رياضيات فصل أول

التاسع

icon

الاقترانُ التربيعيُّ

الاقتران التربيعي : اقتران يمكن كتابته على الصورة f(x) = ax2+ bx + c  ، والتي تُسمى الصورة القياسيّة للاقتران التربيعيّ ، وَمن أمثلتهِ : 

f(x) 5x2 -2x + 1             h(x) = x2 + 4x               g(x) = 8x2

•• يُعَدُّ الاقترانُ  f(x) = x2 أبسطَ صورِ الاقترانِ التربيعيِّ ؛ لِذا يُسَمّى الاقترانَ الرئيسَ لعائلةِ الاقتراناتِ التربيعيَّةِ.

يأخذُ التمثيلُ البيانيُّ للاقترانِ التربيعيِّ شكلَ الحرفِ الإنجليزيِّ U ، وَيُسَمّى

قطعًا مُكافِئًا ، كما في الشكلِ المُجاورِ ، الذي يُظهِرُ التمثيلَ البيانيَّ 

للاقترانِ f(x) = x2

 

 

 

 

 

 

محورُ التَّماثُلِ :  هُوَ المُستقيمُ الرأسيُّ الذي يقسِمُ القطعَ المُكافِئَ إلى جُزأيْنِ مُتطابقَيْنِ، ويقطعُهُ في نقطةٍ واحدةٍ تُسَمّى الرأسَ 

مفهومٌ أساسيٌّ (محورُ تَماثُلِ الاقترانِ التربيعيِّ ورأسُهُ) 

مُعادلةُ محورِ التَّماثُلِ لمُنحنى الاقترانِ التربيعيِّ

f(x) = ax2+ bx + c ؛ حيثُ a ≠ 0 هي : x = - b2a

وإحداثِيّا رأسِهِ هما :  (-b2a ,  f(-b2a))

 

 

 

 

 

 

••• مجال الاقتران التربيعي ومداه 

يكونُ التمثيلُ البيانيُّ للاقترانِ التربيعيِّ f(x) = ax2+ bx + c  ؛ حيثُ a ≠ 0 ، مفتوحًا للأعلى إذا كان a > 0 ، وَتُسَمّى أدنى نقطة فيه نقطة القيمة

الصُّغرى ، ويكون مفتوحًا للأسفل إذا كان a < 0 ، وتُسمى أعلى نقطة فيه نقطة القيمة العُظمى ، وتُمثل نقطة القيمة الصُّغرى أو نقطة القيمة

العُظمى رأس القطع  المُكافئ.

 

مجال الاقتران التربيعيِّ هُو جميع الأعداد الحقيقية ، أمّا مَداهُ فيمكن تحديدُهُ كالآتي :

مفهوم أساسيّ (مَدى الاقتران التربيعيّ) 

إذا كان f(x) = ax2+ bx + c  ؛ حيثُ a ≠ 0 ، فإنَّ مَدى (f(x يكونُ :

• مجموعة الأعداد الحقيقية التي تزيد على القيمة الصُّغرى أو تُساويها إذا كان a > 0  

• مجموعة الأعداد الحقيقية التي تقلّ عن القيمة العُظمى أو تُساويها إذا كان a < 0

 

 

مفهومٌ أساسيٌّ (تمثيلُ الاقترانِ التربيعيِّ بيانيًّا)

 

لتمثيل الاقتران التربيعيّ بيانيًّا، أتَّبِع الخُطوات الآتية:

الخطوةُ 1 : أُحَدِّدُ اتِّجاهَ فتحةِ القطع المُكافئِ، وَأَجِدُ مُعادلة محور التماثل وإحداثِيَّيِ الرأس، وَأُحَدِّدُ إذا كان يُمثل نقطة صُغرى أمْ نقطة عُظمى.

الخطوةُ 2 : أَجِدُ نقطةَ تقاطع الاقتران مع المحور y.

الخطوةُ 3 : أَجِدُ نقطةً أُخرى باختيارِ قيمةٍ لِـ x تقع في الجانب الذي يقعُ فيهِ المقطع y يمين محور التَّماثل أو يساره.

الخطوةُ 4 : أُمَثّل رأس القطع والنقطتين اللتين أوجدتهما من الخطوتين 2 و 3، ثمّ أستعمل التماثل لأعكس النقطتين من الخُطوتين 2 و 3 حول

                   محور التَّماثُلِ؛ لإيجاد نقطتين أُخرَيَيْنِ على التمثيل البيانيّ.

الخطوةُ 5: أصل بين النقاطِ بِمُنحنًى أملَسَ.