رياضيات8 فصل أول

الثامن

icon
الشرحالملخصأوراق العملحل اسئلة الدرسالنتاجات

تطابقُ المثلثاتِ (ASA, AAS)

أتحققُ من فهمي 1 :  في الشكلِ المجاورِ، إذا علمْتُ أنَّ ∠UXV ≅ ∠WXV فأثبت أن ∆UXV ≅ ∆WXV باستعمالِ البرهانِ ذي العمودَينِ.

العبارات المبررات
XV≅ XV ضلع مشترك
∠WXV≅∠UXV معطى
∠WVX≅∠UVX زاوية قائمة
∆UXV ≅ ∆WXV ASA

 

أتحققُ من فهمي 2  : في الشكلِ المجاورِ، إذا علمْتُ أنَّ HF ∥ GK   وأنًَ ∠K , ∠F زاويتان قائمتان ، فأثبت أنَّ  ∆HFG ≅ ∆GKH  باستعمالِ البرهانِ السهمي .

  

 

أتحققُ من فهمي 3 : في الشكلِ المجاورِ، إذا علمْت أنَّ : ∠ABC ≅ ∠DEC , CA≅ CD  فأثبت أنَّ AB ≅ DE ,  باستعمالِ البرهانِ ذي العمودَينِ.

العبارات المبررات
 CA≅ CD معطى 
∠ABC ≅ ∠DEC معطى 
∠ACB ≅ ∠DCE زاوية مشتركة
∆ABC ≅∆DEC AAS 
AB ≅ DE ضلعان متناظران في مثلثين متطابقين

 

أتحققُ من فهمي 4 :

طائرةٌ ورقيةٌ: إذا كانَتْ N في الطائرةِ الورقيةِ المجاورةِ نقطةَ منتصفِ JL ,   KM⊥JL  و ∠KLN ≅ ∠KJN فأثبت أنَّ  KJ ≅ KL .

العبارات المبررات
∠KLN ≅ ∠KJN معطى 
JN ≅LN¯ لأن N نقطة المنتصف 
∠KNL≅∠KNJ  زاوية قائمة (  KM⊥JL )
∆KNL≅∆KNJ ASA
KJ ≅ KL ضلعان متناظران في مثلثين متطابقين

 

أتدرب وأحل المسائل :

أحددُ أنَّهُ يمكنُ إثباتُ تطابقِ كلِّ زوجٍ مِنَ المثلثاتِ الآتيةِ أَمْ لا، مبررًا إجابتي:

الحل :  لا يمكن إثبات التطابق لأن المعطيات لا تكفي  ، (زاويتان فقط لا تكفي لإثبات التطابق).

 

 

 

 

 

 

 

 

الحل :  يمكن إثبات التطابق بزاويتين وضلع غير محصور AAS 

حيث : ∠JKL≅∠NML

                KJ¯ ≅ MN¯

      ∠KLJ≅∠MLN

ملاحظة : ∠KLJ≅∠MLN ( تقابل بالرأس)

 

 

 

 

الحل :  لا يمكن إثبات التطابق لأن المعطيات لا تكفي  ، (ضلعان وزاوية غير محصورة لا تكفي لإثبات التطابق إلا في المثلث قائم الزاوية).

 

 

 

 

4 ) في الشكلِ المجاورِ، إذا علمْتُ أنَّ PR ينصف ∠QPS  و  ∠QRP ≅ ∠SRPفأثبت أنَّ △QRP ≅ ∆SRP.

العبارات المبررات
 ∠QRP ≅ ∠SRP معطى 
∠SPR ≅ ∠QPR نتيجة (لأن PR تنصف ∠QPS)
PR ضلع مشترك
△QRP ≅ ∆SRP ASA

A

 

5) في الشكلِ المجاورِ، إذا علمْتُ أنَّ DB≅ DC  , ∠ADB ≅ ∠ADC , ∠ABD ≅ ∠ACD فأثبت أنَّ ∆ABD ≅ ∆ACD.

العبارات المبررات
∠ADB ≅ ∠ADC معطى 
∠ABD ≅ ∠ACD معطى 
DB≅ DC معطى
∆ABD ≅ ∆ACD ASA

 

6) أستعمل المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ ذي عمودَينِ؛ لأثبتَ أنَّ ∆ABC ≅ ∆QRS

العبارات المبررات
∠A ≅ ∠Q معطى
∠B ≅ ∠R معطى
AC≅ QS معطى
∆ABC ≅ ∆QRS AAS

 

7) استعمل المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ ذي عمودَينِ؛ لأثبتَ أنَّ ∆ABC ≅ ∆DBC.

العبارات المبررات
∠A ≅ ∠D معطى
∠ACB≅ ∠DCB معطى
BC ضلع مشترك
∆ABC ≅ ∆DBC AAS

 

8) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي، لكتابةِ برهانٍ سهميٍّ؛ لأثبت أنَّ AC≅ DB .

    

 

9) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي، لكتابةِ برهانٍ سهميٍّ؛ لأثبتَ أنَّ  GK≅HJ .

 

 

 حديقةٌ: تخططُ سالي لزراعةِ حديقتِها مستطيلةِ الشكلِ بأنواعٍ مختلفةٍ مِنَ الزهورِ في أربعةِ أحواضٍ مثلثةِ الشكلِ كما في الشكلِ المجاورِ. إذا علمْتُ أنَّ F  نقطة منتصف DG و ∠CDF≅∠FGH فأثبت أنَّ :  

 

 

 

 

10) ∆CFD ≅ ∆HFG

العبارات المبررات
∠CDF≅∠FGH  معطى 
DF ≅ GF معطى 
∠DFC≅∠HFG  تقابل بالرأس
∆CFD ≅ ∆HFG ASA

 

11) CF ≅ HF

 

العبارات المبررات
∠CDF≅∠FGH  معطى 
DF ≅ GF معطى 
∠DFC≅∠HFG  تقابل بالرأس
∆CFD ≅ ∆HFG ASA
 CF ≅ HF ضلعان متناظران في مثلثان متطابقان

 

12) نهرٌ: أعودُ إلى فقرةِ (أستكشفُ) بدايةَ الدرسِ، وأثبتُ أنَّ AB ≅ DE.

العبارات المبررات
AC ≅ DC  معطى 
∠CDE≅∠CAB معطى (قائمة)
∠BCA≅∠FCD  تقابل بالرأس
∆BAC ≅∆ EDC ASA
AB ≅ DE ضلعان متناظران في مثلثان متطابقان

 

13 ) تحدٍّ: أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ المجاورِ لكتابةِ برهانٍ ذي عمودَينِ؛ لأثبتَ أنَّ ∆PUR ≅ ∆QSV.

 

العبارات المبررات
∠PRU≅∠QVS  معطى
∠PUR≅∠QSV  معطى 
RS ≅ VU  معطى
SU≅ SU  منطقة مشتركة
RU ≅ VS  RS  + SU ≅ VU + SU
∆PUR ≅ ∆QSV  ASA

 

14) تبريرٌ: هَلْ يمكنُ إثباتُ تطابقِ ∆MNQ ≅∆QPM بالاعتمادِ على المعلوماتِ المعطاةِ على الشكلِ المجاورِ ؟ أبرّرُ إجابتي

لا ، لا يمكن إثبات التطابق ، لأن المعطيات لا تكفي حيث نحتاج  في هذه الحالة إلى ضلعٍ وازويتين متطابقين مع نظائرهم في المثلث الآخر ، ولا نملك منها إلا ضلع مشترك.

 

توضيح : الزاوية المتشكلة من التقابل بالرأس  ، والزاوية  المتشكلة من التبادل الداخلي بين الضلعين المتوازيين ليس لها  فائدة هنا لأنها ليست الزاويا المطلوبة للإثبات .

 

15) أكتبُُ كيفَ أتحققُ مِنْ تطابقِ مثلثَينِ باستعمالِ زاويتَينِ وضلعٍ محصورٍ بينَهُما؟

يمكن التحقق من خلال مقارنة الزاويا المتناظرة مع بعضها ـ والأضلاع المتناظرة مع بعضها 

كتاب التمارين :

أحددُ ما إذا كانَتْ جملةُ التطابقِ صحيحةً أَمْ لا في كلٍّ ممّا يأتي، مبرّرًا إجابتي:

 

نعم صحيحة ،  يمكن إثبات التطابق بزاويتين وضلع غير محصور  AAS  حيث :     ∠BAC≅∠BDC

                                                                                                                                ∠DCA≅∠ACB

                                                                                                                                         BC≅ BC

 

 

 

 

 

 

 

غير صحيحة ، لا يمكن إثبات التطابق ، لأن المعطيات لا تكفي حيث لا نملك إلا ضلع مشترك وزاوية .

 

 

 

 

 

غير صحيحة  ،  المثلثين متطابقين و يمكن إثبات التطابق بزاويتين وضلع غير محصور  AAS  حيث : ∠R≅∠J

                                                                                                                                                             ∠S≅∠M

                                                                                                                                                                ST≅ MP

 

            لكن  RS≇ JP لأن الأضلاع المتطابقة هي :  RS≅JM

                                                                                    ST ≅ MP

                                                                                    TR≅ PJ

 

4) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ  برهانٍ ذي عمودَينِ؛ لأثبتَ أنَّ ∠1 ≅∠2

العبارات المبررات
∠ABE≅ ∠CBE  معطى (قائمة)
∠AEB≅ ∠CEB  معطى
BE ≅ BE ضلع مشترك
∆ABE≅ ∆CBE ASA
∠BAE ≅ ∠BCE  نتيحة (∆ABE≅ ∆CBE)
∠FAE ≅ ∠DCE نتيحة( ∆ABE≅ ∆CBE) /تتمة الزاوية القائمة
AE ≅ CE نتيجة(∆ABE≅ ∆CBE)
AF ≅CD معطى
△AEF ≅ ∆CED  SAS
∠1 ≅∠2 زاويتان متناظرتان في مثلثان متطابقان

 

5) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ ذي عمودَينِ؛ لأثبتَ أنّ :  ∆STV ≅ ∆UVW.

العبارات المبررات
∠V≅∠T  معطى(زاوية قائمة)
∠WUV≅∠VST  معطى
UV≅ ST معطى 
∆STV ≅ ∆UVW ASA

 

6) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لكتابةِ برهانٍ سهميٍّ؛ لأثبتَ أنَّ QW¯ ≅ VT¯ .

 

7) في الشكلِ الآتي، إذا علمْتُ أنَّ AD ≅ ED و ∠A≅∠E ، فأكتبُ برهانًا سهميًّا، لأثبتَ أنَّ ∆ADC ≅ ∆EDG.

 

 

 

8) أكتشفُ الخطأَ: أكتشفُ الخطأَ في جملةِ التطابقِ الآتيةِ، مبررًا إجابتي:

الخطأ هو أنَّ المعطيات هي : ثلاثة زاويا 

و لا يمكن إثبات التطابق بثلاثة زوايا ، بل نحتاج على الأقل إلى ضلع واحد .

 

 

 

Jo Academy Logo