رياضيات فصل أول

أتحقق من فهمي

ص: 132

أستعمل منحنى الاقتران الرئيس $f\left(x\right)=\left|x\right|$، لتمثيل كل من الاقترانات الآتية بيانيا:

$a) g(x)=\left|x\right|+2$

$b) g(x)=\left|x\right|-5$

أتحقق من فهمي

ص: 133

أستعمل منحنى الاقتران الرئيس $f\left(x\right)=x^3$، لتمثيل كل من الاقترانات الآتية بيانيا:

$a) g(x)={\left(x-1\right)}^3$

$b) g(x)={\left(x+1\right)}^3$

$c) g(x)={\left(x+2\right)}^3-4$

أتحقق من فهمي

ص: 135

أستعمل منحنى الاقتران $f\left(x\right)=\left|x\right|$ لتمثيل كل الاقترانات الآتية بيانيا:

$a) g(x)=-\left|x\right|$

$b) g(x)=\left|-x\right|$

يتطابق منحنى $f\left(x\right)=\left|x\right|$ مع منحنى $g\left(x\right)=\left|-x\right|$ لأنه متملثل حول المحور y، فبالأنعكاس حول المحور y يبقى المنحنى على وضعه دون تغيير.

أتحقق من فهمي

ص: 136

أستعمل منحنى الاقتران $f\left(x\right)=x^2$ لتمثيل كل من الاقترانات الآتية بيانيا:

$a) g(x)=3x^2$

$b) g(x)=\frac{1}{3}{x}^2$

أتحقق من فهمي

ص: 137

أستعمل منحنى الاقتران الرئيس $f\left(x\right)=x^2$ لتمثيل كل من الاقترانات الآتية بيانيا:

$a) g(x)={\left(3x\right)}^2$

$b) g(x)={\left(\frac{1}{3}x\right)}^2$

أتحقق من فهمي

ص: 138

أستعمل منحنى الاقتران الرئيس $f\left(x\right)=x^2$ لتمثيل منحنى $g\left(x\right)=-{\left(x-2\right)}^2+3$ بيانيا.

أولا: رسم $f\left(x\right)=x^2$

ثانيا: رسم انعكاس f(x) حول المحور x

ثالثا: انسحاب وحدتين إلى اليمين

رابعا: انسحاب 3 وحدات إلى الأعلى

أتدرب وأحل المسائل

أستعمل $f\left(x\right)=x^2$ لتمثيل منحنى كل من الاقترانات الآتية بيانيا:

$1) g(x)=x^2-6$

$2) h(x)={\left(x-1\right)}^2+1$

$3) q(x)=-{\left(x-1\right)}^2$

$4) r\left(x\right)=2{\left(x-2\right)}^2$

$5) s(x)=3x^2+4$

$6) p(x)=2{\left(\frac{1}{2}x\right)}^2$

أستعمل منحنى الاقتران الرئيس $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ لتمثيل منحنى كل من الاقترانات الآتية بيانيا:

$7) g(x)=\sqrt{x-3}$

$8) r(x)=\sqrt{x+4}$

$9) h(x)=\sqrt{x-2}+5$

$10) p(x)=\frac{1}{2} \sqrt{x+2}$

$11) s(x)=-\sqrt{2x}$

$12) q(x)=\sqrt{1-x}$

أستعمل منحنى الاقتران الرئيس $f\left(x\right)=\left|x\right|$، لتمثيل منحنى كل من الاقترانات الآتية بيانيا:

$13) g(x)=\left|x\right|+5$

$14) h(x)=\left|x+4\right|-2$

$15) q(x)=\left|x-3\right|-2$

$16) r(x)=-2\left|x\right|+1$

$17) s(x)=\left|\frac{1}{2} x+1\right|$

$18) p(x)=\frac{1}{4} \left|x\right|$

إذا كان منحنى الاقتران g ناتج عن تحويل هندسي أو أكثر لمنحنى الاقتران f؛ فأجد قاعدة الاقتران g في كل مما يأتي:

$g\left(x\right)={(x-2)}^2$

$g\left(x\right)=x^3+3$

$g\left(x\right)=\left|x+1\right|+2$

$g\left(x\right)=2\left|x\right|$

$g\left(x\right)=-{\left(x-2\right)}^2+1$

$g\left(x\right)=-\sqrt{x+2}$

25) يبين التمثيل البياني المجاور منحنى الاقتران f(x) (باللون الأزرق). أحدد رقم منحنى كل اقتران مما يأتي:

$a) g(x)=f(x-4)$

$3$

$b) h(x)=f(x)+3$

$1$

$c) g(x)=2f\left(x+6\right)$

$2$

$d) h(x)=-f(2x)$

$4$

يبين التمثيل البياني المجاور منحنى الاقتران $f\left(x\right)={\left(x-3\right)}^2+2$، الذي يقطع المحور y في النقطة (0,11)، وله قيمة صغرى عند (3,2).

26) أمثل الاقترانين $h\left(x\right)=f\left(2x\right) و g\left(x\right)=f\left(\frac{1}{2} x\right)$ بيانيا.

لرسم منحنى f(2x) أضرب الإحداثي x لكل نقطة على منحنى f(x) في $\frac{1}{2}$، ولرسم $f\left(\frac{1}{2}x\right)$ أضرب الإحداثس x لكل نقطة على منحنى f(x) في 2،

27) أحدد القيمة الصغرى لكل من الاقترانين g(x) و h(x).

القيمة الصغرى للاقتران لكل من g(x)، و h(x) هي 2 لأنه في التمدد الأفقي يبقى الإحداثي y كما هو.

28) أجد نقطة تقاطع كل من الاقترانين g و h مع المحور y. ماذا ألاحظ؟ أبرر إجابتي.

يتقاطع منحنى كل من g(x)، و h(x) مع المحور y في النقطة (0,11) لأنه عند ضرب الإحداثي x لهذه النقطة وهو 0 في 2 أو في $\frac{1}{2}$ يكون الناتج 0 فتكون صورة النقطة (0,11) بالتمدد الأفقي هي نفسها (0,11)، أي أن منحنيات f(x) ,g(x) ,h(x) تقطع المحور y في النقطة (0,11).

يمثل الاقتران $h\left(x\right)=2.9 \sqrt{x}+20.1$ متوسط طول الأطفال الذكور بالإنش، حيث x العمر بالأشهر.

29) أصف التحويلات التي طبقت على الاقتران الرئيس $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ للحصول على h(x).

تمدد (توسيع) رأسي معامله 2.9، وانسحاب إلى الأعلى بمقدار 20.1 وحدة.

30) أجد متوسط طول الأطفال الذكور بعمر 5 سنوات، مقربا إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة.

متوسط الطول للأطفال بعمر 5 سنوات هو $h(5\times 12)=h\left(60\right)$

31) ماذا يمثل الثابت 20.1 في الاقتران h(x) بالنسبة إلى متوسط أطوال الأطفال الذكور؟

الثابت 20.1 يمثل متوسط أطوال الأطفال الذكور عند الولادة.

أستعمل التمثيل البياني المجاور الذي يبين منحنى h(x)؛ لتمثيل منحنى كل من الاقترانات الآتية بيانيا:

$32) f(x)=h(3x)$

ضرب الإحداثي x لكل نقطة في $\frac{1}{3}$

$33) f(x)=h\left(\frac{1}{3} x\right)$

ضرب الإحداثي x لكل نقطة في 3

34) يبين الشكل المجاور منحنيات مجموعة من الاقترانات الناتجة عن تحويلات هندسية لمنحنى الاقتران الرئيس $f\left(x\right)=\sqrt{x}$. أكتب قاعدة الاقتران لكل منحنى.

$$\begin{gathered} a) h(x)=\sqrt{x}+3 \\ b) g\left(x\right)=\sqrt{x+5} \\ c) r(x)=\sqrt{x+5}+2 \\ d) p\left(x\right)=\sqrt{x-3}+1 \\ e) q(x)=\sqrt{x-1}-4 \end{gathered}$$

35) أحل المسألة الواردة في بداية الدرس.

منحنى C(x) ناتج عن تضييق رأسي معامله $\frac{1}{2}$ لمنحنى T(x) متبوعا بانسحاب بمقدار وحدة واحدة إلى الأعلى.

مهارات التفكير العليا

36) تحد: في الشكل المجاور إذا كان منحنى الاقتران g ناتج عن تحويل هندسي أو أكثر لمنحنى الاقتران f؛ فأجد قاعدة الاقتران g.

منحنى g(x) ناتج عن انعكاس f(x) حول المحور x وتضييق رأسي وانسحاب بمقدار وحدة واحدة للأسفل، فتكون قاعدته $g\left(x\right)=-c\sqrt{16-x^2}-1$، وبتعويض إحداثي النقطة $\left(0,-2\right)$.

$$\begin{gathered} g\left(0\right)=-c\sqrt{16-0^2}-1 \\ -2=-c\left(4\right)-1 \\ c=\frac{1}{4} \\ g\left(x\right)=\frac{1}{4}\sqrt{16-x^2-1} \end{gathered}$$

تبرير:  أفترض أن (a,b) نقطة على منحنى الاقتران f. أحدد النقطة المقابلة لها على منحنى كل اقتران مما يأتي، مبررا إجابتي:

$37) h(x)=f(-x)$

$\left(-a,b\right)$ لأن منحنى f(-x) هو انعكاس لمنحنى f(x) حول المحور y.

$38) g(x)=2f(x)$

$\left(a,2b\right)$ لأن منحنى 2f(x) هو ترسيخ لمنحنى f(x) معامله 2، لذلك  يضرب الإحداثي y في 2

$39) p(x)=f(x-3)$

$\left(-a+3,b\right)$ لأن منحنى f(3-x) هو انعكاس حول المحور y لمنحنى f(x) ثم انسحاب إلى اليمين بمقدار 3 وحدات.

تبرير: أستعمل منحنى الاقتران $f\left(x\right)=2^{x+1}$، لتمثيل كل من الاقترانين الآتيين بيانيا، مبررا إجابتي:

$40) g(x)=f(2x)$

يضرب كل إحداثي x على منحنى f(x) في $\frac{1}{2}$ فتحول النقطة (1,4) إلى $\left(\frac{1}{2}, 4\right)$، وتتحول (1,1-) إلى $\left(-\frac{1}{2},1\right)$، والنقطة (0,2) تبقى (0,2) وتستبدل x ب 2x في قاعدة الاقتران f(x)، فتكون قاعدة g(x) هي: $g\left(x\right)=f\left(2x\right)=2^{2x+1}$

$41) h(x)=2f(x)$

يضرب كل إحداثي y في 2 فتكون قاعدة h(x) هي: $h\left(x\right)=2\left(2^{x+1}\right)=2^{x+2}$

حل أسئلة كتاب التمارين

أستعمل التمثيل البياني المجاور الذي يبين منحنى f(x)؛ لتمثيل منحنى كل من الاقترانات الآتية، مبينا إحداثيي النقطة P في كل حالة:

 

$1) g(x)=f(x)+1$

$2) h(x)=2f(x+1)$

$3) m(x)=f(-x+2)$

$4) p(x)=-f(x)$

أصف التحويلات التي تمت على f(x) للحصول على g(x) في كل مما يأتي:

$5) g(x)=-3f(x-2)+5$

انعكاس حو المحور x، وتوسيع رأسي معامله 3، وانسحاب إلى اليمين بمقدار وحدتين، وأخيرا انسحاب إلى الأعلى بمقدار 5 وحدات.

$6) g(x)=2f(4-x)-3$

انعكاس حو المحور y، وتوسيع رأسي معامله 2، وانسحاب إلى اليمين بمقدار 4 وحدات، وأخيرا انسحاب إلى الأسفل بمقدار 3 وحدات.

أستعمل التمثيل البياني المجاور الذي يبين منحنى f(x)؛ لتمثيل منحنى كل من الاقترانات الآتية:

 

$7) g(x)=f(x)+1$

$8) q(x)=f(x+2)$

$9) p(x)=\frac{1}{2}f(x+1)$

$10) s(x)=-f(x)$

11) سكان: يمثل الاقتران $P\left(t\right)=3000+0.1t^2$ عدد سكان أحد التجمعات السكنية؛ إذا يمثل t عدد السنوات منذ تأسيس هذا التجمع في عام 1985م. أصف التحويلات التي تمت على الاقتران $f\left(t\right)=t^2$ للحصول على الاقتران p(t).

تضييق رأسي معامله 0.1، وانسحاب إلى الأعلى بمقدار 3000 وحدة.

أستعمل التمثيل البياني المجاور الذي يبين منحنى f(x)؛ لتمثيل منحنى كل من الاقترانات الآتية:

 

$12) h(x)=g(2x)$

$13) p(x)=g\left(\frac{1}{2} x\right)$