الدرس الثالث: التكامل المحدود
سنتعرف في درس التكامل المحدود إلى:
1) مفهوم التكامل المحدود.
2) خصائص التكامل المحدود.
3) تكاملات الاقترانات المتشعبة.
4) التكامل المحدود ومقدار التغير.
أولًا: مفهوم التكامل المحدود:
التكامل المحدود هو: تكامل الاقتران الذي يكتب على الصورة ،
حيث الحد السفلي للتكامل، و الحد العلوي له.
ويمكن تعريف التكامل المحدود باستخدام المخطط الآتي:
أتذكر : هو اقتران أصلي للاقتران .
ألاحظ: إلغاء ثابت التكامل عند إيجاد التكامل المحدود ، وهذا يعني أنّ الناتج هو نفسه بصرف النظر عن الاقتران الأصلي المستعمل :
إذن المفهوم الأساسي للتكامل المحدود هو:
مثال(1): جد قيمة كل من التكاملين الآتيين:
الحل:
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت | |
بالتعويض | |
بالتبسيط |
الفرق بين مربعين تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط |
ملاحظة: إذا عُلِمت قيمة التكامل المحدود، يمكن إيجاد حد من حدوده إذا كانت قيمته مجهولة .
مثال(2): إذا كان ، فجد قيمة الثابت
الحل:
التكامل المعطى | |
تكامل اقتران القوة | |
بالتعويض | |
بالتبسيط |
ثانيًا: خصائص التكامل المحدود:
يمكن التعرف إلى خصائص التكامل المحدود كالآتي:
ملاحظة: في خاصية تجزئة التكامل ، لا يُشترط أن تكون
مثال(3): إذا كان ، فأجد قيمة كل مما يأتي:
الحل:
تكامل الفرق | |
تكامل الاقتران المضروب في ثابت |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط |
بالتبديل بين حدي التكامل | |
تكامل الاقتران المضروب في ثابت |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط |
بتجزئة التكامل | |
بالتعويض | |
بالتبسيط |
ثالثًا: تكاملات الاقترانات المتشعبة:
الاقتران المتشعب: هو الاقتران المعرّف بقواعد مختلفة لأجزاء مجاله.
ومن الأمثلة على الاقترانات المتشعبة:
ومن الأمثلة كذلك على الاقترانات المتشعبة: اقتران القيمة المطلقة ، مثل:
؛ حيث يمكن إعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة كالآتي:
وقد تعلمنا كيفية تعريف اقتران القيمة المطلقة في درس الاستعداد لوحدة التكامل .
خطوات إيجاد التكامل المحدود للاقترانات المتشعبة:
1) قم بإعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة - إن وُجد -
1) استخدم خاصية التجزئة في إيجاد التكامل المحدود عند نقاط التشعب.
2) جد تكامل كل قاعدة على فترتها الجزئية.
مثال(4): إذا كان ، فأجد قيمة:
الحل :
قاعدة تجزئة التكامل | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط |
مثال(5): إذا كان ، فأجد قيمة:
بإعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة |
|
قاعدة تجزئة التكامل | |
تكامل اقتران القوةوتكامل الثابت |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط |
رابعًا: التكامل المحدود ومقدار التغير:
أتذكر: المشتقة هي: معدل تغير كمية بالنسبة إلى كمية أخرى عند لحظة معينة.
فمثلًا: هي معدل تغير بالنسبة إلى
أتعلم:يمكن استخدام التكامل المحدود لإيجاد مقدار التغير ، إذا كان معدل التغير معلومًا ،
وطُلِب منك إيجاد مقدار التغير في عند تغير من: إلى
و يُعَبَّر عن مقدار التغير بـــ ، ويمكن إيجاده على النحو الآتي:
مثال(6): يمثل الاقتران التكلفة الحدية (بالدينار) لكل قطعة تنتجها إحدى الشركات،
حيث عدد القطع المنتجة ، و تكلفة إنتاج قطعة بالدينار.
جد مقدار التغير في التكلفة عند زيادة الشركة إنتاجها من 20 قطعة إلى 40 قطعة شهريًّا.
الحل:
صيغة مقدار التغير | |
بتعويض
|
|
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط | |
إذن، عند زيادة إنتاج الشركة من 20 قطعة إلى 40 قطعة ، فإنّ تكلفة الإنتاج ستزيد شهريًّا بمقدار |