درس التكامل المحدود
مسألة اليوم صفحة 22:
يمثل الاقتران: التكلفة الحديّة الشهرية (بالدينار) لكل دراجة نارية ينتجها أحد مصانع الدراجات، حيث عدد الدراجات المنتجة شهريًّا، و تكلفة إنتاج دراجة شهريًا بالدينار. أجد مقدار التغير في التكلفة عند زيادة الإنتاج من 300 دراجة إلى 600 دراجة شهريًّا.
الحل:
صيغة مقدار التغير | |
بتعويض | |
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط | |
إذن ، عند زيادة الإنتاج من 300 دراجة إلى 600 دراجة شهريًّا؛ فإن تكلفة الشركة ستزيد شهريًا بمقدار |
أتحقق من فهمي صفحة 23:
أجد قيمة كل من التكاملين الآتيين:
الحل:
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت | |
بالتعويض | |
بالتبسيط |
بإيجاد حاصل ضرب المقدارين أولًا قبل التكامل | |
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت، وتكامل الثابت | |
بالتعويض والتبسيط |
أتحقق من فهمي صفحة 24:
إذا كان ، فأجد قيمة الثابت .
الحل:
التكامل المعطى | |
تكامل اقتران القوة | |
بالتعويض | |
بالتبسيط |
أتحقق من فهمي صفحة 26:
إذا كان ، فأجد قيمة كل مما يأتي:
الحل:
تكامل المجموع | |
بالتعويض وتكامل الاقتران المضروب في ثابت |
|
بالتبسيط |
بتجزئة التكامل | |
بالتعويض والتبديل بين حدي التكامل حيث: |
|
بالتبسيط |
تكامل الاقتران المضروب في ثابت والتبديل بين حدي التكامل |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط |
أتحقق من فهمي صفحة 27:
إذا كان ، فأجد قيمة:
الحل :
قاعدة تجزئة التكامل | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط |
إذا كان ، فأجد قيمة:
بإعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة |
|
قاعدة تجزئة التكامل | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط |
أتحقق من فهمي صفحة 29:
التغير في الأرباح: يمثل الاقتران: الربح الحدي الشهري (بالدينار) لكل جهاز لوحي تبيعه إحدى الشركات،
حيث عدد الأجهزة اللوحية المبيعة شهريًا، و ربح بيع قطعة شهريًّا بالدينار.
أجد مقدار التغير في أرباح الشركة عند زيادة مبيعاتها الشهرية إلى 1500 جهاز،
علمًا بأن عدد الأجهزة المبيعة الآن هو 1400 جهاز.
الحل:
صيغة مقدار التغير | |
بتعويض
|
|
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط | |
إذن، عند زيادة مبيعات الشركة من 1400 جهاز إلى 1500 جهاز ، فإنّ أرباح الشركة ستزيد شهريًّا بمقدار |
أتدرب وأحل المسائل صفحة 29:
أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت | |
بالتعويض | |
بالتبسيط |
تكامل الثابت | |
بالتعويض | |
بالتبسيط |
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط |
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت
|
|
بالتعويض والتبسيط |
|
|
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت
|
|
بالتعويض والتبسيط |
|
|
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت
|
|
بالتعويض والتبسيط |
الفرق بين مربعين تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
|
|
بالتعويض والتبسيط |
تكامل اقتران القوةوتكامل الثابت
|
|
بالتعويض والتبسيط |
|
|
بقسمة كل حد في البسط على المقام
تكامل اقتران القوة المضروب في ثابت
|
|
بالتعويض والتبسيط |
|
|
بتوزيع الضرب على الجمع
تعريف الأس السالب والصورة الأسية
تكامل اقتران القوة المضروب في ثابت
|
|
بالتعويض والتبسيط |
|
|
تكامل اقتران القوة واستخدام الصورة الجذرية |
|
بالتعويض والتبسيط |
|
|
بإيجاد مربع الاقتران أولًا
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
باستخدام الصورة الجذرية |
|
بالتعويض والتبسيط |
|
|
بإعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة |
|
قاعدة تجزئة التكامل | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط | |
|
بإعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة |
|
قاعدة تجزئة التكامل | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط | |
|
الفرق بين مربعين، وتبسيط بالاختصار | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط |
16) إذا كان ، فأجد قيمة:
الحل:
قاعدة تجزئة التكامل | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط |
17) إذا كان: ، فأجد قيمة:
الحل:
قاعدة تجزئة التكامل | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط |
إذا كان: ، فأجد قيمة كل مما يأتي:
تكامل الفرق
بالتبديل بين حدي التكامل، وتكامل الثابت
|
|
تكامل المجموع تكامل الاقتران المضروب في ثابت
|
|
|
بتجزئة التكامل بالتعويض
بحل المعادلة |
تكامل الفرق
|
|
تكامل المجموع ، تكامل الاقتران المضروب في ثابت
|
24) إذا كان: ، فأجد قيمة الثابت .
الحل:
التكامل المعطى | |
تكامل اقتران القوة | |
بالتعويض | |
بالتبسيط وحل المعادلة التربيعية |
25)تغير التكلفة: يمثل الاقتران: التكلفة الحدية (بالدينار) لكل قطعة تنتجها إحدى الشركات،
حيث عدد القطع المنتجة ، و تكلفة إنتاج قطعة بالدينار.
أجد مقدار التغير في التكلفة عند زيادة الشركة إنتاجها من 10 قطع إلى 20 قطعة شهريًّا.
الحل:
صيغة مقدار التغير | |
بتعويض
|
|
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط | |
إذن، عند زيادة إنتاج الشركة من 10 قطع إلى 20 قطعة ، فإنّ تكلفة الإنتاج ستزيد شهريًّا بمقدار |
26)تلوث: يلوث مصنع بحيرة بمعدل يمكن نمذجته بالاقتران: ،
حيث عدد الأشهر منذ الآن، و عدد الكيلوغرامات من الملوثات التي يطرحها المصنع في البحيرة.
كم كيلوغرامًا من الملوثات يدخل البحيرة منذ الآن حتى 4 أشهر؟
الحل:
صيغة مقدار التغير | |
بتعويض |
|
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت |
|
بالتعويض | |
بالتبسيط | |
إذن،يدخل البحيرة 3584 كيلوغرامًا من الملوثات في 4 أشهر. |
مهارات التفكير العليا:
27) أكتشف الخطأ: أوجد خالد ناتج التكامل: ، وكان حله على النحو الآتي:
أكتشف الخطأ في حل خالد ثم أصححه.
الخطأ: عدم مراعاة ترتيب حدود التكامل عند التعويض .
حيث قام خالد بتعويض الحد الأدنى للتكامل(0) أولًا ثم الحد الأعلى (2)
التصحيح:
28) تبرير: أثبت أنّ: ، حيث ، مبررًا إجابتي.
أولًا ابدأ بإيجاد تكامل الطرف الأيسر:
29) تحد: إذا كان: ، فأجد قيمة الثابت .
الحل:
كتاب التمارين صفحة 11 :
أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:
إذا كان: ، فأجد كلًا مما يأتي:
19) إذا كان: ، فأجد قيمة: .
الحل:
19)سكان: أشارت دراسة إلى أن عدد السكان في إحدى القرى يتغير شهريًا بمعدل يمكن نمذجته بالاقتران:
، حيث عدد الآشهر من الآن، و عدد السكان.
أجد مقدار الزيادة في عدد سكان القرية في الأشهر الثمانية القادمة.
الحل:
إذن مقدار الزيادة في عدد سكان القرية في الأشهر الثمانية القادمة هو تقريبًا 97 شخصًا.
21) إذا كان: ، فأجد قيمة الثابت .
الحل:
انتهت أسئلة الدرس