الرياضيات

التوجيهي أدبي

icon

الاشتقاق الضمني والمُعدَلات المرتبطة

 

العلاقة الضمنية

هناك الكثير من العلاقات التي لا نستطيع كتابتها على الصورةy=fx ،  ومن الأمثلة عليها:

y2=x3-2x+y ،                 y2=3x2+1  ،                     x2+xy=4 ،                     xy2+3x3=y-1

وتسمى مثل هذه العلاقات علاقات ضمنية، ولا يمكن اشتقاقها بالطرق السابقة التي مرت معنا، وبالتالي توجد طريقة لاشتقاق مثل هذه العلاقات تسمى طريقة اشتقاق العلاقة الضمنية.

 

طريقة اشتقاق العلاقة الضمنية

بافتراض أن معادلة تُعرَف المتغير y بوصفه اقترانًا قابلاً للاشتقاق بالنسبة إلى x ، فإنه يمكن إيجاد dydx

باتباع الخطوات الآتية:

الخطوة 1: اشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلىx ، مراعيًا استعمال قاعدة السلسلة عند اشتقاق حدود تتضمن المتغير y . 

الخطوة 2:انقل جميع الحدود التي تحويdydx إلى طرف المعادلة الأيسر ، وبقية الحدود إلى طرف المعادلة الأيمن.

 الخطوة 3: أُخرج dydx عاملاً مشتركًا من حدود طرف المعادلة الأيسر.

الخطوة 4: أحل المعادلة بالنسبة إلى dydx.

 

 

هناك تطبيقات على الاشتقاق الضمني وهي المُعدًلات المرتبطة بالزمن، ومن الأمثلة عليها معدل تغير الحجم بالنسبة للزمن ، ومعدل تغير المساحة بالنسبة للزمن، ومعدل تغير المسافة بالنسبة للزمن.

تطبيقات حياتية على الاشتقاق الضمني: وهي مسائل لفظية تكون فيها المتغيرات مرتبطة بالزمن.

من الأمثلة على مسائل المُعدَلات:

بالون كروي يتسرب منه الهواء بمعدل 2 cm3/s، أجد معدل التغير في طول نصف قطر البالون عندما يكون طول نصف البالون 4cm

خطوات حل المسائل المرتبطة بالزمن

الخطوة 1: أرسم مخططًا للسؤال إن أمكن وأُحدد عليه المتغيرات والثوابت .

الخطوة 2: أحدد المعادلة والمعطيات والمطلوب.

الخطوة 3:أشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى الزمن t ، وأُعوض المعطيات للحصول على المطلوب.