رياضيات

التاسع

icon

التحويلاتُ الهندسيَّةُ للاقترانِ التربيعيِّ

أولًا : الانسحابُ

الانسحاب الرأسي 

عند إضافة الثابت الموجب K  إلى قاعدة الاقتران الرئيس f(x) أو طرحه منها فإن مُنحنى الاقتران f(x) ± k هُو مُنحنى الاقتران الرئيس مُزاحًا إلى

الأعلى أو إلى الأسفل بمقدار K  وحدةً، ويُسمى هذا التحويلُ الانسحاب الرأسي.

مفهومٌ أساسيٌّ (الانسحابُ الرأسيُّ للاقترانِ التربيعيِّ)

إذا كان f(x) = x2 وكان k عددًا حقيقيًّا موجبًا، فإنَّ: 

 مُنحنى g(x) = x2 + k مُزاحًا إلى الأعلى k وحدة.

 مُنحنى g(x) = x2 - k مُزاحًا إلى الأسفل k وحدة.

 

الانسحابَ الأفقيَّ 

عند إضافة الثابت الموجب h إلى قيم x جميعها في مجال الاقتران f(x) أو طرحه منها، فإن مُنحنى الاقتران f(x ± h) هُو مُنحنى الاقتران الرئيس

مُزاحًا إلى اليمين أو إلى اليسار بمقدار h وحدةً، ويُسمى هذا التحويلُ الانسحاب الأفقي.

مفهومٌ أساسيٌّ (الانسحابُ الأفقيُّ للاقترانِ التربيعيِّ)

إذا كان f(x) = x2 وكان عددًا حقيقيًّا موجبًا، فإنَّ : 

•  مُنحنى g(x) = (x-h)2 هو منحنى f(x) مُزاحًا إلى اليمينِ h وحدةً.

• مُنحنى g(x) = (x+h)2 هو منحنى f(x) مُزاحًا إلى اليسار h وحدةً.

 

 

ثانيًا : التمدُّدُ

التمدُّدُ : هُوَ تحويلٌ هندسيٌّ يؤدّي إلى توسيعِ مُنحنى الاقترانِ أوْ تضييقِهِ، فعندَ ضربِ الاقترانِ الرئيسِ (f(x بالثابتِ a ؛ حيثُ a عددٌ حقيقيٌّ موجِبٌ،

فإنَّ مُنحنى الاقترانِ a f(x) هُوَ توسيعٌ أوْ تضييقٌ رأسيٌّ لِمُنحنى الاقترانِ f(x).  

مفهومٌ أساسيٌّ (تمددُ الاقترانِ التربيعيِّ)

إذا كان f(x) =x2 وكان a عددًا حقيقيًّا موجبًا، فإنَّ مُنحنى g(x) = ax2 هو :

• توسيع رأسي بمعاملٍ مقدارُهُ a لِمُنحنى (f(x ، إذا كانتْ  a > 1  

• تضييق رأسي بمعاملٍ مقدارُهُ a لِمُنحنى (f(x  ، إذا كانتْ 0 < a < 1

 

ثالثًا : الانعكاسُ

الانعكاسُ : هُوَ تحويلٌ هندسيٌّ يعكِسُ مُنحنى الاقترانِ حولَ مُستقيمٍ مُحَدَّدٍ.

مفهومٌ أساسيٌّ (الانعكاسُ)

إذا كان f(x) =x2 ، فإنَّ : 

•  مُنحنى (g(x) = -f(x ، هُوَ انعكاسٌ لِمُنحنى (f(x حولَ المحورِ x

•  مُنحنى (g(x) = f(-x ، هُوَ انعكاسٌ لِمُنحنى ( f(x حولَ المحورِ y

 

ورقة عمل درس التحويلات الهندسية للاقتران التربيعي 

1) التحويل الهندسي الذي أُجري للاقتران التربيعي f(x) = x2  للحصول على منحنى g(x) = (x-6)2 ،  هو :

a) انسحاب رأسي إلى الأعلى بمقدار 6 وحدات .

b) انسحاب رأسي إلى الأسفل بمقدار 6 وحدات .

c) انسحاب أفقي إلى اليمين بمقدار 6 وحدات .

d) انسحاب إلى اليسار بمقدار 6 وحدات . 

الحل : 

بحسب القاعدة : مُنحنى g(x) = (x-h)2   ، هُوَ مُنحنى f(x) مُزاحًا إلى اليمينِ h وحدةً.


 

2) التحويلان الهندسيان اللذان أُجريا للاقتران التربيعي f(x) = x2    للحصول على منحنى h(x) = -12x2    ،  هو :

a) انعكاس حول المحور x ، وتضييق رأسي بمعامل مقداره 12

b) انعكاس حول المحور y ، وتضييق رأسي بمعامل مقداره 12 

c)  انعكاس حول المحور x ، وتوسيع رأسي بمعامل مقداره 12

d)  انعكاس حول المحور y ،وتوسيع رأسي بمعامل مقداره 12

الحل : 

a = -12  ، وجود السالب إذن انعكاس حول المحور x   ، 0 < a < 1 ، إذن تضييق رأسي . 

 


3) التحويلات الهندسية التي أجريت للاقتران التربيعي  f(x) = x2 للحصول على الاقتران في الشكل التالي ، هي : 

a) انعكاس حول المحور x وانسحاب رأسي إلى الأعلى بمقدار 4 وحدات وانسحاب أفقي إلى اليسار بمقدار 4 وحدات .

b) انعكاس حول المحور x وانسحاب رأسي إلى الأعلى بمقدار 4 وحدات وانسحاب أفقي إلى اليسار بمقدار 5 وحدات .

c)  انعكاس حول المحور y وانسحاب رأسي إلى الأعلى بمقدار 4 وحدات وانسحاب أفقي إلى اليسار بمقدار 4 وحدات

d)   انعكاس حول المحور y وانسحاب رأسي إلى الأعلى بمقدار 4 وحدات وانسحاب أفقي إلى اليسار بمقدار 5 وحدات 

الحل : 

بحسب الشكل فإنّ المنحنى منعكس حول محور x ، ومنسحب إلى اليسار 5 وحدات ، ومنسحب إلى الأعلى 4 وحدات 


4) إذا كان مُنحنى الاقتران (g(x ناتجًا من انعكاس مُنحنى الاقتران الرئيس f(x) = x2  حول المحور x، ثمَّ توسيع رأسيٍّ بمعامل مقداره 3 ، ثمَّ

انسحاب إلى اليمين بمقدار 4 وحدات ، ثم انسحاب إلى الأسفل بمقدارِ وحدتين، فأجيب عن الأسئلة الآتية :

a) أكتبُ قاعدة الاقتران (g(x باستعمال صيغة الرأس.

b) أَجِد إحداثيَّي رأس القطع، ومعادلة محور التماثل، والقيمة العُظمى أو الصغرى للاقتران (g(x

c) أُمثل الاقتران (g(x بيانيًّا.

الحل : 

a) أكتب قاعدة الاقتران (g(x باستعمال صيغة الرأس.

• بما أنَّ الانعكاس حول المحور x ، ومعامل التوسيع الرأسيِّ 3 ، فإنَّ : a = - 3

• بما أنَّ الانسحاب الأفقي إلى اليمين بِمقدار 4 ، فإنَّ  h =  4

• بما أنَّ الانسحاب الرأسي إلى الأسفل  بمقدار 2 ، فإنَّ : k = - 2 

صيغة الرأس للاقتران التربيعي :        g(x) = a(x-h)2+k
بتعويض a= -3  , h = 4  , k = -2 g(x) = -3(x-4)2+-2

                    

 

 

b) أَجدُ إحداثيّي رأسِ القطع، ومعادلة محور التماثل، والقيمة العُظمى أوِ الصغرى للاقتران (g(x

بما أنّ : g(x) = -3(x-4)2+-2 ، فإنّ : 

• رأس القطع ( 2 - , 4)

• مُعادلة محور التماثل x = 4

• القيمة العظمى 2 

 

c) أُمثل الاقتران (g(x بيانيًّا.