رياضيات10 فصل أول

اتحقق من فهمي صفحة 46

يمثل الشكل المجاور قطاعا دائريا. أجد طول القوس، ومساحة القطاع الدائري 

$\mathrm{القوس} \mathrm{طول} =l=\frac{\theta }{360}\times 2\mathrm{\pi r}$

$l=\frac{120}{360}\times 2\mathrm{\pi }\times 8=\frac{16}{3}\mathrm{\pi }\approx 16.75$

$\mathrm{القطاع} \mathrm{مساحة}=\mathrm{A}=\frac{\mathrm{\theta }}{360}\times {\mathrm{\pi r}}^2$

$\mathrm{A}=\frac{120}{360}\times \mathrm{\pi }\times 8^2=\frac{1}{3}\times \mathrm{\pi }\times 64\approx 66.99$

---

اتحقق من فهمي صفحة 47

اجد طول القوس ومساحة القطاع في الشكل المجاور 

$\mathrm{القوس} \mathrm{طول} =l=\frac{125}{360}\times 2\mathrm{\pi r}$

$l=\frac{25}{72}\times 2\mathrm{\pi }\times 8=\frac{50}{9}\mathrm{\pi }\approx 17.\overline{4}$

$\mathrm{القطاع} \mathrm{مساحة}=\mathrm{A}=\frac{125}{360}\times {\mathrm{\pi r}}^2$

$\mathrm{A}=\frac{25}{72}\times \mathrm{\pi }\times 8^2=\frac{25}{72}\times \mathrm{\pi }\times 8\times 8=\frac{200}{9}\times \mathrm{\pi }\approx 69.\overline{7}$

---

اتحقق من فهمي صفحة 47

اجد محيط قطاع دائري زاويته $225°$، في دائرة طول نصف قطرها  50cm، مقربا اجابتي الى اقرب منزلة عشرية واحدة

$\mathrm{الدائري} \mathrm{القطاع} \mathrm{محيط}=l=\frac{\theta }{360}\times 2\mathrm{\pi r}+2\mathrm{r}$

$l=\frac{225}{360}\times 2\mathrm{\pi }\times 50+2\times 50=\frac{45}{75}\times 2\times \mathrm{\pi }\times 50+100$

$l\approx \frac{2250}{36}\times 3.14+100$

$l=196.3+100=296.3$

---

اتحقق من فهمي صفحة 48

طول عقرب الدقائق في ساعة حائط هو 15cm. ما مساحة المنطقة التي يغطيها العقرب في اثناء حركته من العدد 9 الى العدد 2؟ 

$15 \mathrm{ويساوي} \mathrm{القطر} \mathrm{نصف} \mathrm{هو} \mathrm{العقرب} \mathrm{طول} \mathrm{يعتبر}$

$150° \mathrm{هي} 2و9 \mathrm{بين} \mathrm{الزاوية}$

$\mathrm{المحيط}=\frac{\theta }{360}\times 2\mathrm{\pi r}=\frac{150}{360}\times \mathrm{\pi }\times 15\times 2=39.25$

$\mathrm{A}=\frac{5}{12}\times \mathrm{\pi }\times {15}^2\approx \frac{5\times 225}{12}\times 3.14=294.375$

---

اتدرب واحل المسائل صفحة 48

يمثل الشكل المجاور قطاعا دائريا: 

1) اعبر بكسر عن الجزء الذي يمثله هذا القطاع من الدائرة 

$\frac{72}{360}=\frac{1}{5}$

2) اجد طول القوس، مقربا اجابتي الى اقرب مزلة عشرية واحدة

$\mathrm{القوس} \mathrm{طول}=l=\frac{72}{360}\times 2\mathrm{\pi r}=\frac{1}{5}\times 2\mathrm{\pi }\times 8.4=\frac{16.8}{5}\mathrm{\pi }\approx 10.8$

3) اجد مساحة القطاع، مقربا اجابتي الى اقرب منزلة عشرية واحدة 

$\mathrm{القطاع} \mathrm{مساحة}=A=\frac{\theta }{360}\times {\mathrm{\pi r}}^2$

$\mathrm{A}=\frac{72}{360}\times \mathrm{\pi }\times {\left(8.4\right)}^2=\frac{1}{5}\times \mathrm{\pi }\times 70.56$

$\mathrm{A}\approx \frac{70.56}{5}\times 3.14\approx 44.3$

اجد طول القوس  وماحة القطاع في كل من الاشكال الاتية (اكتب الاجابة بدلالة $\mathrm{\pi }$) 

$4) \mathrm{l}=\frac{180}{360}\times 2\pi \left(10\right)=10\mathrm{\pi }$

$\mathrm{A}=\frac{180}{360}\times \pi {\left(10\right)}^2=50\mathrm{\pi }$

$5) \mathrm{l}=\frac{90}{360}\times 2\pi \left(10\right)=5\mathrm{\pi }$

$\mathrm{A}=\frac{90}{360}\times \pi {\left(10\right)}^2=25\mathrm{\pi }$

$6) \mathrm{l}=\frac{45}{360}\times 2\mathrm{\pi }\left(10\right)=2.5\mathrm{\pi }$

$\mathrm{A}=\frac{45}{360}\times \mathrm{\pi }{\left(10\right)}^2=12.5\mathrm{\pi }$

$7) \mathrm{l}=\frac{135}{360}\times 2\mathrm{\pi }\left(7\right)=5.25\mathrm{\pi }$

$\mathrm{A} =\frac{135}{360}\times \mathrm{\pi }{\left(7\right)}^2=18.375\mathrm{\pi }$

8) اجد مساحة نصف الدائرة المجاور، ثم اجد محيطها 

$A=\frac{\theta }{360}\times \pi r^2=\frac{180}{360}\times \mathrm{\pi }\times {\left(12.5\right)}^2$

$\mathrm{A}=\frac{1}{2}\times \mathrm{\pi }\times 156.25$

$\mathrm{A}\approx 78.125\times 3.14=245.3$

$\mathrm{الدائري} \mathrm{القطاع} \mathrm{محيط}=\mathrm{L}=\frac{\mathrm{\theta }}{360}\times 2\pi r+2\mathrm{r}$

$\mathrm{L}=\frac{180}{360}\times 2\mathrm{\pi }\times 12.5+2\times 12.5=64.3$

9) اجد مساحة الجزء المظلل في الشكل المجاور (اكتب الاجابة بدلالة $\mathrm{\pi }$). ابرر اجابتي 

$360-70=290 \mathrm{تساوي} (\mathrm{الدائري} \mathrm{القطاع}) \mathrm{المظلل} \mathrm{الجزء} \mathrm{زاوية}$

$\frac{40}{2}=20 \mathrm{يساوي} \mathrm{القطر} \mathrm{نصف}$

$\mathrm{القطاع} \mathrm{مساحة}=A=\frac{\theta }{360}\times {\mathrm{\pi r}}^2$

$\mathrm{A}=\frac{290}{360}\times \mathrm{\pi }\times {\left(20\right)}^2\approx 322.2\mathrm{\pi }$

 

10)احل المسالة الواردة في بداية الدرس 

اعدت عفاف فطيرة بيتزا في وعاء دائري طول قطره 24cm. وبعد ان خبزتها احدثت فيها شقين من المركز الى الطرف، بحيث كان قياس الزاوية بينهما $45°$. كيف يمكن ايجاد مساحة الجزء الذي قطعته عفاف من الفطيرة؟ 

$45 \mathrm{تساوي} (\mathrm{الدائري} \mathrm{القطاع}) \mathrm{عفاف} \mathrm{قطعته} \mathrm{الذي} \mathrm{الجزء} \mathrm{زاوية}$

$\frac{24}{2}=12 \mathrm{يساوي} \mathrm{القطر} \mathrm{نصف}$

$\mathrm{القطاع} \mathrm{مساحة}=A=\frac{\theta }{360}\times {\mathrm{\pi r}}^2$

$\mathrm{A}=\frac{45}{360}\times \mathrm{\pi }\times {\left(12\right)}^2=\frac{144}{8}\times 3.14\approx 56.52$

 

يمثل الشكل المجاور 3 انصاف درائر:

11) اجد محيط الشكل (اكتب الاجابة بدلالة $\mathrm{\pi }$) 

$\mathrm{المجاور} \mathrm{القوس} \mathrm{طول}=l=\frac{\theta }{360}\times 2\pi r=\frac{180}{360}\times 2\pi r=\frac{1}{2}=2\mathrm{\pi }\times 5=5\mathrm{\pi }$                   

                               

$\mathrm{التاليين} \mathrm{القوسين} \mathrm{طول} \mathrm{اذن} \mathrm{متساويين} \mathrm{جزئين} \mathrm{لدين} \mathrm{لأنه}$

$2\times 5\mathrm{\pi }=10\mathrm{\pi }\mathrm{هو}$

$\mathrm{القوس} \mathrm{طول}=\mathrm{l}=\frac{\mathrm{\theta }}{360}\times 2\mathrm{\pi r}=\frac{180}{360}\times 2\mathrm{\pi r}=\frac{1}{2}\times 2\mathrm{\pi }\times 10=10\mathrm{\pi }$

$\mathrm{يساوي} \mathrm{الشكل} \mathrm{محيط} \mathrm{اذن}$

$10\mathrm{\pi }+10\mathrm{\pi }=20\mathrm{\pi }$                       

                                 

12) اجد مساحة الشكل (اكتب الاجابة بدلالة $\mathrm{\pi }$)

الشكل الأول

$\mathrm{المجاور} \mathrm{القطاع} \mathrm{مساحة}=A=\frac{\theta }{360}\times {\mathrm{\pi r}}^2$

$\mathrm{A}=\frac{180}{360}\times \mathrm{\pi }\times {\left(5\right)}^2=\frac{1}{2}\times \mathrm{\pi }\times 25=12.5\mathrm{\pi }$

الشكل الثاني

$\mathrm{المجاورين} \mathrm{القطاعين} \mathrm{مساحة} \mathrm{اذن} \mathrm{متساويين} \mathrm{جزئين} \mathrm{لدينا} \mathrm{لانه}$

$2\times 12.5\mathrm{\pi }=25\mathrm{\pi } \mathrm{هو}$

$\mathrm{المجاور} \mathrm{القطاع} \mathrm{مساحة}=\mathrm{A}=\frac{\mathrm{\theta }}{360}\times {\mathrm{\pi r}}^2=\frac{1}{2}\times \mathrm{\pi }\times 100=50\mathrm{\pi }$

$\mathrm{يساوي} \mathrm{الشكل} \mathrm{مساحة} \mathrm{اذن}$

$25\mathrm{\pi }+50\mathrm{\pi }=75\mathrm{\pi }$

$\mathrm{A}=12.5\mathrm{\pi }$                    

13) تمثل النقطة O مركز دائرة، طول نصف قطرها 12.5 وحدة طول. اجد طول القوس ACB 

$360-160=200 \mathrm{تساوي} (\mathrm{المطلوب} \mathrm{الدائري} \mathrm{القطاع}) \mathrm{زاوية}$

$\mathrm{القوس} \mathrm{طول}=l=\frac{\theta }{360}\times \mathrm{\pi r}=\frac{200}{360}\times 2\mathrm{\pi r}=43.6$

 

14)يمثل الشكل المجاور ربع دائرة. اجد مساحة الجزء المظلل في الشكل(اكتب الاجابة بدلالة $\mathrm{\pi }$) 

$\mathrm{المثلث} \mathrm{مساحة}- \mathrm{الدائرة} \mathrm{ربع} \mathrm{مساحة} \mathrm{يساوي} \mathrm{المظلل} \mathrm{الجزء} \mathrm{مساحة}$

$\mathrm{الدائرة} \mathrm{ربع} \mathrm{مساحة}=A=\frac{\theta }{360}\times {\mathrm{\pi r}}^2$

$\mathrm{A}=\frac{90}{360}\times \mathrm{\pi }\times {\left(12\right)}^2=\frac{1}{4}\times \mathrm{\pi }\times 144=36\mathrm{\pi }$

$\mathrm{المثلث} \mathrm{مساحة}=\mathrm{A}=\frac{1}{2}\times 12\times 12=72$

$\mathrm{يساوي} \mathrm{المظلل} \mathrm{الجزء} \mathrm{مساحة}$

$36\mathrm{\pi }-72$

 

15) يمثل الشكل المجاور المربع ABCD الذي طول ضلعه 8cm، ويمثل APC و AQC قوسين من دائرتين مركزهما D و B على التوالي. اجد مساحة الجزء المظلل (اكتب الاجابة بدلالة $\mathrm{\pi }$)

الحل: 

ساقسم المنطقة المطلوبة الى قسمين متطابقين 

وساقوم بحساب مساحة المنطقة المظللة بالاصفر ثم ساضرب في 2 لانه يوجد تطابق بين المنطقتين

$\mathrm{المثلث} \mathrm{مساحة}-\mathrm{الدائرة} \mathrm{ربع} \mathrm{مساحة} \mathrm{يساوي} \mathrm{بالاصفر} \mathrm{المظلل} \mathrm{الجزء} \mathrm{مساحة}$

$\mathrm{الدائرة} \mathrm{ربع} \mathrm{مساحة}=A=\frac{\theta }{360}\times {\mathrm{\pi r}}^2$

$\mathrm{A}=\frac{90}{360}\times \mathrm{\pi }\times {\left(8\right)}^2=\frac{1}{4}\times \mathrm{\pi }\times 64=16\mathrm{\pi }$

$\mathrm{المثلث} \mathrm{مساحة}=\mathrm{A}=\frac{1}{2}\times 8\times 8=32$

$\mathrm{يساوي} \mathrm{بالاصفر} \mathrm{المظلل} \mathrm{الجزء} \mathrm{مساحة}$

$16\mathrm{\pi }-32$

$\mathrm{يساوي} \mathrm{المطلوب} \mathrm{المظلل} \mathrm{الجزء} \mathrm{مساحة}$

$2\times (16\mathrm{\pi }-32)=32\mathrm{\pi }-64$

 

16) صمم مهندس مرش مياه لري منطقة مساحتها $100m^2$ على هيئة قطاع دائري طول نصف قطره 15m. ما زاوية دوران هذا المرش؟ 

$\mathrm{القطاع} \mathrm{مساحة}=A=\frac{\theta }{360}\times {\mathrm{\pi r}}^2$

$100=\frac{\mathrm{\theta }}{360}\times \mathrm{\pi }\times {\left(15\right)}^2=\frac{\mathrm{\theta }}{360}\times \mathrm{\pi }\times 225$

$\mathrm{\theta }=\frac{36000}{\mathrm{\pi }\times 225}=\frac{36000}{706.5}\approx 51°$

 

17) سيارات: يبين الشكل المجاور ماسحة الزجاج الامامي لسيارة. اذا كات طول شفرة الماسحة 40cm، وطول الماسحة مع ذراعها 66cm، فما مساحة الزجاج التي تنظفها الماسحة، مقربة الى اقرب منزلة عشرية واحدة؟ 

$\mathrm{الزجاج} \mathrm{مساحة}=A=\frac{\theta }{360}\times {\mathrm{\pi r}}^2-\frac{\mathrm{\theta }}{360}\times {\mathrm{\pi r}}^2$

$\mathrm{A}=\frac{130}{360}\times \mathrm{\pi }{\left(66\right)}^2-\frac{130}{360}\times \mathrm{\pi }{\left(66-40\right)}^2$

$\mathrm{A}=\frac{13\times 4356}{36}\times \mathrm{\pi }-\frac{13}{36}\times \mathrm{\pi }\times {\left(26\right)}^2$

$\mathrm{A}\approx \frac{13\times 4356}{36}\times 3.14-\frac{13\times 676}{36}\times 3.14$

$\mathrm{A}=1573\times 3.14-244.1\times 3.14=4939.2-766.5=4172.7$

                               

مهارات التفكير العليا 

18) تحد: اجد محيط الشكل المجاور ومساحته 

$(2-\mathrm{الثاني} \mathrm{القطاع} \mathrm{محيط})+ \mathrm{الاول} \mathrm{الشكل} \mathrm{في} \mathrm{القوس} \mathrm{طول} =\mathrm{الشكل} \mathrm{محيط}$

$\mathrm{الأوال} \mathrm{الشكل} \mathrm{في} \mathrm{القوس} \mathrm{طول}=L=\frac{\theta }{360}\times 2\pi r$

$\mathrm{L}=\frac{360-30}{360}\times 2\mathrm{\pi }\times 1\approx \frac{33}{36}\times 2\times 3.14\approx 5.8$

$2-\mathrm{الثاني} \mathrm{القطاع} \mathrm{محيط}=\mathrm{L}=\frac{\mathrm{\theta }}{360}\times 2\mathrm{\pi r}+2\mathrm{r}-2$

$\mathrm{L}=\frac{30}{360}\times 2\mathrm{\pi }\times 3+2\times 3-2=\frac{3}{36}\times 6\times 3.14+6-2=7.57-2=5.57$

$\mathrm{الشكل} \mathrm{محيط}=5.8+5.57=11.37$

 

19) تحد: اشترت عفاف فطيرة بيتزا دائرية الشكل طول قطرها 36cm، ثم قسمها الى قطع متساوية. بعد ذلك اكل منها قطعتين تمثلان معا$180c{m}^2$ منها. اجد قياس الزاوية لقطعة البينزا الواحدة، مقربا اجابتي الى اقرب عدد كلي 

$1017.4 \mathrm{ويساوي} \mathrm{\pi }{\left(18\right)}^2=\mathrm{البيتزا} \mathrm{فطيرة} \mathrm{مساحة}$

$90 \mathrm{تساوي} \mathrm{مساحتها} \mathrm{قطعة} \mathrm{كل} \mathrm{بالتالي} 180 \mathrm{سعيد} \mathrm{قسمهما} \mathrm{اللتين} \mathrm{اللتين} \mathrm{القطعتين} \mathrm{مساحة}$

$11 \mathrm{وتساوي} \frac{1017.4}{90} \mathrm{تساوي} \mathrm{سعيد} \mathrm{قطعها} \mathrm{التي} \mathrm{القطع} \mathrm{عدد}$

$32° \mathrm{وتساوي} \frac{360}{11} \mathrm{يساوي} \mathrm{الزاوية} \mathrm{قياس} \mathrm{بالتالي}$

 

20) تحد: يمثل الشكل المجاور مثلثا متطابق الاضلاع، طول ضلعه 6cm. اذا كانت النقطتان P وQ تنصفان الضلعين $\overline{AC} و \overline{AB}$ على التوالي، وكان APQ قطاعا دائريا من دائرة مركزها A، فاجد مساحة الجزء المظلل 

$\mathrm{الدائري} \mathrm{القطاع} \mathrm{مساحة}-\mathrm{المثلث} \mathrm{مساحة}=A \mathrm{المظلل} \mathrm{الجزء} \mathrm{مساحة}$

$A=\frac{1}{2}\times 6\times 6\times sin\left(60\right)-\frac{60}{360}\times \mathrm{\pi }\times 3^2$

$\mathrm{A}=3\times 6\times \frac{\sqrt[]{3}}{2}-\frac{1}{6}\times \mathrm{\pi }\times 9\approx 15.6-4.7\approx 10.9$

ملاحظة يمكن ايجاد ارتفاع المثلث من فيثاغورس وبالتالي ايجاد مساحة المثلث من قانون نصف في القاعدة في الارتفاع 

---

كتاب التمارين صفحة 21

1) اجد طول القوس ومساحة القطاع اذا كان قياس زاوية القطاع $120°$، وطول نصف قطر الدائرة 21cm

$l=\frac{120}{360}\times 2\mathrm{\pi }\left(21\right)=14\mathrm{\pi cm}$

$\mathrm{A}=\frac{120}{360}\times \mathrm{\pi }{\left(21\right)}^2=147{\mathrm{\pi cm}}^2$

 

2) اجد طول القوس ومساحة القطاع اذا كان قياس  زاوية القطاع $135°$، وطول قطر الدائرة 14cm 

$l=\frac{135}{360}\times 2\mathrm{\pi }\left(7\right)=16.49cm$

$\mathrm{A}=\frac{135}{360}\times \mathrm{\pi }{\left(7\right)}^2=57.7c{m}^2$

 

3) اذا كانت مساحة قطاع دائري $35c{m}^2$، وكان قياس زاوية القطاع $72°$، فما طول نصف قطر الدائرة؟ 

$A=\frac{72}{360}\times \pi r^2=35$

$0.628{\mathrm{r}}^2=35\to {\mathrm{r}}^2=55.7\to \mathrm{r}=7.46cm$

 

4) اذا كانت مساحة قطاع دائري $60c{m}^2$، وكان قياس زاوية القطاع $45°$، فما طول قطر الدائرة؟ 

$A=\frac{45}{360}\times \pi r^2=60$

$0.392{\mathrm{r}}^2=60\to {\mathrm{r}}^2=153.06\to \mathrm{r}=12.37$

$2\mathrm{r}=24.74 =\mathrm{القطر}$

 

5) اجد محيط القطاع الدائري الاتي 

$L=\frac{360-115}{360}\times 2\mathrm{\pi }\left(20\right)+2\left(20\right)=\frac{245}{360}\times 40\mathrm{\pi }+40=125.48$

6) اجد محيط القطاع الدائري الاتي 

$L=\frac{360-80}{360}\times 2\mathrm{\pi }\left(14\right)+2\times 14=\frac{280}{360}\times 28\mathrm{\pi }+28=96.38$

 

7) اذا كانت مساحة القطاع الدائري المجاور $200c{m}^2$، فما قيمة $\theta$؟ 

 

$200=\frac{\theta }{360}\times \mathrm{\pi }{\left(15\right)}^2\to \mathrm{\theta }\approx 102°$

8) اجد مساحة المنطقة المظللة في الشكل المجاور 

$A=\frac{135}{360}\times \mathrm{\pi }{\left(11\right)}^2-\frac{135}{360}\times \mathrm{\pi }{\left(6\right)}^2=\frac{135}{360}\times \mathrm{\pi }\left(121-36\right)=100.08c{m}^2 \mathrm{المظلل} \mathrm{الجزء} \mathrm{مساحة}$

9) علوم: وضعت كرة طول قطرها 15cm على بعد افقي يساوي x من عين الاء. اذا كان طول خط البصر الواصل بين مركز العين وابعد نقطة على الكرة يمكن ان تراها الاء هو 40cm، فما قيمة x؟ 

${\left(AC\right)}^2={\left(40\right)}^2+{\left(7.5\right)}^2$

$AC=40.7cm$

${(X+7.5)}^2={(40.7)}^2$

$X+7.5=40.7\to X=40.7-7.5=33.2$

$X+7.5==40.7\to X=-40.7-7.5=-48.2$

$X=-48.2\mathrm{مرفوضة}$

$X=33.2cm$