رياضيات 11 فصل ثاني

الأقتران اللوغاريتمي ، والعبارات اللوغاريتمية :

تعلمت سابقاً أن أي اقتران يجتاز اختبار الخط الأفقي هو اقتران واحد لواحد ، وهذا يعني أنه يمكن ايجاد اقتران عكسي له .

ومن ثم ، فأنه يمكن ايجاد اقتران عكسي للاقتران الأسي الذي صورته : $f\left(x\right)=b^x$حيثُ$b>0 و b\ne 1$ 

يطلق على الاقتران العكسي للاقتران الأسي $f\left(x\right)=b^x$ اسم الاقتران اللوغاريتمي للأساس b ، ويرمز اليه بالرمز $g\left(x\right)=lo{g}_{b}x$

ويقرأ : لوغاريتم x للأساس b .

---

العلاقة بين الصورة الأسية والصورة اللوغاريتمية :

إذا كان: $b\ne 1 و b>0 و x>0$ فإنّ:

مثال (1) : أكتب كل معادلة لوغاريتمية مما يأتي في صورة أسية :

---

يمكن أستعمال تعريف اللوغاريتم لتحويل المعادلة من الصورة الأسية الى الصورة اللوغاريتمية .

---

ايجاد قيمة العبارة اللوغاريتمية :

نستنتج من العلاقة بين الصورة الأسية والصورة اللوغاريتمية أن اللوغاريتم أس ، وهذا يعني أنه يمكن ايجاد قيمة المقادير اللوغاريتمية البسيطة باستعمال قوانين الاسس .

مثال 3: جد قيمة كل مما يأتي من دون استعمال الآلة الحاسبة :

---

 

الخصائص الأساسية للوغاريتمات :

إذا كان $b>0,b\ne 1$ 

مثال (4) : جد قيمة كل مما يأتي من دون استعمال الآلة الحاسبة :

---

تمثيل الاقتران اللوغاريتمي بيانياً :

يمكن استعمال العلاقة العكسية بين الاقتران الأسي والاقتران اللوغاريتمي لتمثيل الاقتران اللوغاريتمي الذي صورته $y=lo{g}_{b}x$

مثال (5) : مثل الاقترانات الاتية بيانياً ، ثم حدد مجاله ومداه ومقطعيه من المحورين الاحداثيين وخطوط تقاربه ، مبيناً اذا كان متناقصاً أم متزايداً :

1) $f\left(x\right)=lo{g}_{2}x$

اولاً : نُنشىء جدول قيم :

ثانياً : نمثل الاقتران في المستوى الاحداثي .

نلاحظ من التمثيل البياني أنّ:

• مجال الاقتران $(0,\infty )$
• مدى الاقتران هو مجموعة الاعداد الحقيقية .
• المقطع $x$  هو 1 ، ولا يوجد للاقتران مقطع مع المحور y ، لأن $x>0$  دائماً.
• الاقتران له خط تقارب رأسي هو المحور y .
• الاقتران متزايد .

---

2) $f\left(x\right)=lo{g}_{\left(\frac{1}{2}\right)}x$

اولاً : نُنشىء جدول قيم :

ثانياً : نمثل الاقتران في المستوى الاحداثي .

نلاحظ من التمثيل البياني أنّ:

• مجال الاقتران $(0,\infty )$
• مدى الاقتران هو مجموعة الاعداد الحقيقية .
•  المقطع x هو 1 ، ولا يوجد للاقتران مقطع مع المحور y ، لأن $x>0$  دائماً.
• الاقتران له خط تقارب رأسي هو المحور y .

الاقتران متناقص .

---

خصائص الاقتران اللوغاريتمي :

​​​​​​​​​​​​​​

يبين التمثيل البياني المجاور الاقتران اللوغاريتمي الذي يكون في صورة :$f\left(x\right)=lo{g}_{b}x$ حيث $b$  عدد حقيقي ،  $b\ne 1,b>0$ ، وتمثيل خصائصه في ما يأتي :

• مجال الاقتران هو مجموعة الاعداد الحقيقية الموجبة أي الفترة $(0,\infty )$
• مدى الاقتران هو مجموعة الاعداد الحقيقية R
• الاقتران متزايد اذا كان $b>1$
• الاقتران متناقص اذا كان $0<b<1$​​​​​​​
• ​​​​​​​وجود خط تقارب رأسي للاقتران هو المحور $y$
• الاقتران يقطع المحور $x$ في نقطة واحدة هي $(1,0)$  ،ولا يقطع المحور $y$

---

تمثيل الاقترانات اللوغاريتمية بيانياً باستعمال التحويلات الهندسية وتحديد خصائصها من الرسم . ​​​​​​​

يُمكن تطبيق التحويلات الهندسية الانسحاب، والتمدد، والانعكاس) لتمثيل الاقتران اللوغاريتمي الذي على الصورة $g\left(x\right)=a lo{g}_b(x-h)+k$ حيثُ $a,b,h,k$ أعداد حقيقية $b\ne 1و ،b>0 و ، a\ne 0$

وذلك بالبدء برسم منحنى الاقتران الرئيس $f\left(x\right)=lo{g}_{b}x$ ، ثم إجراء التحويلات على المنحنى؛ لينتج التمثيل البياني للاقتران $g\left(x\right)$ 

يمكن تحديد خط التقارب الرأسي لأي اقتران لوغاريتمي في صورة $g\left(x\right)=alo{g}_b(x-h)+k$ عن طريق تمثيله البياني، ويمكن أيضًا تحديد مجال هذا الاقتران ومداه، وما إذا كان متزايدًا أم متناقصا.