذن، الحل الثالث هو x= -2 

18) إذا كان باقي قسمة $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+x+5$ على x-1 يساوي مثلي باقي قسمته على x+1، فما قيمة a؟

$f\left(1\right)=2f(-1)$

$1+a+1+5=2(-1+a-1+5)$

$a+7=2a+6\to a=1$

إذا كان: $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2-9x-9$؛ حيثُ: a,b ثابتان، و $\mathrm{a},\mathrm{b}\ne 0$، فأجيب عن الأسئلة الآتية:

19) إذا كان (x - 3) عاملا من عوامل الاقتران f(x)؛ فأبين أن 3a+b=4

$f\left(3\right)=0$

$27a+9b-27-9=0$

$27a+9b=36$

$3a+b=4$

20) إذا كان باقي قسمة f(x) على x - 2 يساوي 15- ؛ فأبين أن 2a+b=3

$8a+4b-18-9=-15$

$8a+4b=12$

$2a+b=3$

21) أجد قيمة كل من a، وb.

بطرح المعادلة الناتجة في السؤال 22 من المعادلة الناتجة في سؤال 21 نجد أن a=1، وبتعويض قيمة a في إحدى المعادلتين نجد أن b=1.

22) أحل المسألة الواردة في بداية الدرس.

$2\left(x\right)(x^2+6x-19)=48$

$x^3+6x^2-19x=24$

$x^3+6x^2-19x-24=0$

$(x-3)(x^2+9x+8)=0$

$(x-3)(x+1)(x+8)=0$

$x=3 , x=-1 , x=-8$

الحلان السالبان مرفوضان لأن x أحد أبعاد الصندوق ولا يمكن أن يكون سالبا.

إذن، قيمة x التي تجعل حجم الصندوق $48 m^3$ هي 3m

مهارات التفكير العليا

23) مسألة مفتوحة: أكتب اقترانا من الدرجة الثالثة يكون (x - 3) أحد عوامله، ويكون باقي قسمته على (x+1) يساوي 8-.

$a{x}^2+bx+c$

$f\left(x\right)=(x-3)(a{x}^2+bx+c)$

$f(-1)=-8$

$(-1-3)(a-b+c)=-8$

$a-b+c=2$

$a=1 , b=1 , c=2$

$f\left(x\right)=(x-3)(x^2+x+2)$

$f\left(x\right)=x^3-2x^2-x-6$

24) أكتشف الخطأ: أرادت سهام إيجاد الأصفار النسبية المحتملة للاقتران $f\left(x\right)=8x^6+7x^5-3x^4+45x^3-1500x^2+16x$، وكان حلها كالآتي:

أبين الخطأ الذي وقعت فيه وأصححه.

قسمت سهام عوامل الحد الرئيس على عوامل الحد الثابت بعد إخراج العامل المشترك في حدود الاقتران وهو x.

الحل الصحيح هو:

$f\left(x\right)=x(-8x^5=7x^4-3x^3+45x^2-1500x+16)$

$\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8,\pm 16$

$\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8$

$\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8,\pm 16,\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{4},\pm \frac{1}{8}$

25) تحد: أجد كان باقي قسمة كثير الحدود f(x) على (x-3) يساوي 4، وباقي قسمته على (x+2) يساوي 9، فأجد باقي قسمة f(x) على (x+2)(x-3).

 

حل أسئلة كتاب التمارين

أستعمل طريقة الجدول؛ لأجد ناتج القسمة والباقي في كل مما يأتي:

$1) (6x^3-7x^2+6x+45)÷(2x+3)$

الناتج هو $3x^2-8x+15$، والباقي 0

$2) (3x^4+x^3-9x^2-8x+9)÷(x-2)$

الناتج هو $3x^2+7x^2+5x+2$، والباقي 13

 

3) إذا كان باقي قسمة $f\left(x\right)=2x^3-x^2+ax+6$ على x+2 يساوي (4-)؛ فما قيمة a؟

$a=-5$

4) أجد أبعاد متوازي المستطيلات في الشكل المجاور إذا كان حجمه $180c{m}^3$

$4 cm, 5 cm, 9 cm$

5) إذا كان باقي قسمة $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+bx+3$ على h(x)=x-1 يساوي 4، وكان (x+1) عاملا من عوامل f(x)؛ فما قيمة كل من a و b؟

$a=3 , b=-1$

أحلل كل اقتران مما يأتي تحليلا تاما:

$6) 3x^3+14x^2-7x-10$

$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)\left(x-1\right)$

$7) 2x^4+x^3-5x^2+2x$

 

أحل كل معادلة مما يأتي:

$8) 3x^3-4x^2-6x+4=0$

$x-2 , x-\frac{-2\pm \sqrt[]{4+24}}{6}\approx 0.55, -1.22$

$9) 2x^3+5x^2-16x-36=0$

$x--2, x-\frac{-1\pm \sqrt[]{1+144}}{4}\approx 2.76, -3.26$