رياضيات فصل أول

حلول أسئلة التحويلات الهندسية للاقترانات

أتحقق من فهمي صفحة 22

أستعملُ منحنى الاقتران الرئيس $f\left(x\right) = \left|x\right|$ ، لتمثيل كلّ من الاقترانات الآتية بيانيًّا:

a) $g\left(x\right)=\left|x\right|+2$

b) $g\left(x\right)=\left|x\right|-5$

الحل:

a)

b)

---

أتحقق من فهمي صفحة 23

أستعملُ منحنى الاقتران الرئيس f(x) = x³ ، لتمثيل كلّ من الاقترانات الآتية بيانيًّا:

c) g(x) = (x + 2)3 - 4

b) g(x) = (x+1)3

a) g(x) = (x-1)3

الحل:

a)

b)

c)

---

أتحقق من فهمي صفحة 25

أستعملُ منحنى الاقتران |f(x) = |x لتمثيل كلّ الاقترانات الآتية بيانيًّا:

b) g(x) = |-x|

a) g(x) = -|x|

الحل:

a)	b) يتطابق منحنى $f\left(x\right)=|x|$ مع منحنى $f\left(x\right)=|-x|$ لأنه متماثل حول المحور y ، فبالانعكاس حول المحور y يبقى المنحنى على وضعه دون تغيير .

---

أتحقق من فهمي صفحة 27

أستعملُ منحنى الاقتران الرئيس f(x) = x² لتمثيل كلّ من الاقترانات الآتية بيانيًّا:

a) $g\left(x\right) = {\left(3x\right)}^2$

b) $g\left(x\right) = {\left(\frac{1}{3}x\right)}^2$

الحل:

a)

b)

---

أتحقق من فهمي صفحة 28

أستعملُ منحنى الاقتران الرئيس $f\left(x\right) = x^2$ لتمثيل منحنى $g\left(x\right) = -{(x-2)}^2+3$ بيانيًّا.

الحل:

أولًا: رسم $f\left(x\right)=x^2$	ثانيًا: رسم انعكاس $f\left(x\right)$ حول المحور $x$
ثالثًا: انسحاب وحدتين إلى اليمين	رابعًا: انسحاب 3 وحدات إلى الأعلى

---

أتدرّب وأحلّ المسائل صفحة 29

أستعملُ منحنى الاقتران الرئيس f(x) = x² لتمثيل منحنى كلّ من الاقترانات الآتية بيانيًّا:

1) $g\left(x\right)=x^2 -6$

2) $q\left(x\right)=-{(x-1)}^2$

3) $s\left(x\right)=3x^2+4$

الحل:

1)

2)

3)

---

أستعملُ منحنى الاقتران الرئيس $f\left(x\right) = \sqrt{x}$ لتمثيل منحنى كلّ من الاقترانات الآتية بيانيًّا:

4) $g\left(x\right)=\sqrt{x-3}$

5) $h\left(x\right)=\sqrt{x-2}+5$

6) $p\left(x\right)=\frac{1}{2}\sqrt{x+2}$

الحل:

4)

5)

6)

---

أستعملُ منحنى الاقتران الرئيس |f(x) = |x ، لتمثيل منحنى كلّ من الاقترانات الآتية بيانيًّا:

7) $g\left(x\right)=\left|x\right|+5$	8) $h\left(x\right)=|x+4|-2$	9) $q\left(x\right)=|x-3|-2$
10) $r\left(x\right)=-2\left|x\right|+1$	11) $s\left(x\right)=|\frac{1}{2}x+1|$	12) $p\left(x\right)=\frac{1}{4}\left|x\right|$

الحل:

7)	8)	9)
10)	11)
12)

---

إذا كان منحنى الاقتران g ناتج عن تحويل هندسي أو أكثر لمنحنى الاقتران f؛ فأجد قاعدة الاقتران g في كلّ ممّا يأتي:

15)

14)

13)

الحل:

13) $g\left(x\right)=x^3+3$

14) $g\left(x\right)=|x+1|+2$

15) $g\left(x\right)=-\sqrt{(x+2)}$

---

16) يُبيّن التمثيل البياني المجاور منحنى الاقتران f(x) (باللون الأزرق). أُحدّد رقم منحنى كلّ اقتران ممّا يأتي:

a) g(x)=f(x-4)	b) h(x)=f(x)+3
c) g(x)=2f(x+6)	d) h(x)=-f(2x)

الحل:

$a) g(x)\to 3 , b) h\left(x\right)\to 1 , c) g(x)\to 2 ,d) h\left(x\right)\to 4$

---

يُمثّل الاقتران $h\left(x\right) = 2.9 \sqrt{x} + 20.1$ متوسّط طول الأطفال الذكور بالإنش، حيث x العمر بالأشهر. 17) أصف التحويلات التي طُبّقت على الاقتران الرئيس $f\left(x\right) = \sqrt{x}$ للحصول على (h(x. 18) أجد متوسّط طول الأطفال الذكور بعمر 5 سنوات، وأقرّب إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة. 19) ماذا يُمثّل الثابت 20.1 في الاقتران (h(x بالنسبة إلى متوسّط أطوال الأطفال الذكور؟

الحل:

17) تمدد (توسيع) رأسي معامله 2.9 ، وانسحاب الى الأعلى بمقدار 20.1  وحدة .

18) متوسط الطول للاطفال بعمر  5 سنوات هو: $h(5\times 12)=h\left(60\right)$

$h\left(60\right)=2.9\sqrt{60}+20.1\approx 42.6in$

19) الثابت 20.1 يمثل متوسط اطوال الاطفال الذكور عند الولادة .

---

20) أحلّ المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم).

الحل:

منحنى $C\left(x\right)$ ناتج عن تضييق رأسي معامله $\frac{ 1}{2}$ لمنحنى $T\left(x\right)$ متبوعاً بانسحاب بمقدار وحدة واحدة الى الاعلى .

---

مهارات التفكير العليا
 

تبرير: أستعملُ التمثيل البياني المجاور الذي يُبيّن منحنى (h(x ؛ لتمثيل منحنى كلّ من الاقترانات الآتية بيانيًّا، وأبرّر إجابتي: 21) $f\left(x\right)=h\left(3x\right)$             22) $f\left(x\right)=h\left(\frac{1}{3}x\right)$

الحل:

21) ضرب الاحداثي x لكل نقطة في $\frac{1 }{3}$

22) ضرب الاحداثي x لكل نقطة في 3

---

تبرير: أفترضُ أنّ $(a,b)$ نقطة على منحنى الاقتران $f$ . أُحدّد النقطة المقابلة لها على منحنى كلّ اقتران ممّا يأتي، وأبرّر إجابتي:

23) $h\left(x\right) = f(-x)$

24) $g\left(x\right) = 2f\left(x\right)$

25) $p\left(x\right) = f(3-x)$

الحل:

23) $(-a,b)$ لأن منحنى $f(-x)$ هو انعكاس لمنحنى $f\left(x\right)$ حول المحور  Y.

24) $(a,2b)$ لأن منحنى $2f\left(x\right)$ هو توسيع لمنحنى $f\left(x\right)$  معامله 2 ، لذلك يضرب الاحداثي y  في 2.

25) $(-a-3,b)$ لأن منحنى $f(3-x)$  هو انعكاس حول المحور y لمنحنى $f\left(x\right)$ ثم انسحاب إلى اليمين بمقدار 3 وحدات.

---

26) تحدّ: في الشكل المجاور إذا كان منحنى الاقتران $g$ ناتج عن تحويل هندسي أو أكثر لمنحنى الاقتران $f$؛ فأجد قاعدة الاقتران $g$.

الحل:

منحنى $g\left(x\right)$ ناتج عن انعكاس $f\left(x\right)$ حول المحور $x$ وتضييق رأسي وانسحاب بمقدار وحدة للأسفل .

فتكون قاعدته: $g\left(x\right)=-c\sqrt{(16-x^2)}-1$ وبتعويض احداثيي النقطة $(0,2)$.

$g\left(0\right)=-c\sqrt{(16-0)}-1 \to -2=-c\left(4\right)-1 \to c=\frac{1}{4}$

$g\left(x\right)=\frac{-1}{4}\sqrt{(16-x^2)}-1$

---

كتاب التمارين

أستعملُ التمثيل البياني المجاور الذي يُبيّن منحنى ( f(x ؛ لتمثيل منحنى كُلّ من الاقترانات الآتية، وأبيّن إحداثيَي النقطة P في كل حالة: $\mathbf{1}\mathbf{)} g(x)= f(x)+1 \mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{)} h\left(x\right)=2f (x+1)$ $\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }m(x)= f(-x+2) \mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{)} p\left(x\right)=-f\left(x\right)$

الحل:

1)	2)
3)	4)

---

أصف التحويلات التي تمّت على (f(x للحصول على (g(x في كُلّ ممّا يأتي:

5) $g\left(x\right)=-3f(x-2)+5$              6) $g\left(x\right)=2f(4-x) –3$

الحل:

5) انعكاس حول المحور x ، وتوسيع رأسي معامله 3 ، وانسحاب الى اليمين بمقدار وحدتين ، واخيراً انسحاب الى الأعلى بمقدار 5 وحدات .

6) انعكاس حول المحور y ، وتوسيع رأسي معامله 2 ، وانسحاب الى اليمين بمقدار 4 وحدات ، واخيراً انسحاب الى الأسفل بمقدار 3 وحدات .

---

أستعملُ التمثيل البياني المجاور الذي يُبيّن منحنى (f(x ؛ لتمثيل منحنى كُلّ من الاقترانات الآتية: $\mathbf{7}\mathbf{)} g(x)= f(x)+1 \mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{)} q\left(x\right)=f(x+2)$ $\mathbf{9}\mathbf{)} p(x) = \frac{1}{2} f(x+1) \mathbf{10}\mathbf{)} s\left(x\right)=-f\left(x\right)$

الحل:

7)	8)
9)	10)

 

11) سكّان: يُمثّل الاقتران $P\left(t\right)=3000+0.1t^2$ عدد سكّان أحد التجمّعات السكنية؛ إذ يُمثّل t عدد السنوات منذ تأسيس هذا التجمّع في عام 1985 م.

أصف التحويلات التي تمّت على الاقتران $f\left(t\right)=t^2$ للحصول على الاقتران $p\left(t\right)$.

الحل:

تضييق رأسي معامله 0.1 ، وانسحاب الى الاعلى بمقدار 3000 وحدة .

---

 

أستعملُ التمثيل البياني المجاور الذي يُبيّن منحنى (g(x ؛ لتمثيل منحنى كُلّ من الاقترانات الآتية: $\mathbf{12}\mathbf{)} h(x)=g(2x) \mathbf{13}\mathbf{)} p\left(x\right)=g(\frac{1}{2} x)$

الحل:

12)

13)

---