الأعداد الحقيقية

تعلمت سابقا أن العدد النسبي عدد يمكن كتابه على صورة $\frac{a}{b}$ حيث a و b عددان صحيحان , $b \ne 0$

وأن الأعداد النسبية جميعها عند كتابتها بالصورة العشرية تكون إما منتهية أو دورية، ومن أمثلتها الجذور التربيعية للمربعات الكاملة.

ولكن الجذور الصماء مثل $\sqrt{3}$ لا يمكن تصنيفها أعدادا نسبية؛ لأنه لا يمكن كتابتها على صورة كسر عشري منتهي أو دوري.

وعند استعمال الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة $\sqrt{3}$ تعطى الآلة الحاسبة القيمة الآتية:

$\sqrt{3} = 1.73205080......$ 

وهذا يعني أنه غير منته وغير دوري، ويسمى هذا النوع من الأعداد غير النسبية

مفهوم أساسي :

العدد الغير نسبي لا يمكن كتابته على صورة $\frac{a}{b}$ حيث a و b عددان صحيحان , $b \ne 0$

أمثلة :

                               $$\begin{gathered} \sqrt{5} = 2.236067... ... \\ \mathrm{\pi } =3.141592... ... \end{gathered}$$

 

---

أتعلم :

 

تشكل الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية معا الأعداد الحقيقية ، ويوضح شکل (فن) المجاور العلاقة بينها

 

 

 

 

 

 

---

مثال 1  : أصنف الأعداد الحقيقية الآتية أعداداً نسبية أو أعداداً غير نسبية : 

 

1- $\frac{7}{21}$

بما أن 7 و 21 أعداد صحيحة , إذن $\frac{7}{21}$ عدد نسبي

2- $\sqrt{81}$

بما أن $\sqrt{81} = 9$ , 9 عدد كلي , إذن $\sqrt{81}$ عدد نسبي

3-  $-\frac{27}{9}$ 

بما أن $-\frac{27}{9} = -3$ و 3- عدد صحيح إذن $-\frac{27}{9}$ عدد نسبي

4- $0.55555... ...$

بما أن $0.55555... ...$ كسر عشري دوري وغير منته ,إذن هو عدد نسبي

5- $\sqrt{19}$

بما أن $\sqrt{19} = 4.35889894$  كسر عشري غير دوري وغير منته ,إذن هو عدد غير نسبي

 

---

مثال 2  : أمثل العدد $\sqrt{53}$ على خط الأعداد

 

الخطوة 1 :أبحث عن عددين مجموع مربعيهما 53

 

 $53 = 49 + 4$

 $53 = 7^2+2^2$ 

إذن طول أحد ساقي المثلث 7 وحدات وطول الآخر 2 وحدة

الخطوة 2 : أرسم مثلث قائم الزاوية

. أرسم خط أعداد على ورقة مربعات.

. أرسم مثلا قائم الزاوية طولا ضلعي القائمة فيه 7 وحداتي و2 وحدة

. يمكن رسم المثل بطريقتين مثلما يظهر في الشكل المجاور.

 

 

الخطوة 3 :أعين $\sqrt{53}$ على خط الأعداد

$\square$

. أفتح الفرجار فتحة مقدارها طول وتر المثلث

. أضع رأس الفرجار على 0، وأرسم قواس يقطع خط الأعداد في النقطة B.

 

 

 

أتحقق من صحة التمثيل :

ألاحظ من التمثيل أن $\sqrt{53} \approx 7.3$ وهو يتوافق مع قيمة $\sqrt{53}$ على الآلة الحاسبة 

                                                                    $\sqrt{53} = 7.2801098$

---

 أتعلم   :

 

يمكنني المقارنة بين عددين حقيقيين بتحويلهما إلى الصيغة العشرية أولا؛ لتسهيل المقارنة بينهما. ويمكنني استعمال الآلة الحاسبة في ذلك.

 

---

مثال 3  : أضع إشارة >, <, = في $\square$ لأكون عبارة صحيحة في كل مما يأتي :

 

1- $4\sqrt{3} \square \frac{13}{2}$

الخطوة 1  : أحول العددين إلى الصيغة العشرية

أستعمل الآلة الحاسبة    $4\sqrt{3} \approx 6.928203... ...$

أستعمل الآلة الحاسبة                        $\frac{13}{2} = 6.5$

الخطوة 2  : أقارن بين العددين

بما أن                                                   $6.928203... ... > 6.5$

إذن                                                     $4\sqrt{3} > \frac{13}{2}$

 

2- $-\frac{1}{2} \square -\sqrt{2}$

الخطوة 1  : أحول العددين إلى الصيغة العشرية

أستعمل الآلة الحاسبة              $-\frac{1}{2} = -0.5$

أستعمل الآلة الحاسبة   $-\sqrt{2} \approx -1.4142...$

الخطوة 2  : أقارن بين العددين

بما أن                             $-0.5 > -1.4142...$

إذن                                           $-\frac{1}{2} > -\sqrt{2}$

 

3- $\frac{5}{2} \square \sqrt{6.25}$

الخطوة 1  : أحول العددين إلى الصيغة العشرية

أستعمل الآلة الحاسبة          $\frac{5}{2} = 2.5$

أستعمل الآلة الحاسبة         $\sqrt{6.25} = 2.5$

الخطوة 2  : أقارن بين العددين

بما أن                                   $2.5 = 2.5$

إذن                                 $\frac{5}{2} = \sqrt{6.25}$

 

---

 أتعلم   :

يمكن ترتيب مجموعة من الأعداد الحقيقية تصاعديا (من الأصغر إلى الأكبر) أو تنازليا (من الأكبر إلى الأصغر)، وذلك بتحويل كل منها إلى الصيغة العشرية أولا؛ لتسهيل المقارنة بينها وترتيبها.

 

---

مثال 4  : أرتب الأعداد في كل مما يأتي تصاعديا :

 

1- $\frac{11}{3} , -\sqrt{3} , \sqrt{10} , -1.\overline{7}$

الخطوة 1 : أحول الأعداد إلى الصيغة العشرية 

$$\begin{gathered} \frac{11}{3} = 3.666666... .... \\ -\sqrt{3} =-1.73205... .... \\ \sqrt{10} = 3.1622.... \\ 1.\overline{7} =1.77777... .... \end{gathered}$$

الخطوة 2 : أقارن بين الأعداد , ثم أرتبها تصاعديا 

الترتيب التصاعدي للأعداد هو :

          $-1.\overline{7} , -\sqrt{3} , \sqrt{10} , \frac{11}{3}$

---

مثال 5  :

كشافة: وقفت المجموعتان A و B من طلبة الكشافة في حديقة الشاطئ الجنوب في العقبة، ثم بدأت المجموعتان السير في اللحظة نفسها، فسارت المجموعة A باتجاه الشرق 500m ثم 100m باتجاه الجنوب. وسارت المجموعة B مسافة 400m باتجاه الجنوب ثم 200m باتجاه الشرق. أي المجموعتين هي الأقرب إلى حديقة الشاطئ الجنوبي؟

 

الخطوة 1 أرسم شكلا تقريبا يمثل المسألة، وأحد المطلوب.

اعتمد الاتجاهات والمسافات الموجودة في المسألة لرسم شكل تقريبي يمثل المعطيات.

ألاحظ أن مساري المجموعتين يصنعان مثلثين قائمي الزاوية .

لإيجابي أي المجموعتين هي الأقرب إلى حديقة الشاطئ الجنوبي، أجد طول وتر كل مثلث، ثم أقارن بين الطوليين.

 

 

 

 

الخطوة 2 : استعمل نظرية فيثاغورس

استعمل نظرية فيثاغورس لأجد بعد المجموعة A عن حديقة الشاطئ الجنوبي 

نظرية فيثاغورس                                            $c^2 = a^2 + b^2$

أعوض  $a = 500 , b = 100$               $c^2 = {500}^2 + {100}^2$

أجد القوى                                       $c^2 = 250000 + 10000$

أجمع                                                                $c^2 = 260000$

تعريف الجذر التربيعي                             $c = \pm \sqrt{260000}$

استعمل الآلة الحاسبة                                  $c \approx \pm 509.9$

 

إذن بعد المجموعة A عن الشاطئ الجنوبي $509.9m$ تقريباً

 

استعمل نظرية فيثاغورس لأجد بعد المجموعة B عن حديقة الشاطئ الجنوبي 

نظرية فيثاغورس                                          $c^2 = a^2 + b^2$

أعوض $a = 400 , b = 200$              $c^2 = {400}^2 + {200}^2$

أجد القوى                                      $c^2 = 160000 + 40000$

أجمع                                                                $c^2 = 200000$

تعريف الجذر التربيعي                                 $c = \pm \sqrt{200000}$

استعمل الآلة الحاسبة                                 $c \approx \pm 447.2$

 

إذن بعد المجموعة B عن الشاطئ الجنوبي $447.2m$ تقريباً

الخطوة 3 :

ألاحظ أن المجموعة B أقرب إلى الحديقة الشاطئ الجنوبي من المجموعة A