الرياضيات

التوجيهي أدبي

icon

الدرس الرابع: الاشتقاق الضمني والمُعدًلات المرتبطة

سنتعرف في درس الاشتقاق الضمني والمُعدًلات المرتبطة إلى:

  1. العلاقة الضمنية.
  2. اشتقاق العلاقة الضمنية.
  3. معادلة المماس لمنحنى علاقة ضمنية.
  4. المعدلات المرتبطة.

 

أولًا: الاشتقاق الضمني

تنقسم العلاقات إلى قسمين

  • علاقات صريحة
  • علاقات ضمنية

---العلاقة الصريحة: هي العلاقة التي تكون على الصورة y=fx ؛ أي أن y بدلالة x ، ومن الأمثلة عليها:

y=x2-5x+2                                                          y=2x+1                                           y=3x-2x2-4x+7                           fx=3x4-2x3+x-5                                        fx=2x-53                                  fx=x5x2+2x2

وتعلمت سابقًا طرق اشتقاقها.

 

--- العلاقة الضمنية: هي علاقة لا يكون فيها y بدلالة x ؛ أي ليست على الصورة y=fx ، ومن الأمثلة عليها:

               y+x=1                          y2+x2=4                     y2=x3+5x-3   

                                          x2+x3y2=2x+y                              1x+1y=xy

وسوف نتعلم في هذا الدرس كيفية اشتقاق العلاقة الضمنية

طريقة اشتقاق العلاقة الضمنية

  1. أشتق  طرفي المعادلة بالنسبة إلى x ، مراعيًا استعمال قاعدة السلسلة عند اشتقاق حدود تتضمن المتغير y .
  2. أنقل جميع الحدود التي تحوي    dydx  إلى طرف المعادلة الأيسر ، ثم أنقل الحدود الأُخرى إلى طرف المعادلة الأيمن.  
  3. أُخرج dydx عاملاً مشتركًا من حدود طرف المعادلة الأيسر.
  4.  أحل المعادلة بإيجاد dydx .

 

مثال 1: إذا كان: x2+y2=1 ، أجد dydx

الحل:

المعادلة المعطاة x2+y2=1
نشتق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير x ddxx2+y2=ddx1
باستخدام قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت  ddxx2+ddxy2=0
باستخدام قاعدتا مشتقة اقتران القوة ومشتقة السلسلة 2x+2ydydx=0    
بحل المعادلة 2ydydx=-2x             
بالتبسيط dydx=-2x2y      =-xy         

 

مثال 2: إذا كان: 3x2+x3y2=5 ، أجد dydx

الحل:

المعادلة المعطاة 3x2+x3y2=5
باشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير x ddx3x2+x3y2=ddx5
باستخدام قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت  ddx3x2+ddxx3y2=0
باستخدام قواعد مشتقة القوة ومشتقة الضرب ومشتقة السلسلة   6x+x32ydydx+y23x2=0
بالتبسيط 6x+2x3ydydx+3y2x2=02x3ydydx=-6x-3y2x2dydx=-6x-3y2x22x3y

 

مثال 3: إذا كان: y2-xy=3 ،   أجد dydx عند النقطة 2,3.

الحل: 

المعادلة المعطاة y2-xy=3
باشتقاق المعادلة بالنسبة للمتغير x ddxy2-xy=ddx3
باستخدام قاعدتا مشتقة الطرح ومشتقة الثابت                  ddxy2-ddxxy=0
باستخدام قواعد مشتقة القوة ومشتقة الضرب ومشتقة السلسلة 2ydydx-x1dydx+y1=0
بالتبسيط 2ydydx-xdydx-y=02ydydx-xdydx=ydydx2y-x=ydydx=y2y-x
بتعويض x=2  ,  y=3 dydx=323-2      =34

إذًا، dydx عند النقطة 2,3 هي: 34

 

مثال 4: إذا كان: y3=x4 ، أجد dydx

الحل:

المعادلة المعطاة          y3=x4
باشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير x ddxy3=ddxx4
باستخدام قاعدتا مشتقة القوة ومشتقة السلسلة 3y2dydx=4x3
بالتبسيط      dydx=4x33y2

 

مثال 5: إذا كان: xey=yex ، أجد dydx

الحل:

المعادلة المعطاة xey=yex
باشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير x ddxxey=ddxyex
باستخدام قاعدة  مشتقة الضرب    xddxey+eyddxx=yddxex+exddxy
باستخدام قواعد مشتقة القوة  ومشتقة السلسلة ومشتقةex  xeydydx+ey1=yex+ex1dydxxeydydx-exdydx=yex-eydydxxey-ex=yex-eydydx=yex-eyxey-ex

 

مثال 6: إذا كان: xy2+2ex=3y ،   أجد dydx

الحل: 

المعادلة المعطاة xy2+2ex=3y
باشتقاق طرفي المعادلة ddxxy2+2ex=ddx3y
باستخدام قاعدة مشتقة المجموع  ddxxy2+ddx2ex=ddx3y
باستخدام قاعدة مشتقة الضرب xddxy2+y2ddxx+ddx2ex=ddx3y
باستخدام قاعدتا مشتقة القوة ومشتقة ex x2ydydx+y21+2ex=3dydx
بالتبسيط 2xydydx+y2+2ex=3dydx2xydydx-3dydx=-y2-2exdydx2xy-3=-y2-2exdydx=-y2-2ex2xy-3

 

مثال 7:   x2+siny=2y ، أجد dydx

الحل

المعادلة المعطاة x2+siny=2y
نشتق 'طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير x ddxx2+siny=ddx2y
باستخدام قاعدة مشتقة المجموع ddxx2+ddxsiny=ddx2y
باستخدام مشتقة القوة ومشتقة sinx 2x+cosydydx=2dydx
بالتبسيط cosydydx-2dydx=-2xdydxcosy-2=-2xdydx=-2xcosy-2

 

مثال 8: إذا كان: x3+siny=9 ، أجد dydx.

الحل: 

المعادلة المعطاة x3+siny=9
اشتق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير x ddxx3+siny=ddx9
استخدم قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت ddxx3+ddxsiny=0
استخدم قاعدتا مشتقة القوة ومشتقة السلسلة 3x2+cosydydx=0
بالتبسيط cosydydx=-3x2dydx=-3x2cosy

 

مثال 9: إذا كان:  y2+1=x+lny ، أجد dydx عند النقطة 2,1

الحل:

المعادلة المعطاة y2+1=x+lny
باشتقاق طرفي المعادلة ddxy2+1=ddxx+lny
باستخدام قاعدة مشتقة المجموع  ddxy2+ddx1=ddxx+ddxlny
باستخدام قواعد مشتقة القوة ، ومشتقة السلسلة ومشتقة الثابت، ومشتقة lny 2ydydx+0=1+1ydydx
بالتبسيط 2ydydx-1ydydx=1dydx2y-1y=1dydx=12x-1y
بتعويض  x=2  ,  y=1 dydx=122-11     =14-1     =13

إذًا،  dydx عند النقطة 2,1 هي: 13

 

أتحقق من فهمي

  1. إذا كان: x3-2y2=5x+y ، أجد dydx.                                     الإجابة:   dydx=5-3x2-4y-1
  2. إذا كان:  3xy2+2ex=7 ، أجد dydx.                                        الإجابة:    dydx=-3y2-2ex6xy
  3. إذا كان:  y2-y=3x ، أجد dydx عند النقطة 2,3.                الإجابة:  dydx=35

 

ثانيًا: معادلة المماس لمنحنى علاقة ضمنية

يمكن إيجاد معادلة المماس لمنحنى علاقة ضمنية عند النقطة (a, b) بإيجاد ميله m= dydx|(a, b)، ثم التعويض في الصورة العامة لمعادلة المماس:       y- b = m (x-a)


مثال 1: أجد ميل المماس لمنحنى العلاقة: y2-y=3x عند النقطة 2,3.

الحل:

                     ميل المماس لمنحنى العلاقة يساوي  المشتقة عند النقطة2,3

المعادلة المعطاة y2-y=3x
نشتق طرفي المعادلة ddxy2-y=ddx3x
استخدم قواعد مشتقة الطرح ومشتقة القوة وشتقة السلسلة ddxy2-ddxy=32ydydx-dydx=3
 بالتبسيط  dydx2y-1=3dydx=32y-1
بتعويض    y=3 dydx=323-1      =35

      إذًا، ميل المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة 2,3 هو: 35               

 

مثال 2: أجد ميل المماس لمنحنى العلاقة: 4x-xy=x2+8 عند النقطة 2,-2

الحل:

                    ميل المماس لمنحنى العلاقة يساوي المشتقة عند النقطة 2,-2

المعادلة المعطاة 4x-xy=x2+8
نشتق طرفي المعادلة للمتغير x ddx4x-xy=ddxx2+8
باستخدام قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الطرح  ddx4x-ddxxy=ddxx2+ddx8
باستخدام قواعد مشتقة القوة ومشتقة الضرب ومشتقة الثابت 4-xddxy+yddxx=2x+0      4-xdydx+y1=2x              4-xdydx-y=2x                     -xdydx=2x+y-4                           dydx=2x+y-4-x
نعوض x=2  ,  y=-2 dydx=22+-2-4-2      =4-2-4-2      =1

إذًا، ميل المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة 2,-2 هو: 1

 

مثال 3: أجد معادلة المماس لمنحنى العلاقة: x2+3y2=13 عند النقطة -1,2.

الحل: 

الخطوة 1: أجد ميل منحنى العلاقة عند النقطة-1,2.

المعادلة المعطاة x2+3y2=13
بإشتقاق طرفي المعادلة ddxx2+3y2=ddx13
باستخدام قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت ddxx2+ddx3y2=0
باستخدام قاعدتا مشتقة القوة ومشتقة السلسلة 2x+6ydydx=0
بالتبسيط 6ydydx=-2xdydx=-2x6y
بتعويض  x=-1  ,  y=2 dydx=-2-162      =212     =16

  إذًا، ميل المماس لمنحنى العلاقة هو: 16

الخطوة 2: أجد معادلة المماس عند النقطة -1,2.

معادلة المماس عند النقطة (a, b) y-b=mx-a
بتعويض m=16 ,  a=-1  ,  b=2 y-2=16x--1
بالتبسيط من خلال الضرب وإضافة 2 لطرفي المعادلة والجمع y-2=16x+16y=16x+16+2y=16x+136

إذًا، معادلة المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة -1,2 هي: y=16x+136

 

مثال4: أجد معادلة المماس لمنحنى العلاقة: x2y+y2=12 عند النقطة 1,3.

الحل: 

الخطوة 1: أجد ميل المماس عند النقطة 1,3

المعادلة المعطاة x2y+y2=12
نشتق طرفي المعادلة ddxx2y+y2=ddx12
باستخدام قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت ddxx2y+ddxy2=0
باستخدام قاعدتا مشتقة الضرب ومشتقة القوة ومشتقة السلسلة x2ddxy+yddxx2+ddxy2=0                       x2dydx+y2x+2ydydx=0
بالتبسيط x2dydx+2ydydx=-2xy   dydxx2+2y=-2xy                dydx=-2xyx2+2y
بتعويض x=1  ,  y=3 dydx=-21312+23      =-67

إذًا، ميل المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة 1,3 هو: -67

الخطوة 2: أجد معادلة المماس عند النقطة 1,3

معادلة المماس y-b=mx-a
بتعويض a=1 , b=3 , m=-67 y-3=-67x-1
بالتبسيط y-3=-67x+67y=-67x+277

إذًا، معادلة المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة 1,3 هي: y=-67x+277

 

أتحقق من فهمي

1) أجد ميل المماس لمنحنى العلاقة:y2+2x2=3y  عند النقطة -1,2.              الإجابة: ميل المماس هو: 4

2) أجد معادلة المماس لمنحنى العلاقة: 2x2-y2x=3y عند النقطة 3,2.         الإجابة: معادلة المماس هي: y=815x+25

 

ثالثًا: المُعدَلات المرتبطة بالزمن

هناك كثير من المسائل الحياتية يتطلب حلها إيجاد معدل التغير بالنسبة للزمن وتسمى معُدَلات مرتبطة بالزمن ومن الأمثلة عليها معدل تغير المساحة بالنسبة للزمن ، ومعدل تغير الحجم بالنسبة للزمن ومعدل تغير المسافة بالنسبة للزمن. 

يكون معدل التغير موجباً إذا كان معدل التغير متزايدًا ، ويكون معدل التغير سالباً إذا كان معدل التغير متناقصًا.

ولحل المُعدَلات المرتبطة بالزمن نستخدم الاشتقاق الضمني بالنسبة للزمن وقاعدة السلسلة.

 

مثال 1: قرص دائري معدني يتمدد بالحرارة محافظًا على شكله بمعدل 3 cm2/s ، أجد معدل تغير طول نصف قطر القرص عندما يكون طوله 6 cm. علمًا بأن العلاقة التي تربط مساحة الدائرة A وطول نصف قطرها r هي: A=πr2

الحل: 

الخطوة 1: أُحدد المعطيات والمطلوب

المعطيات:

المعادلة:     A=πr2

معدل التغير المعطى:  dAdt=3 

المطلوب: drdt عندما r=6

الخطوة 2: أشتق طرفي المعادلة بالنسبة  للزمن t، ثم أُعوض

المعادلة A=πr2
أشتق طرفي المعادلة بالنسبة  ل t ddtA=ddtπr2
أستخدم قاعدة السلسلة ومشتقة القوة dAdt=2πrdrdt
أُعوض dAdt=3  , r=6 3=2π6drdt
بالتبسيط drdt=312π=14π

إذًا، يزداد طول نصف قطر  القرص بالنسبة للزمن بمقدار 14π cm/s عندما يكون طوله r=6 cm

 

مثال 2: صفيحة معدنية مستطيلة الشكل تتمدد بانتظام بحيث يزداد طولها بمعدل 3  cm/s ، ويزداد عرضها بمعدل 2cm/s، وفي لحظة معينة كان طولها40 cm،وعرضها يساوي 30 cm. أجد معدل التغير  في مساحة الصفيحة المعدنية في تلك اللحظة. علمًا بأن العلاقة التي تربط بين مساحة المستطيل A وطوله x وعرضه y هي: A=xy .

الحل: 

الخطوة 1: أُحدد المعطيات والمطلوب

المعطيات:

المعادلة:                    A=xy   

معدل التغير المعطى: dxdt=3   ,  dydt=2  

المطلوب: dAdt عندما  x=40   ,   y=30      

الخطوة 2: أشتق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن t ، ثم أُعوض

المعادلة A=xy
أشتق طرفي المعادلة بالنسبة ل t ddtA=ddtxy
أستخدم قاعدتا مشتقة الضرب ومشتقة السلسلة dAdt=xddty+yddtxdAdt=xdydt+ydxdt
أُعوض x=40 , y=30 , dxdt=3 . dydt=2 dAdt=402+303
بالتبسيط dAdt=80+90       =170

إذًا، تزداد مساحة الصفيحة المعدنية  بمقدار170 cm2/s عندما عرضها   30 cm وطولها 40 cm

 

مثال 3: مكعب من الثلج يذوب محافظًا على شكله بمعدل 2 cm3/s، جد معدل التناقص في طول ضلعه عندما يكون طول ضلعه 5 cm.علمًا بأن العلاقة التي تربط بين حجم المكعب Vوطول ضلعه x هي: V=x3.

الحل:

الخطوة 1: أُحدد المعطيات والمطلوب المعادلة 

المعطيات:  

      المعادلة:                           V=x3

                                      dVdt=-2          (المكعب يذوب، إذن أضع إشارة السالب ليدل على التناقص)

المطلوب:

             dxdt=?      عندما   x=5

الخطوة 2: أشتق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن t ، وأُعوض

المعادلة V=x3
أشتق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير t ddtV=ddtx3
أستخدم قاعدتا مشتقة القوة ومشتقة السلسلة dvdt=2x2dxdt
أُعوض      dVdx=-2     ,    x=5  -2=252dxdt
بالتبسيط  -2=252dxdt-2=50dtdxdtdt=-250

إذًا، يتناقص طول ضلع المكعب بمقدار  -250 cm/s عندما طول ضلعه 5 cm

 

مثال 4: بالون كروي يتزايد طول نصف قطره بمعدل 1 cm، أجد معدل تغير حجمه عندما يكون طول نصف قطره 5 cm. علمًا بأن العلاقة التي تربط بين الحجم V وطول نصف قطر البالون الكروي r هي: V=43πr3 .

الحل: 

الخطوة 1: أحدد المعطيات والمطلوب

المعطيات:  

               المعادلة:              V=43πr3

                                             drdt=1

المطلوب:

                        dVdt=? ، عندما r=5

الخطوة 2: أشتق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن t ، وأُعوض

المعادلة V=43πr3
أشتق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير t ddtV=ddt43πr3
استخدام قاعدتا مشتقة السلسلة ومشتقة القوة dVdt=4πr2drdt
أُعوض drdt=1  ,  r=5 dVdt=4π521
بالتبسيط dVdt=100π

إذًا، يزداد حجم البالون الكروي بمعدل 100π cm3/s عندما يكون طول نصف قطرها 5 cm

 

أتحقق من فهمي

كرة من المعدن تتمدد بالحرارة مع المحافظة على شكلها ، فإذا كان حجمها يتزايد  بمعدل 200π cm3/s ، أجد معدل التغير في طول نصف قطرها عندما يكون طول نصف قطرها 5 cm

                                                        الإجابة: يزداد طول نصف قطر الكرة بمقدار  2 cm/s عندما يكون طول نصف قطرها 5 cm