رياضيات أعمال 12 فصل ثاني

التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي للأوساط الحسابية لعيِّنات مأخوذة من مجتمع طبيعي

تعلَّمْتُ سابقًا أنَّ المُتغيِّر العشوائي هو مُتغيِّر تعتمد قِيَمه على نواتج تجربة عشوائية، وأنَّ التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي هو اقتران يربط كل قيمة للمُتغيِّر العشوائي باحتمال وقوعها في التجربة.

عند إيجاد الأوساط الحسابية لعيِّنات مُتماثِلة الحجم ومأخوذة من مجتمع يتبع التوزيع الطبيعي، فإنَّ توزيع الأوساط الحسابية للعيِّنات سيكون قريبًا من التوزيع الطبيعي بصرف النظر عن حجم العيِّنة

ومن ثَمَّ يُمكِن إيجاد احتمال أنْ يأخذ X قِيَمًا بعينها بنفس الطريقة التي يُمكِن بها إيجاد احتمال أنْ يأخذ أيُّ مُتغيِّر عشوائي طبيعي قِيَمًا بعينها كما تعلَّمْتُ سابقًا؛ إذ يُمكِن إيجاد احتمال أيِّ مُتغيِّر عشوائي طبيعي غير معياري، وذلك بتحويله إلى مُتغيِّر عشوائي طبيعي معياري.

وبالطريقة نفسها، يُمكِن إيجاد احتمال $\stackrel{-}{X} ~ N (\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$، وذلك بتحويله إلى $Z ~ N(0,1)$

كما تعلَّمْتُ في الوحدة السابقة، وعندئذٍ يُمكِن استعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري لإيجاد الاحتمال.

---

التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي للأوساط الحسابية لعيِّنات مأخوذة من مجتمع توزيعه غير معلوم

تعلَّمْتُ في الدرس السابق أنَّه كلَّما كان حجم العيِّنة n كبيرًا، اقترب شكل توزيع الأوساط الحسابية للعيِّنات من شكل التوزيع الطبيعي بصرف النظر عن توزيع المجتمع، استنادًا إلى نظرية النهاية المركزية.

ومن ثَمَّ يُمكِن إيجاد احتمال المُتغيِّر العشوائي للأوساط الحسابية للعيِّنات بنفس الطريقة التي يُمكِن بها إيجاد احتمال المُتغيِّر العشوائي الطبيعي.

---

استعمال التوزيع الطبيعي في تقريب توزيع ذي الحدَّين

تعلَّمْتُ في الوحدة السابقة أنَّ التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي ذي الحدَّين X يعطى بالقاعدة الآتية:

$P(X=r)=\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right) p^r{(1-p)}^{n-r}$

حيث:

n: عدد المحاولات في التجربة.

p: احتمال النجاح في كل محاولة.

r: عدد المحاولات الناجحة من بين n من المحاولات.

وَفقًا لنظرية النهاية المركزية، فإنَّ أيَّ توزيع لعيِّنات عشوائية مأخوذة من مجتمع توزيعه غير معلوم يُمكِن أنْ يقترب من التوزيع الطبيعي، إلى جانب زيادة حجم العيِّنة n بشكل كبير. نتيجةً
لذلك؛ إذا كان توزيع عيِّنات عشوائية مأخوذة من مجتمع توزيعه ذو الحدَّين، فإنَّ شكل هذا التوزيع  يقترب من شكل التوزيع الطبيعي.

في مُقابِل ذلك، إذا زاد عدد المحاولات، أو اقترب احتمال النجاح من 0.5 ، فإنَّ شكل توزيع ذي الحدَّين سيبدأ بالتشابه مع شكل التوزيع الطبيعي. فمثلًًا، في الشكل ) a( التالي، يُمكِن ملاحظة أنَّ شكل توزيع ذي الحدَّين عندما n = 4 و p = 0.25 ليس قريبًا من شكل التوزيع الطبيعي، ولكنْ عندما n = 4 و p = 0.5 ، أو عندما n = 60 و p = 0.25 ، فإنَّ شكل توزيع ذي الحدَّين سيكون قريبًا من شكل التوزيع الطبيعي كما يظهر في الشكلين (b) و(c) على الترتيب.

وبوصف ذلك قاعدة عامة، يُمكِن استعمال التوزيع الطبيعي في تقريب توزيع ذي الحدَّين إذا كان حجم العيِّنة n كبيرًا بما يكفي لجعل $np\ge 5$ أو $n(1-p)\ge 5$

بما أنَّ توزيع ذي الحدَّين مُنفصِل، والتوزيع الطبيعي متصل، فإنَّه يَلزم استعمال ما يُسمّى عامل تصحيح الاستمرارية عند استعمال التوزيع الطبيعي لتقريب قيمة احتمالية في توزيع ذي الحدَّين.

يُمكِن تقريب توزيع ذي الحدَّين باستعمال التوزيع الطبيعي كما هو مُبيَّن في صندوق (مفهوم أساسي) الآتي.