التحويلاتُ الهندسيَّةُ للاقترانِ التربيعيِّ
أولًا : الانسحابُ
الانسحاب الرأسي
عند إضافة الثابت الموجب K إلى قاعدة الاقتران الرئيس f(x) أو طرحه منها فإن مُنحنى الاقتران هُو مُنحنى الاقتران الرئيس مُزاحًا إلى
الأعلى أو إلى الأسفل بمقدار K وحدةً، ويُسمى هذا التحويلُ الانسحاب الرأسي.
مفهومٌ أساسيٌّ (الانسحابُ الرأسيُّ للاقترانِ التربيعيِّ)
إذا كان وكان k عددًا حقيقيًّا موجبًا، فإنَّ:
• مُنحنى مُزاحًا إلى الأعلى k وحدة.
• مُنحنى مُزاحًا إلى الأسفل k وحدة.
الانسحابَ الأفقيَّ
عند إضافة الثابت الموجب h إلى قيم x جميعها في مجال الاقتران f(x) أو طرحه منها، فإن مُنحنى الاقتران هُو مُنحنى الاقتران الرئيس
مُزاحًا إلى اليمين أو إلى اليسار بمقدار h وحدةً، ويُسمى هذا التحويلُ الانسحاب الأفقي.
مفهومٌ أساسيٌّ (الانسحابُ الأفقيُّ للاقترانِ التربيعيِّ)
إذا كان وكان h عددًا حقيقيًّا موجبًا، فإنَّ :
• مُنحنى هو منحنى f(x) مُزاحًا إلى اليمينِ h وحدةً.
• مُنحنى هو منحنى f(x) مُزاحًا إلى اليسار h وحدةً.
ثانيًا : التمدُّدُ
التمدُّدُ : هُوَ تحويلٌ هندسيٌّ يؤدّي إلى توسيعِ مُنحنى الاقترانِ أوْ تضييقِهِ، فعندَ ضربِ الاقترانِ الرئيسِ (f(x بالثابتِ a ؛ حيثُ a عددٌ حقيقيٌّ موجِبٌ،
فإنَّ مُنحنى الاقترانِ a f(x) هُوَ توسيعٌ أوْ تضييقٌ رأسيٌّ لِمُنحنى الاقترانِ f(x).
مفهومٌ أساسيٌّ (تمددُ الاقترانِ التربيعيِّ)
إذا كان وكان a عددًا حقيقيًّا موجبًا، فإنَّ مُنحنى هو :
• توسيع رأسي بمعاملٍ مقدارُهُ a لِمُنحنى (f(x ، إذا كانتْ a > 1
• تضييق رأسي بمعاملٍ مقدارُهُ a لِمُنحنى (f(x ، إذا كانتْ
ثالثًا : الانعكاسُ
الانعكاسُ : هُوَ تحويلٌ هندسيٌّ يعكِسُ مُنحنى الاقترانِ حولَ مُستقيمٍ مُحَدَّدٍ.
مفهومٌ أساسيٌّ (الانعكاسُ)
إذا كان ، فإنَّ :
• مُنحنى (g(x) = -f(x ، هُوَ انعكاسٌ لِمُنحنى (f(x حولَ المحورِ x
• مُنحنى (g(x) = f(-x ، هُوَ انعكاسٌ لِمُنحنى ( f(x حولَ المحورِ y
ورقة عمل درس التحويلات الهندسية للاقتران التربيعي
1) التحويل الهندسي الذي أُجري للاقتران التربيعي للحصول على منحنى ، هو :
a) انسحاب رأسي إلى الأعلى بمقدار 6 وحدات .
b) انسحاب رأسي إلى الأسفل بمقدار 6 وحدات .
c) انسحاب أفقي إلى اليمين بمقدار 6 وحدات .
d) انسحاب إلى اليسار بمقدار 6 وحدات .
الحل :
بحسب القاعدة : مُنحنى ، هُوَ مُنحنى f(x) مُزاحًا إلى اليمينِ h وحدةً.
2) التحويلان الهندسيان اللذان أُجريا للاقتران التربيعي للحصول على منحنى ، هو :
a) انعكاس حول المحور x ، وتضييق رأسي بمعامل مقداره
b) انعكاس حول المحور y ، وتضييق رأسي بمعامل مقداره
c) انعكاس حول المحور x ، وتوسيع رأسي بمعامل مقداره
d) انعكاس حول المحور y ،وتوسيع رأسي بمعامل مقداره
الحل :
، وجود السالب إذن انعكاس حول المحور x ، ، إذن تضييق رأسي .
3) التحويلات الهندسية التي أجريت للاقتران التربيعي للحصول على الاقتران في الشكل التالي ، هي :
a) انعكاس حول المحور x وانسحاب رأسي إلى الأعلى بمقدار 4 وحدات وانسحاب أفقي إلى اليسار بمقدار 4 وحدات .
b) انعكاس حول المحور x وانسحاب رأسي إلى الأعلى بمقدار 4 وحدات وانسحاب أفقي إلى اليسار بمقدار 5 وحدات .
c) انعكاس حول المحور y وانسحاب رأسي إلى الأعلى بمقدار 4 وحدات وانسحاب أفقي إلى اليسار بمقدار 4 وحدات
d) انعكاس حول المحور y وانسحاب رأسي إلى الأعلى بمقدار 4 وحدات وانسحاب أفقي إلى اليسار بمقدار 5 وحدات
الحل :
بحسب الشكل فإنّ المنحنى منعكس حول محور x ، ومنسحب إلى اليسار 5 وحدات ، ومنسحب إلى الأعلى 4 وحدات
4) إذا كان مُنحنى الاقتران (g(x ناتجًا من انعكاس مُنحنى الاقتران الرئيس حول المحور x، ثمَّ توسيع رأسيٍّ بمعامل مقداره 3 ، ثمَّ
انسحاب إلى اليمين بمقدار 4 وحدات ، ثم انسحاب إلى الأسفل بمقدارِ وحدتين، فأجيب عن الأسئلة الآتية :
a) أكتبُ قاعدة الاقتران (g(x باستعمال صيغة الرأس.
b) أَجِد إحداثيَّي رأس القطع، ومعادلة محور التماثل، والقيمة العُظمى أو الصغرى للاقتران (g(x
c) أُمثل الاقتران (g(x بيانيًّا.
الحل :
a) أكتب قاعدة الاقتران (g(x باستعمال صيغة الرأس.
• بما أنَّ الانعكاس حول المحور x ، ومعامل التوسيع الرأسيِّ 3 ، فإنَّ : a = - 3
• بما أنَّ الانسحاب الأفقي إلى اليمين بِمقدار 4 ، فإنَّ h = 4
• بما أنَّ الانسحاب الرأسي إلى الأسفل بمقدار 2 ، فإنَّ : k = - 2
صيغة الرأس للاقتران التربيعي : | |
بتعويض |
b) أَجدُ إحداثيّي رأسِ القطع، ومعادلة محور التماثل، والقيمة العُظمى أوِ الصغرى للاقتران (g(x
بما أنّ : ، فإنّ :
• رأس القطع ( 2 - , 4)
• مُعادلة محور التماثل x = 4
• القيمة العظمى 2
c) أُمثل الاقتران (g(x بيانيًّا.