رياضيات أدبي فصل ثاني

 

التزايد والتناقص لكثيرات الحدود

 

فكرة الدرس : تحديد النقاط الحرجة ، وفترات التزايد والتناقص لكثيرات الحدود حتى الدرجة الثالثة.

أولًا  : النقاط الحرجة 

مثال : 

أجد النقاط الحرجة للاقتران : $f\left(x\right) = 3x^2 +12x$

الحل : 

1) اشتقاق الاقتران	$f\text{'}\left(x\right) = 6x + 12$
2) جعل المشتقة = صفر	$6x + 12 = 0$
3) حل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة x	$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

 

 

 

إذن عند x  = - 2  قيمة حرجة للاقتران f(x) ، قيمتها : 

$f(-2)= 3{(-2)}^2 +12(-2)= -12$

وعليه فالنقطة الحرجة على منحنى الاقتران f(x)  ، هي : $(-2,-12)$

---

ثانيًا : تزايد الاقتران وتناقصه  

مثال : 

أحدد فترات التزايد والتناقص للاقتران $f\left(x\right) = 3x^2-12x+1$

الحل : 

الخطوة 1 : أجد مشتقة الاقتران ، ثم أجد أصفارها.

مشتقة الاقتران	$f\text{'}\left(x\right) = x^2+ 4x +3$
بمساواة المشتقة بالصفر	$x^{2 }+ 4x + 3 = 0$
حل المعادلة الناتجة (تحليل ثلاثي الحدود) وإيجاد قيم x	$x^{2 }+ 4x + 3 = 0(x+1)(x+3) =0 \Rightarrow x = - 1 , x = -3$

 

 

 

 

 

إذن : أصفار المشتقة هي :    $x = - 1 , x = -3$

الخطوة 2 : أبحث في إشارة المشتقة حول أصفارها.

$x > -1$	$-3 < x < -1$	$x<-3$	الفترة
x = 0	x = - 2	x = - 4	قيم الاختبار (x)
$f\text{'}\left(0\right) > 0$	$f\text{'}(-2) < 0$	$f\text{'}(-4) > 0$	إشارة $f\text{'}\left(x\right)$
متزايد	متناقص	متزايد	سلوك الاقتران

 

 

 

إذن : الاقتران f متزايد في الفترتين $(-\infty , -3) , (-1 , \infty )$ ومتناقص في الفترة $(-3 , -1)$

---

يُمكن استعمال المشتقة لتصنيف النقاط الحرجة لكثيرات الحدود 

مثال :   

إذا كان الاقتران : $h\left(x\right) = \frac{1}{3}{x}^3 - x$ ، فاستخدم المشتقة لإيجاد كل مما يأتي : 

a)  النقاط الحرجة للاقتران h.
b) تصنيف النقاط الحرجة إلى عظمى محلية ، وصغرى محلية.

الحل : 

a)  النقاط الحرجة للاقتران h.

مشتقة الاقتران	$h\text{'}\left(x\right) = x^2 - 1$
مساواة المشتقة بالصفر	$x^2 - 1 = 0$
حل المعادلة الناتجة (تحليل فرق مربعين) وإيجاد قيم x	$x^2 - 1 = 0 (x-1) (x+1) = 0\Rightarrow x = 1 , x = -1$

 

 

 

 

 

إذن : أصفار المشتقة هي : $x = -1 , x = 1$

النقاط الحرجة : عند x = 1  ، فإنّ : $h\left(1\right) = -\frac{2}{3}$ ، إذن النقطة الحرجة الأولى :$(1 , -\frac{2}{3})$

وعند x = -1  ، فإنّ : $h(-1) = \frac{2}{3}$ ، إذن النقطة الحرجة الثانية : $(-1 , \frac{2}{3})$

b) تصنيف النقاط الحرجة إلى عظمى محلية ، وصغرى محلية.

$x > 1$	$-1 < x < 1$	$x< -1$	الفترة
x = 2	x = 0	x = - 2	قيم الاختبار (x)
$h\text{'}( 2) > 0$	$h\text{'}\left(0\right) < 0$	$h\text{'}(-2) > 0$	إشارة $f\text{'}\left(x\right)$
متزايد	متناقص	متزايد	سلوك الاقتران

 

 

إذن النقطة  $(-1 , \frac{2}{3})$عظمى محلية ؛ لأنَّ الاقتران متزايد عن يسارها ومتناقص عن يمينها ، والنقطة $(-1 , \frac{2}{3})$صغرى محلية ؛ لأنَّ الاقتران متناقص عن يسارها، ومتزايد عن يمينها.