الرياضيات فصل ثاني

التوجيهي أدبي

icon

درس التكامل المحدود

 

مسألة اليوم صفحة 22:

يمثل الاقتران: C َ (x) = 500 - x3 التكلفة الحديّة الشهرية (بالدينار) لكل دراجة نارية ينتجها أحد مصانع الدراجات، حيث x عدد الدراجات المنتجة شهريًّا، و C(x) تكلفة إنتاج x دراجة شهريًا بالدينار. أجد مقدار التغير في التكلفة عند زيادة الإنتاج من 300 دراجة إلى 600 دراجة شهريًّا.

 

 

 

 

الحل:

Cb - Ca = ab C َ x  dx صيغة مقدار التغير
 C(600) - C(300) = 300600 500 -x3  dx        بتعويض a =300 , b=600
                                                                           =500 x - 13 x22  600300=500 x - 16 x2  600300

تكامل اقتران القوة المضروب بثابت

وتكامل الثابت

                                                                         = (500 600 - 16 6002)-(500 300 - 16 3002) بالتعويض
                                                                         = (300000  - 16 (360000))-(150000  - 16 (90000))=(300000  -60000) -(150000 - 15000)= 240000 -135000=105000  بالتبسيط

إذن ، عند زيادة الإنتاج من 300 دراجة إلى 600 دراجة شهريًّا؛ فإن تكلفة الشركة ستزيد شهريًا بمقدار JD 105000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

أتحقق من فهمي صفحة 23:

أجد قيمة كل من التكاملين الآتيين:

            a) 14 (8x - x) dxb) -12 (1 -x)(1+3x) dx

 

الحل:

a) 14 (8x - x) dx
   14 (8x -x12 ) dx = (8x22 -x3232) 41                             = (4 x2 - 23 x3) 41 تكامل اقتران القوة المضروب بثابت
                                                                      = (4 (4)2 - 23 43) -(4 (1)2 - 23 13) بالتعويض
                                                                      =(4 (16) - 23 64)-(4 (1) - 23 1)=(64 - 23 (8))-(4 - 23 )=64 - 163-4 +23=60+ (-16+2)3=1803 +-143=1663 بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) -12 (1 -x)(1+3x) dx
 -12 (1 -x)(1+3x) dx = -12 (1 +3x-x-3x2) dx                                        = -12 (1 +2x-3x2) dx بإيجاد حاصل ضرب المقدارين أولًا قبل التكامل
                                                                                             = x + 2x22-3x332-1=( x +x2 -x3)2-1 تكامل اقتران القوة المضروب بثابت، وتكامل الثابت
                                                                                              = ( 2 +22 -23) - ( -1 +-12 --13) = ( 2 +4 -8) -( -1 +1 --1)=-2 - 1=-3 بالتعويض والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

أتحقق من فهمي صفحة 24:

إذا كان 0k 6x2 dx = 2 ، فأجد قيمة الثابت k.

الحل:

0k 6x2 dx = 2 التكامل المعطى
               6x33k0 = 2x3 k0 تكامل اقتران القوة
              2(k)3 - 2(0)3=2 بالتعويض
             2(k)3 -0 = 2        2k3  = 2          k3  = 1       k  = 1 بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


أتحقق من فهمي صفحة 26:

إذا كان -11f(x) dx = 5 , 41f(x) dx =2 , -11h(x) dx = 7 ، فأجد قيمة كل مما يأتي:

                                                                                                                    a) -11 (f(x) + 3 h(x)) dxb) -14 f(x) dxc) 1-14 h(x) dx 

 

 

الحل:

 

a) -11 (f(x) + 3 h(x)) dx
  -11 (f(x) + 3 h(x)) dx=-11f(x) dx +-11 3 h(x) dx  تكامل المجموع
                                                                                             = 5 + 3 7

بالتعويض وتكامل الاقتران المضروب في ثابت

                                                                                              = 5 +21= 26

بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) -14 f(x) dx
-14 f(x) dx = -11 f(x) dx +14 f(x) dx بتجزئة التكامل
                                                 = 5 +-2

بالتعويض

والتبديل بين حدي التكامل حيث:

14 f(x) dx =-41 f(x) dx=-2

                                                 = 3 بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c) 1-14 h(x) dx
1-14 h(x) dx =-4  -11 h(x) dx

تكامل الاقتران المضروب في ثابت

والتبديل بين حدي التكامل

                                                           = -4 7 بالتعويض
                                                             = -28 بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

أتحقق من فهمي صفحة 27:

إذا كان f(x) = {1+x    , x <12x        , x1 ، فأجد قيمة:-22 f(x) dx

الحل :

-22 f(x) dx = -21 (1+x) dx +12 2x dx قاعدة تجزئة التكامل
                                                = (x +x22)   1-2 + 2x22 21 = (x +x22)    1-2 + x2 21

تكامل اقتران القوة

وتكامل الثابت

                                               = (1 + 12 -  -2 + -222) + (22-12) بالتعويض
                                              = ( 32 -  -2 + 42) + (4-1)= 32 -- 2 +2 + 3=32 +3=32+62 =92 بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

إذا كان f(x) = |x-3| ، فأجد قيمة:-14 f(x) dx

f(x) = {3-x , x <3x-3 , x 3

بإعادة تعريف اقتران

القيمة المطلقة

-14 f(x) dx = -13(3-x)dx + 34 (x-3)dx قاعدة تجزئة التكامل
                                               =(3x -x22) 3-1+ (x22-3x)43

تكامل اقتران القوة

وتكامل الثابت

                                            =(3(3)-322-3(-1)--122)+(422-34-322-33) بالتعويض
                                          = 9-92--3 -12+8-12-92-9=182-92--62 -12+-4-92-182=92--72 +-82--92=162+ 12=172 بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


أتحقق من فهمي صفحة 29:

التغير في الأرباح: يمثل الاقتران: P َ (x)= 165-0.1x الربح الحدي الشهري (بالدينار) لكل جهاز لوحي تبيعه إحدى الشركات،

                             حيث x عدد الأجهزة اللوحية المبيعة شهريًا، و P(x) ربح بيع x  قطعة شهريًّا بالدينار.

                             أجد مقدار التغير في أرباح الشركة عند زيادة مبيعاتها الشهرية إلى 1500 جهاز،

                             علمًا بأن عدد الأجهزة المبيعة الآن هو 1400 جهاز.

 

 

الحل:

P(b) - P(a)=ab P َ (x) dx صيغة مقدار التغير
P(1500) - P(1400)=14001500 (165 - 0.1x) dx

بتعويض 

a= 1400 , b = 1500 , Pَ (x) = (165-0.1 x)

                                                          =(165x -0.1 x22) 15001400 =(165x -0.05 x2 )15001400

تكامل اقتران القوة

المضروب بثابت وتكامل الثابت

                                                         = ( 165 (1500)-0.0515002 -165(1400)-0.0514002 ) بالتعويض
                                                        = (  247500-0.052250000 -231000-0.051960000 )= (  247500-112500 -231000- 98000 )= 135000 -133000=2000 بالتبسيط

إذن، عند زيادة مبيعات الشركة من 1400 جهاز  إلى 1500 جهاز ، فإنّ أرباح الشركة  ستزيد شهريًّا بمقدار JD 2000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


أتدرب وأحل المسائل صفحة 29:

أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:

 

1) -13  3x2 dx
-13  3x2 dx = 3 x33  3-1                                        = x3   3-1 تكامل اقتران القوة المضروب بثابت
                                             = 33 - -13 بالتعويض
                                               = 27 --1=27 +1 = 28  بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) -3-2  6 dx
-3-2  6 dx = 6x  -2-3 تكامل الثابت
                                        = 6-2 - 6-3 بالتعويض
                                         = -12 - (-18)=-12 + 18= 6 بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) 02  3x2 +4x +3 dx
02  (3x2 +4x +3) dx = 3x33+4x22+3x  20                                    =  x3   + 2x2  +3x  20

تكامل اقتران القوة

المضروب بثابت

وتكامل الثابت

                                                                                       =( 23   +2 22  +32) -( 03   +2 02  +30) بالتعويض
                                                                                    =( 8   +2 4  +6) -0=8   + 8  +6 =22 بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) 18  8 x3  dx
 18  8 x3  dx= 18  8 x13  dx                      = 8 x4343 81                      =8 34x43  81                      = 6 x43  81 

تكامل اقتران القوة

المضروب بثابت

 

                                                   = 6 843 -143=624 - 14=616 - 1=6 15=90

بالتعويض

والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) 19  x - 4x  dx
 19  x - 4x  dx = 19  x12 -4 x-12  dx                                   = x3232-4 x1212 91                                   = 23x3 - 8 x 91

تكامل اقتران القوة

المضروب بثابت

 

                                                                                   = (2393 - 8 9)- (2313 - 8 1) = (2333 - 8 3)- (23 - 8) =(23(27) - 24)- (23 - 243) = 18 -24 - -223 = -6 + 223  =- 183 +  223 =  43

بالتعويض

والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) -2  3  (-x2+4x -5)  dx
 -2  3  (-x2+4x -5)  dx = -x33+4x22-5x     3-2                                         =-x33 + 2x2  -5x     3-2

تكامل اقتران

القوة المضروب بثابت

وتكامل الثابت

 

                                                                                            =(-333 + 232  -53) - (-(-2)33 + 2(-2)2  -5(-2))=(-9 + 29 -15) - (--83 + 2(4)  +10)=-6 - 83 - 18  =-183 - 83 - 18  =-263-543= - 803

بالتعويض

والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7) 13  x-2x+2 dx
    13  x-2x+2 dx =13  x2-4 dx                                  =x33-4x  31

 

الفرق بين مربعين

تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت

 

                                                                            = (333-43)-(13-4(1))= (9 - 12) - (13- 123) = -3-(-113) = -93+113= 23

بالتعويض

والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8) -3  3  (9-x2) dx 
-3  3  (9-x2) dx=( 9x -x33)     3-3 

 

 

تكامل اقتران القوةوتكامل الثابت

 

                                                             =( 93 -333)-( 9(-3) -(-3)33)=( 27 -9)-( -27 +9)= 18 --18=18+18=36

بالتعويض

والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9) 14  2+xx2 dx
14  2+xx2 dx =14 2x2 dx +14 xx2 dx                        =14 2x-2 dx +14 x-32 dx                        = 2x-1-1 41 + x-12-12 41                       =-2x 41 - 2x 41                       

بقسمة كل حد في البسط على المقام

 

 

 

تكامل اقتران القوة المضروب في ثابت

 

 

 

                                                       =-24--21 -24-21=-12+2 -22-2=-12+42 -1-2=32--1=32 + 22=52=2.5

بالتعويض

والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10) 14  x3 x +1x dx
14  x3 x +1x dx=14  (x3x +x3x) dx                                = 14  x72 +x2 dx                                = x9292+x33  41                                = 29x9 +13x3  41

بتوزيع الضرب على الجمع

 

تعريف الأس السالب والصورة الأسية

 

 

 

تكامل اقتران القوة المضروب في ثابت

 

 

 

 

                                                                             = 2949 +1343- (2919 +1313)= (2929 +1364)- (29 +13)=(29(512) +643)- (29 +39)=10249+643-59=10199+ 1929=12119=134 59

بالتعويض

والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11) 18  (x13- x-15) dx
18  (x13- x-15) dx=  (x4343- x4545)   81                                 = 34 x43 - 54x45 81

تكامل اقتران القوة

واستخدام الصورة الجذرية

                                                                              = 34 843 - 54845-(34 143 - 54145) = (34  (2)4 - 54845)-(34  - 54)=12 -544 45  --24=12 -5 4 5 + 12=12.5 -5 4 5

بالتعويض

والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12) 19  (2+x)2 dx
 19  (2+x)2 dx = 19  (4+4x+x) dx                            = 4x + 4 x3232+ x22  91                            = (4x +83x3 +12x2)  91

بإيجاد مربع الاقتران أولًا

 

تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت

 

باستخدام الصورة الجذرية

                                                                   = (4(9) +83(9)3 +12(9)2) - (4(1) +83(1)3 +12(1)2)= (36 +8327 +812) - (4 +83 +12)  =(36 +72 +40.5) - (123 +83 +12)  = 148.5 - (203 +12)  = 148.5 - (406 +36)   = 148.5 -436  148.5 - 7.17 =141.33     

بالتعويض

والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13) -1  4  3x -6 dx
f(x)=|3x-6| = {6-3x  , x <2 3x-6 , x 2

بإعادة تعريف اقتران

القيمة المطلقة

-1  4  f(x) dx = -1  2(6-3x)dx + 24(3x-6)dx قاعدة تجزئة التكامل
                                                      =(6x -3x22)    2-1+ (3x22-6x)42

تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت

                                                         =(6(2)-3222-6(-1)-3-122)+(3422-64-3222-62) بالتعويض
                                                   =(12-6--6-32)+(24-24-6-12) =(6--122-32)+(0--6) =(6--152)+6  =6+7.5+6  = 19.5 بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14) 03  |x -2| dx
f(x)=|x-2| = {2-x  , x <2 x-2 , x 2

بإعادة تعريف اقتران

القيمة المطلقة

03  f(x) dx = 02(2-x)dx + 23(x-2)dx قاعدة تجزئة التكامل
                                                 =(2x -x22) 20+ (x22-2x)32

تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت

                               =(2(2)-222-2(0)-022)+(322-23-222-22)                 بالتعويض
                                            =4-2+(92-6-2-4)=2+(92-122--2)=2+-32+2 =4+-32 =82+-32 =52=2.5 بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15) 23 x2-1x +1   dx
23 x2-1x +1   dx = 23 x+1x-1x +1   dx                          = 23x-1dx الفرق بين مربعين، وتبسيط بالاختصار
                                                           = x22-x 32

تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت

                                                          = 322-3- 222-2 بالتعويض
                                                           = (92-62)- (2-2)= 32 -0= 32 بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


16) إذا كان f(x) = {2x+1    , x 310-x    , x >3 ، فأجد قيمة:04 f(x) dx

 

الحل:

04 f(x) dx = 03 (2x+1) dx +34 10-x dx قاعدة تجزئة التكامل
                                         = (2x22+x)   30 + 10x -x22 43 =    (x2+x)   30 + 10x -x22 43

تكامل اقتران القوة

وتكامل الثابت

                                  = ( 32 + 3 -  02 + 0) + (104-422-(103-322)) بالتعويض
                                =  9 + 3 + (40-8-(30-4.5)) =12 + 32 -25.5= 44-25.5=18.5 بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

17) إذا كان: f(x) = {-x2+5    , x <0   x+5      , x 0 ، فأجد قيمة: -1  2 f(x) dx

 

الحل:

-1  2 f(x) dx = -1  0 (-x2+5) dx +02 (x+5) dx قاعدة تجزئة التكامل
                                                = (-x33+5x)     0-1 + (x22+5x) 20 

تكامل اقتران القوة

وتكامل الثابت

                                             = (-033  +50  -(--133  +5-1 ) ) + (222+52-(022+50)) بالتعويض
                                           = -(13  -5 ) + 2+10 = -(13  -153 ) +12=--143+12=143+363=503=16 23 بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 إذا كان: 12 f(x) dx = -4 , 15 f(x) dx = 6, 15 g(x) dx = 8، فأجد قيمة كل مما يأتي:

 

18)22 g(x) dx =0 aaf(x)  dx = 0

19)51 (g(x)-2) dx =51 g(x) dx- 51 (2) dx                                  =-15 g(x) dx  - 2x 15                                  = -8 -21-25                                 = -8 -(2-10)                                 = -8+8                                 = 0

تكامل الفرق

 

بالتبديل بين حدي التكامل، وتكامل الثابت

 

 

 

20)12 3f(x)+x dx = 12 3f(x) dx + 12  x dx                                 = 3  12 f(x) dx + x22 21                                  = 3 (-4) + 222-122                                 = -12 + 2 -12                                = -12 +1.5                                = -10.5

تكامل المجموع

تكامل الاقتران المضروب في ثابت

 

 

 

 

 

21)25 f(x) dx 

 

           15 f(x) dx =12 f(x) dx + 25 f(x) dx      6            =  -4           + 25 f(x) dx    6          +  4         = 25 f(x) dx      10   = 25 f(x) dx  

بتجزئة التكامل

بالتعويض

 

بحل المعادلة

22)15 f(x)-g(x) dx =15 f(x) dx - 15 g(x) dx                                    =           6    -   8                                    = -2

 

تكامل الفرق

 

 

 

23)15 (4f(x)+g(x)) dx =415 f(x) dx + 15 g(x) dx                                    =      4    6    +   8                                    =      24 +8                                     = 32

تكامل المجموع ، تكامل الاقتران المضروب في ثابت

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

24) إذا كان: 1m6x - 10 dx = 4 ، فأجد قيمة الثابتm .

الحل:

1m(6x - 10) dx = 4 التكامل المعطى
       1m(6x - 10) dx =(6x22 - 10x)  m1                            =(3x2-10 x)  m1 تكامل اقتران القوة
       4=(3m2-10 m)-(3(12)-10 (1))  بالتعويض
        4=(3m2-10 m)-(3-10 ) 4 =(3m2-10 m) - -74 =(3m2-10 m) +70 =(3m2-10 m) +7-40 =3m2-10 m +30 =3m -1m-3 3m-1 = 0 m=13or    m-3 = 0 m = 3   بالتبسيط وحل المعادلة التربيعية

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


25)تغير التكلفة:  يمثل الاقتران:C َ (x)= 6x + 1 التكلفة الحدية (بالدينار) لكل قطعة تنتجها إحدى الشركات،

                              حيث x عدد القطع المنتجة ، و C(x) تكلفة إنتاج x قطعة بالدينار.

                              أجد مقدار التغير في التكلفة عند زيادة الشركة إنتاجها من 10 قطع إلى 20 قطعة شهريًّا.

 

 

الحل:

C(b) - C(a)=ab C َ (x) dx صيغة مقدار التغير
C(20) - C(10)=1020 (6x+1) dx

بتعويض

a= 10 , b = 20 , C َ (x) = (6x+1)

                                                            =(6x22+x) 2010 =(3x2 +x)  2010

تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت

                                                           = (3202 + 20-3102 + 10) بالتعويض
                                                             = ((3400 + 20)-(3100 + 10)) =(1200 + 20) - 300 + 10 =1220 - 310 = 910 بالتبسيط
إذن، عند زيادة إنتاج الشركة من 10 قطع  إلى 20 قطعة ، فإنّ تكلفة الإنتاج ستزيد شهريًّا بمقدار JD 910

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

26)تلوث:  يلوث مصنع بحيرة بمعدل يمكن نمذجته بالاقتران: N َ (t)= 280 t32 ،

                 حيث t عدد الأشهر منذ الآن، و N(t) عدد الكيلوغرامات من الملوثات التي يطرحها المصنع في البحيرة.

                كم كيلوغرامًا من الملوثات يدخل البحيرة منذ الآن حتى 4 أشهر؟

 

الحل:

N(b) - N(a)=ab N َ (t) dx صيغة مقدار التغير
N(4) - N(0)=04 280 t32 dx

بتعويض

a= 0 , b = 4 , Nَ(t) = (280 t32)

                                                    =(280 t5252) 40 =(280 25t5)  40=112 t5  40

تكامل اقتران القوة المضروب بثابت

                                                      =112 4 5-112 0 5 بالتعويض
                                                 =112 25-0=112 32= 3584 بالتبسيط
إذن،يدخل البحيرة 3584 كيلوغرامًا من الملوثات في 4 أشهر.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

مهارات التفكير العليا:

 

27) أكتشف الخطأ: أوجد خالد ناتج التكامل: 02x2 + x dx، وكان حله على النحو الآتي: 

 

أكتشف الخطأ في حل خالد ثم أصححه.

 

الخطأ: عدم مراعاة ترتيب حدود التكامل عند التعويض .

           حيث قام خالد بتعويض الحد الأدنى للتكامل(0) أولًا ثم الحد الأعلى (2)

 

التصحيح:

                    = 1323 + 1222 - 1303 + 1202 =138 + 124 - 0=83+2 =283=143

 

 


 

28) تبرير: أثبت أنّ: 01 xn 1-x dx = 1n+1n+2 ، حيث n > 0 ، مبررًا إجابتي.

 

أولًا ابدأ بإيجاد تكامل الطرف الأيسر: 01 xn (1-x) dx

 

           01 xn (1-x) dx =01 xn-xn. x dx                           =01 xn-xn+1 dx                          =xn+1n+1  10 - xn+1+1n+1+1 10                         =1n+1n+1-0n+1n+1- 1n+2n+2-0n+2n+2                        = 1n+1- 1n+2                        = 1n+2(n+1)n+2- 1n+1(n+2)n+1                      =n+2 -n+1n+1n+2                      =n+2 -n-1n+1n+2                    =2 -1n+1n+2                     = 1n+1n+2

 


29) تحد: إذا كان:152ax + 7 dx = 4 a2 ، فأجد قيمة الثابت a .

 

الحل:

       152ax + 7 dx = 2a x22+7x  51          4a2          =ax2 +7x 51         4a2          =a52 +75-a12 +71         4a2          =(a25 +35)-(a +7)           4a2          =25 a +35-a -7           4a2          =24 a +28                   4a2 - 24 a -28   =0     ÷4          a2 - 6 a -7   =0                 (a-7)(a+1)=0        a = 7 or a =-1 

 


 

كتاب التمارين صفحة 11 :

 

أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:

 

 

1)15 10 x-2 dx  15 10 x-2 dx = 10 x-1-1 51                        = -10x  51                        = -105-101                       =-2-10                       =8
2)02 2x3-4x+5 dx   02 2x3-4x+5 dx =2x44-4x22+5x20                                    =12x4 -2x2+5x20                                    =(1224 -222+52)-0                                 = 8- 8 +10                                 =10
3) 14 x3+2x2x dx   14 x3+2x2x dx=14x3x +2x2xdx                        = 14x52 +2 x32dx                        =x7272+2 x5252  41                        = 27x7 +45x5 41                        = (2747 +4545)-(2717 +4515)                       = (27128 +4532)-27+45                       = 2567+1285-27-45                       =2547+1245                       =1270 + 86835= 213835
4) 36x-3x2 dx    36x-3x2 dx = 36x2- 6 +9x2dx                          =36x2- 6 +9x-2dx                           =x33-6x + 9x-1-1 63                          = x33-6x -9x 63                          = 633-66 -96-333-63 -93                         =2163-36-32-9-18-3                        =72-36-32--12                        =36 -32+12                        =  48 - 32                        = 962- 32=932
5) 05x+3-5dx    x+3 = -x-3  , x<-3   x+3  , x-305x+3-5dx = 05(x+3-5)dx                            =05(x-2)dx                            =x22-2x  50                            = 522-25-022-50                           = 252-10 - 0                          = 252-202=52
6)06x6-x dx   06x6-x dx= 066x - x2 dx                        = 6x22-x33 60                         =3 x2-x33 60                         = 3 62-633-3 02-033                        = 108-72                         =36
7) 126x-12x4+3dx   12(6x-12x4+3)dx=12(6x-12 x-4+3)dx                              =6x22-12x-3-3+3x 21                                = (3x2+4x3+3x) 21                               = (322+423+32)-(312+413+31)                              = 12 + 12+6-3+4+3                              =18.5 -10                              = 8.5
8) 072x-1 dx     2x-1=1-2x , x<122x-1, x12 07|2x-1| dx = 012  1-2x dx +  12 7 2x-1 dx                       = x-2x22 120+2x22-x 712                     =  x-x2 120+x2-x 712                    = 12-122-0-02+ 72-7-122-12                    = 12-14 + 49-7-14-12                    = 14 +42 +14                     =42 24=42.5
9) -34x dx     |x|={-x  , x<0   x  , x0 -34x dx = -3  0 (-x) dx +  04 x dx                       = (-x22)   0-3+(x22) 40                                       = (-022---322+ (422-022)                    =- (-92) +(162)                    =4.5 +8                    = 12.5         
10) 12x2+x3x dx       12x2+x3x dx =  12 x2x+ x3x dx                       = 12 (x+ x2) dx                       = x22+x33   21                      =  (222+233) -  (122+133)                      = 42+ 83- 12-13                      = 32+73                      = 96+146= 236
11) 436x2-4x dx      34(6x2-4x) dx = (6x33-4x22) 43                          = (2x3- 2x2) 43                          =(2(4)3- 2(4)2)-(2(3)3- 2(3)2)                          =(128-32)- (54-18)                          = 96 - 36                          = 60
12) 1010 x+1x2 dx     1010 x+1x2 dx = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


إذا كان: -32 f(x) dx = 5 , -31 f(x) dx = 4 , -32 g(x) dx = -2 ، فأجد كلًا مما يأتي:

 

13) 22 f(x) dx = 0
 14) 12 f(x)-5 dx = 12 f(x) dx dx -12 5 dx                                   = 1-3f(x) dx +-32f(x) dx  - 5x 21                                   =-4   + 5 - 52-1                                  = 1 -5 = -4 
  15) -3 2 -2f(x)+5g(x) dx =-2-32f(x) dx + 5 -32 g(x) dx                                                = -2 (5) + 5 (-2)                                                = -10 -10                                               = -20 
  16) 2-3 g(x)+2x dx =2-3g(x) dx + 2-32x dx                                       = --32g(x) dx + 2x22 -3   2                                       = - -2 + x2 -3   2                                       = 2 + 9 - 4                                        = 2 + 5 = 7
  17) 2-3 f(x)+g(x) dx =2-3f(x) dx + 2-3g(x) dx                                         = --32f(x) dx +- -32g(x) dx                                         = -5   --2                                         =-5 + 2 = -3
18) -3 2 4f(x)-3g(x) dx =4-32f(x) dx -3-32g(x) dx                                             = 4(5) - 3( -2)                                             = 20 + 6 = 26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

19) إذا كان:f(x) = x2        , x<28-x   , x2 ، فأجد قيمة: -36 f(x) dx .

 

الحل:

                  -36 f(x) dx = -32 x2 dx +268-xdx                    = x33 2-3 + 8x-x22 62                  =233--333+86-622-82-222                  = 83+273+48 -18-16-2                   =83+ 9+30 - 14                   = 83+25                  = 83+753=833

 


 

19)سكان: أشارت دراسة إلى أن عدد السكان في إحدى القرى يتغير شهريًا بمعدل يمكن نمذجته بالاقتران: 

                  P َ t = 5 + 3t23، حيث t عدد الآشهر من الآن، و P(t) عدد السكان.

                 أجد مقدار الزيادة في عدد سكان القرية في الأشهر الثمانية القادمة.

 

الحل:

                 P(t) = 08 5+ 3t23 dt       = 5t + 3 t5353  80       = 5t + 95t53 80       = 58 + 95853-50 + 95053      = 40 + 9525      = 40 + 9×325      = 40 + 2885      = 2005+ 2885= 4885=97.6

إذن مقدار الزيادة في عدد سكان القرية في الأشهر الثمانية القادمة هو تقريبًا 97 شخصًا.


21) إذا كان: 23x2-a dx = 5 ، فأجد قيمة الثابت a.

الحل:

               23(x2-a) dx = 5   x33-ax  32=5 333-a3- 233-a2=5  273-3a- 83-2a=5    273-3a -83+2a = 5    193-a=5        (×3)    19 - 3a = 15 19 - 15 = 3a 4 = 3a43 = a 


انتهت أسئلة الدرس