التزايد والتناقص لكثيرات الحدود
فكرة الدرس : تحديد النقاط الحرجة ، وفترات التزايد والتناقص لكثيرات الحدود حتى الدرجة الثالثة.
أولًا : النقاط الحرجة
مثال :
أجد النقاط الحرجة للاقتران :
الحل :
1) اشتقاق الاقتران | |
2) جعل المشتقة = صفر | |
3) حل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة x |
إذن عند x = - 2 قيمة حرجة للاقتران f(x) ، قيمتها :
وعليه فالنقطة الحرجة على منحنى الاقتران f(x) ، هي :
ثانيًا : تزايد الاقتران وتناقصه
مثال :
أحدد فترات التزايد والتناقص للاقتران
الحل :
الخطوة 1 : أجد مشتقة الاقتران ، ثم أجد أصفارها.
مشتقة الاقتران | |
بمساواة المشتقة بالصفر | |
حل المعادلة الناتجة (تحليل ثلاثي الحدود) وإيجاد قيم x |
إذن : أصفار المشتقة هي :
الخطوة 2 : أبحث في إشارة المشتقة حول أصفارها.
الفترة | |||
x = 0 | x = - 2 | x = - 4 | قيم الاختبار (x) |
إشارة | |||
متزايد | متناقص | متزايد | سلوك الاقتران |
إذن : الاقتران f متزايد في الفترتين ومتناقص في الفترة
يُمكن استعمال المشتقة لتصنيف النقاط الحرجة لكثيرات الحدود
مثال :
إذا كان الاقتران : ، فاستخدم المشتقة لإيجاد كل مما يأتي :
a) النقاط الحرجة للاقتران h.
b) تصنيف النقاط الحرجة إلى عظمى محلية ، وصغرى محلية.
الحل :
a) النقاط الحرجة للاقتران h.
مشتقة الاقتران | |
مساواة المشتقة بالصفر | |
حل المعادلة الناتجة (تحليل فرق مربعين) وإيجاد قيم x |
إذن : أصفار المشتقة هي :
النقاط الحرجة : عند x = 1 ، فإنّ : ، إذن النقطة الحرجة الأولى :
وعند x = -1 ، فإنّ : ، إذن النقطة الحرجة الثانية :
b) تصنيف النقاط الحرجة إلى عظمى محلية ، وصغرى محلية.
الفترة | |||
x = 2 | x = 0 | x = - 2 | قيم الاختبار (x) |
إشارة | |||
متزايد | متناقص | متزايد | سلوك الاقتران |
إذن النقطة عظمى محلية ؛ لأنَّ الاقتران متزايد عن يسارها ومتناقص عن يمينها ، والنقطة صغرى محلية ؛ لأنَّ الاقتران متناقص عن يسارها، ومتزايد عن يمينها.