الرياضيات12 فصل أول

الأعداد المركبة

تواجه علماء الهندسة الكهربائية و الفيزياء معادلات رياضية لا توجد لها حلول حقيقية.

مما جعل علماء الرياضيات يبتكرون توسعة للنظام العددي الحقيقي، مما أدى الى ابتكار (مجموعة الأعداد المركبة (c)).

و من أشهر المعادلات التي لا يوجد لها حلول حقيقية، المعادلة: $x^2+1=0$ ، حيث أن حلولها هي: $x=\pm \sqrt[]{-1}$ .

و لأنه لا يوجد أعداد حقيقية مربعها عدد سالب، ابتكر علماء الرياضيات ( الوحدة التخيلية) و رمزوا لها بالرمز (i) حيث أن $i^2=-1$

و بذلك، فإن i و i- هما الجذران التربيعيان للعدد (1-) لأن:   $i^2={(-i)}^2=-1$ .

و يطلق على الوحدة التخيلية i: الجذر التربيعي الرئيس للعدد 1-

و تم توسعة النظام العددي الحقيقي بإنشاء مجموعة الأعداد المركبة (c)

و التي تتكون من مجموعة جميع الأعداد التي تكتب على صورة  a +ib 

حيث a و b أعداد حقيقية، و يسمى كلا من :

العدد a: الجزء الحقيقي من العدد المركب  a +ib

العدد b: الجزء التخيلي من العدد المركب  a+ib

و عندما b = 0   ،   فإن العدد المركب a + ib = a (فبذلك $\mathrm{R}\subset \mathrm{C}$ )

و عندما  a = 0 ، فإن العدد المركب   a + ib = ib    ( وعندها يسمى عدد تخيلي)

---

الأعداد الحقيقية: (R)

تضم مجموعة الأعداد المركبة (c) جميع هذه الأعداد.

كما تلاحظ، فإن كلاً من مجموعة الأعداد الحقيقية R ومجموعة الأعداد التخيلية هي مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد المركبة.

وتم الاتفاق على كتابة الرمز i على يمين المضروب منه (مثل  $\frac{3}{4}i, -2i, 5i$) ، وعلى يسار المتغير أو الجذر (مثل $3 i x, i\sqrt[]{2} x, i\sqrt[]{3}, bi$) .

مثال:

جد قيمة الجذر التربيعي الرئيس فيما يلي بدلالة i:

$Solution:$

$a) \sqrt[]{-49}=\sqrt[]{-1\left(49\right) }=\sqrt[]{-1}\sqrt[]{49}=7i, \sqrt[]{-1}=i$

$b) \sqrt[]{-250}=\sqrt[]{\left(25\right)(-1)\left(5\right)}=5i\sqrt[]{5}$             

 لاحظ أن:   

                ${\left(i\right)}^4={\left(i^2\right)}^2={(-1)}^2=1$

${\left(i\right)}^3={\left(i\right)}^2\left(i\right)=-1i=-i$      باستخدام خاصية القوة.

---

مثال:

جد ناتج كل مما يلي في أبسط صورة: 

$1) \sqrt{-12}.\sqrt{-75}=i\sqrt{12}. i\sqrt{75}=i^2\sqrt{12\left(75\right)}=(-1)\sqrt{900}=-30$

 

 

$2) 4i\sqrt{-9}=4i(i\sqrt{9})=4i(3i)=12 i^2=12(-1)=-12$ 

 

$3) {\left(i\right)}^{83}={\left(i^2\right)}^{41}.{\left(i\right)}^1={(-1)}^{41}i=-i$

---

خاصية المساواة للأعداد المركبة

يتساوى العددان المركبان  a + ib , c+id إذا و فقط إذا كان a = c , b = d

اي أن: الجزءان الحقيقان متساويان، و الجزءان التخيليان متساويان.

مثال:

إذا كان $4+i(y-2) = (x+1) +i(2x+2y)$ ، فجد قيمة كل من y , x الحقيقتين:

 $Solution:$

$4+i(y-2)=(x+1)+i(2x+2y)$

$Re=Re$

$4=x+1\Rightarrow x=3$

$Im=Im$

$y-2=2x+2y$

$y-2=6+2y\Rightarrow y=-8$

---

التمثيل البياني للعدد المركب، ومرافقه

مرافق العدد المركب  z = a+ib  هو العدد المركب  $\overline{z}=a-ib$ .

و يمكن تمثيل العدد المركب$z=2+3i$  في المستوى الإحداثي في صورة زوج مرتب (a,b)، أو صورة المتجه <a,b>

حيث يسمى: المستوى الإحداثي: المستوى او مستوى T 

و المحور الأفقي: المحور الحقيقي  Re ، و المحور الرأسي: المحور التخيلي  Im

فالعدد المركب $z=2+3i$  يمثل على المستوى المركب بإحدى الصورتين:

أما مرافقه $\overline{z}=2-3i$   فهو انعكاس للعدد $z = 2+3i$   في المحور الحقيقي Re.

لاحظ أن: ناتج ضرب العددين المركبين z و  $\overline{ z}$ هو:  

 $z.\overline{z}=(a+ib)(a-ib)=(a^2-{\left(i\right)}^2{\left(b\right)}^2)+iab-iab$

$=a^{{}^2}-(-1)b^2=a^2+b^2\ge 0$

لأن a, b أعداد حقيقية.

مثال:

مثل كلاً من الأعداد المركبة التالية و مرافقه بيانياً في المستوى المركب:

ملاحظة: التمثيل يكون بمتجهات.

---

مقياس العدد المركب وسعته

إذا كان$z=a+ib$  هي الصورة القياسية للعدد المركب z:

 مقياس العدد المركب z:

       هو المسافة بين النقطة  $(a,b)$  و نقطة الأصل $(0 , 0)$ في المستوى المركب،

       و هو طول المتجه$<a, b>$و يرمز له بالرمز |z| أو  r

        و بالرموز   $r=z=\sqrt{a^2+b^2}$

السعة الرئيسة للعدد المركب z:

       هي الزاوية  (بالراديان) و التي تقع في الفترة  و المحصورة بين المحور الحقيقي الموجب و المتجه $<a, b>$ .

       و يرمزلها بالرمز $Arg\left(z\right)$

 

 

 

سعة العدد المركب: ويرمز لها بالرمز $arg\left(z\right)$  ، حيث:

$arg\left(z\right)=Arg\left(z\right)+2\pi n :\mathrm{n}=0,\pm 1,\pm 2, ...$

 و عندما  n = 0 ، فإن arg (z) = Arg(z)

وللاختصار، تشير كلمة (السعة) إلى ( السعة الرئيسية) هنا 

ويمكن إيجاد سعة العدد المركب اعتماداً على الربع الذي يقع فيه:

بفرض أن a , b أعداد حقيقية موجبة:

 

 

---

الصورة التخليلية للعدد المركب 

إذا كان  $z= a+ ib$ ، فإن: $Arg\left(z\right) = \theta$   هي سعة العدد المركب z
 $r=\left|z\right|$  هو مقياس العدد المركب  z

فالصورة المثلثية للعدد المركب z هي:  $z=r(cos \theta +i sin\theta )$

و تترك الإجابة على هذه الصورة دون حساب   $cos \theta , sin\theta$

مثال :

 اكتب كل عدد من الأعداد التالية بالصورة المثلثية( استخدم الآلة الحاسبة عند الحاجة، و قرب الزاوية الى اقرب منزلتين عشريتين) 

                     $1) z=12+5i$

$Solution:$

$r=\left|z\right|=\sqrt[]{{12}^2+5^2}=13$

$\theta =Arg\left(z\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)\approx .39 rad$

$z=13\left(\cos \right(0.39)+i \sin (0.39\left)\right)$

---

   $2) z=-5+5i\sqrt{3}$

$Solution:$

$r=\left|z\right|=\sqrt[]{{(-5)}^2 +{\left(5\sqrt[]{3}\right)}^2}=10$

$\theta =Arg\left(z\right)=\pi -ta{n}^{-1}\left(\frac{5\sqrt[]{3}}{5}\right)=\pi -ta{n}^{-1}\left(\sqrt[]{3}\right)=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}rad$

$z=10\left(cos\right(\frac{2\pi }{3})+i sin(\frac{2\pi }{3}\left)\right)$

 

---

   $3) z=-3-3i$

$Solution:$

$r=\left|z\right|=\sqrt[]{{(-3)}^2+{(-3)}^2}=3\sqrt[]{2}$

$\theta =Arg\left(z\right)=-(\pi -ta{n}^{-1}(\frac{3}{3}\left)\right)=-(\pi -ta{n}^{-1}(1\left)\right)=-(\pi -\frac{\pi }{4})=-\frac{3\pi }{4}$

$z=3\sqrt[]{2}\left(cos\right(\frac{-3\pi }{4})+i sin (\frac{-3\pi }{4}\left)\right)$

---

              $4) z=-4$

$Solution:$

$r=\left|z\right|=\sqrt[]{{(-4)}^2}=4$

$\theta =Arg\left(z\right)=\pi -ta{n}^{-1}\left(\frac{0}{4}\right)=\pm \pi$

$-\pi <Arg\left(z\right)\le \pi \Rightarrow Arg(-4i)=\pi$

$z=4(cos\pi +i sin\pi )$

---

      $5) z=-2i$

$Solution:$

$r\mathit{=}\mathit{\left|}z\mathit{\right|}\mathit{=}\sqrt{{\mathit{(}\mathit{-}\mathit{2}\mathit{)}}^{\mathit{2}}}\mathit{=}\mathit{2}$

$\theta \mathit{=}Arg\mathit{\left(}z\mathit{\right)}\mathit{=}\mathit{-}{\tan }^{\mathit{-}\mathit{1}}\mathit{\left(}\frac{\mathit{2}}{\mathit{0}}\mathit{\right)}\mathit{=}\mathit{-}\frac{\pi }{\mathit{2}}$

$z\mathit{=}\mathit{2}\mathit{\left(}\cos \mathit{\right(}\frac{\mathit{-}\pi }{\mathit{2}}\mathit{)}\mathit{+}\mathit{ }i\mathit{ }\sin \mathit{(}\frac{\mathit{-}\pi }{\mathit{2}}\mathit{)}$

$z\mathit{=}\mathit{2}\mathit{\left(}\cos \mathit{\right(}\frac{\pi }{\mathit{2}}\mathit{)}\mathit{-}\mathit{ }i\mathit{ }\sin \mathit{(}\frac{\pi }{\mathit{2}}\mathit{)}$ 

---