رياضيات أدبي فصل أول

الاحتمال بالتباديل والتوافيق

 Probability with Permutations and Combinations

فكرة الدرس :  استعمال مبدأ العَدِّ والتباديل والتوافيق لحساب احتمالات الحوادث في تجربة عشوائية.

تعلّمت سابقًا كيفية إيجاد عدد الطرائق المُمكِنة لإجراء تجربة عشوائية باستخدام مبدأ العدِّ، ويُمكنني الآن الاستفادة من ذلك في حساب احتمال وقوع حادث مُعيَّن ضمن تلك التجربة العشوائية.

مثال 1

كُتِبت أحرف كلمة (year) على 4 بطاقات مُتماثِلة ، ثم رُتِّبت البطاقات عشوائيًّا في صف واحد. ما احتمال أنْ يظهر الحرفان (y) وَ (a) متجاورين؟

الحل :  

الخطوة 1 : أفترض أنَّ الحادث A يعني ظهور الحرفين y وَ a متجاورين.

الخطوة 2 : أحسب عدد عناصر Ω ؛ أي عدد طرائق ترتيب 4 عناصر في صف واحد.

مبدأ العدِّ الأساسي	$n\left(\Omega \right) = 4!$
تعريف مضروب العدد	$= 4\times 3\times 2\times 1$
بالتبسيط	$= \mathbf{24}$

 

الخطوة 3 : أجد عدد عناصر الحادث A 

أُظهِر الحرفين y وَ a متجاورين في إحدى صورتين: ya ، أو ay ، وأُعامِل كلًّ منهما كأنَّها عنصر واحد، ثم أجد عدد طرائق ترتيب 3 عناصر ، كما في الشكل.

إذن : عدد طرائق ترتيب 3 عناصر  = !3  ، ويوجد ترتيبين ، إذن أضرب !3 في العدد 2  ، لذا :

مبدأ العدِّ الأساسي	$n\left(A\right) = 2 \times 3!$
تعريف مضروب العدد	$= 2 \times 3 \times 2 \times 1$
بالتبسيط	$= \mathbf{12}$

 

 

 

 

الخطوة 4 : أجد الاحتمال.

بالتعويض في صيغة الاحتمال	$P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} = \frac{12}{24}$
الناتج	$P\left(A\right) =\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

 

 

 

 

إذن احتمال ظهور  الحرفين y  وَ a  متجاورين هو $\frac{1}{2}$

---

 

•• عندما يكون الترتيب مهمًّا في تجربة اختيار مجموعة من العناصر في تجربة عشوائية، فإنَّه يُمكن استخدام التباديل لحساب احتمالات اختيار تلك العناصر.

مثال 2

يتكوّن مجلس الإدارة في إحدى الشركات من 5 أعضاء، بينهم حسام وغيث .ما احتمال اختيار حسام رئيسًا لمجلس الإدارة، وغيث نائبًا للرئيس إذا كانت

عملية الاختيار عشوائية؟

الحل :

الخطوة 1 : أفترض أنَّ A يعني اختيار حسام رئيسًا، وغيث نائبًا للرئيس.

الخطوة 2 : أجد عدد عناصر Ω
الترتيب مهم في هذه الحالة ؛ لذا فإنَّ :

عدد طرائق اختيار عنصرين (ترتيبهما مهم) من بين 5 عناصر	$n\left(\Omega \right) = {}_{5 }P_2$
بالتعويض في قانون التباديل	$=\frac{5!}{(5-2)!}$
بالتبسيط	$=\frac{5\times 4\times \cancel{3!}}{\cancel{3!}} = \mathbf{20}$

 

 

 

 

 

الخطوة 3 : أجد عدد عناصر الحادث A

توجد حالة واحدة يكون فيها حسام رئيسًا، وغيث نائبًا للرئيس ؛ لذا فإنَّ : $\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{\left(}\mathit{A}\mathbf{\right)}\mathit{n}$

 

الخطوة 4 : أجد الاحتمال.

بالتعويض في صيغة الاحتمال

$P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{20}}$

 

 

إذن احتمال اختيار حسام رئيسًا للمجلس وغيث نائبًا له هو $\frac{1}{20}$

 

---

 

•• عندما لا يكون الترتيب مهمًّا في تجربة اختيار مجموعة من العناصر في تجربة عشوائية، فإنَّه يُمكن استخدام التوافيق لحساب احتمالات اختيار تلك العناصر.

مثال 3

أراد مُدرب كرة السلة اختيار 5 لاعبين من بين 12 لاعب لمنافسة فريق آخر ، ما احتمال اختيار : سعيد ، علي ، أحمد ، رامي ، جميل ، إذا كانت عملية الاختيار عشوائيًا ؟  

الحل :

الخطوة 1 : أفترض أنَّ A يعني اختيار (سعيد ، علي ، أحمد ، رامي ، جميل)للمنافسة .

الخطوة 2 : أجد عدد عناصر Ω

عدد طرائق اختيار 5 عناصر من بين 12 عنصر	$n\left(\Omega \right) = {}_{12}C_5$
بالتعويض في قانون التوافيق	$=\frac{12!}{5! (12-5)!}$
بالتبسيط	$= \frac{\cancel{12}\times 11\times \cancel{10}\times 9\times 8\times \cancel{7!}}{\cancel{5!} \times \cancel{ 7!}} =\mathbf{792}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

الخطوة 3 : أجد عدد عناصر الحادث  A

توجد حالة واحدة لاختيار (سعيد ، علي ، أحمد ، رامي ، جميل) للمنافسة وهو اختيار اللاعبين الخمسة المذكورة أسمائهم وترتيب اختيارهم ليس مهمًا ؛

لذا فإنَّ : $\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{\left(}\mathit{A}\mathbf{\right)}\mathit{n}$

الخطوة 4 : أجد الاحتمال.

بالتعويض في صيغة الاحتمال

$P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} =\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{792}}$

 

 

 

---

 

•• تتطلَّب بعض المواقف اختيار $r_1$  من بين $n_1$ من العناصر عشوائيًّا في مرحلة أولى ، و $r_2$  من بين  $n_2$ من العناصر عشوائيًّا في مرحلة ثانية، وتُمثِّل  $n_1+ n_2$ عدد العناصر الكلية، ويُمكِن اختيار $r_1$  أو  $r_2$ مع مراعاة الترتيب (تباديل)، أو من دون مراعاة الترتيب (توافيق).

مثال 4

أرادت إحدى الشركات تكوين لجنة خُماسية من بين 5 مهندسين و 7 فنيين يعملون لديها ، فأجد الاحتمال في كل من الحالات الآتية :  

a) اختيار 3 من المهندسين و 2 من الفنيين لتكوين اللجنة.

 الحل :

الخطوة 1 : أفترض أنَّ الحادث A يعني اختيار 3 من المهندسين و 2 من الفنيين    

الخطوة 2 : أجد عدد عناصر Ω  

الترتيب غير مهم لاختيار لجنة فيها 5 أعضاء من بين 12 عضو ؛ لذا أستخدم التوافيق : 

عدد طرائق اختيار 5 عناصر من بين 12 عنصر	$n\left(\Omega \right) = {}_{12}C_5$
بالتعويض في قانون التوافيق ، والتبسيط	$=\frac{12!}{5! (12-5)!} =\frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8\times \cancel{7!}}{5!\times \cancel{7!}} =\mathbf{792}$

 

 

 

 

 

 

الخطوة 3 : أجد عدد عناصر الحادث  A 

أجد عدد طرائق اختيار 3 مهندسين من بين 5 مضروبًا في عدد طرائق اختيار  2 فنيين من بين 7  والترتيب غير مهم في كلتا الحالتين. وبحسب مبدأ العَدِّ،

فإنَّ :

$n\left(A\right) ={}_{5}C_3\times {}_{7}C_2 =\frac{5!}{3!(5-3)!}\times \frac{7!}{2!(7-2)!} =10\times 21 =\mathbf{210}$

الخطوة 4 : أجد الاحتمال.

التعويض في صيغة الاحتمال :  $P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)} =\mathbf{ }\frac{210}{792}=\frac{\mathbf{35}}{\mathbf{132}}$

---

 

b) أنْ يكون رئيس اللجنة ونائبه من المهندسين ، والأعضاء الثلاثة الآخرون من الفنيين. 

 الحل :

الخطوة 1 : أفترض أنَّ الحادث B يعني أنْ يكون رئيس اللجنة ونائبه من المهندسين ، والأعضاء الثلاثة الآخرون من الفنيين.    

الخطوة 2 : أجد عدد عناصر Ω 

الترتيب غير مهم لاختيار لجنة فيها 5 أعضاء من بين 12 عضو ؛ لذا أستخدم التوافيق : 

عدد طرائق اختيار 5 عناصر من بين 12 عنصر	$n\left(\Omega \right) = {}_{12}C_5$
بالتعويض في قانون التوافيق ، والتبسيط	$=\frac{12!}{5! (12-5)!} =\frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8\times \cancel{7!}}{5!\times \cancel{7!}} =\mathbf{792}$

 

 

 

 

 

 

الخطوة 3 : أجد عدد عناصر الحادث B

أجد عدد طرائق اختيار مهندسَين من بين 5 مهندسِين (الترتيب مهم في هذه الحالة ؛ لأنَّ أحد المُهندسَين رئيس والآخر نائبه مضروبًا في عدد طرائق اختيار 3 فنيين من بين 7 (الترتيب غير مهم هنا) :

إذن :  

 $n\left(B\right) ={}_{5}P_2\times {}_{7}C_3 =\frac{5!}{ (5-2)!}\times \frac{7!}{3!(7-3)!} = 20\times 35 =\mathbf{700}$

الخطوة 4 : أجد الاحتمال.

التعويض في صيغة الاحتمال :  $P\left(A\right) = \frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)} =\mathbf{ }\frac{700}{792}=\frac{\mathbf{175}}{\mathbf{198}}$