رياضيات 9 فصل ثاني

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 11 

في ΔRTS ، إذا كانَ $RL=5,RT=9,WS=6$ $\stackrel{—}{LW} \parallel \stackrel{—}{TS}$ ، فأجد RW.

الحل :

نظريةُ الأجزاءِ المُتناسِبةِ	$\frac{RW}{WS}=\frac{RL}{LT}$
بالتعويضِ ($LT=9-5=4$)	$\frac{RW}{6}=\frac{5}{4}$
باستعمالِ خاصيةِ الضربِ التبادليِّ	$4RW=30$
بالتبسيطِ	$\Rightarrow RW=7.5$

---

أتحقق من فهمي صفحة 12

في ΔAEC ، إذا كانَ ،ED = 12, DC = 20, BC = 25, AB = 15              فأُحدِّدُ إذا كانَ $\overline{DB} \parallel \overline{ AE}$ ، مُبرِّرًا إجابتي.

الحل :

بتعويضِ $AB=15,BC=25$ والتبسيط	$\frac{AB}{BC}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$
بتعويضِ $ED=12,DC=20$  والتبسيط	$\frac{ED}{DC}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$

إذن :  

$\frac{AB}{BC}=\frac{ED}{DC}= \frac{3}{5}$

وبحسب عكس نظرية التناسب في المثلث ، فإنّ : $\stackrel{—}{BD}\parallel \stackrel{—}{AE}$

---

أتحقق من فهمي صفحة 14

أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ المُجاوِرِ لإيجادِ كلٍّ ممّا يأتي:

a) طول $\stackrel{—}{XY}$ b) طول $\stackrel{—}{AX}$ c) قياس $\angle YZC$

الحل :

a) طول $\stackrel{—}{XY}$

نظريةُ القطعةِ المُنصِّفةِ في المُثلَّثِ	$XY = \frac{1}{2} BC$
بتعويضِ  $BC=15.8$	$XY = \frac{1}{2}(15.8)$
بالتبسيطِ	$XY = 7.9$

b) طول $\stackrel{—}{AX}$

نظريةُ القطعةِ المُنصِّفةِ في المُثلَّثِ	$YZ =\frac{1}{2} AB$
بتعويضِ $YZ=4.6$	$4.6 = \frac{1}{2} AB$
بالتبسيطِ	$AB = 9.2$
بتعويضِ $AX=\frac{1}{2} AB$	$AX = \frac{1}{2}(9.2)$
بالتبسيطِ	$AX = 4.6$

c) قياس $\angle YZC$

نظريةُ الزاويتينِ المُتبادلة	$\angle YZC \cong \angle ZYX$
تعريفُ تطابقِ الزوايا	$m\angle YZC = m\angle ZYX$
بالتعويضِ	$m\angle YZC = 68°$

---

أتحقق من فهمي صفحة 15 

مرورٌ : يُبيِّنُ الشكلُ المُجاوِرُ مُخطَّطًا لمنطقةٍ منْ مدينةِ عمّانَ على شكلِ مُثلَّثٍ قائمِ الزاويةِ. تقودُ غديرُ سيّارتَها في هذهِ المنطقةِ أثناءَ توجُّهِها إلى عملِها، وتسيرُ على الطريقِ $\stackrel{—}{GF}$ والطريقِ $\stackrel{—}{FT}$ . أجدُ المسافةَ التي تقطعُها غديرُ بسيّارتِها يوميًّا.

الحل :

باستخدام نظرية فيثاغورس أجد طول $\stackrel{—}{BC}$

${\left(AB\right)}^2={\left(AC\right)}^2 +{\left(BC\right)}^2$

$169 = 144 + {\left(BC\right)}^2$

${\left(BC\right)}^2=25\Rightarrow BC=5 km$

بحسب نظريةُ القطعةِ المُنصِّفةِ في المُثلَّثِ 

$FG = \frac{1}{2} AC \Rightarrow FG = \frac{1}{2}\left(12\right) \Rightarrow FG = 6km$

$FT=\frac{1}{2} BC\Rightarrow FT =\frac{1}{2}\left(5\right)\Rightarrow FT=2.5km$

المسافة التي تقطعها غدير بسيارتها تساوي مجموع طولي الطريقين $FG ، FT$

$6 km + 2.5 km = 8.5 km$

---

 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل

1) في $△XYZ$  ، إذا كانَ $\stackrel{—}{NM} \parallel \stackrel{—}{YZ}$ ، $XM=4, XN=6, NZ=9$ ، فأجدُ $XY$. 

                                                                     

الحل :

بحسب نظريةُ الأجزاءِ المُتناسِبةِ :

$\frac{XN}{NZ}=\frac{XM}{MY}\Rightarrow \frac{6}{9}=\frac{4}{MY}$

$6MY=36\Rightarrow MY=6$

$XY=XM+MY=4+6=10$

---

2) في $\Delta PRS$ ، إذا كانَ $PR = 30, QR = 9, PT = 12, PS = 18$، فأُحدِّدُ إذا كانَ$\stackrel{—}{QT} \parallel \stackrel{—}{RS}$ ، مُبرِّرًا إجابتي.

                                                                                                             

الحل : 

$PQ=PR-QR =30-9=21$

$TS=PS-PT=18-12=6$

بحسب عكس نظرية التناسب في المثلث : 

$\frac{PQ}{QR}=\frac{21}{9}=\frac{7}{3}$

$\frac{PT}{TS}=\frac{12}{6}=2$ 

إذن: $\frac{PQ}{QR}\ne \frac{PT}{TS}$

لا يوجد تناسب بين الأجزاء المتناطرة في ضلعي المثلث ، إذن $\stackrel{—}{QT},\stackrel{—}{RS}$ غير متوازيين.

---

3) في $\Delta HKM$، إذا كانَ$HM=15,HN=10,HJ=2JK$ ، فأُحدِّدُ إذا كانَ $\stackrel{—}{NJ}\parallel \stackrel{—}{MK}$، مُبرِّرًا إجابتي.

                                                                                                               

الحل :

$NM=HM-HN=15-10=5$

عكس نظرية التناسب في المثلث : 

$\frac{HN}{NM}=\frac{10}{5}=2$

$\frac{HJ}{JK}=\frac{2\cancel{JK}}{\cancel{JK}}=2$

إذن؛ $\frac{HN}{NM}=\frac{HJ}{JK}=2$

وبحسب عكس نظرية التناسب في المثلث، فإنّ: $\stackrel{—}{NJ}\parallel \stackrel{—}{MK}$ 

---

أستعمل المعلومات المعطاة في الشكل المُجاور لإيجاد كل مما يأتي :

$4) GJ 5) RQ 6) RJ$

$7) m\angle PQR 8) m\angle HGJ 9) m\angle GPQ$

الحل :

4) طول $GJ$

$PQ=\frac{1}{2}GJ\Rightarrow 19=\frac{1}{2}GJ\Rightarrow GJ=38$

---

5) طول $RQ$

$RQ=\frac{1}{2} GH=\frac{1}{2}\left(27\right)=13.5$

---

6) طول $RJ$

$RJ=\frac{1}{2}GJ=\frac{1}{2}\left(38\right)=19$

---

7) قياس $\angle PQR$

$\angle PQR$ في وضع تبادل مع $\angle QRJ$ 

إذن :  

$m\angle PQR=m\angle QRJ=55°$

---

8) قياس $\angle HGJ$

$\angle HGJ$ في وضع تناظر مع $\angle QRJ$

إذن : 

 $m\angle HGJ=m\angle QRJ=55°$

---

 9) قياس $\angle GPQ$ 

$\angle GPQ$ في وضع تحالف مع $\angle HGJ$ 

إذن : 

$m\angle GPQ+m\angle HGJ=180°$

$m\angle GPQ+55°=180°\Rightarrow m\angle GPQ=125°$

---

أستعمل المعلومات المعطاة في الشكل المُجاور لإيجاد كل مما يأتي:

$10) JL 11) PM 12) m\angle MPN$

الحل :

10) طول $JL$

$JL=2PN=2\left(39\right)=78$

---

11) طول $PM$ 

$PM =\frac{1}{2} KL=\frac{1}{2}\left(95\right)=47.5$

---

11) قياس $\angle MPN$

$\angle MPN$ في وضع تبادل مع $\angle JMP$

إذن : 

$m\angle MPN=m\angle JMP=105°$

---

أجد قيمة x في كل مما يأتي : 

الحل :

13)

$3x=\frac{1}{2}\left(54\right)=27\Rightarrow x=9$

---

14)

$x+9=2\left(2x\right)$

$x+9=4x$

$9=3x\Rightarrow x=3$

---

15)

$x^2-6x+3=2(3x-16)$

$x^2-6x+3=6x-32$

$x^2-12x+35=0$

$(x-7) (x-5)=0$

$x-7 = 0 or x-5=0$

$x=7 or x=5$

---

16) أجدُ محيطَ $\Delta DEF$ المُبيَّنِ في الشكلِ الآتي.

الحل :

طول FD

$FD=\frac{1}{2}\left(38\right)=19$

طول EF

$EF=\frac{1}{2}\left(13\right)=6.5$

طول DE

$DE=\frac{1}{2}\left(45\right)=22.5$

 محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه 

محيط  $\Delta DEF$  : 

$22.5+6.5+19=48$

---

 أُثبِتُ كُلًّ منَ النظريتينِ الآتيتينِ باستعمالِ البرهانِ ذي العمودينِ :

17) إذا قطعَ مستقيمٌ ضلعينِ في مُثلَّثٍ، وقسَّمَهُما إلى قطعٍ مستقيمةٍ مُتناظِرةٍ أطوالُها مُتناسِبةٌ، فإنَّ المستقيمَ يوازي الضلعَ الثالثَ للمُثلَّثِ.

الحل :

أرسم المثلث ABC ، وأستخدمه للبرهان كما في الشكل المجاور  المعطيات : $\frac{AQ}{QB}=\frac{CR}{RB}$ المطلوب : إثبات أنّ $\stackrel{—}{QR} \parallel \stackrel{—}{AC}$ أسمي الزوايا كما هو مبين في الشكل ، وأستخدم مُسلمة التشابه   بضلعينِ وزاويةٍ محصورةٍ (SAS).

 

 

 

 

 

 

 

 

البرهان : 

مُعطى في السؤال	$\frac{AQ}{QB}=\frac{CR}{RB}$
أُعوض في التناسب: $AQ=AB-QB,CR=CB-RB$	$\frac{AB-QB}{QB}=\frac{CB-RB}{RB}$
أُوزع المقام على البسط	$\frac{AB}{QB}-\frac{QB}{QB}=\frac{CB}{RB}-\frac{RB}{RB}$
$\frac{QB}{QB}=1,\frac{RB}{RB}=1$	$\frac{AB}{QB}-1=\frac{CB}{RB}-1$
بإضافة 1 إلى طرفي المعادلة	$\frac{AB}{QB}=\frac{CB}{RB}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

في المثلثين $ABC,QBR$

بما أنّ $\frac{AB}{QB}=\frac{CB}{RB}$  ، والزاوية ABC مشتركة في المثلثين ومحصورة بين أضلاع متناسبة، فإنّ $△ABC~△QBR$ بحسب مُسلمة التشابه (SAS)، وعليه فإنّ الزوايا المتناظرة في المثلثين متطابقة في القياس ، أي :

 $\angle 1\cong \angle 4$ وهما في وضع تناظر ، وكذلك$\angle 2\cong \angle 3$ ، إذن : $\stackrel{—}{QR}\parallel \stackrel{—}{AC}$

---

18) القطعةُ المُنصِّفةُ في المُثلَّثِ توازي أحدَ أضلاعِهِ ، وطولُها يساوي نصفَ طولِ ذلكَ الضلعِ.

الحل :

أرسم المثلث ABC ، وأستخدمه للبرهان كما في الشكل المجاور  المعطيات :  E , D تقعان منتصف الضلعين  AB ، AC على الترتيب . المطلوب : إثبات أنّ $\stackrel{—}{DE}\parallel \stackrel{—}{AC}$ ، $DE=\frac{1}{2}AC$  أسمي الزوايا كما هو مبين في الشكل ، وأستخدم مُسلمة التشابه   بضلعينِ وزاويةٍ محصورةٍ (SAS).

البرهان: 

مُعطى في السؤال	$AD=DB,CE=EB$
طول الضلع يساوي مجموع أطوال أجزاءه	$AB=AD+DB,CB=CE+EB$
بالتعويض بدلًا من $AD$ بـ $DB$، وبدلًا من $CE$ بـ $EB$	$AB=DB+DB,CB=EB+EB$
بالتبسيط	$AB=2DB,CB=2EB$
بقسمة المعادلة الأولى على$DB$، وقسمة المعادلة الثانية على$EB$	$\frac{AB}{DB}=2,\frac{CB}{EB}=2\Rightarrow \frac{AB}{DB}=\frac{CB}{EB}$

في المثلثين $ABC , DBE$

بما أنّ $\frac{AB}{DB}=\frac{CB}{EB}$  والزاوية $ABC$ مشتركة في المثلثين ومحصورة بين أضلاع متناسبة، فإنّ  $△ABC~△DBE$ بحسب مُسلّمة التشابه (SAS)، وعليه فإنّ الزوايا المتناظرة في المثلثين متطابقة في القياس، أي: 

$\angle 1\cong \angle 4$ وهما في وضع تناظر ، وكذلك$\angle 2\cong \angle 3$، إذن: $\stackrel{—}{DE}\parallel \stackrel{—}{AC}$ وهو المطلوب الأول.

•• بما أنّ $△ABC~△DBE$، إذن الأضلاع المتناظرة في المثلثين متناسبة،أي: 

$\frac{AB}{DB}=\frac{CB}{EB}=\frac{AC}{DE}=2$

إذن:  $\frac{AC}{DE}=2\Rightarrow AC=2DE \Rightarrow DE=\frac{1}{2}AC$  وهو المطلوب الثاني . 

---

 

19) طائرةٌ ورقيةٌ : صنعَتْ هديلُ طائرةً ورقيةً، طولُ قُطْريْها $80 cm$ و $60 cm$ ، ثمَّ استعملَتْ شريطًا لربطِ نقاطِ منتصفِ أضلاعِ الطائرةِ. أجدُ طولَ الشريطِ.

الحل :

HJ قطعة منصفة في المثلث ABC، إذن:$HJ=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\left(60\right)=30cm$ LK قطعة منصفة في المثلث ADC، إذن: $LK=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\left(60\right)=30cm$ JK قطعة منصفة في المثلث BCD، إذن:  $JK=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\left(80\right)=40cm$ HL قطعة منصفة في المثلث BCD، إذن: $HL=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\left(80\right)=40cm$

طول الشريط = مجموع القطع المنصفة الأربعة :  

$30cm+30cm+40cm+40cm=140cm$

---

20) أحُلُّ المسألةَ الواردةَ بدايةَ الدرسِ.

مسألةُ اليومِ :  يُمثِّلُ الشكلُ المُجاوِرُ بحيرةً شُيِّدَ فوقَها الجسرُ  $\stackrel{—}{CD}$ أجدُ طولَ الجسرِ.

الحل :

طول الجسر يُمثل قطعة مُنصفة في المثلث، أذن، وبحسب نظرية القطعة المنصفة في المثلث: 

$CD=\frac{1}{2}\left(2640\right)=1320m$

---

مهاراتُ التفكيرِ العُليا

21) أكتشفُ الخطأَ: قالَ خالدٌ: ”بما أنَّ $DE=\frac{1}{2}BC$ في الشكلِ المُجاوِرِ، فإنَّ $\stackrel{—}{AD}\cong \stackrel{—}{BD}$ بحسبِ نظريةِ القطعةِ المُنصِّفةِ في المُثلَّثِ“. هلْ ما قالَهُ خالدٌ صحيحٌ؟ أُبرِّرُ إجابتي.

الحل :

ما قاله خالد غير صحيح؛ لأنّه وبحسب نظرية القطعةُ المُنصِّفةُ في المُثلَّثِ فهي توازي الضلعَ المُقابِلَ لها، وطولُها يساوي نصفَ طولِ ذلكَ الضلعِ.

والقطعة DE لا تُوازي الضلع المقابل لها BC، لذا هي ليست قطعة مُنصفة في المثلث؛ لذلك $\stackrel{—}{AD}\not\equiv \stackrel{—}{BD}$

---

22) تبريرٌ: أجدُ قيمةَ x في الشكلِ المُجاوِرِ، مُبرِّرًا إجابتي.

الحل :

بما أنّ $AE=AF,EB=FC$ 

إذن $AB=AC$ ، أي المثلث ABC متطابق الضلعين ، وزوايا القاعدة فيه متطابقة $\Leftarrow$ : $m\angle ACB = 60°$

ومن مجموع زوايا المثلث نستنتج أنّ : $m\angle BAC = 60°$ ، إذن المثلث متطابق الأضلاع .

أجد طول BC :

$BC=2EF=2\left(5\right)=10$

إذن : $x = 10$ 

---

23) تحدٍّ: إذا كانَتْ مساحةُ $△ABC$ هيَ $48 c{m}^2$ ، وكانَتِ النقطةُ D والنقطةُ E هما نقطتيْ منتصفِ $\stackrel{—}{AB}$ و $\stackrel{—}{AC}$ على الترتيبِ، فأجدُ مساحةَ $△ADE$، مُبرِّرًا إجابتي.

الحل :

 $12 c{m}^2$

---

24) تبريرٌ: في الشكلِ المُجاوِرِ، إذا كانَتِ MN هيَ قطعةَ منتصفٍ في ΔABC، فأجدُ ميلَ MN بطريقتينِ مختلفتينِ، مُبرِّرًا إجابتي.

الحل :

الطريقة الأولى : 

أجد ميل الضلع AB، وبما أنّ MN قطعة منتصف فهي توازي الضلع المقابل لها في المثلث، أي لهما نفس الميل 

ميل الضلع AB: 

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-6-2}{9-4}=-\frac{8}{5}$

إذن ميل MN يساوي $-\frac{8}{5}$

الطريقة الثانية : 

أجد إحداثيي النقطتين M , N من قانون نقطة منتصف القطعة المستقيمة :

$M (x , y)=(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})=(\frac{4 + 20}{2},\frac{2 +10}{2})=(12,6)$

$N (x , y)=(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})=(\frac{9+20}{2},\frac{-6+10}{2})=(14.5,2)$

أجد ميل MN : 

$m =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2-6}{14.5-12}=-\frac{4}{2.5}=-\frac{8}{5}$

---

أسئلة كتاب التمارين

أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ المُجاوِرِ لإيجادِ كلٍّ ممّا يأتي :

$\mathbf{1}\mathbf{)} ZV \mathbf{2}\mathbf{)} PM \mathbf{3}\mathbf{)} m \angle RZV$

 

 

 

 

 

 

الحل :

1) طول ZV 

$ZV=\frac{1}{2}JM=45$

---

2) طول PM

$PM =2ZR=2\left(53\right)=106$

---

2) قياس $\angle RZV$

قياس $\angle RZV$ يساوي $36°$ بالتبادل مع الزاوية $PVZ$

---

 

أجدُ قيمةَ n في كلٍّ ممّا يأتي :

الحل : $n-9=\frac{1}{2}\left(35\right)=17.5=26.5$
الحل : $4n+9=\frac{1}{2}\left(14n\right)$ $4n+9=7n$ $-3n=-9 \to n=3$
الحل : $n+12=\frac{1}{2}\left(6n\right)$ $n+12=3n$ $-2n=-12\to n=6$
الحل : $39=\frac{1}{2}(n^2-3)$ $78=n^2-3\Rightarrow n^2=81\Rightarrow n=9$

 

---

8) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ المُجاوِرِ لإيجادِ قيمةِ كلٍّ منْ x، و y، و z.

 

الحل:

قيمة y (من نظرية الأجزاء المتناسبة في المثلث )

$\frac{y}{6}=\frac{2}{4}\Rightarrow 4y=12\Rightarrow y=3$

---

قيمة x (من نظرية القطعة المنصفة في المثلث )

$x=\frac{1}{2}\left(13\right)\Rightarrow x=6.5$

---

قيمة z (من تشابهة المثلثات)

$\frac{z}{13}=\frac{4}{12}\Rightarrow 12z=52\Rightarrow z=4.3$

---

9) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لإيجادِ قيمةِ كلٍّ منْ x، وy.

الحل :

$2x=3x-6\to -x=-6 \to x=6$

$2y=2x+1=2\left(6\right)+1=13$

$y=6.5$

---

10) إذا كانَتْ إحداثياتُ رؤوسِ المُثلَّثِ $ABC$ هيَ :$A(-5,6),B(3,8),C(1,4)$، فأجدُ أطوالَ جميعِ القطعِ المُنصِّفةِ في المُثلَّثِ$ABC$.

الحل :

أجد أطوال أضلاع المثلث باستخدام قانون المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي ، فيكون طول القطعة المُنصفة يساوي نصف طول الضلع المقابل لها :

طول AB حيث $A(-5, 6) , B(3, 8)$

$\stackrel{—}{AB} =\sqrt[]{{(-5-3)}^2+{(6-8)}^2}=\sqrt[]{64+4}=\sqrt[]{78}$

طولBC حيث $B(3, 8) , C(1, 4)$

$\stackrel{—}{BC}=\sqrt[]{{(3-1)}^2+{(8-4)}^2}=\sqrt[]{4+16}=\sqrt[]{20}$

طولAC حيث $A(-5, 6) , C(1, 4)$

$\stackrel{—}{AC}=\sqrt[]{{(-5-1)}^2+{(6-4)}^2}=\sqrt[]{36+4}=\sqrt[]{40}$

إذن طول القِطع المُنصفة في المثلث $ABC$، هي: $\frac{1}{2}\sqrt[]{70} ,\frac{1}{2}\sqrt[]{20} ,\frac{1}{2}\sqrt[]{40}$

---