رياضيات فصل ثاني

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 11 

في ΔRTS ، إذا كانَ , $RL = 5 , RT = 9 , WS=6$ $\overline{LW} ll \overline{TS}$ ، فأجد RW.

 

 

 

 

الحل :

نظريةُ الأجزاءِ المُتناسِبةِ	$\frac{RW}{WS}=\frac{RL}{LT}$
بالتعويضِ ($LT = 9 - 5 = 4$)	$\frac{RW}{6}=\frac{5}{4}$
باستعمالِ خاصيةِ الضربِ التبادليِّ	$4RW = 30$
بالتبسيطِ	$\Rightarrow RW = 7.5$

 

 

 

 

 

 

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 12

في ΔAEC ، إذا كانَ ،ED = 12, DC = 20, BC = 25, AB = 15              فأُحدِّدُ إذا كانَ $\overline{DB} ll\overline{ AE}$ ، مُبرِّرًا إجابتي.

 

 

 

 

 

الحل :

بتعويضِ $AB = 15 , BC = 25$ والتبسيط	$\frac{AB}{BC}=\frac{15}{15}= \frac{3}{5}$
بتعويضِ  $ED = 12 , DC\hspace{0.17em}= 20$   والتبسيط	$\frac{ED}{DC}=\frac{12}{20}= \frac{3}{5}$

 

 

 

 

إذن :  

$\frac{AB}{BC}=\frac{ED}{DC}= \frac{3}{5}$

وبحسب عكس نظرية التناسب في المثلث ، فإنّ : $\overline{BD} ll \overline{AE}$

---

أتحقق من فهمي صفحة 14

أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ المُجاوِرِ لإيجادِ كلٍّ ممّا يأتي:

a) طول $\overline{XY}$ b) طول $\overline{AX}$ c) قياس $\angle YZC$

 

 

 

 

 

 

الحل :

a) طول $\overline{XY}$

نظريةُ القطعةِ المُنصِّفةِ في المُثلَّثِ	$XY = \frac{1}{2} BC$
بتعويضِ  $BC = 15.8$	$XY = \frac{1}{2}(15.8)$
بالتبسيطِ	$XY = 7.9$

 

 

 

 

 

b) طول $\overline{AX}$

نظريةُ القطعةِ المُنصِّفةِ في المُثلَّثِ	$YZ =\frac{1}{2} AB$
بتعويضِ $YZ = 4.6$	$4.6 = \frac{1}{2} AB$
بالتبسيطِ	$AB = 9.2$
بتعويضِ $AX = \frac{1}{2} AB$	$AX = \frac{1}{2}(9.2)$
بالتبسيطِ	$AX = 4.6$

 

 

 

 

 

 

 

 

c) قياس $\angle YZC$

نظريةُ الزاويتينِ المُتبادلة	$\angle YZC \cong \angle ZYX$
تعريفُ تطابقِ الزوايا	$m\angle YZC = m\angle ZYX$
بالتعويضِ	$m\angle YZC = 68°$

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 15 

مرورٌ : يُبيِّنُ الشكلُ المُجاوِرُ مُخطَّطًا لمنطقةٍ منْ مدينةِ عمّانَ على شكلِ مُثلَّثٍ قائمِ الزاويةِ. تقودُ غديرُ سيّارتَها في هذهِ المنطقةِ أثناءَ توجُّهِها إلى عملِها، وتسيرُ على الطريقِ $\overline{GF}$ والطريقِ $\overline{FT}$ . أجدُ المسافةَ التي تقطعُها غديرُ بسيّارتِها يوميًّا.

 

 

 

 

 

 

 

الحل :

باستخدام نظرية فيثاغورس أجد طول $\overline{BC}$

$$\begin{gathered} {\left(AB\right)}^2 = {\left(AC\right)}^2 + {\left(BC\right)}^2 \\ 169 = 144 + {\left(BC\right)}^2 \\ {\left(BC\right)}^2 = 25 \\ \Rightarrow BC = 5 km \end{gathered}$$

بحسب نظريةُ القطعةِ المُنصِّفةِ في المُثلَّثِ 

$$\begin{gathered} FG = \frac{1}{2} AC \Rightarrow FG = \frac{1}{2}\left(12\right) \Rightarrow FG = 6km \\ FT = \frac{1}{2} BC \Rightarrow FT = \frac{1}{2}\left(5\right) \Rightarrow FT = 2.5km \end{gathered}$$

المسافة التي تقطعها غدير بسيارتها تساوي مجموع طولي الطريقين $FG ، FT$

$6 km + 2.5 km = 8.5 km$

---

 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل

1) في $△XYZ$  ، إذا كانَ $\overline{NM} ll \overline{YZ}$ ، $XM= 4 , XN= 6 , NZ= 9$ ، فأجدُ $XY$. 

                                                                     

الحل :

بحسب نظريةُ الأجزاءِ المُتناسِبةِ :

$$\begin{gathered} \frac{XN}{NZ}=\frac{XM}{MY} \\ \frac{6}{9}=\frac{4}{MY} \\ 6MY = 36 \\ \Rightarrow MY = 6 \\ XY = XM + MY \\ XY = 4 + 6 \\ XY = 10 \end{gathered}$$

---

2) في $\Delta PRS$ ، إذا كانَ $PR = 30, QR = 9, PT = 12, PS = 18$، فأُحدِّدُ إذا كانَ$\overline{QT} \Vert \overline{RS}$ ، مُبرِّرًا إجابتي.

                                                                                                             

الحل : 

$$\begin{gathered} PQ = PR - QR TS = PS - PT \\ PQ = 30 - 9 TS =18 - 12 \\ PQ = 21 TS = 6 \end{gathered}$$

بحسب عكس نظرية التناسب في المثلث : 

$$\begin{gathered} \frac{PQ}{QR} = \frac{21}{9}=\frac{7}{3} \\ \frac{PT}{TS} = \frac{12}{6} = 2 \end{gathered}$$ 

إذن : $\frac{PQ}{QR} \ne \frac{PT}{TS}$

لا يوجد تناسب بين الأجزاء المتناطرة في ضلعي المثلث ، إذن $\overline{QT} , \overline{RS}$ غير متوازيين.

---

3) في $\Delta HKM$، إذا كانَ$HM = 15, HN = 10, HJ = 2JK$ ، فأُحدِّدُ إذا كانَ $\overline{NJ} \Vert \overline{MK}$ ، مُبرِّرًا إجابتي.

                                                                                                               

الحل :

$$\begin{gathered} NM = HM - HN \\ NM =15 - 10 \\ NM =5 \end{gathered}$$

عكس نظرية التناسب في المثلث : 

$$\begin{gathered} \frac{HN}{NM} = \frac{10}{5} = 2 \\ \frac{HJ}{JK} = \frac{2\cancel{JK}}{\cancel{JK}} = 2 \end{gathered}$$

إذن :  $\frac{HN}{NM}= \frac{HJ}{JK} = 2$

وبحسب عكس نظرية التناسب في المثلث ، فإنّ : $\overline{NJ} \Vert \overline{MK}$ 

 

---

 

أستعمل المعلومات المعطاة في الشكل المُجاور لإيجاد كل مما يأتي :

$4) GJ 5) RQ 6) RJ$ $7) m\angle PQR 8) m\angle HGJ 9) m\angle GPQ$

 

 

 

 

 

 

الحل :

4) طول $GJ$

$$\begin{gathered} PQ = \frac{1}{2} GJ \\ 19 = \frac{1}{2} GJ \\ \Rightarrow GJ = 38 \end{gathered}$$

---

5) طول $RQ$

$$\begin{gathered} RQ = \frac{1}{2} GH \\ RQ = \frac{1}{2} \left(27\right) \\ \Rightarrow RQ = 13.5 \end{gathered}$$

---

6) طول $RJ$

$$\begin{gathered} RJ = \frac{1}{2} GJ \\ RJ = \frac{1}{2} \left(38\right) \\ \Rightarrow RJ = 19 \end{gathered}$$

---

7) قياس $\angle PQR$

$\angle PQR$ في وضع تبادل مع $\angle QRJ$ 

إذن :  

$m\angle PQR = m\angle QRJ = 55°$

---

8) قياس $\angle HGJ$

$\angle HGJ$ في وضع تناظر مع $\angle QRJ$

إذن : 

 $m\angle HGJ = m\angle QRJ = 55°$

---

 9) قياس $\angle GPQ$ 

$\angle GPQ$ في وضع تحالف مع $\angle HGJ$ 

إذن : 

$$\begin{gathered} m\angle GPQ + m\angle HGJ = 180° \\ m\angle GPQ + 55° = 180° \\ \Rightarrow m\angle GPQ = 125° \end{gathered}$$

---

 

أستعمل المعلومات المعطاة في الشكل المُجاور لإيجاد كل مما يأتي :

$10) JL 11) PM$                        $12) m \angle MPN$

 

 

 

 

 

 

 

الحل :

10) طول $JL$

$$\begin{gathered} JL = 2 PN \\ JL = 2 \left(39\right) \\ \Rightarrow JL=78 \end{gathered}$$

---

11) طول $PM$ 

$$\begin{gathered} PM = \frac{1}{2} KL \\ PM = \frac{1}{2} \left(95\right) \\ \Rightarrow PM=47.5 \end{gathered}$$

---

11) قياس $\angle MPN$

$\angle MPN$ في وضع تبادل مع $\angle JMP$

إذن : 

$m\angle MPN = m\angle JMP = 105°$

---

 

أجد قيمة x في كل مما يأتي : 

الحل :

13)

$$\begin{gathered} 3x = \frac{1}{2}\left(54\right) \\ 3x = 27 \\ \Rightarrow x = 9 \end{gathered}$$

---

14)

$$\begin{gathered} x + 9 = 2\left(2x\right) \\ x + 9 = 4x \\ 9 = 3x \\ \Rightarrow x = 3 \end{gathered}$$

---

15)

$$\begin{gathered} x^2 - 6x + 3 = 2(3x -16) \\ {x}^2 - 6x + 3 = 6x - 32 \\ {x}^2 - 12x + 35 = 0 \\ (x - 7) (x - 5) = 0 \\ x - 7 = 0 or x - 5 = 0 \\ x = 7 or x = 5 \end{gathered}$$

---

16) أجدُ محيطَ $\Delta DEF$ المُبيَّنِ في الشكلِ الآتي.

الحل :

طول $FD$	طول $EF$	طول $DE$
$$\begin{gathered} FD = \frac{1}{2}\left(38\right) \\ FD = 19 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} EF = \frac{1}{2}\left(13\right) \\ EF = 6.5 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} DE = \frac{1}{2}\left(45\right) \\ DE = 22.5 \end{gathered}$$

 

 

 

 

محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه 

محيط  $\Delta DEF$  : 

$22.5 + 6.5 + 19 = 48$

 

---

 

أُثبِتُ كُلًّ منَ النظريتينِ الآتيتينِ باستعمالِ البرهانِ ذي العمودينِ :

17) إذا قطعَ مستقيمٌ ضلعينِ في مُثلَّثٍ، وقسَّمَهُما إلى قطعٍ مستقيمةٍ مُتناظِرةٍ أطوالُها مُتناسِبةٌ، فإنَّ المستقيمَ يوازي الضلعَ

الثالثَ للمُثلَّثِ.

الحل :

أرسم المثلث ABC ، وأستخدمه للبرهان كما في الشكل المجاور  المعطيات : $\frac{AQ}{QB}=\frac{CR}{RB}$ المطلوب : إثبات أنّ $\overline{QR} ll \overline{AC}$ أسمي الزوايا كما هو مبين في الشكل ، وأستخدم مُسلمة التشابه   بضلعينِ وزاويةٍ محصورةٍ (SAS).

 

 

 

 

 

 

 

 

البرهان : 

مُعطى في السؤال	$\frac{AQ}{QB}=\frac{CR}{RB}$
أُعوض في التناسب :  $AQ = AB - QB , CR = CB - RB$	$\frac{AB - QB}{QB}=\frac{CB - RB}{RB}$
أُوزع المقام على البسط	$\frac{AB}{QB}- \frac{QB}{QB}=\frac{CB}{RB}- \frac{RB}{RB}$
$\frac{QB}{QB}= 1 , \frac{RB}{RB}= 1$	$\frac{AB}{QB}-1=\frac{CB}{RB}- 1$
بإضافة 1 إلى طرفي المعادلة	$\frac{AB}{QB}=\frac{CB}{RB}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

في المثلثين $ABC , QBR$

بما أنّ $\frac{AB}{QB}=\frac{CB}{RB}$   ، والزاوية ABC مشتركة في المثلثين ومحصورة بين أضلاع متناسبة ، فإنّ $△ABC ~ △QBR$ بحسب مُسلمة التشابه (SAS)، وعليه فإنّ الزوايا المتناظرة في المثلثين متطابقة في القياس ، أي :

 $\angle 1 \cong \angle 4$ وهما في وضع تناظر ، وكذلك$\angle 2 \cong \angle 3$ ، إذن : $\overline{QR} ll \overline{AC}$

---

   

 18) القطعةُ المُنصِّفةُ في المُثلَّثِ توازي أحدَ أضلاعِهِ ، وطولُها يساوي نصفَ طولِ ذلكَ الضلعِ.

الحل :

أرسم المثلث ABC ، وأستخدمه للبرهان كما في الشكل المجاور  المعطيات :  E , D تقعان منتصف الضلعين  AB ، AC على الترتيب . المطلوب : إثبات أنّ $\overline{DE} ll \overline{AC}$  ، $DE = \frac{1}{2} AC$    أسمي الزوايا كما هو مبين في الشكل ، وأستخدم مُسلمة التشابه   بضلعينِ وزاويةٍ محصورةٍ (SAS).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

البرهان : 

مُعطى في السؤال	$AD = DB , CE = EB$
طول الضلع يساوي مجموع أطوال أجزاءه	$AB=AD + DB , CB = CE + EB$
بالتعويض بدلًا من $AD$ بـ $DB$  ، وبدلًا من $CE$ بـ $EB$	$AB=DB + DB , CB = EB + EB$
بالتبسيط	$AB=2DB , CB= 2EB$
بقسمة المعادلة الأولى على $DB$ ، وقسمة المعادلة الثانية على $EB$	$\frac{AB}{DB}= 2 , \frac{CB}{EB}= 2$ $\Rightarrow \frac{AB}{DB}=\frac{CB}{EB}$

 

 

 

 

 

 

 

في المثلثين $ABC , DBE$

بما أنّ $\frac{AB}{DB}=\frac{CB}{EB}$  ، والزاوية $ABC$ مشتركة في المثلثين ومحصورة بين أضلاع متناسبة ، فإنّ  $△ABC ~ △DBE$ بحسب مُسلّمة التشابه (SAS)، وعليه فإنّ الزوايا المتناظرة في المثلثين متطابقة في القياس ، أي : 

$\angle 1 \cong \angle 4$ وهما في وضع تناظر ، وكذلك $\angle 2 \cong \angle 3$ ، إذن : $\overline{DE} ll \overline{AC}$  وهو المطلوب الأول .

•• بما أنّ $△ABC ~ △DBE$ ، إذن الأضلاع المتناظرة في المثلثين متناسبة ، أي : 

$\frac{AB}{DB}=\frac{CB}{EB}=\frac{AC}{DE}= 2$

إذن  :    $\frac{AC}{DE}= 2 \Rightarrow AC = 2 DE \Rightarrow DE = \frac{1}{2}AC$  وهو المطلوب الثاني . 

---

 

19) طائرةٌ ورقيةٌ : صنعَتْ هديلُ طائرةً ورقيةً، طولُ قُطْريْها $80 cm$ و $60 cm$ ، ثمَّ استعملَتْ شريطًا لربطِ نقاطِ منتصفِ أضلاعِ الطائرةِ. أجدُ طولَ الشريطِ.

 

 

 

 

 

 

الحل :

HJ قطعة منصفة في المثلث ABC ، إذن :$HJ = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\left(60\right) = 30cm$ LK قطعة منصفة في المثلث ADC ، إذن : $LK = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\left(60\right) = 30cm$ JK قطعة منصفة في المثلث BCD ، إذن :  $JK = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}\left(80\right) = 40cm$ HL قطعة منصفة في المثلث BCD ، إذن : $HL = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}\left(80\right) = 40cm$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

طول الشريط = مجموع القطع المنصفة الأربعة :  

$30 cm+ 30 cm+ 40 cm + 40 cm = 140 cm$

---

 

 20) أحُلُّ المسألةَ الواردةَ بدايةَ الدرسِ.

مسألةُ اليومِ :  يُمثِّلُ الشكلُ المُجاوِرُ بحيرةً شُيِّدَ فوقَها الجسرُ  $\overline{CD}$ أجدُ طولَ الجسرِ.

 

 

 

 

 

الحل :

طول الجسر يُمثل قطعة مُنصفة في المثلث ، أذن ، وبحسب نظرية القطعة المنصفة في المثلث : 

$$\begin{gathered} CD = \frac{1}{2}\left(2640\right) \\ CD = 1320 m \end{gathered}$$

---

مهاراتُ التفكيرِ العُليا

21)  أكتشفُ الخطأَ: قالَ خالدٌ: ”بما أنَّ  $DE = \frac{1}{2} BC$ في الشكلِ المُجاوِرِ، فإنَّ $\overline{AD}\hspace{0.17em}\cong \overline{BD}$ بحسبِ نظريةِ القطعةِ المُنصِّفةِ في المُثلَّثِ“. هلْ ما قالَهُ خالدٌ صحيحٌ؟ أُبرِّرُ إجابتي.

الحل :

ما قاله خالد غير صحيح ؛ لأنّه وبحسب نظرية القطعةُ المُنصِّفةُ في المُثلَّثِ فهي توازي الضلعَ المُقابِلَ لها، وطولُها يساوي نصفَ طولِ ذلكَ الضلعِ.

والقطعة  DE لا تُوازي الضلع المقابل لها  BC ، لذا هي ليست قطعة مُنصفة في المثلث ؛ لذلك $\overline{AD}\hspace{0.17em}\not\equiv \overline{BD}$

---

22) تبريرٌ : أجدُ قيمةَ x في الشكلِ المُجاوِرِ، مُبرِّرًا إجابتي.

الحل :

بما أنّ $AE = AF , EB = FC$ 

إذن $AB = AC$ ، أي المثلث ABC متطابق الضلعين ، وزوايا القاعدة فيه متطابقة $\Leftarrow$ : $m\angle ACB = 60°$

ومن مجموع زوايا المثلث نستنتج أنّ : $m\angle BAC = 60°$ ، إذن المثلث متطابق الأضلاع .

أجد طول BC :

$$\begin{gathered} BC = 2 EF \\ BC = 2\left(5\right) \\ BC = 10 \end{gathered}$$

إذن : $x = 10$ 

---

23) تحدٍّ : إذا كانَتْ مساحةُ $△ABC$ هيَ $48 c{m}^2$ ، وكانَتِ النقطةُ D والنقطةُ E هما نقطتيْ منتصفِ $\overline{AB}$ و $\overline{AC}$ على الترتيبِ ، فأجدُ

مساحةَ $△ADE$ ، مُبرِّرًا إجابتي.

الحل :

 $12 c{m}^2$

 

---

24)  تبريرٌ : في الشكلِ المُجاوِرِ، إذا كانَتِ MN هيَ قطعةَ منتصفٍ في ΔABC ، فأجدُ ميلَ MN بطريقتينِ مختلفتينِ ، مُبرِّرًا إجابتي.

الحل :

الطريقة الأولى : 

أجد ميل الضلع AB ،  وبما أنّ MN قطعة منتصف فهي توازي الضلع المقابل لها في المثلث ، أي لهما نفس الميل 

ميل الضلع AB : 

$m =\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}= \frac{-6 - 2}{9 - 4} =-\frac{8}{5}$

إذن ميل MN يساوي $-\frac{8}{5}$

الطريقة الثانية : 

أجد إحداثيي النقطتين M , N من قانون نقطة منتصف القطعة المستقيمة :

$$\begin{gathered} M (x , y) = (\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2}) = (\frac{4 + 20}{2},\frac{2 +10}{2}) = (12 , 6) \\ N (x , y) = (\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2}) = (\frac{9 + 20}{2},\frac{-6 +10}{2}) = (14.5 , 2) \end{gathered}$$

أجد ميل MN : 

$m =\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}= \frac{2 - 6}{14.5 - 12} =-\frac{4}{2.5} = -\frac{8}{5}$

---

 

أسئلة كتاب التمارين

أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ المُجاوِرِ لإيجادِ كلٍّ ممّا يأتي :

$\mathbf{1}\mathbf{)} ZV \mathbf{2}\mathbf{)} PM \mathbf{3}\mathbf{)} m \angle RZV$

 

 

 

 

 

 

الحل :

1) طول ZV 

$ZV = \frac{1}{2}JM = 45$

---

2) طول PM

$PM = 2ZR = 2\left(53\right) = 106$

---

2) قياس $\angle RZV$

قياس $\angle RZV$ يساوي $36°$ بالتبادل مع الزاوية $PVZ$

---

 

أجدُ قيمةَ n في كلٍّ ممّا يأتي :

الحل : $$\begin{gathered} n-9 = \frac{1}{2}\left(35\right) \\ n-9 = 17.5 \\ n = 26.5 \end{gathered}$$
الحل : $$\begin{gathered} 4n + 9 = \frac{1}{2}\left(14n\right) \\ 4n + 9 = 7n \\ -3n = -9 \\ n = 3 \end{gathered}$$
الحل : $$\begin{gathered} n + 12 = \frac{1}{2}\left(6n\right) \\ n + 12 = 3n \\ -2n = -12 \\ n = 6 \end{gathered}$$
الحل : $$\begin{gathered} 39 = \frac{1}{2}(n^2 - 3) \\ 78 = n^2 - 3 \\ n^2 = 81 \\ \Rightarrow n = 9 \end{gathered}$$

 

---

 

8) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ المُجاوِرِ لإيجادِ قيمةِ كلٍّ منْ x ، و y ، و z.

 

الحل :

قيمة y (من نظرية الأجزاء المتناسبة في المثلث )

$\frac{y}{6}= \frac{2}{4} \Rightarrow 4y = 12 \Rightarrow y = 3$

---

قيمة x (من نظرية القطعة المنصفة في المثلث )

$x = \frac{1}{2}\left(13\right) \Rightarrow x = 6.5$

---

قيمة z (من تشابهة المثلثات)

$\frac{z}{13}= \frac{4}{12} \Rightarrow 12z = 52 \Rightarrow z = 4.3$

---

 

 

9) أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ الآتي لإيجادِ قيمةِ كلٍّ منْ x ، و y.

الحل :

$$\begin{gathered} 2x = 3x - 6 \\ -x = - 6 \\ x = 6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2y = 2x + 1 \\ 2y = 2\left(6\right) + 1 \\ 2y = 13 \\ y = 6.5 \end{gathered}$$

---

 

10) إذا كانَتْ إحداثياتُ رؤوسِ المُثلَّثِ $ABC$ هيَ :$A(-5, 6) , B(3, 8) , C(1, 4)$، فأجدُ أطوالَ جميعِ القطعِ المُنصِّفةِ في المُثلَّثِ

$ABC$.

الحل :

أجد أطوال أضلاع المثلث باستخدام قانون المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي ، فيكون طول القطعة المُنصفة يساوي نصف طول الضلع المقابل لها :

طول AB حيث $A(-5, 6) , B(3, 8)$

$$\begin{gathered} \overline{AB} =\sqrt{{(x_2 - x_1)}^2+ {(y_2 - y_1)}^2} \\ \overline{AB} =\sqrt{{(-5 - 3)}^2+ {(6 -8)}^2} \\ \overline{AB} =\sqrt{64+ 4} \\ \overline{AB} = \sqrt{78} \end{gathered}$$

طولBC حيث $B(3, 8) , C(1, 4)$

$$\begin{gathered} \overline{BC} =\sqrt{{(x_2 - x_1)}^2+ {(y_2 - y_1)}^2} \\ \overline{BC} =\sqrt{{(3 -1)}^2+ {(8 -4)}^2} \\ \overline{BC} =\sqrt{4+16} \\ \overline{BC} = \sqrt{20} \end{gathered}$$

طولAC حيث $A(-5, 6) , C(1, 4)$

$$\begin{gathered} \overline{AC} =\sqrt{{(x_2 - x_1)}^2+ {(y_2 - y_1)}^2} \\ \overline{AC} =\sqrt{{(-5 -1)}^2+ {(6 -4)}^2} \\ \overline{AC} =\sqrt{36+4} \\ \overline{AC} = \sqrt{40} \end{gathered}$$

إذن طول القِطع المُنصفة في المثلث $ABC$ ، هي  : $\frac{1}{2}\sqrt{70} , \frac{1}{2}\sqrt{20} , \frac{1}{2}\sqrt{40}$

---