امتحان نهائي رياضيات متقدم -عمر منصور

1. 1) اذا كان باقي قسمة $f\left(x\right)=x^3+ax+11$  على $h\left(x\right)=x-2$ يساوي $3$ إن قيمة الثابت $\left(a\right)$

   • 5-

   • 4-

   • 8

   • 8-

2. 2- ناتج تحليل $P\left(x\right)=x^3-3x-2$

   • $(x-2){(x+1)}^2$

   • $(x-1)(x+1)(x-2)$

   • $(x+2){(x-1)}^2$

   • ${(x-2)}^2(x-1)$

3. 3- أجزئ  $\frac{54}{x^3-27}$

   • $\frac{2}{(x-3)}-\frac{-2x-12}{(x^2+3x+9)}$

   • $\frac{2}{(x-3)}-\frac{2x+12}{(x^2+3x+9)}$

   • $\frac{2}{(x-3)}-\frac{2x+12}{(x^2+6x+9)}$

   • $\frac{1}{2(x-3)}-\frac{1}{2(x^2+3x+9)}$

4. 4- إذا كان $cot \theta =\frac{4}{3}$ , $\frac{3\mathrm{\pi }}{2}<\theta <2\mathrm{\pi }$ , فإن قيمة $\sin 2\theta$ تساوي

   • $\frac{9}{25}$

   • $-\frac{24}{25}$

   • $\frac{24}{25}$

   • $-\frac{16}{25}$

5. 5- المقدار  $\cos (x+y)\cos (x-y)$ يكافئ

   • ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}y$

   • ${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}y$

   • ${\sin }^{2}y-{\cos }^{2}x$

   • ${\cos }^{2}y+{\sin }^{2}x$

6. 6- المقدار $co{t}^2\frac{x}{2}$ يكافئ

   • $\frac{sec x+1}{1-secx}$

   • $\frac{1-sec x}{sec x-1}$

   • $\frac{sec x-1}{sec x+1}$

   • $\frac{sec x+1}{sec x-1}$

7. 7- المقدار  $\frac{\sin 2A-\sin 2B}{\cos 2A-\cos 2B}$ يكافئ

   • $-cot (A+B)$

   • $\tan (A-B)$

   • $cot (A+B)$

   • $-\tan (A+B)$

8. 8- أجد قيمة  في المعادلة $\sqrt{3}csc\frac{x}{2}-2=0$ , $x\in [0,2\mathrm{\pi })$ 

   • $x=\frac{\mathrm{\pi }}{3},\frac{\mathrm{\pi }}{6}$

   • $x=\frac{\mathrm{\pi }}{4},\frac{3\mathrm{\pi }}{4},\frac{5\mathrm{\pi }}{4},\frac{7\mathrm{\pi }}{4}$

   • $x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3},\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$

   • $x=\frac{\mathrm{\pi }}{3},\frac{3\mathrm{\pi }}{4},\frac{5\mathrm{\pi }}{3},\frac{7\mathrm{\pi }}{6}$

9. 9- إذا كان: $f\left(x\right)=({\log }_2{(x-1))}^3$ فإن $f\text{'}\left(5\right)$ هي

   • $\frac{3}{\ln 2}$

   • $\frac{4}{\ln 2}$

   • $\frac{3}{2 \ln 2}$

   • $\frac{2}{\ln 2}$

10. 10- إذا كان $y=\cos \left(\tan \right(\ln x\left)\right)$ فإن $\frac{dy}{dx}$

    • $\sin \left(\tan \right(\ln x\left)\right)se{c}^2{(\ln x)}^{\frac{1}{x}}$

    • $-\sin \left(\tan \right(\ln x\left)\right)se{c}^2(\ln x)$

    • $-\sin \left(\tan \right(\ln x\left)\right)se{c}^2{(\ln x)}^{\frac{1}{x}}$

    • $\sin \left(\tan \right(\ln x\left)\right)se{c}^2(\ln x)$

11. 11- إذا كان $f\left(x\right)=k^{cot x}$ ، وكان $f\text{'}\left(\frac{5\mathrm{\pi }}{4}\right)=2 \ln \left(\frac{1}{27}\right)$ ,فإن قيمة الثابت $k$ هي:

    • $-3$

    • $3$

    • $\frac{-1}{3}$

    • $\frac{1}{3}$

12. 12- إذا كان $f\left(x\right)=2e^{x^3}\left(\sqrt{x+1}\right)$ ، فإن $f\text{'}\left(0\right)$ هو:

    • $2$

    • $0$

    • $\frac{1}{2}$

    • $1$

13. 13- إذا كان $f\left(x\right)=\frac{5x}{{(e^x+1)}^2}$ ,فإن قيمة $f\text{'}\left(0\right)$ هي:

    • $\frac{5}{4}$

    • $-\frac{1}{8}$

    • $\frac{1}{4}$

    • $-\frac{1}{4}$

14. 14- يمثل الشكل الاتي منحنى الاقتران $f$ , إذا كان: $g\left(x\right)=-\frac{1}{f\left(x\right)}$ ، فإن $g\text{'}\left(2\right)$ , هي:

    

    • $\frac{1}{2}$

    • $\frac{1}{4}$

    • $\frac{-1}{2}$

    • $\frac{-1}{4}$

15. 15- إذا كان $(f\circ g)\left(x\right)=\frac{b}{x+1}$ وكان $f\text{'}\left(1\right)=2$ , $g\text{'}\left(1\right)=\frac{1}{2}$ , $g\left(1\right)=1$ فجد الثابت $b$

    • 4-

    • 8

    • 2

    • 3

16. 16- اذا كان $\frac{dx}{dt}=2$ و $y=se{c}^{2}t$ فإن $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ عند $t=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

    • 1-

    • 4

    • 8

    • 1

17. 17- إذن كان $y=\sqrt{1+\sin x}$ فإن $2yy\text{'}\text{'}+2{(y\text{'})}^2+y^2$ تساوي

    • 2

    • 2-

    • 1-

    • 1

18. 18- جد معادلة العمودي على المماس لمنحنى العلاقة:  $x^2+y^3=2- \ln x$ عند النقطة $(1,1)$

    • $y=2+x$

    • $y=x$

    • $y=x-2$

    • $y=2-x$

19. 19- يُمثل الاقتران: $s\left(t\right)=2t^2-\frac{1}{2}{t}^3+4 , t\ge 0$ موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث $s$ الموقع بالأمتار، $t$ الزمن بالثواني، فإن سرعة الجسم بالمتر لكل ثانية في اللحظة التي يعود فيها إلى موقعه الابتدائي، هي:

    • 8-

    • 1.5-

    • 2.5-

    • 0

20. 20- $l$ و $m$ طريقان مستقيمان متعامدان في النقطة $C$ , تقع محطة وقود على الطريق $m$ وتبعد $12 km$ عن نقطة التقاطع $C$ . إذا تحركت سيارة على الطريق $l$ بسرعة $26km/h$ في اتجاه نقطة التقاطع $C$ , فما معدل تغير المسافة بين السيارة ومحطة الوقود عندما تكون السيارة على بعد $5 km$ من نقطة التقاطع؟

    • $-4km/h$

    • $-10km/h$

    • $10km/h$

    • $4km/h$

21. (21) في الشكل المجاور تتحرك النقطة $A(x,y)$ في الربع الأول على منحنى الاقتران $f\left(x\right)=\sqrt{x}+5$ بحيث يزداد الاحداثي $x$ لها بمعدل $3 cm/m$ ، ما معدل التغير في مساحة المستطيل $ABCD$ عندما $x=4 cm$ ؟

    

    • $18 c{m}^2$

    • $24 c{m}^2$

    • $14 c{m}^2$

    • $9 c{m}^2$

22. 22) جد قيمة $x$ ، وقيمة $y$ الحقيقيتين اللتين تجعلان المعادلة الآتية صحيحة: $\frac{1}{x+iy}+\frac{1}{1+3i}=1$

    • $x=4,y=\frac{8}{3}$

    • $x=1 , y=\frac{-1}{3}$

    • $x=1 , y=-1$

    • $x=-2 , y=3$

23. 23) يكتب المركب $z=4-i\sqrt{48}$ بالصورة المثلثية هي:

    • $$ 8\left(\cos \right(\frac{\mathrm{\pi }}{3})+i \sin (\frac{\mathrm{\pi }}{3}\left)\right)$$

    • $$ 8\left(\cos \right(\frac{2\mathrm{\pi }}{3})+i \sin (\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\left)\right)$$

    • $$ 8\left(\cos \right(\frac{-\mathrm{\pi }}{3})+i \sin (\frac{-\mathrm{\pi }}{3}\left)\right)$$

    • $$ 8\left(\cos \right(\frac{-2\mathrm{\pi }}{3})+i \sin (\frac{-2\mathrm{\pi }}{3}\left)\right)$$

24. 24) إذا كان $a+ib=\frac{41+i}{1+i}$ فإن $\sqrt{a+ib}$

    • $\pm (5+2i)$

    • $\pm (2+5i)$

    • $\pm (2-5i)$

    • $\pm (5-2i)$

25. 25) إذا كان $x=1$ أحد جذور المعادلة $x^3+x-2=0$ فإن الجذرين الاخرين هما:

    • $\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{7}}{2}$

    • $\frac{-1}{2}\pm i\frac{\sqrt{7}}{2}$

    • $1\pm i\sqrt{7}$

    • $-1\pm i\sqrt{7}$

26. 26) نظام المتباينات الذي يمثل المحل الهندسي الذي تمثله المنطقة المظللة:

    

     

    • $|z-3i|\ge |z-3|,-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\le Arg(z-1-3i)<0$

    • $|z-3i|\le |z-3|,-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\le Arg(z-1-3i)<0$

    • $|z+3i|\ge |z+3|,-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\le Arg(z+1+3i)<0$

    • $|z+3i|\le |z+3|,-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\le Arg(z+1+3i)<0$

27. 27) ناتج $\int (3^{-x}+\sin (-x\left)\right)dx$ هو:

    • $3^{-x}-\cos x+c$

    • $\frac{-3^{-x}}{\ln 3}+\cos x+c$

    • $-3^{-x}+\cos x+c$

    • $\frac{3^{-x}}{\ln 3}-\cos x+c$

28. 28) جد $\int \frac{16}{csc 3x sec 5x}dx$

    • $4 \cos 2x- \cos 8x +c$

    • $8 \cos 2x- 2 \cos 8x +c$

    • $\frac{1}{2} \cos 2x- \cos 8x +c$

    • $2 \cos 2x- 4 \cos 8x +c$

29. 29) ناتج: $\int \frac{e^x}{2-e^x}dx$ هو:

    • $-\ln |2-e^x|+c$

    • $\ln |2-e^x|+c$

    • $\frac{1}{2}\ln |2-e^x|+c$

    • $-\frac{1}{2}\ln |2-e^x|+c$

30. (30) يتحرك جسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته بالاقتران $v\left(t\right)=2 \cos \left(\frac{t}{3}\right)$ ,  حيث $v$ السرعة بالمتر لكل ثانية و $t$  الزمن بالثواني. إن إزاحة الجسيم بالأمتار في الفترة $[0,2\mathrm{\pi }]$ هي:

    • $3\sqrt{3}$

    • $-3\sqrt{3}$

    • $-3$

    • $3$

31. 31- جد $\int 2 \sin 2x e^{\cos 2x}dx$

    • $-e^x+c$

    • $-e^{\cos 2x}+c$

    • $e^{\cos 2x}+c$

    • $\frac{1}{2}{e}^{\cos 2x}+c$

32. 32) ناتج: $\int \frac{2x+1}{x-x^2}dx$ هو:

    • $\ln \left|x\right|+3 \ln |1-x| +c$

    • $\ln \left|x\right|-3 \ln |1-x| +c$

    • $\ln |x-x^2|+c$

    • $-\ln |x-x^2|+c$

33. 33) ناتج $\int 3x \ln x^{2}dx$ هو:

    • $3x^2\ln x-\frac{3}{2}{x}^2+c$

    • $3x \ln x-\frac{3}{2}{x}^2+c$

    • $3x^2\ln x+\frac{3}{2}{x}^2+c$

    • $3 \ln x+\frac{3}{2}{x}^2+c$

34. 34) جد مساحة المنطقة المظللة في التمثيل البياني المجاور.

    

    • $\frac{5}{3}$

    • $\frac{7}{3}$

    • $\frac{8}{3}$

    • $\frac{11}{3}$

35. 35) جد الحجم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين $g\left(x\right)={(x-3)}^2$ , $f\left(x\right)=\frac{4}{x}$ حول محور  $x$.

    • $7\mathrm{\pi }$

    • $25\mathrm{\pi }$

    • $27\mathrm{\pi }$

    • $\frac{27}{5}\mathrm{\pi }$

36. 36) معتمدا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى السرعة المتجهة-الزمن لجسم يتحرك على المحور $x$ في الفترة الزمنية $[0,6]$. إذا بدأ الجسم الحركة من $x=10$ عندما $t=0$ , فإن موقع الجسم النهائي

    

    • 4

    • 6

    • 14

    • 18

37. (37) الحل العام للمعادلة التفاضلية $\frac{dy}{dx}=\frac{2e^y}{x^2-1}$

    • $-e^{-y}=\ln \left|\frac{x+1}{x-1}\right|+C_1$

    • $e^{-y}=\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_1$

    • $-e^{-y}=\ln |x^2-1|+C_1$

    • $e^{-y}=\ln \left|\frac{x+1}{x-1}\right|+C_1$

38. 38) عند تعيين النقطة $A(0,3,-2)$ في نظام الاحداثيات ثلاثي الأبعاد فإنها تقع على

    • المستوى $xy$

    • المحور $x$

    • المستوى $yz$

    • المحور $y$

39. (39) إذا كان:  وكان:  $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{u}\right|=3\sqrt{3}$ ، فإن قيمة الثابت $k$ هي:

    • 6

    • 7

    • 9

    • 21

40. 40) تقع النقطة $T$ على $\stackrel{\rightharpoonup }{OB}$ بحيث أن $OT:TB=4:1$ وتقع النقطة $N$ على $\stackrel{\rightharpoonup }{BC}$ بحيث $BN:NC=3:1$ إذا كان $\stackrel{\rightharpoonup }{OB}=5\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ ,وكان $\stackrel{\rightharpoonup }{BC}=8\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ ومد الضلع $\stackrel{\rightharpoonup }{OC}$ باتجاه $C$ إلى النقطة $F$ بحيث أن $\stackrel{\rightharpoonup }{CF}=m\stackrel{\rightharpoonup }{OC}$ فإن قيمة الثابت $m$ بحيث أن النقاط $T,N,F$  تقع على استقامة واحدة

    

    • $\frac{1}{2}$

    • $2$

    • $\frac{1}{11}$

    • $3$

41. 41) إذا كان: $\stackrel{\rightharpoonup }{g}=10\hat{i}+8\hat{j}-5\hat{k}$ , $\stackrel{\rightharpoonup }{f}=5\hat{i}-3\hat{j}+7\hat{k}$ ، فإن $2\stackrel{\rightharpoonup }{f}-\stackrel{\rightharpoonup }{g}$ هو:

    • $14\hat{j}-19\hat{k}$

    • $20\hat{i}+14+19\hat{k}$

    • $-14\hat{j}+19\hat{k}$

    • $20\hat{i}-14\hat{j}+19\hat{k}$

42. 42) إذا كان  متوازي اضلاع. فيه $A(2,3,5)$ , $B(-1,3,4)$ , $D(5,1,1)$ فجد معادلة المستقيم المار بالنقطة $B$ ويوازي المتجهة $\stackrel{\rightharpoonup }{AC}$

43. 43) إذا كان $\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ متجهين غير صفريين، فأي الأشكال الآتية يكون فيها $\stackrel{\rightharpoonup }{u}.\stackrel{\rightharpoonup }{v}>0$

    • 

    • 

    • 

    • 

44. 44) إذا كان  فجد مسقط العمود من النقطة $P(3,-2,4)$ على المستقيم $L$

    • $(-1,1,-1)$

    • $(1,1,1)$

    • $(1,-1,1)$

    • $(-1,-1,-1)$

45. 45) مساحة المثلث المكون من النقاط $A(5,3,2)$ , $B(2,1,1)$ , $C(-1,1,3)$ بالوحدة المربعة لأقرب عدد صحيح.

    • 9

    • 3

    • 8

    • 6

46. 46) في تجربة إلقاء حجر نرد منتظم $5$ مرات، فإن احتمال ظهور عدد فردي $3$ مرات، هو:

    • 0.3125

    • 0.1563

    • 0.4521

    • 0.0013

47. 47) إذا كان: $X~Geo\left(p\right)$ ، وكان: $P(X>3)=0.512$ ,فإن توقع المتغير العشوائي $X$ هو:

    • 1.25

    • 1.8

    • 4

    • 5

48. 48) إذا كان $P(-a<Z<a)=0.3472$ ,فإن $P(Z<a)$ تساوي:

    • 0.6944

    • 0.8472

    • 0.6736

    • 0.1736

49. 49) إذا كان $X~N(8,0.04)$ ، فإنّ $P(7.6<X<8.2)$ هو:

    

    • 0.950

    • 0.680

    • 0.815

    • 0.475

50. (50) أجريت دراسة على $20000$ شجرة في غابة، فتبين أن $2136$ شجرة يقل طول كل منها عن $10m$. إذا كانت أطوال هذه الأشجار تتبع توزيعاً طبيعياً وسطه الحسابي $\mu$ وانحرافه المعياري $4$ ، فجد قيمة $\mu$.

    

    • 15

    • 20

    • 10

    • 25