رياضيات فصل ثاني

أتحقق من فهمي  صفحة 33

تمثل الأزواج المرتبة للعلاقة $\left\{ ( -3,1) , ( -4 , 3) , ( 4,3) \right\}$ إحداثيات رؤوس المثلث ABC. أجد العلاقة العكسية ، ثم أمثل بيانيا العلاقة والعلاقة العكسية على المستوى الإحداثي نفسه.

الحل:

العلاقة العكسية :

$\left\{ (1, -3) , ( 3, -4) , (3,4)\right\}$

---

أتحقق من فهمي  صفحة 36

أجد الاقتران العكسي لكل من الاقترانين الآتيين : 

a) h(x) = 7x + 5

y = 7x +5

y - 5 = 7x

$$\begin{gathered} \frac{y -5 }{7}= x \\ {h}^{-1}\left(x\right) =\frac{x - 5}{7} \end{gathered}$$

b) g(x) = x² +2x , $x\ge 0$

y = x² +2

y - 2 = x²

$$\begin{gathered} \sqrt{y -2} = x \\ {g}^{-1}\left(x\right) = \sqrt{x -2} , x\ge 2 \end{gathered}$$

---

أتحقق من فهمي  صفحة 37

أثبت أن كلا من الاقترانين f(x) = 4x -8 و $g\left(x\right) = \frac{x}{4 }+2$  هو اقتران عكسي للآخر.

الحل:

$$\begin{gathered} ( f\circ g)\left(x\right) = f\left(g\right(x\left)\right) \\ = f(\frac{x}{4}+2) \\ = 4( \frac{x}{4}+2) - 8 \\ = x +8 -8 \\ = x \\ ( g\circ f)\left(x\right) = g\left(f\right(x\left)\right) \\ = g ( 4x -8) \\ =(\frac{4x -8}{4}+2) \\ = x-2+2 \\ = x \end{gathered}$$

---

أتحقق من فهمي  صفحة 38

أجد مجال $g\left(x\right) = \sqrt{3x +12} - 2$ومداه ، ثم أجد الاقتران العكسي له.

الحل :

$$\begin{gathered} 3x +12\ge 0 \\ 3x \ge -12 \\ x\ge -\frac{12}{3} \\ x\ge -4 \end{gathered}$$

المجال :$\left\{ x : x\ge -4\right\}$

المدى : $\left\{ y : y \ge -2\right\}$

$$\begin{gathered} y =\sqrt{3x +12} -2 \\ y +2 = \sqrt{3x +12} \\ {( y+2)}^2 =3x +12 \\ {y}^2 +4y +4 = 3x +12 \\ {y}^2 +4y -8 = 3x \\ \frac{y^2 +4y -8}{3}= x \\ {f}^{-1}\left(x\right) =\frac{x^{2 } +4x -8}{3} \end{gathered}$$

---

أتحقق من فهمي  صفحة 39

يرتبط محيط الرأس C  للطفل بطوله H ( كلا القياسين بالسنتيمتر) عن طريق الاقتران :

 :H(C) = 2.15 C - 26.75 

a) أكتب اقترانا يعبر عن محيط الرأس C بدلالة طول الطفل H .

الحل :

H = 2.15C -26.75

H +26.75 = 2.15C

$\frac{H +26.75}{2.15}= C$

b) أجد محيط رأس طفل طوله  66cm 

الحل:

$$\begin{gathered} C\left(H\right) =\frac{H +26.75}{2.15} \\ C( 66) =\frac{66+ 26.75}{2.15} \\ C( 66 ) \approx 43.13 \end{gathered}$$

---

أتدرب و أحل المسائل 

أحدد الاقتران الذي له اقتران عكسي في كل مما يأتي ، مبررا إجابتي ، ثم أكتب الاقتران العكسي ( إن وجد) :

1. $f = \left\{( 2,6) , ( -3 ,6) , ( 4,9) , (1,10)\right\}$ 

الحل :

ليس له اقتران عكسي لأنه ليس واحد لواحد حيث 2 و 3- مرتبطين مع 6

2. $h= \left\{(0,0) , ( 1,1) , (2,16) , ( 3,81) \right\}$

الحل :

له اقتران عكسي لأنه واحد لواحد

$h^{-1} = \left\{ ( 0,0) , ( 1,1) , ( 16,2) ,( 81,3)\right\}$

3.

الحل :

له اقتران عكسي لأنه اقتران واحد لواحد

$f^{-1} =\left\{ (7,4) , (9,5) , ( 13,7) ,( 15,8)\right\}$

 

4.

الحل:

ليس له اقتران عكسي لأنه ليس اقتران واحد لواحد حيث 3 و 3- مرتبطين مع 3

---

إذا كان $f\left(x\right) =3( \frac{x}{2}+4)$، فأجد قيمة كل مما يأتي :

5. f( -2)

الحل

$$\begin{gathered} f( -2) = 3( \frac{-2}{2}+4) \\ = 3( -1+4) \\ = 3\left(3\right) \\ =9 \end{gathered}$$

6. f(4)

الحل

$$\begin{gathered} f\left(4\right) = 3 (\frac{4}{2}+4) \\ = 3( 2+4) \\ = 3\left(6\right) \\ = 18 \end{gathered}$$

7. f ^-1(9)

الحل

$$\begin{gathered} y = 3(\frac{x}{2}+4) \\ y =\frac{3}{2}x +12 \\ y -12 =\frac{3}{2}x \\ 2y -24 = 3x \\ x =\frac{2y -24}{3} \\ {f}^{-1}\left(x\right) =\frac{2x -24}{3} \\ {f}^{-1}\left(9\right) =\frac{2\left(9\right) -24}{3} \\ {f}^{-1}\left(9\right) = \frac{18 -24}{3} \\ {f}^{-1}\left(9\right) =\frac{-6}{3} = -2 \end{gathered}$$

8. f ^-1(18)

الحل

$$\begin{gathered} f^{-1}\left(x\right) = \frac{2x -24}{3} \\ {f}^{-1}\left(18\right) =\frac{2\left(18\right) -24}{3} \\ {f}^{-1}\left(18\right) =\frac{36 -24}{3} \\ {f}^{-1} \left(18\right) =\frac{12}{3}= 4 \end{gathered}$$

---

أجد الاقتران العكسي لكل من الاقترانات الآتية :

9. f(x) =x +7

الحل:

y = x +7

y-7 = x

f^-1(x) = x - 7

10. f(x) = 8x

الحل

$$\begin{gathered} y = 8x \\ \frac{y}{x}= x \\ {f}^{-1}\left(x\right) =\frac{x}{8} \end{gathered}$$

11. $f\left(x\right) = \frac{x}{2}+6$ =

الحل

$$\begin{gathered} y =\frac{x}{2}+6 \\ y -6 = \frac{x}{2} \\ 2y -12 = x \\ {f}^{-1}\left(x\right) = 2x - 12 \end{gathered}$$

$12. f\left(x\right)= \frac{3x -6}{5}$ =

الحل

$$\begin{gathered} y =\frac{3x -6}{5} \\ 5y = 3x -6 \\ 5y +6 = 3x \\ x =\frac{5y +6}{3} \\ {f}^{-1} \left(x\right) =\frac{5x +6}{3} \end{gathered}$$

13. f(x) = 4x³

^الحل

^{$$\begin{gathered} y = 4x^3 \\ \frac{y}{4}= x^3 \\ \sqrt[3]{\frac{y}{4} }= x \\ {f}^{-1}\left(x\right) =\sqrt[3]{\frac{x}{4}} \end{gathered}$$}

$14. g\left(x\right) =4+ \sqrt{6 - 3x }, x\le 2$

الحل

$$\begin{gathered} y = 4 +\sqrt{6 -3x} \\ y-4 = \sqrt{6 -3x} \\ {( y-4)}^2 = 6-3x \\ 3x = 6- {(y-4)}^2 \\ x = \frac{6 -{(y -4)}^2}{3} \\ {f}^{-1}\left(x\right) = \frac{6 - {( x -4)}^2}{3} \end{gathered}$$

15. $g\left(x\right) = \frac{8-3x}{5x} , x\ne 0$ 

$$\begin{gathered} y =\frac{8 -3x}{5x} \\ y =\frac{8}{5x}-\frac{3}{5} \\ y +\frac{3}{5}= \frac{8}{5x} \\ \frac{5x}{8} = \frac{1}{y + {\displaystyle \frac{3}{5}}} \\ 5x = \frac{ 8 }{y +{\displaystyle \frac{3}{5}}} \\ x =\frac{8}{5 ( y +{\displaystyle \frac{3}{5}})} \\ x =\frac{8}{5y +3} \\ {f}^{-1}\left(x\right) = \frac{8}{5x +3 } \end{gathered}$$

$16. j\left(x\right) ={(x -2)}^2 +4 , x\ge 2$

$$\begin{gathered} y = {( x-2)}^2 +4 \\ y -4 = {(x -2)}^2 \\ \sqrt{y -4} = x-2 \\ \sqrt{y -4} +2 =x \\ {f}^{-1} \left(x\right) =\sqrt{x -4} + 2 \end{gathered}$$

---

17. أثبت أن كلا من الاقترانين f(x) , g(x)  هو اقتران عكسي للآخر :

$f\left(x\right) = {( x+3)}^2 , x\ge -3 , g\left(x\right) = -3 +\sqrt{x -2 }, x\ge 2$

$$\begin{gathered} ( f\circ g)\left(x\right) = f\left(g\right(x\left)\right) \\ = f( -3+ \sqrt{x -2 }) \\ = {( -3 +\sqrt{x-2 }+3)}^2 +2 \\ = {( \sqrt{x - 2})}^2 +2 \\ = x-2 +2 \\ = x \\ ( g\circ f)\left(x\right) = g\left(f\right(x\left)\right) \\ = g( {(x+3)}^2 +2) \\ = -3 + \sqrt{( {(x+3)}^2 +2 ) -2} \\ = -3 +\sqrt{{( x+3)}^2} \\ = -3 + x +3 \\ = x \end{gathered}$$

---

18.  أثبت أن $f\left(x\right) =\frac{x}{x-1 } , x \ne 1$هو اقتران عكسي لنفسه .

$$\begin{gathered} ( f\circ f)\left(x\right) = f\left(f\right(x\left)\right) \\ = f( \frac{x}{x -1}) \\ = \frac{{\displaystyle \frac{x}{x - 1}}}{{\displaystyle \frac{x}{x-1}}-1} \\ = \frac{{\displaystyle \frac{x}{x-1}}}{{\displaystyle \frac{x}{x -1}}- {\displaystyle \frac{x -1}{x-1}}} \\ = \frac{{\displaystyle \frac{x}{x -1}}}{{\displaystyle \frac{x -x +1}{x -1}}} \\ = \left(\frac{x}{x -1 }\right)( \frac{x -1}{1}) \\ = x \end{gathered}$$

---

19.  صناعة إذا كان C(x)  يمثل التكلفة C  بالدينار لإنتاج x وحدة من مصابيح الإنارة ، فماذا يمثل المقدار  C ^-1 ( 23000) ؟ 

يمثل عدد المصابيح المنتجة إذا كانت الكلفة 23000

---

20. أرسم منحنى الاقتران العكسي للاقتران f المجاور في المستوى الإحداثي نفسه، معينا المجال و المدى لكل من f  و f^-1 .

الحل :

$$\begin{gathered} \mathrm{مجال} f \mathrm{هو} \left[4 , 0\right] \\ \mathrm{مدى} f \mathrm{هو} \left[ 6 , 2 -\right] \\ \mathrm{مجال}{ }^{1-}f \mathrm{هو} \left[6 , 2-\right] \\ \mathrm{مدى}{ }^{1-}f \mathrm{هو} \left[4 , 0\right] \end{gathered}$$

---

21. أجد الاقتران العكسي للاقتران :

  $-3 \le x\le 1$, f(x) = x² -2x +5 , ثم أمثل f(x) و f^-1 (x) بيانيا في المستوى الإحداثي نفسه .

( إرشاد : أكتب f(x)  بصورة  ${( x+b)}^2 +c$  باستعمال إكمال المربع )

$$\begin{gathered} y = x^2 - 2x +5 \\ y +1 = x^2 -2x +1 +5 \\ y +1 = {(x -1)}^2 +5 \\ y +1 -5 = {(x -1)}^2 \\ \left|x -1\right| = \sqrt{y -4} \\ x - 1 =\sqrt{y -4 } x -1 = -\sqrt{y -4} \\ x =\sqrt{y -4} + 1 \mathrm{مرفوض} x = 1 -\sqrt{y -4} \\ f^{-1} \left(x\right) =1 -\sqrt{y -4 } \end{gathered}$$

---

22. كيمياء : في دورق 100ml من أحد المحاليل ، منها 25ml من حامض الهيدروكلوريك . إذا أضيف إلى الدورق  n ml من محلول مشابه ، تركيز الحامض فيه 60% ، فإن تركيز الحامض في الدورق يعطى بالاقتران  $C\left(n\right) =\frac{25 +0.6 n}{100 +n}$. أعبر عن n بصورة اقتران بدلالة التركيز C، ثم أجد عدد المليمترات n التي يجب إضافتها ليصبح تركيز الحامض في الدورق 50% .

$$\begin{gathered} y = \frac{25 +0.6n}{100+ n} \\ 0.6n -ny = 100y -25 \\ n( 0.6 -y) 100y - 25 \\ n =\frac{100 y -25}{0.6 - y} \\ \underset{}{\to } n\left(C\right) = \frac{100C -25}{0.6 - C} \\ n( 0.5) =\frac{100 (0.5) -25}{0.6 - (0.5)} \\ =\frac{25}{0.1} \\ = 250 \end{gathered}$$

---

23. أحل المسألأة الواردة في بداية الدرس.

يستعمل الاقتران  L = 0.5w +3  لإيجاد طول الزنبرك L  بالسنتميترات في الميزان الزنبركي عند قياس كتلة الجسم w بالكيلوغرام. هل يمكن إيجاد اقتران آخر يستعمل لإيجاد كتلة الجسم إذا علم طول الزنبرك ؟

 

 

 

نعم فالاقتران العكسي يبين كتلة الجسم بدلالة طول الزنبرك ، وهو

w = 2( L -3)

حيث

L -3 = 0.5 y 

y = 2( L -3)

---

24. تعطى مساحة السطح الكلية A للأسطوانة التي نصف قطر قاعدتها r ، وارتفاعها 40cm بالاقتران.

$A\left(r\right) = 2{\mathrm{\pi r}}^2 + 80\mathrm{\pi r}$. أعبر عن نصف القطر r بصورة اقتران بدلالة المساحة A ، ثم أجد طول نصف قطر قاعدة أسطوانة مساحة سطحها الكلية  2000cm².

$$\begin{gathered} y = 2\mathrm{\pi } {\mathrm{r}}^{2 } + 80 \mathrm{\pi } \mathrm{r} \\ \mathrm{y} = 2\mathrm{\pi } ( {\mathrm{r}}^2 +40\mathrm{r}) \\ {\mathrm{r}}^2 + 40\mathrm{r} +400 = \frac{\mathrm{y}}{2\mathrm{\pi }} +400 \\ {(\mathrm{r} +20)}^2 = \frac{\mathrm{y}}{2\mathrm{\pi } }+400 \\ \mathrm{r} +20 =\sqrt{\frac{\mathrm{y}}{2\mathrm{\pi }} +400} \\ \mathrm{r} = -20 + \sqrt{\frac{\mathrm{y}}{2\mathrm{\pi }} +400} \\ \mathrm{r} = -20 +\sqrt{\frac{\mathrm{y} }{2\mathrm{\pi }}+ \frac{800\mathrm{\pi }}{2\mathrm{\pi }}} \\ \mathrm{r} = -20+ \sqrt{\frac{\mathrm{y} + 800\mathrm{\pi }}{2\mathrm{\pi }}} \\ \mathrm{r}\left(\mathrm{A}\right) = -20 +\sqrt{\frac{\mathrm{A} +800\mathrm{\pi }}{2\mathrm{\pi }}} \\ \mathrm{r}\left(2000\right) = -20 +\sqrt{\frac{2000 + 800\mathrm{\pi }}{2\mathrm{\pi }}} \\ \mathrm{r}\left(2000\right) \approx 6.8 \end{gathered}$$

---

25. أجد الاقتران العكسي للاقتران $f\left(x\right)= \sqrt[3]{x}$ثم أمثل f(x) , f^-1(x) بيانيا في المستوى الإحداثي نفسه .

$$\begin{gathered} y =\sqrt[3]{x} \\ {y}^3 = x \\ {f}^{-1} \left(x\right) =x^3 \end{gathered}$$

---

مهارات التفكير العليا

26. تبرير : إذا كان f(x)  اقتران عكسي ، وكان له صفر عندما x =4 ، فما الذي يمكن استناجه عن منحنى  f^-1 (x) ؟

منحنى الاقتران f ^-1 (x)  يمر بالنقطة ( 4 , 0 )

---

27. مسألة مفتوحة : أكتب قاعدة اقتران واحد لواحد والاقتران العكسي له، ثم أثبت أن كلا منهما اقتران عكسي للآخر.

$$\begin{gathered} f\left(x\right) = 2x \\ y = 2x \\ x =\frac{y}{2} \\ {f}^{-1}\left(x\right) =\frac{x}{2} \\ ( f\circ f^{-1 })\left(x\right) = f( f^{-1}(x\left)\right) \\ = f \left(\frac{x}{2}\right) \\ = 2 \frac{x}{2} \\ = x \\ ( f^{-1 }\circ f)\left(x\right) = f^{-1 }\left(f\right(x\left)\right) \\ = f^{-1} ( 2x) \\ =\frac{2x}{2} \\ = x \end{gathered}$$

---

28. تحد : إذا كان $f\left(x\right) = x^2 + 3$  و $g\left(x\right) = 5x -1$  و $x >0$ فأحل المعادلة : $( f\circ g)\left(x\right) = g^{-1} ( 34)$

$$\begin{gathered} y = 5x -1 \\ y +1 = 5x \\ x= \frac{y +1}{5} \\ {g}^{-1} \left(x\right) =\frac{x +1}{5} \\ {g}^{-1} \left(34\right) =\frac{34+1}{5} \\ = 7 \\ ( f\circ g)\left(x\right) = f\left(g\right(x\left)\right) \\ = f ( 5x -1) \\ = {( 5x -1)}^2 + 3 = 25x^2 -10x +1 +3 \\ = 25x^2 -10x +4 \\ 25x^2 - 10x +4 =7 \\ 25 x^2 -10x -3 =0 \\ {x}_1 =\frac{--10 + \sqrt{{\left(10\right)}^2 -4 \left(25\right)( -3)}}{2\left(25\right)} \\ {x}_1 =\frac{10 +\sqrt{100+ 300}}{50} \\ = \frac{10+\sqrt{400}}{50} \\ =\frac{10+ 20}{50 } = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} \\ {x}_2 = \frac{10 -20 }{50}= \frac{-10}{50} = \frac{-1}{5} \mathbf{مرفوض}\mathbf{ } \end{gathered}$$

---

كتاب التمارين 

إذا كان $g\left(x\right) = 80 - \frac{100}{1 +x }$ ، فأجد كلا مما يأتي :

1. g(9) =

$$\begin{gathered} g( 9) = 80 - \frac{100}{1+9} \\ = 80 - \frac{100}{10} \\ = 80 - 10 \\ = 70 \end{gathered}$$

2. g(4) =

$$\begin{gathered} g\left(4\right) = 80 -\frac{100}{5} \\ = 80 -20 \\ = 60 \end{gathered}$$

3. g^-1 (70) =

$$\begin{gathered} y = 80 - \frac{100}{1 +x } \\ y -80 = -\frac{100}{1+ x} \\ ( 1+x)(y -80) = -100 \\ 1+x = \frac{-100}{y -80} \\ x = -1 - \frac{100}{y -80} \\ {g}^{-1}\left(x\right) = -1 -\frac{100}{x-80} \\ {g}^{-1} ( 70) = -1 -\frac{100}{-10} \\ = -1 +10 \\ = 9 \end{gathered}$$

4. g^-1 (60) =

$$\begin{gathered} g^{-1} \left(60\right) = -1 -\frac{100}{-20} \\ = -1 - (-5) \\ = -1 +5 \\ = 4 \end{gathered}$$

---

5. إذا كان f(x) اقتران واحد لواحد ، و f(3) = 8  ، فماذا يستنتج من هذه المعطيات ؟

أن f^-1 (8) = 3 

---

6. إذا كان f(x)  يمثل عدد الوحدات المنتجة في x  ساعة عمل لمنتج معين ، فماذا يمثل المقدار  f^-1 ( 2540) ؟

$$\begin{gathered} f\left(x\right) \to \mathrm{الوحدات} \mathrm{عدد} \\ {f}^{-1} ( 2540) \to \mathrm{وحدة} 2540 \mathrm{إنتاج} \mathrm{يتم} \mathrm{خلالها} \mathrm{من} \mathrm{التي} \mathrm{العمل} \mathrm{ساعات} \end{gathered}$$

---

أجد الاقتران العكسي f^-1(x) لكل مما يأتي ، محددا مجـاله و مـداه :

7. f(x) = 3x -5

$$\begin{gathered} y = 3x - 5 \\ x = \frac{y +5}{3} \\ \frac{y +5}{3}= x \Rightarrow f^{-1} \left(x\right) =\frac{x +5}{3} \end{gathered}$$

مجاله : جميع الأعداد الحقيقية 

مداه : جميع الأعداد الحقيقية

8. f(x) = 4 -7x

$$\begin{gathered} y = 4 -7x \\ \frac{y - 4 }{-7}= x \Rightarrow x = -\frac{y -4}{7} \\ {f}^{-1} \left(x\right) = \frac{4 - x}{7} \end{gathered}$$

مجاله : جميع الأعداد الحقيقية 

مداه : جميع الأعداد الحقيقية

$9. f\left(x\right) =x^2 +3 , x\ge 0$

$\sqrt{y -3 } = x \Rightarrow \mathbf{ }{\mathit{f}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{3}}$

مجاله $[ 3 ,\infty )$

 مداه $[ 0 , \infty )$

$10. f\left(x\right) 5 -9x^2 , x\ge 0$

$x = \sqrt{\frac{y -5}{-9} } \mathbf{\Rightarrow }\mathbf{ }{\mathit{f}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{ }}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\frac{\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{)}}{\mathbf{9}}}$

مجاله $( -\infty ,5]$

مداه   $[0 , \infty )$

$11. f\left(x\right) =\frac{x}{2x +6}$

$$\begin{gathered} y = \frac{x }{2x +6} \\ y ( 2x +6) = x \\ 2xy +6y = x \\ x -2xy = 6y \\ x( 1 -2y ) = 6y \\ x =\frac{6y }{1 - 2y } \\ {\mathit{f}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{6}\mathbf{x}}{\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{ }} \end{gathered}$$

مجاله : جميع الأعداد الحقيقية ما عدا $\frac{1}{2 }$

مداه : مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا 3-

$12. f\left(x\right) = \frac{x}{8 -4x}$

$$\begin{gathered} y = \frac{x }{8 -4x} \\ 8 y -4xy = x \\ 8y = x( 4y +1) \\ x = \frac{8y }{4y +1} \\ {\mathit{f}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{ }}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{8}\mathbf{x}\mathbf{ }}{\mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{ }} \end{gathered}$$

مجاله مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا $-\frac{1}{4}$

مداه مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا  2

$13. f\left(x\right) =\sqrt{2x -1} +3$

$$\begin{gathered} y = \sqrt{2x -1 } + 3 \\ y -3 = \sqrt{2x -1} \\ {( y-3)}^2 = 2x -1 \\ x = \frac{{(y -3)}^2 +1}{2} \\ {\mathit{f}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{ }}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{{\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{1}}{\mathbf{2}} \end{gathered}$$

مجاله جميع الأعداد الحقيقية$x\ge 3$

مداه $[ \frac{1}{2} , \infty )$

$14. f\left(x\right) =\sqrt{3x +2} -5$

$$\begin{gathered} y = \sqrt{3x +2 } - 5 \\ \frac{{( y+5)}^{2 } -2}{3} = x \\ {\mathit{f}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{{\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{3}} \end{gathered}$$

مجاله مجموعة الأعداد الحقيقية$x\ge -5$

المدى $[ -\frac{2}{3} ,\infty )$

$15. f\left(x\right) = \sqrt[3]{3x - 2} - 1$

$$\begin{gathered} y = \sqrt[3]{3x -2} - 1 \\ \frac{{( y+1)}^3 +2}{3} = x \\ {\mathit{f}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{ }}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{{\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}}^{\mathbf{3}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{2}}{\mathbf{3}} \end{gathered}$$

مجاله مجموعة الأعداد الحقيقية

المدى مجموعة الأعداد الحقيقية

$16.f\left(x\right) =\sqrt[3]{3 - 4x } +1$

$$\begin{gathered} y = \sqrt[3]{3 -4x +1} \\ \frac{{( y -1)}^3 - 3}{-4} = x \\ {\mathit{f}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{ }}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }{\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{4}} \end{gathered}$$

مجاله مجموعة الأعداد الحقيقية

المدى مجموعة الأعداد الحقيقية

---

 أمثل إذا كان كل من الاقترانين h(x) , f(x)  اقترانا عكسيًا للآخر أم لا :

17 . f(x) = 2x -5 , h(x) = 5x +2

$$\begin{gathered} ( f\circ h)\left(x\right) = f( 5x +2) = 2( 5x+2) -5 = 10x +4 -5\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{10}\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{1} \\ ( h\circ f)\left(x\right) = h( 2x -5) = 5( 2x -5) +2 = 10x -23 \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{للآخر}\mathbf{ }\mathbf{عكسيًا}\mathbf{ }\mathbf{ليس}\mathbf{ } \end{gathered}$$

$18. f\left(x\right) =\frac{2x}{3x +5} , h\left(x\right) = \frac{5x}{2 -3x }$

$$\begin{gathered} (f\circ h )\left(x\right) = f\left(\frac{5x }{2 -3x}\right) = \frac{2 \left({\displaystyle \frac{5x}{2-3x}}\right)}{3 \left({\displaystyle \frac{5x}{2-3x}}\right) +5 } = \frac{10x}{{\displaystyle \frac{( 2-3x)( 15x+5(2-3x)}{(2 -3x)}}} = \frac{10x }{15x +10 -15x }= \frac{10x}{10}= x \\ (h\circ f)\left(x\right) = h\left(\frac{2x}{3x +5 }\right) = \frac{5 \left({\displaystyle \frac{2x}{3x +5}}\right)}{2 - 3 ( {\displaystyle \frac{2x}{3x +5}})}= \frac{{\displaystyle \frac{10x}{3x +5}}}{2- {\displaystyle \frac{6x }{3x +5 }}}= \frac{10x }{{\displaystyle \frac{( 3x +5) ( 6x +10 -6x)}{(3x+5)}}}= \frac{10x }{10}= x \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{للآخر}\mathbf{ }\mathbf{عكسيًا}\mathbf{ }\mathbf{منهما}\mathbf{ }\mathbf{كل}\mathbf{ }\mathbf{إذا}\mathbf{ } \end{gathered}$$

---

19. أمثل الاقتران العكسي للاقتران $f\left(x\right) = \sqrt{6 +3x }$، ثم أمثل f(x) و f^-1 (x)  في المستوى الإحداثي نفسه .

$$\begin{gathered} f\left(x\right) =\sqrt{ 6 +3x} \\ \frac{y^{2 } - 6}{3} = x \\ {f}^{-1}\left(x\right) = \frac{x^{2 } - 6}{3} \end{gathered}$$

 

---

20. هندسة : تعطى مساحة الدائرة بالاقتران $A\left(r\right) = {\mathrm{\pi r}}^2$ حيث A المساحة ، و r نصف القطر. أعبر عن r  في صورة اقتران نسبة إلى المساحة A ، ثم أجد طول نصف قطر دائرة مساحتها  250cm²

^{$$\begin{gathered} A = \mathrm{\pi } {\mathrm{r}}^2 \\ \mathrm{r} = \sqrt{\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{\pi }}} \\ \mathrm{r} = \sqrt{\frac{250}{\mathrm{\pi } } } \mathbf{\simeq }\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{.}\mathbf{92} \end{gathered}$$}

---

21 . فيزياء : يعطى زمن الدورة T ثانية لبندول بسيط بالاقتران $T\left(L\right) = 2\mathrm{\pi } \sqrt{\frac{\mathrm{L}}{9.8}}$، حيث L طول البندول بالأمتار . أعبر عن L في صورة اقتران نسبة 

إلى الزمن T ، ثم أجد طول بندول زمن دورته 3s

$$\begin{gathered} T\left(L\right) = 2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{L}}{9.8}} \\ {( \frac{\mathrm{T}}{2\mathrm{\pi }})}^2 (9.8) = \mathrm{L} \\ {( \frac{3}{2\mathrm{\pi }})}^2 ( 9.8) = \mathrm{L} \\ \mathbf{L}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{23} \end{gathered}$$

---