إثبات توازي المستقيمات وتعامدها 

أعلم أن : 

إذا قطع مستقيم مستقيمين متوازيين في المستوي نفسه فإن :

1) كل زاويتين متناظرتين متطابقتان ( مسلمة الزاويتين المتاظرتين ) 

مثال : 

                           $$\begin{gathered} \mathbf{\angle }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{7} \\ \mathbf{\angle }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{8} \\ \mathbf{\angle }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{1} \\ \mathbf{\angle }\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{2} \end{gathered}$$                                      

.......................................................

2) كل زاويتين متبادلتين داخلياً متطابقتان ( نظرية الزاويتين المتبادلتين داخلياً ) 

مثال : 

                         $$\begin{gathered} \mathbf{\angle }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{5} \\ \mathbf{\angle }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{6} \end{gathered}$$                                   

...................................

3) كل زاويتين متبادلتين خارجياً متطابقتان ( نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجياً ) 

مثال : 

                        $$\begin{gathered} \mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{7} \\ \mathbf{\angle }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{8} \end{gathered}$$                                 

.....................................

4) كل زاويتين متحالفتين متكاملتان ( نظرية الزاويتين المتحالفتين ) 

مثال : 

                     $$\begin{gathered} \mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{°} \\ \mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{180}\mathbf{°} \end{gathered}$$                           

..................................................................................................................................................................................................................................................................

مسلمة:

عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين : 

إذا قطع قاطع مستقيمين ، وينتج عن التقاطع زاويتان متناظرتان متطابقتان فإن المستقيمين متوازيان .

مثال: 

إذا كانت : 

                 $\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{L}\mathbf{\parallel }\mathbf{m}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{فإن}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{6}$                                             

.....................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 1 ) :

أجد قيمة x  التي تجعل     $\mathit{n}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathit{m}$                                           

                                                                  

الحل :

يكون المستقيمان m و n  متوازيين إذا كانت الزاويتان المتناظرتان متطابقتين

( 2x + 5 ) = 65$°$                         استعمل عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين لكتابة معادلة

2x + 5 = 65

2x + 5 - 5 = 60 - 5

2x = 60

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{60}}{\mathbf{2}}$

x = 30

إذن قيمة  x  التي تجعل المستقيمن  m و n  متوازيين تساوي  30

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

عكس نظريات المستقيمين المتوازيين وأزواج الزوايا:

• عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين داخلياً :                                                                       

                                           

إذا قطع قاطع مستقيمين ونتج عن التقاطع زاويتان متبادلتان داخلياً متطابقتان فإن المستقيمين متوازيان.

مثال : 

إذا كانت :        $\mathit{L}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{فإن}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{6}$

..................................................................

• عكس نظرية الزاويتين المتحالفتين : 

                                        

إذا قطع قاطع مستقيمن ونتج عن التقاطع زاويتان متحالفتان متكاملتان فإن المستقيمين متوازيان.

مثال: 

 إذا كانت:    $\mathit{L}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{فإن}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{°}$ 

............................................................................

• عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجياً : 

                                          

إذا قطع قاطع مستقيمين ونتج عن التقاطع زاويتان متبادلتان خارجياً متطابقتان

فإن المستقيمين متوازيان : 

مثال: 

إذا كانت :     $\mathit{L}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{ }\mathbf{فإن}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{7}$

..............................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 2 ): إثبات نظرية : 

في الشكل المجاور ، إذا كان $\mathbf{ }\mathit{g}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathit{h}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{فأثبت}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{4}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{5}$باستعمال المخطط السهمي:

                                                   

الحل: 

المعطيات:    $\mathbf{\angle }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{5}$                              

المطلوب :    $\mathit{g}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathit{h}$

               

الاثبات أسمي   $\mathbf{\angle }\mathbf{1}$   التي تقابل بالرأس  $\mathbf{\angle }\mathbf{4}$

 

.............................................................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 3 ) :

هل يمكن إثبات أن أياً من مستقيمات الشكل المجاور متوازية اعتماداً على المعطيات في كل مما يأتي ؟ 

( أبرر إجابتي باستعمال مسلمة أو نظرية )

 

1)   $\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{8}$ 

$\mathbf{\angle }\mathbf{8}$  و $\mathbf{\angle }\mathbf{1}$ متبادلتان خارجياً بالنسبة للمستقيمين a  و b  

وبما أن       $\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{8}$ فإن $\mathit{a}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathit{b}$

بحسب عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجياً 

..............................................................................................................................................................................................................................................................................

2)   $\mathit{m}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{°}$

   $\mathbf{\angle }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{و}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{9}$  متحالفتان بالنسبة للمستقيمين L  و m

وبما أن $\mathit{m}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{°}$ فإن $\mathit{L}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathit{m}$

بحسب عكس نظرية الزاويتين المتحالفتين.

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

نظرية : 

نظرية الزاويتين المتجاورتين المتطابقين: 

                                                                                                            

إذا تقاطع مستقيمان لتشكيل زاويتين متجاورتين متطابقتين فإن المستقيمين متعامدان .

مثال:       $\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{2}$

فإن       $\mathit{g}\mathbf{ }\mathbf{\perp }\mathbf{ }\mathit{h}$

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

نظرية القاطع العمودي : 

إذا كان مستقيم عمودياً على أحد مستقيمين متوازيين

فإنه يكون عمودياً على المستقيم الآخر

 

$$\begin{gathered} \mathit{h}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathit{k}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{كان}\mathbf{ }\mathbf{إذا}\mathbf{ }\mathbf{:}\mathbf{ }\mathbf{مثال} \\ \mathit{j}\mathbf{\perp }\mathbf{ }\mathit{h}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{و} \\ \mathit{j}\mathbf{\perp }\mathbf{ }\mathit{k}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{فإن} \end{gathered}$$                                                          

 

عكس نظرية القاطع العمودي : 

إذا قطع قاطع مستقيمين وكان عمودياً على كل منهما 

فإن المستقيمين متوازيان

مثال: 

$$\begin{gathered} \mathit{p}\mathbf{\perp }\mathit{n}\mathbf{ }\mathit{و}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{p}\mathbf{\perp }\mathit{m}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{كان}\mathbf{ }\mathbf{إذا} \\ \mathit{m}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathit{n}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{فإن} \end{gathered}$$                                                          

 

مثال ( 4 ) : 

إثبات نظرية : 

استعمل المعلومات المعطاة في الشكل المجاور 

لأثبت أن $\mathit{r}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathit{s}$  باستعمال البرهان ذي العمودين                                                                      

الحل: 

 

المبررات	العبارات
1) معطى	1) $\mathbf{قائمتان}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{و}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{1}$
2) الزوايا القائمة متطابقة	2) $\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{2}$
3) عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين	3) $\mathit{r}\mathbf{ }\mathbf{\parallel }\mathbf{ }\mathit{s}$

..............................................................................................................................................................................................................................................................................