رياضيات 11 فصل ثاني

مفهوم التكامل المحدود:

إذا كان الاقتران $f\left(x\right)$  متصلاً على الفترة $[a,b]$ ، وكان $F\left(x\right)$  يمثل أي اقتران أصلي للاقتران $f\left(x\right)$ ، فإنّ التكامل المحدود للاقتران $f\left(x\right)$ من $a$  إلى $b$  هو:

ويمكن التعبير عن الفرق: $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ باستعمال الرمز $F\left(x\right){|}_a^b$

 

 

تذكر : لا يلزم إضافة ثابت التكامل عند إيجاد ناتج التكامل المحدود .

---

مثال: جد قيمة كل من التكاملات الآتية:

---

ويمكن إيجاد قيمة مجهولة في تكامل محدود ، مثل حد من حدوده ، إذا علمت قيمة هذا التكامل كما في المثال الآتي :

مثال : إذا كان : ${\int }_0^{k}6x^{2}dx=2$ فأجد قيمة الثابت K.

الحل:

---

خصائص التكامل المحدود:

 

في خاصية تجزئة التكامل ، لا يشترط أن تكون $a<c<b$

مثال:

إذا كان ${\int }_5^{7}f\left(x\right)dx=3,{\int }_0^{5}g\left(x\right)dx=-4,{\int }_0^{5}f\left(x\right)dx=10$ فأجد قيمة كل مما يأتي :

 

---

تكاملات الاقترانات المتشعبة :

الاقتران المتشعب وهو اقتران يتشعب عند نقطة تسمى نقطة التشعب .

ونستخدم خاصية (التكامل بالتجزئة) .

مثال:

تذكر : يطلق على إعادة كتابة اقتران القيمة المطلقة في صورة متشعب إعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة ، ويكون ذلك بدراسة إشارة المقدار داخل القيمة المطلقة .

---

مثال: إذا كان $f\left(x\right)=|x-3|$ ، فأجد ${\int }_{-1}^{4}f\left(x\right)dx$

أعيد تعريف اقتران القيمة المطلقة: 

$f\left(x\right)=|x-3|=\left\{\begin{array}{l}3-x ,x<3\\ x-3 ,x\ge 3\end{array}\right.$

بما أن الاقتران تشعب عند 3 ، فأنني أجزىء التكامل عنده :

---

التكامل المحدود، ومقدار التغير.

مفهوم مقدار التغير :

إذا كان $f^{\text{'}}\left(x\right)$  متصلاً على الفترة $[a,b]$، فإن مقدار التغير في $f\left(x\right)$ عند تغير x من x=a إلى x=b هو:

$f\left(b\right)-f\left(a\right)={\int }_a^b{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$

---

تبرز الحاجة إلى معرفة مقدار التغير في كثير من التطبيقات الاقتصادية ، مثل الحاجة إلى معرفة مقدار الزيادة في أرباح شركة زادت مبيعاتها من عدد معين من القطع إلى عدد آخر .

---

مثال: يمثل الاقتران $P^{\text{'}}\left(x\right)=165-0.1x$ الربح الحدي الشهري بالدينار لكل جهاز لوحي تبعبه إحدى الشركات، حيث x عدد الأجهزة اللوحية المبيعة شهريا، و p(x) ربح بيع x قطعة شهريا بالدينار. 

جد مقدار التغير في أرباح الشركة عند زيادة مبيعاتها الشهرية من 1100 جهاز، علما بأن الأجهزة المبيعة الآن هو 1000 جهاز.

إذن ، عند زيادة مبيعات الشركة من 1000 جهاز إلى 1100 جهاز فإنّ أرباح الشركة ستزيد شهريا بمقدار 6000 دينار.