البُعْدُ بينَ نقطةٍ ومستقيمٍ

البُعد بين نقطة ومستقيم

Distance between a Point and a Line

فكرةُ الدرسِ  • إيجادُ البعد بين نقطة ومستقيم.

                      • إيجادُ البعد بين مُستقيميْن مُتوازيين.

 

أولًا  : البعد بين نقطة ومستقيم

البعدُ بينَ مستقيمٍ ونقطةٍ لا تقعُ عليهِ هُوَ طولُ القطعةِ المستقيمةِ العموديَّةِ على المستقيمِ مِنْ تلكَ النقطةِ، وَتُمَثِّلُ أقصرَ مسافةٍ بينَ المستقيمِ والنقطةِ. فمثلًا، أقصرُ مسافةٍ بينَ النقطةِ C وَ A↔B هِيَ طولُ $\overline{CD}$

 

 

 

 

 

 

مُسَلَّمَةٌ (مُسَلَّمَةُ التعامُدِ) 

لأيِّ مستقيمٍ ونقطةٍ لا تقعُ عليهِ يوجدُ مستقيمٌ واحٌد فقط يَمُرُّ بالنقطةِ، ويكونُ عموديًّا على المستقيمِ المعلومِ.

 

 

 

 

مثال : 

أَجِدُ البعدَ بينَ النقطةِ (0 , 2) والمستقيمِ T المارِّ بالنقطتَيْنِ ( 0 , 1) وَ ( 2 ,  1-).

الخُطوةُ 1 : أَجِدُ مُعادلةَ المستقيمِ T

أَجِدُ ميلَ المستقيمِ T

صيغةُ الميلِ	$m =\frac{y_2 - y_1}{x_{2 }- x_1}$
بالتعويضِ $(x_1 , y_1) = (1 , 0) , (x_2 , y_2) = (-1 , 2)$	$m =\frac{2 - 0}{-1- 1}$
بالتبسيطِ	$\mathit{m}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}$

 

 

 

 

 

إذنْ ، ميلُ المستقيمِT هُوَ 1-

• أَجِدُ مقطعَ المستقيمِ T مِنَ المحورِ y باستعمالِ ميلِهِ ونقطةٍ يَمُرُّ بها :

صيغةُ الميلِ والمقطعِ	$y = mx + b$
بتعويض m = -1  ,  x = 1  ,  y = 0	$0 = -1\left(1\right)+b$
بجمعِ 1 لِطَرَفَيِ المُعادلةِ	$1 = b$

 

 

 

إذنْ ، مُعادلةُ المستقيمِ T هِيَ : $y = -x +1$

الخُطوةُ 2 : أَجِدُ مُعادلةَ المستقيمِ w العموديِّ على المستقيمِ T والمارِّ بالنقطةِ (0 , 2).

بما أنَّ ميلُ المستقيمِ T الذي معادلتُهُ y = - x + 1  هُوَ 1- ؛ فإنَّ ميلَ المستقيمِ w العموديِّ على المستقيمِ T هُوَ 1

•• أتذكَّرُ :  • ميلُ المستقيمِ y = mx + b هُوَ m • حاصلُ ضربِ ميلَيِ المستقيمَيْنِ المُتعامدَيْنِ يُساوي 1-

 

 
 
 

 

أَجِدُ مقطعَ المستقيمِ w مِنَ المحورِ y باستعمالِ ميلِهِ والنقطةِ التي يَمُرُّ بها.

صيغةُ الميلِ والمقطعِ	$y = mx + b$
بتعويض m = 1  ,  x = 2  ,  y = 0	$0 = 1\left(2\right)+b$
بطرح 2 من طَرَفَيِ المُعادلةِ	$-2 = b$

 

 

 

إذنْ، مُعادلةُ المستقيمِ w هِيَ : y = x - 2 

 

الخُطوةُ 3 : أستعمِلُ مُعادلَتَيِ المُستقيمَيْنِ T وَ w لكتابةِ نظامِ مُعادلاتٍ وَحَلِّهِ لإيجادِ نقطةِ تقاطعِ المُستقيمَيْنِ.

المستقيم T	$y = -x + 1$
المستقيم W	$y = x - 2$
بجمع المعادلتين	$2y = -1$
بقسمة طرفي المعادلة على 2	$y = -\frac{1}{2}$

 

 

 

 

 

أُعَوِّضُ $-\frac{1}{2}$ بدلًا مِنْ y في إحدى المُعادلَتَيْنِ ؛ لإيجادِ قيمةِ x

معادلة المستقيم W	$y = x -2$
بتعويض $\frac{1}{2}$ -  بدلًا من y	$-\frac{1}{2} = x - 2$
بجمعِ 2 لِطَرَفَيِ المُعادلةِ	$x = \frac{3}{2}$

 

 

 

 

إذنْ، يتقاطعُ المستقيمانِ T وَ w في النقطةِ  $(\frac{3}{2} , -\frac{1}{2})$

الخُطوةُ 4 : أستعمِلُ صيغةَ المسافةِ بينَ نقطتَيْنِ لأجد المسافةَ بينَ ( 0 , 2) وَ  $(\frac{3}{2} , -\frac{1}{2})$

صيغةُ المسافةِ في المُستوى الإحداثِيِّ	$d = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}$
بتعويض  $(x_1 , y_1) = (2 , 0) , (x_2 , y_2) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$	$d = \sqrt{{(\frac{3}{2} - 2)}^2 + {(-\frac{1}{2} - 0)}^2}$
بالتبسيطِ	$d =\frac{1}{\sqrt{2}}$

 

 

 

 

 

إذنْ ، البعدُ بينَ النقطةِ (0 , 2) والمستقيمِ T هِيَ  $\frac{1}{\sqrt{2}}$  وحدة.

---

 

•• ويمكنُ إيجادُ البعدِ بينَ نقطةٍ ومستقيمٍ في المُستوى الإحداثِيِّ بشكلٍ مباشرٍ باستعمالِ الصيغةِ الآتيةِ : 

مفهومٌ أساسيٌّ (صيغةُ البعدِ بينَ نقطةٍ ومستقيم)

البعد بينَ المستقيمِ l ، الذي معادلَتُهُ : Ax + By + C = 0 ، وَالنقطةِ ( P(x1 , y1 تُعطى بالصيغةِ :                  $d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}}$ شريطةَ ألّا تكونَ قيمتا A وَ B معًا صِفرًا.

 

 

 

 

 

 

 

مثال : 

أجد البعد بين النقطة (2 ، 3) والمستقيم الذي معادلته 2x + y = 4 

الحل : 

الخُطوةُ 1 : أكتبُ مُعادلةَ المستقيمِ على الصورةِ Ax + By + C = 0

مُعادلةُ المستقيمِ المُعطاةُ	2x + y = 4
بطرحِ 4 مِنْ طَرَفَيِ المُعادلةِ	2x + y - 4 = 0

 

 

 

إذن : A = 2 , B = 1 , C = -4   

الخُطوةُ 2 : أَجِدُ البعدَ بينَ النقطةِ والمستقيمِ.

صيغةُ البعدِ بينَ نقطةٍ ومستقيمٍ	$d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}}$
بتعويضِ  $A = 2 , B = 1 , C = -4$ والنقطة (2 ، 3)  $x_1 = 3 , y_1 = 2$	$d = \frac{| 2(3)+1(2)+(-4) |}{\sqrt{2^2+ 1^2}}$
بالتبسيطِ	$d = \frac{4}{\sqrt{5} }$

 

 

 

 

 

 

 

إذن البعد بين النقطة والمستقيم  = $\frac{4}{\sqrt{5} }$  وحدة . 

---

 

ثانيًا : البعدُ بينَ مستقيمَيْنِ مُتوازِيَيْنِ

المُستقيمَيْنِ المُتوازِيَيْنِ هُما مُستقيمانِ يقعانِ في المُستوى نفسِهِ، بحيثُ يكونُ البعدُ بينَهما ثابتًا، وهذا يعني أنَّ البعدَ بينَ أيِّ نقطةٍ على أحدِهما والمستقيمِ الآخَرِ ثابتٌ.

 

 

 

 

 

مفهومٌ أساسيٌّ (البعدُ بينَ مُستقيمَيْنِ مُتوازِيَيْنِ) البعدُ بينَ مُستقيمَيْنِ مُتوازِيَيْنِ هُوَ البعدُ بينَ أحدِ المُستقيمَيْنِ وأيِّ نقطةٍ على المستقيمِ الآخَرِ.

 

 

 

 

•• أتعلَّمُ : يمكنُ تحديدُ ما إذا كانَ المستقيمانِ مُتوازِيَيْنِ أمْ لا إذا كانَ لَهُما الميلُ نفسُهُ وكانَ المقطعُ y مُختلفًا.

 

 

مثال :  

أَجِدُ البعدَ بينَ المُستقيمَيْنِ المُتوازِيَيْنِ m , n إذا كانتْ معادلتُهُما ,  $x + y - 2 = 0 , x + y - 6 = 0$ على الترتيبِ.

الحل  : 

الخُطوةُ 1 : أَجِدُ إحداثِيَّيْ نقطةٍ تقعُ على أحدِ المُستقيمَيْنِ.

أُعَوِّضُ x = 0 في مُعادلةِ المستقيمِ m لأجد الإحداثِيَّ y المقابلَ لها.

معادلة المستقيم m	$x + y -2 = 0$
بنعويض x = 0	$0 + y - 2 = 0$
بحل المعادلة	$y = 2$

 

 

 

إذنْ، تقعُ النقطةُ ( 2 , 0) على المستقيمِ m

الخُطوةُ 2 : أَجِدُ البعدَ بينَ النقطةِ والمستقيمِ الآخَرِ.

أَجِدُ البعدَ بينَ النقطةِ ( 2 , 0) والمستقيمِ n ؛ حيثُ A = 1, B = 1 , C = -2

صيغةُ البعدِ بينَ نقطةٍ ومستقيمٍ	$d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}}$
بتعويض $A = 1 , B = 1 , C = -2$ والنقطة (2 ، 0)  $x_1 = 0 , y_1 = 2$	$d = \frac{| 1(3)+1(2)+(-2) |}{\sqrt{1^2+ 1^2}}$
بالتبسيط	$d = \frac{3}{\sqrt{2}}$

 

 

 

 

 

 

 

إذنْ ، البُعدُ بينَ المُستقيمَيْنِ m وَ n هو $\frac{3}{\sqrt{2}}$