رياضيات فصل أول

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 168

أَجِدُ البعدَ بينَ النقطةِ (0 , 1) والمستقيمِ L الذي مُعادلَتُهُ : y = 3x + 3

الحل : 

معادلة المستقيم معلومة y = 3x + 3

•  أَجِدُ مُعادلةَ المستقيمِ w العموديِّ على المستقيمِ L والمارِّ بالنقطةِ (0 , 1).

بما أنَّ ميلُ المستقيمِ L الذي معادلتُهُ y = 3x + 3  هُوَ 3 ؛ فإنَّ ميلَ المستقيمِ w العموديِّ على المستقيمِ L هُوَ $-\frac{1}{3}$ 

(حاصلُ ضربِ ميلَيِ المستقيمَيْنِ المُتعامدَيْنِ يُساوي 1-)

أَجِدُ مقطعَ المستقيم w من المحورِ y باستعمال ميلِه والنقطة التي يَمُرُّ بها.

صيغةُ الميلِ والمقطعِ	y = mx + b
بتعويض m = $-\frac{1}{3}$  ,  x = 1  ,  y = 0	0 = $-\frac{1}{3}$(1) + b
بجمع  $\frac{1}{3}$ من طَرَفَيِ المُعادلةِ	$b = \frac{1}{3}$

 

 

 

 

إذنْ ، مُعادلةُ المستقيمِ w هِيَ :  $y = -\frac{1}{3}x +\frac{1}{3}$ 

أضرب المعادلة بالعدد  3 لتسهيل الحسابات ، إذن معادلة المستقيم W ، هي $3y = -x + 1$

 

•  أستعمِلُ مُعادلَتَيِ المُستقيمَيْنِ I وَ w لكتابةِ نظامِ مُعادلاتٍ وَحَلِّهِ لإيجادِ نقطةِ تقاطعِ المُستقيمَيْنِ.

المستقيم L	$y = 3x + 3$
المستقيم W	$3y = -x + 1$
بحل المعادلتين بالحذف	$y = 0.6$

 

 

 

أعوض 0.6 بدلًا مِنْ y في إحدى المُعادلَتَيْنِ ؛ لإيجادِ قيمةِ x

معادلة المستقيم W	$3y = -x + 1$
بتعويض  0.6 بدلًا من y	$3(0.6) = -x + 1$
بالتبسيط	$x = - 0.8$

 

 

 

إذنْ، يتقاطعُ المستقيمانِ L وَ w في النقطةِ  (0.6 ، 0.8 -)

 

• أستعمِلُ صيغةَ المسافةِ بينَ نقطتَيْنِ لأجد المسافةَ بينَ ( 0 , 1) وَ (0.6 ، 0.8 -)

صيغةُ المسافةِ في المُستوى الإحداثِيِّ	$d = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}$
بتعويض	$d = \sqrt{{(-0.8 - 1)}^2 + {(0.6 - 0)}^2}$
بالتبسيطِ	$d = \sqrt{3.6}$

 

 

 

 

إذنْ ، البعدُ بينَ النقطةِ (0 , 1) والمستقيمِ L هِيَ $d = \sqrt{3.6}$

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 170

أَجِدُ البعدَ بينَ النقطةِ ( 3 , 1-) والمستقيمِ 3x - 4y = 16

الحل : 

• أكتبُ مُعادلةَ المستقيمِ على الصورةِ Ax + By + C = 0

 0 =  3x - 4y - 16

إذن : A = 3 , B = - 4  , C = - 16    والنقطة (3 , 1-)

• أُعوض في صيغة البعد بين نقطة ومستقيم 

صيغةُ البعدِ بينَ نقطةٍ ومستقيمٍ	$d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}}$
بالتعويضِ	$d = \frac{| 3(-1)+-4(3)+(-16) |}{\sqrt{3^2+ {(-4)}^2}}$
بالتبسيطِ	$d = \frac{31}{5}$

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 171

يظهرُ في المُستوى الإحداثِيِّ المُجاورِ موقعُ منزلِ حنينَ بالنسبةِ إلى الشارعِ الرئيسِ المُؤدّي إلى مدرستِها. إذا كانَتْ مُعادلةُ المستقيمِ الذي يُمَثِّلُ الشارعَ الرئيسَ هِيَ y = x + 20 ، فَأَجِدُ أقصرَ مسافةٍ بينَ منزلِ حنينَ والطريقِ، مُقَرِّبًا إجابتي لأقربِ جُزءٍ مِنْ عشرَةٍ.

 

 

 

 

 

 

 

الحل : 

موقع حنين تُمثله النقطة (0 ، 30) = $(x_1 , y_1)$

المعادلة التي تمثل الشارع y = x + 20  ، أكتب المعادلة على الصورة    x - y + 20 = 0   

إذن : A = 1 , B = - 1  , C = 20    والنقطة (0 , 30)  

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 1(30)+-1(0) +20 |}{\sqrt{1^2+{(-1)}^2}} \\ d = \frac{50}{\sqrt{2}} \approx \mathbf{ }\mathbf{35}\mathbf{.}\mathbf{4}\mathbf{ } \end{gathered}$$

---

أتحقق من فهمي صفحة 172

أَجِدُ البعدَ بينَ المُستقيمَيْنِ المُتوازِيَيْنِ m , n إذا كانتْ معادلتُهُما , 0 = x - 7y + 14

x - 7y - 11 = 0 على الترتيب.

الحل : 

الخُطوةُ 1 : أَجِدُ إحداثِيَّيْ نقطةٍ تقعُ على أحدِ المُستقيمَيْنِ.

أُعَوِّضُ x = 0 في مُعادلةِ المستقيمِ m لأجد الإحداثِيَّ y المقابلَ لها.

معادلة المستقيم m	x - 7y - 11 = 0
بنعويض x = 4	4 - 7y - 11 = 0
بحل المعادلة	y = - 1

 

 

 

إذنْ، تقعُ النقطةُ ( 1- , 4) على المستقيمِ m

الخُطوةُ 2 : أَجِدُ البعدَ بينَ النقطةِ والمستقيمِ الآخَرِ.

أَجِدُ البعدَ بينَ النقطةِ ( 1- , 4) والمستقيمِ n ؛ حيثُ A = 1 , B = -7  , C =14

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 1(4)+-7(-1) +14 |}{\sqrt{1^2+{(-7)}^2}} \\ d = \frac{25}{\sqrt{50}} \approx \mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{5} \end{gathered}$$

---

 

أسئلة أتدرب وأحُل المسائل

أَجِدُ البعد بين النقطة P والمستقيمِ L في كلٍّ ممّا يأتي من غير استعمالِ صيغة البعد بين نقطة ومستقيم :

1) النقطةُ ( 1 , P(2 والمُستقيم L المارُّ بالنقطتين ( 0 , 6-) وَ ( 4- , 1).

2) النقطةُ ( 2 , P(-9 والمُستقيم L المارُّ بالنقطتين ( 8 , 2) وَ ( 3 , 2-).

3) النقطةُ ( 4 , P(4 والمُستقيم L المارُّ بالنقطتين ( 3- , 1) وَ ( 4 , 7-).

الحل : 

1) النقطةُ (1 , P(2 والمُستقيم L المارُّ بالنقطتين (0 , 6-) وَ (4- , 1).

ميل المستقيم =  $-\frac{4}{7}$

معادلة المستقيم $4x + 7y + 24 = 0$

• أَجِدُ مُعادلةَ المستقيمِ w العموديِّ على المستقيمِ L والمارِّ بالنقطة (1 , 2).

بما أنَّ ميلُ المستقيمِ L الذي معادلتُهُ $4x + 7y + 24 = 0$   هُوَ $-\frac{4}{7}$ ؛ فإنَّ ميلَ المستقيمِ w العموديِّ على المستقيمِ L هُوَ $\frac{7}{4}$

• أَجِدُ مقطعَ المستقيم w من المحور y باستعمال ميلِه والنقطة التي يَمُرُّ بها.

صيغةُ الميلِ والمقطعِ	y = mx + b
بتعويض x = 2  ,  y = 1 ، $m = \frac{7}{4}$	1 = $\frac{7}{4} \times 2$ + b
بالتبسيط	$b = -\frac{5}{2}$

 

 

 

 

إذنْ ، مُعادلةُ المستقيمِ w هِيَ : $y = \frac{7}{4} x - \frac{5}{2}$  

أضرب طرفي المعادلة في 4 لتسهيل الحسابات ، فتصبح $4y = 7x -10$  $\Leftarrow$ $7x -4y -10 = 0$

•  أستعمِلُ مُعادلَتَيِ المُستقيمَيْنِ I وَ w لكتابةِ نظامِ مُعادلاتٍ وَحَلِّهِ لإيجادِ نقطةِ تقاطعِ المُستقيمَيْنِ.

معادلة المستقيم I     $4x + 7y + 24 = 0$

معادلة المستقيم W   $7x -4y -10 = 0$

بحل المعادلتين بالحذف أحصل على نقطة تقاطع المستقيمين ، وهي $(-0.4 , - 3.2)$ 

• أستعمِلُ صيغةَ المسافةِ بينَ نقطتَيْنِ لأجد المسافةَ بينَ ( 1 , 2) وَ (3.2- ، 0.4 -)

$$\begin{gathered} d = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ d = \sqrt{{(2 + 0.4)}^2 + {(1 + 3.2)}^2} \\ d = \sqrt{23.4} \end{gathered}$$

 

---

2) النقطةُ (2 , P(-9 والمُستقيمُ L المارُّ بالنقطتَيْنِ (8 , 2) وَ (3 , 2-).

ميل المستقيم = $\frac{5}{4}$

معادلة المستقيم $5x - 4y + 22 = 0$

• أَجِدُ مُعادلةَ المستقيمِ w العموديِّ على المستقيمِ L والمارِّ بالنقطةِ (2  , 9-).

بما أنَّ ميلُ المستقيمِ L الذي معادلتُهُ $5x - 4y + 22 = 0$ هو $\frac{5}{4}$ ؛ فإنَّ ميلَ المستقيمِ w العموديِّ على المستقيمِ L هُوَ $-\frac{4}{5}$

• أَجِدُ مقطعَ المستقيم w من المحورِ y باستعمال ميلِه والنقطة التي يَمُرُّ بها.

صيغةُ الميلِ والمقطعِ	y = mx + b
بتعويض x = 2  ,  y = 1 ، $m = -\frac{4}{5}$	1 = $-\frac{4}{5}\times 2 + b$
بالتبسيط	$b = \frac{13}{5}$

 

 

 

 

إذنْ ، مُعادلةُ المستقيمِ w هِيَ : $y = -\frac{4}{5}x + \frac{13}{5}$

أضرب طرفي المعادلة في 5 لتسهيل الحسابات ، فتصبح $5y = -4x + 13$  $\Leftarrow$ $4x + 5y - 13 = 0$

•  أستعمِلُ مُعادلَتَيِ المُستقيمَيْنِ L وَ w لكتابةِ نظامِ مُعادلاتٍ وَحَلِّهِ لإيجادِ نقطةِ تقاطعِ المُستقيمَيْنِ.

معادلة المستقيم L    $5x - 4y + 22 = 0$

معادلة المستقيم W  $4x + 5y - 13 = 0$ 

بحل المعادلتين بالحذف أحصل على نقطة تقاطع المستقيمين ، وهي بالتقريب (3.7 ، 1.4-)

• أستعمِلُ صيغةَ المسافةِ بينَ نقطتَيْنِ لأجد المسافةَ بينَ ( 2 ,  9-) وَ (3.7  ، 1.4 -)

$$\begin{gathered} d = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ d = \sqrt{{(-9 + 1.4)}^2 + {(2 - 3.7)}^2} \\ d = \sqrt{60.65} \approx 7.8 \end{gathered}$$

 

---

3) النقطةُ ( 4 , P(4 والمُستقيمُ L المارُّ بالنقطتَيْنِ ( 3- , 1) وَ ( 4 , 7-).

ميل المستقيم = $-\frac{7}{8}$

معادلة المستقيم $-7x -8 y -17 = 0$

• أَجِدُ مُعادلةَ المستقيمِ w العموديِّ على المستقيمِ I والمارِّ بالنقطةِ (4  , 4).

بما أنَّ ميلُ المستقيمِ L الذي معادلتُهُ $-7x -8 y -17 = 0$  هو $-\frac{7}{8}$  ؛ فإنَّ ميلَ المستقيمِ w العموديِّ على المستقيمِ I هُوَ $\frac{8}{7}$

• أَجِدُ مقطعَ المستقيم w من المحورِ y باستعمال ميلِه والنقطة التي يَمُرُّ بها.

صيغةُ الميلِ والمقطعِ	y = mx + b
بتعويض x = 4  ,  y = 4 ،	4 =  $\frac{8}{7}\times 4 + b$
بالتبسيط	$b = - \frac{4}{7}$

 

 

 

 

إذنْ ، مُعادلةُ المستقيمِ w هِيَ : $y = \frac{8}{7}x - \frac{4}{7}$

أضرب طرفي المعادلة في 7 لتسهيل الحسابات ، فتصبح $7y = 8x - 4$

•  أستعمِلُ مُعادلَتَيِ المُستقيمَيْنِ I وَ w لكتابةِ نظامِ مُعادلاتٍ وَحَلِّهِ لإيجادِ نقطةِ تقاطعِ المُستقيمَيْنِ.

معادلة المستقيم L     $-7x -8 y -17 = 0$

معادلة المستقيم W   $8x -7y - 4 = 0$

بحل المعادلتين بالحذف أحصل على نقطة تقاطع المستقيمين ، وهي بالتقريب ( 1.5- ، 0.8 - )

• أستعمِلُ صيغةَ المسافةِ بينَ نقطتَيْنِ لأجد المسافةَ بينَ ( 4 ,  4) وَ ( 1.5- ، 0.8 - )

$$\begin{gathered} d = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ d = \sqrt{{(4 +0.8)}^2 + {(4 + 1.5)}^2} \\ d = \sqrt{53.29 } \approx 7.3 \end{gathered}$$

 

---

أَجِدُ البعدَ بينَ النقطةِ P والمُستقيمِ l في كلٍّ ممّا يأتي باستعمالِ صيغةِ البُعدِ بينَ نقطةٍ ومستقيمٍ :

4) النقطةُ (7 , P(5 والمُستقيمُ L المارُّ بالنقطتَيْنِ (1 , 2-) وَ (1 , 0).

5) النقطةُ (9- , P(1 والمُستقيمُ L المارُّ بالنقطتَيْنِ (9 , 4) وَ (1- , 4).

6) النقطةُ (10 - , P(-3 والمُستقيمُ L المارُّ بالنقطتَيْنِ (1 , 3) وَ (1- , 8-).

الحل : 

4) النقطةُ (7 , P(5 والمُستقيمُ L المارُّ بالنقطتَيْنِ (1 , 2-) وَ (1 , 0).

معادلة المستقيم $y = 1$  $\Leftarrow$  y - 1 = 0 

إذن : A = 0 , B = 1  , C = -1    والنقطة (7 , 5)  

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 0(5)+1(7) -1 |}{\sqrt{0^2+{\left(1\right)}^2}} \\ d = \frac{6}{1} =\mathbf{ }\mathbf{6} \end{gathered}$$

---

5) النقطةُ (9- , P(1 والمُستقيمُ L المارُّ بالنقطتَيْنِ (9 , 4) وَ (1- , 4).

معادلة المستقيم x = 4   $\Leftarrow$   $x - 4 = 0$

إذن : A = 1 , B = 0  , C = - 4    والنقطة ( 9- , 1)  

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 1(1)+0(-9) -4 |}{\sqrt{1^2+{\left(0\right)}^2}} \\ d = \frac{3}{1} =\mathbf{ }\mathbf{3} \end{gathered}$$

---

6) النقطةُ (10 - , P(-3 والمُستقيمُL المارُّ بالنقطتَيْنِ (1 , 3) وَ (1- , 8-).

معادلة المستقيم  $2x - 11y + 5 = 0$

إذن : A = 2 , B = 11  , C = 5    والنقطة ( 10- ,  3-) 

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 2(-3)+11(-10) +5 |}{\sqrt{2^2+{\left(11\right)}^2}} \\ d = \frac{111}{\sqrt{125}} \approx \mathbf{ }\mathbf{9}\mathbf{.}\mathbf{9} \end{gathered}$$

---

أَجِدُ البعدَ بينَ النقطةِ والمُستقيمِ في كلٍّ ممّا يأتي:

 $\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ } y -\frac{1}{6}x + 6 = 0 , P(-6 , 5)$                                 $\mathbf{8}\mathbf{)} y = x + 2 , Q(2, 4)$                         $\mathbf{9}\mathbf{)} \mathrm{y} + \frac{1}{4}\mathrm{x} = 1 , \mathrm{S}(4 , 3)$                     

$\mathbf{10}\mathbf{)} y = - 3 , T(5, 2)$                                                       $\mathbf{11}\mathbf{)} x = 4 , K(-2, 5)$                                     $\mathbf{12}\mathbf{)} y - x = 0 , R(5, 3)$

الحل : 

$\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ } y -\frac{1}{6}x + 6 = 0 , P(-6 , 5)$ $-\frac{1}{6}x + y+ 6 = 0 , P (-6 , 5)$ $$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| -{\displaystyle \frac{1}{6}}(-6)+1(5) +6 |}{\sqrt{{(-{\displaystyle \frac{1}{6}})}^2+{\left(1\right)}^2}} \\ d = \frac{12}{\sqrt{{\displaystyle \frac{37}{36}}}} = \frac{72 }{\sqrt{37}}\approx \mathbf{ }\mathbf{11}\mathbf{.}\mathbf{8} \end{gathered}$$	$\mathbf{8}\mathbf{)} y = x + 2 , Q(2, 4)$ $x - y + 2 = 0 , Q(2, 4)$ $$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 1(2)-1(4) + 2 |}{\sqrt{{\left(1\right)}^2+{(-1)}^2}} \\ d = \frac{0}{\sqrt{{\displaystyle 2}}} = \mathbf{0} \end{gathered}$$	$\mathbf{9}\mathbf{)} \mathrm{y}+ \frac{1}{4} \mathrm{x} = 1 , \mathrm{S}(4 , 3)$ $\frac{1}{4}\mathrm{x} + \mathrm{y} - 1 = 0 , \mathrm{S}(4 , 3)$ $$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| {\displaystyle \frac{1}{4}}(4)+1(3) - 1 |}{\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2+{\left(1\right)}^2}} \\ d = \frac{3}{\sqrt{{\displaystyle \frac{17}{16}}} } = \frac{12}{\sqrt{17}} \approx \mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{9} \end{gathered}$$
$\mathbf{10}\mathbf{)} y =- 3 , T(5, 2)$ $y + 3 = 0 , T(5, 2)$ $$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 0(5)+1(2) + 3 |}{\sqrt{{\left(0\right)}^2+{\left(1\right)}^2}} \\ d = \frac{5}{\sqrt{{\displaystyle 1}}} = \mathbf{5} \end{gathered}$$	$\mathbf{11}\mathbf{)} x = 4 , K(-2, 5)$ $x-4 = 0 , K(-2, 5)$ $$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 1(-2)+0(5) - 4 |}{\sqrt{{\left(1\right)}^2+{\left(0\right)}^2}} \\ d = \frac{6}{\sqrt{{\displaystyle 1}}} = \mathbf{6} \end{gathered}$$	$\mathbf{12}\mathbf{)} y - x = 0 , R(5, 3)$ $-x + y = 0 , R(5, 3)$ $$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| -1(5)+1(3) + 0 |}{\sqrt{{(-1)}^2+{\left(1\right)}^2}} \\ d = \frac{2}{\sqrt{{\displaystyle 2}}} \approx \mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{4} \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

أَجِدُ البعد بين كلِّ مُستقيمَين مُتوازِييْن في ما يأتي :

13) 4x - y + 1 = 0                                             14) 12x + 5y -3 = 0                                    15) 2x - 3y + 4 = 0

     4x - y - 8 = 0                                                12x + 5y + 7 = 0                                          $y =\frac{2}{3}x + 5$

الحل : 

13) 4x - y + 1 = 0   ,   4x - y - 8 = 0 

أَجِدُ إحداثِيَّيْ نقطةٍ تقعُ على أحدِ المُستقيمَيْن •

أُعَوِّضُ x = 0 في مُعادلةِ المستقيمِ 4x - y + 1 = 0  لأجد الإحداثِيَّ y المقابلَ لها.

 $$\begin{gathered} 4\left(0\right) - y + 1 = 0 \\ -y = -1 \\ y = 1 \end{gathered}$$

إذن النقطة (1 ، 0) تقع على المستقيم 4x - y + 1 = 0 

• أَجِدُ البعدَ بينَ النقطةِ والمستقيمِ  4x - y - 8 = 0  

أَجِدُ البعدَ بينَ النقطةِ ( 1 , 0) والمستقيمِ   ؛ حيثُ A = 4 , B = -1  , C = - 8

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 4(0)+-1(1) - 8 |}{\sqrt{{\left(4\right)}^2+{(-1)}^2}} \\ d = \frac{5}{\sqrt{{\displaystyle 17}}} \mathbf{ } \end{gathered}$$

---

14) 12x + 5y -3 = 0   ,   12x + 5y + 7 = 0

أَجِدُ إحداثِيَّيْ نقطةٍ تقعُ على أحدِ المُستقيمَيْن  

أُعَوِّضُ x = -1  في مُعادلةِ المستقيمِ 12x + 5y - 3 = 0  لأجد الإحداثِيَّ y المقابلَ لها.

$$\begin{gathered} 12(-1) + 5y -3 = 0 \\ -12 + 5y = 3 \\ y =3 \end{gathered}$$

إذن النقطة (3 ، 1-) تقع على المستقيم 12x + 5y - 3 = 0 

• أَجِدُ البعدَ بينَ النقطةِ (3 ، 1-) والمستقيمِ  12x + 5y + 7 = 0  ؛ حيثُ A = 12 , B = 5  , C = 7

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 12(-1)+5(3) +7 |}{\sqrt{{\left(12\right)}^2+{\left(5\right)}^2}} \\ d = \frac{10}{13} \mathbf{ } \end{gathered}$$ 

---

  15) 2x - 3y + 4 = 0   ,   $y =\frac{2}{3}x + 5$

أَجِدُ إحداثِيَّيْ نقطةٍ تقعُ على أحدِ المُستقيمَيْن  

أُعَوِّضُ x = -2  في مُعادلةِ المستقيمِ 2x - 3y + 4 = 0  لأجد الإحداثِيَّ y المقابلَ لها.

$$\begin{gathered} 2(-2) - 3y +4 = 0 \\ -3y = 0 \\ y = 0 \end{gathered}$$

إذن النقطة (0 ، 2-) تقع على المستقيم 2x - 3y + 4 = 0 

• أَجِدُ البعدَ بينَ النقطةِ (0 ، 2-) والمستقيمِ $\frac{2}{3}x - y + 5 = 0$   ؛ حيثُ A = $\frac{2}{3}$ , B = -1   , C = 5

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| {\displaystyle \frac{2}{3}}(-2)+-1(0)+C |}{\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2+ {(-1)}^2}} \\ d = \frac{ {\displaystyle \frac{11}{3}}}{\sqrt{ {\displaystyle \frac{13}{9}}}} =\frac{11}{\sqrt{13}} \end{gathered}$$

---

 

16) نهرٌ : يظهرُ في المُستوى الإحداثِيِّ المُجاورِ جُزءٌ مِنْ نهرٍ يُمَثِّلُ المُستقيمانِ L وَ m ضِفَّتَيْهِ. أَجِدُ عرضَ النهرِ، مُقَرِّبًا إجابتي لأقربِ جُزءٍ مِنْ عشرَةٍ. علمًا أنَّ كلَّ وحدةٍ في المُستوى الإحداثِيِّ تُمَثِّلُ 10 أمتارٍ.

 

 

 

 

 

 

 

الحل : 

لأجد البعد بين المستقيمين أحتاج لمعادلة مستقيم ونقطة تقع على المستقيم الآخر 

ميل المستقيم m = $\frac{3}{4}$ 

معادلة المستقيم m هي : $3x - 4y - 3 = 0$ 

نقطة تقع على المستقيم الآخر (3 ، 1-)  

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 3(-1)+4(3) -3 |}{\sqrt{{\left(3\right)}^2+{\left(4\right)}^2}} \\ d = \frac{6}{\sqrt{25}} \mathbf{ }= \frac{6}{5}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{2} \end{gathered}$$

عرض النهر  $1.2 \times 10 = 12 m$

---

 

يظهرُ في المُستوى الإحداثِيِّ المُجاورِ منزلُ بسمةَ الذي يقعُ عندَ النقطةِ P ومنزلُ رشا الذي يقعُ عندَ النقطةِ R 17) أَجِدُ طولَ الطريقِ بينَ منزلِ بسمةَ ومنزلِ رشا. 18) أَجِدُ النقطةَ التي تُمَثِّلُ مُنتصفَ الطريقِ بينَ منزلِ بسمةَ ومنزلِ رشا. 19) إذا كانَ مركزُ المدينةِ يقعُ عندَ نقطةِ الأصلِ، فَأَجِدُ أقصرَ مسافةٍ بينَ هذا المركزِ والطريقِ الواصلِ       بينَ منزلَيْ بسمةَ ورشا.

 

 

 

 

 

 

 

 

الحل : 

17) أَجِدُ طولَ الطريقِ بينَ منزلِ بسمةَ ومنزلِ رشا.

$$\begin{gathered} d = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ d = \sqrt{{(5 + 4)}^2 + {(-1 - 4)}^2} \\ d = \sqrt{106 } \approx 10.3 \end{gathered}$$

---

18) أَجِدُ النقطةَ التي تُمَثِّلُ مُنتصفَ الطريقِ بينَ منزلِ بسمةَ ومنزلِ رشا.

$m(\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2}) = m(\frac{-4 + 5}{2} , \frac{4 +-1}{2}) =m(\frac{1}{2} , \frac{3}{2})$

---

19) إذا كانَ مركزُ المدينةِ يقعُ عندَ نقطةِ الأصلِ، فَأَجِدُ أقصرَ مسافةٍ بينَ هذا المركزِ والطريقِ الواصلِ بينَ منزلَيْ بسمةَ ورشا.

معادلة المستقيم الذي يمثل الطريق الواصل بين منزلَيْ بسمةَ ورشا ، هي  : $5x +9y - 16 = 0$  والنقطة هي (0 ، 0) 

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 5(0)+9(0) -16 |}{\sqrt{{\left(5\right)}^2+{\left(9\right)}^2}} \\ d = \frac{16}{\sqrt{106}} \mathbf{\approx }\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{6} \end{gathered}$$

---

 

مهاراتُ التفكيرِ العُليا

20) أكتشِفُ الخطأَ : وجدَ عمرانُ البعدَ بينَ المستقيمِ L الذي مُعادلَتُهُ: 0 = y + 2x – 8 والنقطةِ ( 1- , P(1 ، كما هُوَ مُبَيَّنٌ أدناهُ. أكتشِفُ الخطأَ في

حلِّ عمرانَ ، وَأُصَحِّحُهُ. 

الإجابة  : عمران لم يكتب المعادلة بالصورة القياسية لذا أخطأ بالتعويض في بسط الكسر ، وكذلك في المقام يجب أن يعوض A , B  ، لكنه عوض x1 , y1  ، والحل الصحيح :  المعادلة 0 = 2x + y – 8  ، والنقطة (1- ، 1) حيث $A = 2 , B = 1 , c = -8$ $$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 2(1)+1(-1) -8 |}{\sqrt{{\left(2\right)}^2+{\left(1\right)}^2}} = \frac{7}{\sqrt{5}} \mathbf{ } \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

21) تبريرٌ : أَجِدُ مساحةَ المُثَلَّثِ المرسومِ في المُستوى الإحداثِيِّ المجاورِ، مُبَرِّرًا إجابتي.

 

 

 

 

 

 

الحل : 

أجد طول الضلع AC 

$$\begin{gathered} d = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ d = \sqrt{{(1 - 3)}^2 + {(4 - 0)}^2} \\ d = \sqrt{20 } \end{gathered}$$

 

أجد معادلة المستقيم الذي يمثل الضلع AC 

$m = \frac{4 - 0}{1 - 3} = -2$

معادلة المستقيم بصيغة الميل ونقطة تقع على المستقيم (النقطة (0 ، 3))

$$\begin{gathered} y - y_1 = m (x - x_1) \\ y - 0 = -2 (x -3) \\ y = -2x + 6 \\ \Rightarrow 2x + y -6 = 0 \end{gathered}$$

أجد بعد أي نقطة تقع على الضلع AB  ، ولتكن (1 ، 6) عن الضلع AC

إذن  : $A = 2 , B = 1 , c = -6$

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 2(6)+1(1) -6 |}{\sqrt{{\left(2\right)}^2+{\left(1\right)}^2}} = \frac{7}{\sqrt{5}} \mathbf{ } \end{gathered}$$

مساحة المثلث  = $\frac{1}{2}$ طول قاعدته مضروبًا في الارتفاع

الضلع AC يمثل قاعدة المثلث  ، وبُعد النقطة (1 ، 6) عن المستقيم AC يمثل ارتفاع المثلث 

$$\begin{gathered} = \frac{1}{2} \times \sqrt{20} \times \frac{7}{\sqrt{5}} \\ = \frac{1}{\cancel{2}} \times \cancel{ 2}\cancel{\sqrt{5}} \times \frac{7}{\cancel{\sqrt{5}}} \\ \mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{7} \end{gathered}$$ 

إذن مساحة المثلث = 7 وحدة مربعة . 

---

22)  تَحدّ : أَجِدُ إحداثيّيِ النقطة (النقاط)على المحور x ، التي تَبْعُدُ 4 وحداتٍ عن المستقيم $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$

الحل : 

أضرب معادلة المستقيم في 12 لتسهيل العمليات الحسابية $4x + 3y = 12$ ، وأكتبها على الصورة القياسية  $4x + 3y-12 =0$

النقطة أو النقاط التي تقع على المحور x على الصورة (0  ،  x) 

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ 4 = \frac{| 4(x)+3(0) -12 |}{\sqrt{{\left(4\right)}^2+{\left(3\right)}^2}} \\ 4 = \frac{| 4x-12 |}{5} \mathbf{ } \\ | 4x-12 | = 20 \\ 4x-12 = 20 or 4x-12 = -20 \\ 4x = 32 or 4x = -8 \\ x = 8 or x = -2 \end{gathered}$$

إذن النقاط هي : (0 ، 8)  ، (0 ، 2-)

---

 

أسئلة كتاب التمارين 

1) أجدُ المسافة بين المُستقيم L ، المارِّ بالنقطتين ، ( 1- , 3-)، ( 2 , 1) ، والنقطة ( 8 , P(5.

الحل : 

معادلة المستقيم L  هي : $3x - 4y + 5 = 0$

النقطة (8 ، 5) حيث : $A = 3 , B = -4 , c = 5$

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 3(5)+-4(8) +5 |}{\sqrt{{\left(3\right)}^2+{(-4)}^2}} \\ d = \frac{12}{5} \mathbf{ } \end{gathered}$$

---

2) أجدُ المسافة بين المُستقيمِ L ، المارِّ بالنقطتين ، ( 1 , 4-)، ( 3 , 1-) ، والنقطةِ P(1 , 7). 

الحل : 

معادلة المستقيم L  هي : $2x - 3y + 11 = 0$

النقطة (7 ، 1) حيث : $A = 2 , B = -3 , c = 11$ 

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 2(1)+-3(7) +11 |}{\sqrt{{\left(2\right)}^2+{(-3)}^2}} \\ d = \frac{8}{\sqrt{13}} \mathbf{ } \end{gathered}$$

---

أَجِدُ المسافةَ بينَ النقطةِ P والمُستقيمِ L في كلٍّ ممّا يأتي : 

3) L : y = 3x – 4 ,  P(0, 0)                                   4) L : y + 2x = 5 , P(1  , $-\frac{1}{2}$)                                5) L : x = $-\frac{1}{2}$  , $P(\frac{1}{2} , \frac{1}{2})$

الحل : 

3) L : y = 3x – 4 ,  P(0, 0) $$\begin{gathered} 3x -y -4 = 0 \\ d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 3(0)+-1(0) -4 |}{\sqrt{{\left(3\right)}^2+{(-1)}^2}} \\ d = \frac{4}{\sqrt{10}} \mathbf{ } \end{gathered}$$

4) L : y + 2x = 5 , P(1  , $-\frac{1}{2}$) $$\begin{gathered} 2x +y -5 = 0 \\ d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 2(1)+1(-{\displaystyle \frac{1}{2}}) -5 |}{\sqrt{{\left(2\right)}^2+{\left(1\right)}^2}} \\ d = \frac{4.5}{\sqrt{5}} \mathbf{ } \end{gathered}$$

5) L : x = $-\frac{1}{2}$ , $P(\frac{1}{2} , \frac{1}{2})$ $$\begin{gathered} x + \frac{1}{2} = 0 \\ d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 1({\displaystyle \frac{1}{2}})+0({\displaystyle \frac{1}{2}} ) +{\displaystyle \frac{1}{2}} |}{\sqrt{{\left(1\right)}^2+{\left(0\right)}^2}} \\ d = 1 \mathbf{ } \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أَجِدُ المسافةَ بينَ كلِّ مُستقيمَيْنِ مُتوازِيَيْنِ في ما يأتي : 

6) y = x - 11                                              7) y + 2x = 1                                          8) 2y + 5x - 7 = 0

    y = x - 7                                                 y = -2x + 16                                             2y + 5x – 11 = 0

الحل : 

6) y = x - 11   

    y = x - 7   

 

أَجِدُ إحداثِيَّيْ نقطةٍ تقعُ على أحدِ المُستقيمَيْن  

أُعَوِّضُ x = 0  في مُعادلةِ المستقيمِ y = x - 11  لأجد الإحداثِيَّ y المقابلَ لها.

$$\begin{gathered} y = 0 - 11 \\ y = -11 \end{gathered}$$

إذن النقطة ( 11- ، 0) تقع على المستقيم  y = x - 11    

• أَجِدُ البعدَ بينَ النقطةِ ( 11- ، 0) والمستقيمِ y = x - 7  ، وتُكتب معادلة المستقيم  $x - y - 7 = 0$ ؛ حيثُ $A = 1 , B = -1 , C = -7$

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 1(0)+-1(-11 ) -7 |}{\sqrt{{\left(1\right)}^2+{(-1)}^2}} \\ d = \frac{4}{\sqrt{2}} \mathbf{ } \end{gathered}$$

---

 7) y + 2x = 1 

     y = -2x + 16 

 

أَجِدُ إحداثِيَّيْ نقطةٍ تقعُ على أحدِ المُستقيمَيْن  

أُعَوِّضُ x = 0  في مُعادلةِ المستقيمِ y + 2x = 1 لأجد الإحداثِيَّ y المقابلَ لها.

$$\begin{gathered} y +2\left(0\right)=1 \\ y = 1 \end{gathered}$$

إذن النقطة ( 1 ، 0) تقع على المستقيم y + 2x = 1   

• أَجِدُ البعدَ بينَ النقطةِ ( 1 ، 0) والمستقيمِ  y = -2x + 16  ، وتُكتب معادلة المستقيم $2x + y - 16 = 0$ ؛ حيثُ $A = 2 , B = 1 , C = -16$

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 2(0)+1(1) -16 |}{\sqrt{{\left(2\right)}^2+{\left(1\right)}^2}} \\ d = \frac{15}{\sqrt{5}} \mathbf{ } \end{gathered}$$

---

8) 2y + 5x - 7 = 0

    2y + 5x – 11 = 0

 

أَجِدُ إحداثِيَّيْ نقطةٍ تقعُ على أحدِ المُستقيمَيْن  

أُعَوِّضُ x = 3  في مُعادلةِ المستقيمِ 2y + 5x - 7 = 0  لأجد الإحداثِيَّ y المقابلَ لها.

$$\begin{gathered} 2y +5\left(3\right)-7 = 0 \\ 2y +8 = 0 \\ 2y = -8 \\ y = -4 \end{gathered}$$

إذن النقطة (4- ، 3) تقع على المستقيم  2y + 5x - 7 = 0

• أَجِدُ البعدَ بينَ النقطةِ (4- ، 3) والمستقيمِ 2y + 5x – 11 = 0  ، وتُكتب معادلة المستقيم $5x + 2y – 11 = 0$ ؛ حيثُ $A =5 , B = 2 , C = -11$

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 5(3)+2(-4) -11 |}{\sqrt{{\left(5\right)}^2+{\left(2\right)}^2}} \\ d = \frac{4}{\sqrt{29}} \mathbf{ } \end{gathered}$$

---

 

 

يُمَثِّلُ الشكلُ المُجاورُ دعاماتٍ مُستخدَمَةً في سقفِ موقفٍ للسيّاراتِ. 9) أَجِدُ المسافةَ بينَ رأسِ الدعامةِ C وَ AB 10) أَجِدُ مساحةَ المنطقةِ المُثَلَّثَةِ ABC. (علمًا أنَّ كلَّ وحدةٍ في المُستوى تُمَثِّلُ مترًا واحدًا).

 

 

 

 

 

 

 

 

الحل : 

9) أَجِدُ المسافةَ بينَ رأسِ الدعامةِ C وَ .AB 

النقطة c(4 , 3)  

معادلة المستقيم AB هي  : y = 1  ، وتكتب على الصورة y - 1 = 0   ؛ حيثُ $A = 0 , B = 1 , C = -1$

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 0(4)+1(3) -1 |}{\sqrt{{\left(0\right)}^2+{\left(1\right)}^2}} \\ d = 2 \mathbf{ } \end{gathered}$$

---

10) أَجِدُ مساحةَ المنطقةِ المُثَلَّثَةِ ABC.

أجد طول AB 

$$\begin{gathered} d = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ d = \sqrt{{(7 -1)}^2 + {(1 -1)}^2} \\ d = \sqrt{36 } = 6 \end{gathered}$$

مساحة المثلث = نصف طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع  :  $\frac{1}{2}\left(6\right)\left(2\right) = 6 m^2$

 

---

 

11) يُمَثِّلُ الشكلُ المُجاورُ خطَّ توزيعِ المياهِ تحتَ الأرضِ، الذي يُمَثِّلُهُ المُستقيمُ L : y = 2x – 2 ، وَتُمَثِّلُ B فيهِ نقطةَ تزويدِ المنزلِ بالمياهِ. أَجِدُ أقصرَ مسافةٍ بينَ خطِّ التوزيعِ L والنقطةِ B. (علمًا أنَّ كلَّ وحدةٍ في المُستوى تُمَثِّلُ 10 أمتارٍ).

 

 

 

 

 

 

 

 

الحل : 

النقطة (3 , 3) B 

المستقيم y = 2x – 2  ، ويُكتب على الصورة $2x - y - 2 = 0$  ؛ حيثُ  $A = 2 , B = -1 , C = -2$  

$$\begin{gathered} d = \frac{| A{x}_1+B{y}_1+C |}{\sqrt{A^2+ B^2}} \\ d = \frac{| 2(3)+-1(3) -2 |}{\sqrt{{\left(2\right)}^2+{(-1)}^2}} \\ d = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.4 \mathbf{ } \end{gathered}$$

---