درس التكامل المحدود

 

مسألة اليوم صفحة 22:

يمثل الاقتران: $C\mathbf{ }\mathit{َ}\mathbf{ }\left(x\right) = 500 - \frac{x}{3}$ التكلفة الحديّة الشهرية (بالدينار) لكل دراجة نارية ينتجها أحد مصانع الدراجات، حيث $x$ عدد الدراجات المنتجة شهريًّا، و $C\left(x\right)$ تكلفة إنتاج $x$ دراجة شهريًا بالدينار. أجد مقدار التغير في التكلفة عند زيادة الإنتاج من 300 دراجة إلى 600 دراجة شهريًّا.

 

 

 

 

الحل:

$C\left(b\right) - C\left(a\right) = {\int }_a^b C \mathit{َ}\mathbf{ }\left(x\right) dx$	صيغة مقدار التغير
$C\left(600\right) - C\left(300\right) = {\int }_{300}^{600} \left(500 -\frac{x}{3}\right) dx$	بتعويض $a =300 , b=600$
$$\begin{gathered} =\left(500 x - \frac{1}{3 }\left(\frac{x^2}{2}\right)\right) \overline{)\begin{array}{c}600\\ 300\end{array}} \\ =\left(500 x - \frac{1}{6 }{x}^2\right) \overline{)\begin{array}{c}600\\ 300\end{array}} \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت
$= (500 \left(600\right) - \frac{1}{6 }{\left(600\right)}^2)-(500 \left(300\right) - \frac{1}{6 }{\left(300\right)}^2)$	بالتعويض
$$\begin{gathered} = (300000 - \frac{1}{6 }\left(360000\right))-(150000 - \frac{1}{6 }\left(90000\right)) \\ =(300000 -60000) -(150000 - 15000) \\ = 240000 -135000 \\ =105000 \end{gathered}$$	بالتبسيط
إذن ، عند زيادة الإنتاج من 300 دراجة إلى 600 دراجة شهريًّا؛ فإن تكلفة الشركة ستزيد شهريًا بمقدار $JD 105000$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 23:

أجد قيمة كل من التكاملين الآتيين:

            $$\begin{gathered} a) {\int }_1^4 (8x - \sqrt{x}) dx \\ b) {\int }_{-1}^2 (1 -x\left)\right(1+3x) dx \end{gathered}$$

 

الحل:

$a) {\int }_1^4 (8x - \sqrt{x}) dx$
$$\begin{gathered} {\int }_1^4 (8x -x^{\frac{1}{2}} ) dx = (\frac{8x^2}{2} -\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}) \overline{)\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}} \\ = (4 x^2 - \frac{2}{3} \sqrt{x^3}) \overline{)\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}} \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت
$= (4 {\left(4\right)}^2 - \frac{2}{3} \sqrt{4^3}) -(4 {\left(1\right)}^2 - \frac{2}{3} \sqrt{1^3})$	بالتعويض
$$\begin{gathered} =\left(4 \left(16\right) - \frac{2}{3} \sqrt{64}\right)-(4 (1) - \frac{2}{3} \sqrt{1}) \\ =(64 - \frac{2}{3} \left(8\right))-(4 - \frac{2}{3} ) \\ =64 - \frac{16}{3}-4 +\frac{2}{3} \\ =60+ \frac{(-16+2)}{3} \\ =\frac{180}{3} +\frac{-14}{3} \\ =\frac{166}{3} \end{gathered}$$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$b) {\int }_{-1}^2 (1 -x\left)\right(1+3x) dx$
$$\begin{gathered} {\int }_{-1}^2 (1 -x)(1+3x) dx = {\int }_{-1}^2 (1 +3x-x-3x^2) dx \\ = {\int }_{-1}^2 (1 +2x-3x^2) dx \end{gathered}$$	بإيجاد حاصل ضرب المقدارين أولًا قبل التكامل
$$\begin{gathered} =\left( x + \frac{2x^2}{2}-\frac{3x^3}{3}\right)\overline{)\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}} \\ =( x +x^2 -x^3)\overline{)\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}} \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت، وتكامل الثابت
$$\begin{gathered} = ( 2 +2^2 -2^3) - ( -1 +{\left(-1\right)}^2 -{\left(-1\right)}^3) \\ = ( 2 +4 -8) -( -1 +1 -\left(-1\right)) \\ =-2 - 1 \\ =-3 \end{gathered}$$	بالتعويض والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 24:

إذا كان ${\int }_0^k 6x^2 dx = 2$ ، فأجد قيمة الثابت $k$.

الحل:

${\int }_0^k 6x^2 dx = 2$	التكامل المعطى
$\frac{6x^3}{3}\overline{)\begin{array}{c}k\\ 0\end{array}} = 2x^3 \overline{)\begin{array}{c}k\\ 0\end{array}}$	تكامل اقتران القوة
$2{\left(k\right)}^3 - 2{\left(0\right)}^3=2$	بالتعويض
$$\begin{gathered} 2{\left(k\right)}^3 -0 = 2 \\ 2k^3 = 2 \\ k^3 = 1 \\ \to k = 1 \end{gathered}$$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 26:

إذا كان ${\int }_{-1}^{1}f\left(x\right) dx = 5 , {\int }_4^{1}f\left(x\right) dx =2 , {\int }_{-1}^{1}h\left(x\right) dx = 7$ ، فأجد قيمة كل مما يأتي:

                                                                                                                    $$\begin{gathered} a) {\int }_{-1}^1 (f\left(x\right) + 3 h\left(x\right)) dx \\ b) {\int }_{-1}^4 f\left(x\right) dx \\ c) {\int }_1^{-1}4 h(x) dx \end{gathered}$$

 

 

الحل:

 

$a) {\int }_{-1}^1 (f\left(x\right) + 3 h\left(x\right)) dx$
${\int }_{-1}^1 \left(f\left(x\right) + 3 h\left(x\right)\right) dx={\int }_{-1}^{1}f\left(x\right) dx +{\int }_{-1}^1 3 h\left(x\right) dx$	تكامل المجموع
$= 5 + 3 \left(7\right)$	بالتعويض وتكامل الاقتران المضروب في ثابت
$$\begin{gathered} = 5 +21 \\ = 26 \end{gathered}$$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$b) {\int }_{-1}^4 f(x) dx$
${\int }_{-1}^4 f\left(x\right) dx = {\int }_{-1}^1 f\left(x\right) dx +{\int }_1^4 f\left(x\right) dx$	بتجزئة التكامل
$= 5 +-\left(2\right)$	بالتعويض والتبديل بين حدي التكامل حيث: ${\int }_1^4 f\left(x\right) dx =-{\int }_4^1 f\left(x\right) dx=-2$
$= 3$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$c) {\int }_1^{-1}4 h(x) dx$
${\int }_1^{-1}4 h\left(x\right) dx =-4 {\int }_{-1}^1 h\left(x\right) dx$	تكامل الاقتران المضروب في ثابت والتبديل بين حدي التكامل
$= -4 \left(7\right)$	بالتعويض
$= -28$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 27:

إذا كان $f\left(x\right) = \{\begin{array}{l}1+x , x <1\\ 2x , x⩾1\end{array}$ ، فأجد قيمة:${\int }_{-2}^2 f\left(x\right) dx$

الحل :

${\int }_{-2}^2 f\left(x\right) dx = {\int }_{-2}^1 (1+x) dx +{\int }_1^2 \left(2x\right) dx$	قاعدة تجزئة التكامل
$$\begin{gathered} = (x +\frac{x^2}{2}) \overline{)\begin{array}{c} 1\\ -2\end{array}} + \frac{2x^2}{2} \overline{)\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}} \\ = (x +\frac{x^2}{2}) \overline{)\begin{array}{c} 1\\ -2\end{array}} + x^2 \overline{)\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}} \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
$= (\left(1 + \frac{1}{2}\right) - \left( \left(-2\right) + \left(\frac{{\left(-2\right)}^2}{2}\right)\right)) + ({\left(2\right)}^2-{\left(1\right)}^2)$	بالتعويض
$$\begin{gathered} = (\left( \frac{3}{2}\right) - \left( \left(-2\right) + \left(\frac{4}{2}\right)\right)) + (4-1) \\ = \left(\frac{3}{2 }-\left(- 2 +2\right)\right) + 3 \\ =\frac{3}{2} +3 \\ =\frac{3}{2}+\frac{6}{2} \\ =\frac{9}{2} \end{gathered}$$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

إذا كان $f\left(x\right) = |x-3|$ ، فأجد قيمة:${\int }_{-1}^4 f\left(x\right) dx$

$f\left(x\right) = \{\begin{array}{l}3-x , x <3\\ x-3 , x \ge 3\end{array}$	بإعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة
${\int }_{-1}^4 f\left(x\right) dx = {\int }_{-1}^3(3-x)dx + {\int }_3^4 (x-3)dx$	قاعدة تجزئة التكامل
$=(3x -\frac{x^2}{2}) \overline{)\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}}+ (\frac{x^2}{2}-3x)\overline{)\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}}$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
$=(\left(3\left(3\right)-\frac{{\left(3\right)}^2}{2}\right)-\left(3(-1)-\frac{{\left(-1\right)}^2}{2}\right))+(\left(\frac{{\left(4\right)}^2}{2}-3\left(4\right)\right)-\left(\frac{{\left(3\right)}^2}{2}-3\left(3\right)\right))$	بالتعويض
$$\begin{gathered} = \left(\left(9-\frac{9}{2}\right)-\left(-3 -\frac{1}{2}\right)\right)+\left(\left(8-12\right)-\left(\frac{9}{2}-9\right)\right) \\ =\left(\left(\frac{18}{2}-\frac{9}{2}\right)-\left(\frac{-6}{2} -\frac{1}{2}\right)\right)+\left(\left(-4\right)-\left(\frac{9}{2}-\frac{18}{2}\right)\right) \\ =\left(\frac{9}{2}-\left(\frac{-7}{2} \right)\right)+\left(\left(\frac{-8}{2}\right)-\frac{-9}{2}\right) \\ =\frac{16}{2}+ \frac{1}{2} \\ =\frac{17}{2} \end{gathered}$$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 29:

التغير في الأرباح: يمثل الاقتران: $P \mathit{َ} \left(x\right)= 165-0.1x$ الربح الحدي الشهري (بالدينار) لكل جهاز لوحي تبيعه إحدى الشركات،

                             حيث $x$ عدد الأجهزة اللوحية المبيعة شهريًا، و $P\left(x\right)$ ربح بيع $x$  قطعة شهريًّا بالدينار.

                             أجد مقدار التغير في أرباح الشركة عند زيادة مبيعاتها الشهرية إلى 1500 جهاز،

                             علمًا بأن عدد الأجهزة المبيعة الآن هو 1400 جهاز.

 

 

الحل:

$P\left(b\right) - P\left(a\right)={\int }_a^b P \mathit{َ} \left(x\right) dx$	صيغة مقدار التغير
$P\left(1500\right) - P\left(1400\right)={\int }_{1400}^{1500} (165 - 0.1x) dx$	بتعويض  $$\begin{gathered} a= 1400 , b = 1500 , \\ P\mathit{َ}\mathbf{ }\left(x\right) = (165-0.1 x) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} =(165x -\frac{0.1 x^2}{2}) \overline{)\begin{array}{c}1500\\ 1400\end{array}} \\ =(165x -0.05 x^2 )\overline{)\begin{array}{c}1500\\ 1400\end{array}} \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت
$= (\left( 165 \left(1500\right)-0.05{\left(1500\right)}^2 \right)-\left(165\left(1400\right)-0.05{\left(1400\right)}^2 \right))$	بالتعويض
$$\begin{gathered} = (\left( 247500-0.05\left(2250000\right) \right)-\left(231000-0.05\left(1960000\right) \right)) \\ = (\left( 247500-112500 \right)-\left(231000- 98000 \right)) \\ = 135000 -133000 \\ =2000 \end{gathered}$$	بالتبسيط
إذن، عند زيادة مبيعات الشركة من 1400 جهاز  إلى 1500 جهاز ، فإنّ أرباح الشركة  ستزيد شهريًّا بمقدار $JD 2000$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أتدرب وأحل المسائل صفحة 29:

أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:

 

$1) {\int }_{-1}^3 3x^2 dx$
$$\begin{gathered} {\int }_{-1}^3 3x^2 dx = \frac{3 x^3}{3} \overline{)\begin{array}{c} 3\\ -1\end{array}} \\ = x^3 \overline{)\begin{array}{c} 3\\ -1\end{array}} \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت
$= {\left(3\right)}^3 - {\left(-1\right)}^3$	بالتعويض
$$\begin{gathered} = 27 -\left(-1\right) \\ =27 +1 \\ = 28 \end{gathered}$$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$2) {\int }_{-3}^{-2} 6 dx$
${\int }_{-3}^{-2} 6 dx = 6x \overline{)\begin{array}{c}-2\\ -3\end{array}}$	تكامل الثابت
$= 6\left(-2\right) - 6\left(-3\right)$	بالتعويض
$$\begin{gathered} = -12 - (-18) \\ =-12 + 18 \\ = 6 \end{gathered}$$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$3) {\int }_0^2 \left(3x^2 +4x +3\right) dx$
$$\begin{gathered} {\int }_0^2 (3x^2 +4x +3) dx = \frac{3x^3}{3}+\frac{4x^2}{2}+3x \overline{)\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}} \\ = x^{3 } + 2x^{2 } +3x \overline{)\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}} \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت
$=( 2^{3 } +2 \left(2^{2 }\right) +3\left(2\right)) -( 0^{3 } +2 \left(0^{2 }\right) +3\left(0\right))$	بالتعويض
$$\begin{gathered} =( 8^{ } +2 \left(4^{ }\right) +6) -0 \\ =8^{ } + 8^{ } +6 =22 \end{gathered}$$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$4) {\int }_1^8 8 \sqrt[3]{x} dx$
$$\begin{gathered} {\int }_1^8 8 \sqrt[3]{x} dx= {\int }_1^8 8 x^{\frac{1}{3}} dx \\ = \frac{8 x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} \overline{)\begin{array}{c}8\\ 1\end{array} } \\ =8 \left(\frac{3}{4}\right)\sqrt[3]{x^4} \overline{)\begin{array}{c}8\\ 1\end{array} } \\ = 6 \sqrt[3]{x^4} \overline{)\begin{array}{c}8\\ 1\end{array} } \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت
$$\begin{gathered} = 6 \left(\sqrt[3]{8^4} -\sqrt[3]{1^4}\right) \\ =6\left(2^4 - 1^4\right) \\ =6\left(16 - 1\right) \\ =6 \left(15\right)=90 \end{gathered}$$	بالتعويض والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$5) {\int }_1^9 \left(\sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}\right) dx$
$$\begin{gathered} {\int }_1^9 \left(\sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}\right) dx = {\int }_1^9 \left(x^{\frac{1}{2}} -4 x^{-\frac{1}{2}}\right) dx \\ = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \overline{)\begin{array}{c}9\\ 1\end{array}} \\ = \left(\frac{2}{3}\sqrt{x^3} - 8 \sqrt{x}\right) \overline{)\begin{array}{c}9\\ 1\end{array}} \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت
$$\begin{gathered} = (\frac{2}{3}\sqrt{9^3} - 8 \sqrt{9})- (\frac{2}{3}\sqrt{1^3} - 8 \sqrt{1}) \\ = (\frac{2}{3}\left(3^3\right) - 8 \left(3\right))- (\frac{2}{3} - 8) \\ =\left(\frac{2}{3}\right(27) - 24)- (\frac{2}{3} - \frac{24}{3}) \\ = \left(18 -24\right) - \left(-\frac{22}{3}\right) \\ = -6 + \frac{22}{3} \\ =- \frac{18}{3} + \frac{22}{3} = \frac{4}{3} \end{gathered}$$	بالتعويض والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$6) {\int }_{-2}^{ 3} (-x^2+4x -5) dx$
$$\begin{gathered} {\int }_{-2}^{ 3} (-x^2+4x -5) dx = -\frac{x^3}{3}+\frac{4x^2}{2}-5x \overline{)\begin{array}{c} 3\\ -2\end{array}} \\ =-\frac{x^3}{3} + 2x^{2 } -5x \overline{)\begin{array}{c} 3\\ -2\end{array}} \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت
$$\begin{gathered} =(-\frac{3^3}{3} + 2\left(3^{2 }\right) -5\left(3\right)) - (-\frac{{(-2)}^3}{3} + 2{(-2)}^{2 } -5(-2)) \\ =(-9 + 2\left(9\right) -15) - (-\frac{-8}{3} + 2{\left(4\right)}^{ } +10) \\ =-6 - \frac{8}{3} - 18 \\ =\frac{-18}{3} - \frac{8}{3} - 18 \\ =-\frac{26}{3}-\frac{54}{3} \\ = - \frac{80}{3} \end{gathered}$$	بالتعويض والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$7) {\int }_1^3 \left(x-2\right)\left(x+2\right) dx$
$$\begin{gathered} {\int }_1^3 \left(x-2\right)\left(x+2\right) dx ={\int }_1^3 \left(x^2-4\right) dx \\ =\frac{x^3}{3}-4x \overline{)\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}} \end{gathered}$$	الفرق بين مربعين تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
$$\begin{gathered} = (\frac{{\left(3\right)}^3}{3}-4\left(3\right))-(\frac{1}{3}-4(1\left)\right) \\ = (9 - 12) - (\frac{1}{3}- \frac{12}{3}) \\ = -3-(-\frac{11}{3}) \\ = -\frac{9}{3}+\frac{11}{3}= \frac{2}{3} \end{gathered}$$	بالتعويض والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$8) {\int }_{-3}^{ 3} (9-x^2) dx$
${\int }_{-3}^{ 3} (9-x^2) dx=( 9x -\frac{x^3}{3}) \overline{)\begin{array}{c} 3\\ -3\end{array}}$	تكامل اقتران القوةوتكامل الثابت
$$\begin{gathered} =( 9\left(3\right) -\frac{{\left(3\right)}^3}{3})-( 9(-3) -\frac{{(-3)}^3}{3}) \\ =( 27 -9)-( -27 +9) \\ = 18 -\left(-18\right) \\ =18+18=36 \end{gathered}$$	بالتعويض والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$9) {\int }_1^4 \frac{2+\sqrt{x}}{x^2} dx$
$$\begin{gathered} {\int }_1^4 \frac{2+\sqrt{x}}{x^2} dx ={\int }_1^4 \frac{2}{x^2} dx +{\int }_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x^2} dx \\ ={\int }_1^4 2x^{-2} dx +{\int }_1^4 x^{-\frac{3}{2}} dx \\ = \frac{2x^{-1}}{-1} \overline{)\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}} + \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{\frac{-1}{2}} \overline{)\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}} \\ =\frac{-2}{x} \overline{)\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \overline{)\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}} \end{gathered}$$	بقسمة كل حد في البسط على المقام       تكامل اقتران القوة المضروب في ثابت
$$\begin{gathered} =\left(\frac{-2}{4}-\frac{-2}{1}\right) -\left(\frac{2}{\sqrt{4}}-\frac{2}{\sqrt{1}}\right) \\ =\left(\frac{-1}{2}+2\right) -\left(\frac{2}{2}-2\right) \\ =\left(\frac{-1}{2}+\frac{4}{2}\right) -\left(1-2\right) \\ =\frac{3}{2}-\left(-1\right) \\ =\frac{3}{2} + \frac{2}{2}=\frac{5}{2}=2.5 \end{gathered}$$	بالتعويض والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$10) {\int }_1^4 x^{3 }\left(\sqrt{x} +\frac{1}{x}\right) dx$
$$\begin{gathered} {\int }_1^4 x^{3 }\left(\sqrt{x} +\frac{1}{x}\right) dx={\int }_1^4 (x^3\sqrt{x} +\frac{x^3}{x}) dx \\ = {\int }_1^4 \left(x^{\frac{7}{2}} +x^2\right) dx \\ = \left(\frac{x^{\frac{9}{2}}}{\frac{9}{2}}+\frac{x^3}{3}\right) \overline{)\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}} \\ = \left(\frac{2}{9}\sqrt{x^9} +\frac{1}{3}{x}^3\right) \overline{)\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}} \end{gathered}$$	بتوزيع الضرب على الجمع   تعريف الأس السالب والصورة الأسية       تكامل اقتران القوة المضروب في ثابت
$$\begin{gathered} = \left(\frac{2}{9}\sqrt{{\left(4\right)}^9} +\frac{1}{3}{\left(4\right)}^3\right)- (\frac{2}{9}\sqrt{{\left(1\right)}^9} +\frac{1}{3}{\left(1\right)}^3) \\ = (\frac{2}{9}{\left(2\right)}^9 +\frac{1}{3}\left(64\right))- (\frac{2}{9} +\frac{1}{3}) \\ =\left(\frac{2}{9}\right(512) +\frac{64}{3})- (\frac{2}{9} +\frac{3}{9}) \\ =\frac{1024}{9}+\frac{64}{3}-\frac{5}{9} \\ =\frac{1019}{9}+\frac{ 192}{9} \\ =\frac{1211}{9}=134 \frac{5}{9} \end{gathered}$$	بالتعويض والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$11) {\int }_1^8 (x^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}- x^{\raisebox{1ex}{$-1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$5$}\right.}) dx$
$$\begin{gathered} {\int }_1^8 (x^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}- x^{\raisebox{1ex}{$-1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$5$}\right.}) dx= (\frac{x^{\raisebox{1ex}{$4$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}}{\frac{4}{3}}- \frac{x^{\raisebox{1ex}{$4$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$5$}\right.}}{\frac{4}{5}}) \overline{)\begin{array}{c}8\\ 1\end{array}} \\ = \left(\frac{3}{4} \sqrt[3]{x^4} - \frac{5}{4}\sqrt[5]{x^4}\right) \overline{)\begin{array}{c}8\\ 1\end{array}} \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة واستخدام الصورة الجذرية
$$\begin{gathered} = \left(\frac{3}{4} \sqrt[3]{{\left(8\right)}^4} - \frac{5}{4}\sqrt[5]{{\left(8\right)}^4}\right)-(\frac{3}{4} \sqrt[3]{{\left(1\right)}^4} - \frac{5}{4}\sqrt[5]{{\left(1\right)}^4}) \\ = (\frac{3}{4} {\left(2\right)}^4 - \frac{5}{4}\sqrt[5]{{\left(8\right)}^4})-(\frac{3}{4} - \frac{5}{4}) \\ =\left(12 -\frac{5}{4}\left(4 \sqrt[5]{4}\right) \right) -\left(-\frac{2}{4}\right) \\ =12 -5 \sqrt[5]{4 } + \frac{1}{2} \\ =12.5 -5 \sqrt[5]{4 } \end{gathered}$$	بالتعويض والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$12) {\int }_1^9 {(2+\sqrt{x})}^2 dx$
$$\begin{gathered} {\int }_1^9 {(2+\sqrt{x})}^2 dx = {\int }_1^9 (4+4\sqrt{x}+x) dx \\ = \left(4x + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{ x^2}{2}\right) \overline{)\begin{array}{c}9\\ 1\end{array}} \\ = (4x +\frac{8}{3}\sqrt{x^3} +\frac{1}{2}{x}^2) \overline{)\begin{array}{c}9\\ 1\end{array}} \end{gathered}$$	بإيجاد مربع الاقتران أولًا   تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت   باستخدام الصورة الجذرية
$$\begin{gathered} = \left(4\right(9) +\frac{8}{3}\sqrt{{\left(9\right)}^3} +\frac{1}{2}{\left(9\right)}^2) - \left(4\right(1) +\frac{8}{3}\sqrt{{\left(1\right)}^3} +\frac{1}{2}{\left(1\right)}^2) \\ = (36 +\frac{8}{3}\left(27\right) +\frac{81}{2}) - (4 +\frac{8}{3} +\frac{1}{2}) \\ =(36 +72 +40.5) - (\frac{12}{3} +\frac{8}{3} +\frac{1}{2}) \\ = 148.5 - (\frac{20}{3} +\frac{1}{2}) \\ = 148.5 - (\frac{40}{6} +\frac{3}{6}) \\ = 148.5 -\frac{43}{6} \\ \approx 148.5 - 7.17 =141.33 \end{gathered}$$	بالتعويض والتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$13) {\int }_{-1}^{ 4} \left|3x -6\right| dx$
$f\left(x\right)=|3x-6| = \{\begin{array}{l}6-3x , x <2\\ 3x-6 , x \ge 2\end{array}$	بإعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة
${\int }_{-1}^{ 4} f\left(x\right) dx = {\int }_{-1}^{ 2}(6-3x)dx + {\int }_2^4(3x-6)dx$	قاعدة تجزئة التكامل
$=(6x -\frac{3x^2}{2}) \overline{)\begin{array}{c} 2\\ -1\end{array}}+ (\frac{3x^2}{2}-6x)\overline{)\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}}$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
$=(\left(6\left(2\right)-\frac{3{\left(2\right)}^2}{2}\right)-\left(6(-1)-\frac{3{\left(-1\right)}^2}{2}\right))+(\left(\frac{3{\left(4\right)}^2}{2}-6\left(4\right)\right)-\left(\frac{3{\left(2\right)}^2}{2}-6\left(2\right)\right))$	بالتعويض
$$\begin{gathered} =(\left(12-6\right)-\left(-6-\frac{3}{2}\right))+(\left(24-24\right)-\left(6-12\right)) \\ =(6-\left(\frac{-12}{2}-\frac{3}{2}\right))+(0-\left(-6\right)) \\ =(6-\left(\frac{-15}{2}\right))+6 \\ =6+7.5+6 \\ = 19.5 \end{gathered}$$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$14) {\int }_0^3 |x -2| dx$
$f\left(x\right)=|x-2| = \{\begin{array}{l}2-x , x <2\\ x-2 , x \ge 2\end{array}$	بإعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة
${\int }_0^3 f\left(x\right) dx = {\int }_0^2(2-x)dx + {\int }_2^3(x-2)dx$	قاعدة تجزئة التكامل
$=(2x -\frac{x^2}{2}) \overline{)\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}}+ (\frac{x^2}{2}-2x)\overline{)\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}}$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
$=(\left(2\left(2\right)-\frac{{\left(2\right)}^2}{2}\right)-\left(2\left(0\right)-\frac{{\left(0\right)}^2}{2}\right))+(\left(\frac{{\left(3\right)}^2}{2}-2\left(3\right)\right)-\left(\frac{{\left(2\right)}^2}{2}-2\left(2\right)\right))$	بالتعويض
$$\begin{gathered} =\left(4-2\right)+(\left(\frac{9}{2}-6\right)-\left(2-4\right)) \\ =2+(\left(\frac{9}{2}-\frac{12}{2}\right)-\left(-2\right)) \\ =2+\frac{-3}{2}+2 \\ =4+\frac{-3}{2} \\ =\frac{8}{2}+\frac{-3}{2} =\frac{5}{2}=2.5 \end{gathered}$$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$15) {\int }_2^3 \frac{x^2-1}{x +1} dx$
$$\begin{gathered} {\int }_2^3 \frac{x^2-1}{x +1} dx = {\int }_2^3 \frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x +1} dx \\ = {\int }_2^3\left(x-1\right)dx \end{gathered}$$	الفرق بين مربعين، وتبسيط بالاختصار
$= \left(\frac{x^2}{2}-x\right) \overline{)\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}}$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
$= \left(\frac{3^2}{2}-3\right)- \left(\frac{2^2}{2}-2\right)$	بالتعويض
$$\begin{gathered} = (\frac{9}{2}-\frac{6}{2})- (2-2) \\ = \frac{3}{2} -0 \\ = \frac{3}{2} \end{gathered}$$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

16) إذا كان $f\left(x\right) = \{\begin{array}{l}2x+1 , x \le 3\\ 10-x , x >3\end{array}$ ، فأجد قيمة:${\int }_0^4 f\left(x\right) dx$

 

الحل:

${\int }_0^4 f\left(x\right) dx = {\int }_0^3 (2x+1) dx +{\int }_3^4 \left(10-x\right) dx$	قاعدة تجزئة التكامل
$$\begin{gathered} = (\frac{2x^2}{2}+x) \overline{)\begin{array}{c} 3\\ 0\end{array}} + \left(10x -\frac{x^2}{2}\right) \overline{)\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}} \\ = (x^2+x) \overline{)\begin{array}{c} 3\\ 0\end{array}} + \left(10x -\frac{x^2}{2}\right) \overline{)\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}} \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
$= (\left( {\left(3\right)}^2 + 3\right) - \left( {\left(0\right)}^2 + \left(0\right)\right)) + (\left(10\left(4\right)-\frac{4^2}{2}\right)-(10\left(3\right)-\frac{3^2}{2}))$	بالتعويض
$$\begin{gathered} = \left( 9 + 3\right) + (\left(40-8\right)-(30-4.5)) \\ =12 + 32 -25.5 \\ = 44-25.5 \\ =18.5 \end{gathered}$$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

17) إذا كان: $f\left(x\right) = \{\begin{array}{l}-x^2+5 , x <0\\ x+5 , x \ge 0\end{array}$ ، فأجد قيمة: ${\int }_{-1}^{ 2} f\left(x\right) dx$

 

الحل:

${\int }_{-1}^{ 2} f\left(x\right) dx = {\int }_{-1}^{ 0} (-x^2+5) dx +{\int }_0^2 (x+5) dx$	قاعدة تجزئة التكامل
$= (\frac{-x^3}{3}+5x) \overline{)\begin{array}{c} 0\\ -1\end{array}} + (\frac{x^2}{2}+5x) \overline{)\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}}$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
$= (\left(\frac{-{\left(0\right)}^3}{3} +5\left(0\right) \right) -(\frac{-{\left(-1\right)}^3}{3} +5\left(-1\right) ) ) + (\left(\frac{2^2}{2}+5\left(2\right)\right)-(\frac{0^2}{2}+5\left(0\right)))$	بالتعويض
$$\begin{gathered} = -(\frac{1}{3} -5 ) + \left(2+10\right) \\ = -(\frac{1}{3} -\frac{15}{3} ) +12 \\ =-\left(\frac{-14}{3}\right)+12 \\ =\frac{14}{3}+\frac{36}{3} \\ =\frac{50}{3}=16 \frac{2}{3} \end{gathered}$$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

 إذا كان: ${\int }_1^2 f\left(x\right) dx = -4 , {\int }_1^5 f\left(x\right) dx = 6, {\int }_1^5 g\left(x\right) dx = 8$، فأجد قيمة كل مما يأتي:

 

$18){\int }_2^2 g(x) dx =0$	${\int }_a^{a}f\left(x\right) dx = 0$
$$\begin{gathered} 19){\int }_5^1 (g\left(x\right)-2) dx ={\int }_5^1 g(x) dx- {\int }_5^1 (2) dx \\ =-{\int }_1^5 g(x) dx - \left(2x\right) \overline{)\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}} \\ = -8 -\left(2\left(1\right)-2\left(5\right)\right) \\ = -8 -(2-10) \\ = -8+8 \\ = 0 \end{gathered}$$	تكامل الفرق   بالتبديل بين حدي التكامل، وتكامل الثابت
$$\begin{gathered} 20){\int }_1^2 \left(3f\left(x\right)+x\right) dx = {\int }_1^2 \left(3f\left(x\right)\right) dx + {\int }_1^2 x dx \\ = 3 {\int }_1^2 f(x) dx + \frac{x^2}{2} \overline{)\begin{array}{c}2\\ 1\end{array} } \\ = 3 (-4) + \left(\frac{2^2}{2}-\frac{1^2}{2}\right) \\ = -12 + \left(2 -\frac{1}{2}\right) \\ = -12 +1.5 \\ = -10.5 \end{gathered}$$	تكامل المجموع تكامل الاقتران المضروب في ثابت
$21){\int }_2^5 f(x) dx$              $$\begin{gathered} {\int }_1^5 f\left(x\right) dx ={\int }_1^2 f\left(x\right) dx + {\int }_2^5 f\left(x\right) dx \\ 6 = -4 + {\int }_2^5 f\left(x\right) dx \\ 6 + 4 = {\int }_2^5 f\left(x\right) dx \\ \therefore 10 = {\int }_2^5 f\left(x\right) dx \end{gathered}$$	بتجزئة التكامل بالتعويض   بحل المعادلة
$$\begin{gathered} 22){\int }_1^5 \left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right) dx ={\int }_1^5 f(x) dx - {\int }_1^5 g(x) dx \\ = 6 - 8 \\ = -2 \end{gathered}$$	تكامل الفرق
$$\begin{gathered} 23){\int }_1^5 (4f\left(x\right)+g\left(x\right)) dx =4{\int }_1^5 f(x) dx + {\int }_1^5 g(x) dx \\ = 4 \left( 6\right) + 8 \\ = 24 +8 \\ = 32 \end{gathered}$$	تكامل المجموع ، تكامل الاقتران المضروب في ثابت

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

24) إذا كان: ${\int }_1^m\left(6x - 10\right) dx = 4$ ، فأجد قيمة الثابت$m$ .

الحل:

${\int }_1^m(6x - 10) dx = 4$	التكامل المعطى
$$\begin{gathered} {\int }_1^m(6x - 10) dx =(\frac{6x^2}{2} - 10x) \overline{)\begin{array}{c}m\\ 1\end{array}} \\ =(3x^2-10 x) \overline{)\begin{array}{c}m\\ 1\end{array}} \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة
$4=(3\left(m^2\right)-10 \left(m\right))-\left(3\right(1^2)-10 (1\left)\right)$	بالتعويض
$$\begin{gathered} 4=(3m^2-10 m)-(3-10 ) \\ 4 =(3m^2-10 m) - \left(-7\right) \\ 4 =(3m^2-10 m) +7 \\ 0 =(3m^2-10 m) +7-4 \\ 0 =3m^2-10 m +3 \\ 0 =\left(3m -1\right)\left(m-3\right) \\ \to 3m-1 = 0 \to m=\frac{1}{3} \\ or m-3 = 0 \to m = 3 \end{gathered}$$	بالتبسيط وحل المعادلة التربيعية

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

25)تغير التكلفة:  يمثل الاقتران:$C\mathbf{ }\mathit{َ} \left(x\right)= 6x + 1$ التكلفة الحدية (بالدينار) لكل قطعة تنتجها إحدى الشركات،

                              حيث $x$ عدد القطع المنتجة ، و $C\left(x\right)$ تكلفة إنتاج $x$ قطعة بالدينار.

                              أجد مقدار التغير في التكلفة عند زيادة الشركة إنتاجها من 10 قطع إلى 20 قطعة شهريًّا.

 

 

الحل:

$C\left(b\right) - C\left(a\right)={\int }_a^b C \mathit{َ} \left(x\right) dx$	صيغة مقدار التغير
$C\left(20\right) - C\left(10\right)={\int }_{10}^{20} (6x+1) dx$	بتعويض $$\begin{gathered} a= 10 , b = 20 , \\ C \mathit{َ}\mathbf{ }\left(x\right) = (6x+1) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} =(\frac{6x^2}{2}+x) \overline{)\begin{array}{c}20\\ 10\end{array}} \\ =(3x^2 +x) \overline{)\begin{array}{c}20\\ 10\end{array}} \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت
$= (\left(3{\left(20\right)}^2 + 20\right)-\left(3{\left(10\right)}^2 + 10\right))$	بالتعويض
$$\begin{gathered} = \left(\right(3\left(400\right) + 20)-(3\left(100\right) + 10\left)\right) \\ =(1200 + 20) - \left(300 + 10\right) \\ =1220 - 310 \\ = 910 \end{gathered}$$	بالتبسيط
إذن، عند زيادة إنتاج الشركة من 10 قطع  إلى 20 قطعة ، فإنّ تكلفة الإنتاج ستزيد شهريًّا بمقدار $JD 910$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

26)تلوث:  يلوث مصنع بحيرة بمعدل يمكن نمذجته بالاقتران: $N\mathbf{ }\mathit{َ} \left(t\right)= 280 t^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}$ ،

                 حيث $t$ عدد الأشهر منذ الآن، و $N\left(t\right)$ عدد الكيلوغرامات من الملوثات التي يطرحها المصنع في البحيرة.

                كم كيلوغرامًا من الملوثات يدخل البحيرة منذ الآن حتى 4 أشهر؟

 

الحل:

$N\left(b\right) - N\left(a\right)={\int }_a^b N \mathit{َ} \left(t\right) dx$	صيغة مقدار التغير
$N\left(4\right) - N\left(0\right)={\int }_0^4 280 t^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.} dx$	بتعويض $$\begin{gathered} a= 0 , b = 4 , \\ Nَ\left(t\right) = (280 t^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} =\left(\frac{280 t^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right) \overline{)\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}} \\ =\left(\frac{280 \left(2\right)}{5}\sqrt{t^5}\right) \overline{)\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}} \\ =\left(112 \sqrt{t^5}\right) \overline{)\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}} \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت
$=\left(112 \sqrt{4{ }^5}\right)-\left(112 \sqrt{0{ }^5}\right)$	بالتعويض
$$\begin{gathered} =112 \left(2^5\right)-0 \\ =112 \left(32\right) \\ = 3584 \end{gathered}$$	بالتبسيط
إذن،يدخل البحيرة 3584 كيلوغرامًا من الملوثات في 4 أشهر.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

مهارات التفكير العليا:

 

27) أكتشف الخطأ: أوجد خالد ناتج التكامل: ${\int }_0^2\left(x^2 + x\right) dx$، وكان حله على النحو الآتي: 

 

أكتشف الخطأ في حل خالد ثم أصححه.

 

الخطأ: عدم مراعاة ترتيب حدود التكامل عند التعويض .

           حيث قام خالد بتعويض الحد الأدنى للتكامل(0) أولًا ثم الحد الأعلى (2)

 

التصحيح:

                    $$\begin{gathered} = \left(\frac{1}{3}{\left(2\right)}^3 + \frac{1}{2}{\left(2\right)}^2\right) - \left(\frac{1}{3}{\left(0\right)}^3 + \frac{1}{2}{\left(0\right)}^2\right) \\ =\left(\frac{1}{3}\left(8\right) + \frac{1}{2}\left(4\right)\right) - 0 \\ =\frac{8}{3}+2 \\ =2\frac{8}{3} \\ =\frac{14}{3} \end{gathered}$$

 

 

---

 

28) تبرير: أثبت أنّ: ${\int }_0^1 x^n \left(1-x\right) dx = \frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$ ، حيث $n > 0$ ، مبررًا إجابتي.

 

أولًا ابدأ بإيجاد تكامل الطرف الأيسر: ${\int }_0^1 x^n (1-x) dx$

 

           $$\begin{gathered} {\int }_0^1 x^n (1-x) dx ={\int }_0^1 \left(x^n-x^n. x\right) dx \\ ={\int }_0^1 \left(x^n-x^{n+1}\right) dx \\ =\frac{x^{n+1}}{n+1} \overline{)\begin{array}{c}1\\ 0\end{array} - \frac{x^{n+1+1}}{n+1+1}} \overline{)\begin{array}{c}1\\ 0\end{array} } \\ =\left(\frac{1^{n+1}}{n+1}-\frac{0^{n+1}}{n+1}\right)- \left(\frac{1^{n+2}}{n+2}-\frac{0^{n+2}}{n+2}\right) \\ = \frac{1}{n+1}- \frac{1}{n+2} \\ = \frac{1\left(n+2\right)}{(n+1)\left(n+2\right)}- \frac{1\left(n+1\right)}{(n+2)\left(n+1\right)} \\ =\frac{n+2 -\left(n+1\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)} \\ =\frac{n+2 -n-1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)} \\ =\frac{2 -1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)} \\ = \frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)} \end{gathered}$$

 

---

29) تحد: إذا كان:${\int }_1^5\left(2ax + 7\right) dx = 4 a^2$ ، فأجد قيمة الثابت $a$ .

 

الحل:

       $$\begin{gathered} {\int }_1^5\left(2ax + 7\right) dx = \left(\frac{2a x^2}{2}+7x\right) \overline{)\begin{array}{c}5\\ 1\end{array} } \\ 4a^2 =\left(a{x}^2 +7x\right) \overline{)\begin{array}{c}5\\ 1\end{array} } \\ 4a^2 =\left(a{\left(5\right)}^2 +7\left(5\right)\right)-\left(a{\left(1\right)}^2 +7\left(1\right)\right) \\ 4a^2 =(a\left(25\right) +35)-(a +7) \\ 4a^2 =25 a +35-a -7 \\ 4a^2 =24 a +28 \\ 4a^2 - 24 a -28 =0 \left(÷4\right) \\ a^2 - 6 a -7 =0 \\ (a-7)(a+1)=0 \\ \to a = 7 or a =-1 \end{gathered}$$

 

---

 

كتاب التمارين صفحة 11 :

 

أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:

 

 

$1){\int }_1^5 10 x^{-2} dx$	$$\begin{gathered} {\int }_1^5 10 x^{-2} dx = \frac{10 x^{-1}}{-1} \overline{)\begin{array}{c}5\\ 1\end{array} } \\ = -\frac{10}{x} \overline{)\begin{array}{c}5\\ 1\end{array} } \\ = -\left(\frac{10}{5}-\frac{10}{1}\right) \\ =-\left(2-10\right) \\ =8 \end{gathered}$$
$2){\int }_0^2 \left(2x^3-4x+5\right) dx$	$$\begin{gathered} {\int }_0^2 \left(2x^3-4x+5\right) dx =\left(\frac{2x^4}{4}-\frac{4x^2}{2}+5x\right)\overline{)\begin{array}{c}2\\ 0\end{array} } \\ =\left(\frac{1}{2}{x}^4 -2x^2+5x\right)\overline{)\begin{array}{c}2\\ 0\end{array} } \\ =(\frac{1}{2}{\left(2\right)}^4 -2{\left(2\right)}^2+5\left(2\right))-0 \\ = 8- 8 +10 \\ =10 \end{gathered}$$
$3) {\int }_1^4 \frac{x^3+2x^2}{\sqrt{x}} dx$	$$\begin{gathered} {\int }_1^4 \frac{x^3+2x^2}{\sqrt{x}} dx={\int }_1^4\left(\frac{x^3}{\sqrt{x}} +\frac{2x^2}{\sqrt{x}}\right)dx \\ = {\int }_1^4\left(x^{\frac{5}{2}} +2 x^{\frac{3}{2}}\right)dx \\ =\left(\frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}}+\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right) \overline{)\begin{array}{c}4\\ 1\end{array} } \\ = \left(\frac{2}{7}\sqrt{x^7} +\frac{4}{5}\sqrt{x^5}\right) \overline{)\begin{array}{c}4\\ 1\end{array} } \\ = (\frac{2}{7}\sqrt{4^7} +\frac{4}{5}\sqrt{4^5})-(\frac{2}{7}\sqrt{1^7} +\frac{4}{5}\sqrt{1^5}) \\ = (\frac{2}{7}\left(128\right) +\frac{4}{5}\left(32\right))-\left(\frac{2}{7}+\frac{4}{5}\right) \\ = \frac{256}{7}+\frac{128}{5}-\frac{2}{7}-\frac{4}{5} \\ =\frac{254}{7}+\frac{124}{5} \\ =\frac{1270 + 868}{35}=\frac{ 2138}{35} \end{gathered}$$
$4) {\int }_3^6{\left(x-\frac{3}{x}\right)}^2 dx$	$$\begin{gathered} {\int }_3^6{\left(x-\frac{3}{x}\right)}^2 dx = {\int }_3^6\left(x^2- 6 +\frac{9}{x^2}\right)dx \\ ={\int }_3^6\left(x^2- 6 +9x^{-2}\right)dx \\ =\left(\frac{x^3}{3}-6x + \frac{9x^{-1}}{-1}\right) \overline{)\begin{array}{c}6\\ 3\end{array} } \\ = \left(\frac{x^3}{3}-6x -\frac{9}{x}\right) \overline{)\begin{array}{c}6\\ 3\end{array} } \\ = \left(\frac{{\left(6\right)}^3}{3}-6\left(6\right) -\frac{9}{\left(6\right)}\right)-\left(\frac{{\left(3\right)}^3}{3}-6\left(3\right) -\frac{9}{\left(3\right)}\right) \\ =\left(\frac{216}{3}-36-\frac{3}{2}\right)-\left(9-18-3\right) \\ =\left(72-36-\frac{3}{2}\right)-\left(-12\right) \\ =36 -\frac{3}{2}+12 \\ = 48 - \frac{3}{2} \\ = \frac{96}{2}- \frac{3}{2}=\frac{93}{2} \end{gathered}$$
$5) {\int }_0^5\left(\left|x+3\right|-5\right)dx$	$$\begin{gathered} \left|x+3\right| = \left\{\begin{array}{l}-x-3 , x<-3\\ x+3 , x\ge -3\end{array}\right. \\ {\int }_0^5\left(\left|x+3\right|-5\right)dx = {\int }_0^5(x+3-5)dx \\ ={\int }_0^5(x-2)dx \\ =\left(\frac{x^2}{2}-2x\right) \overline{)\begin{array}{c}5\\ 0\end{array} } \\ = \left(\frac{{\left(5\right)}^2}{2}-2\left(5\right)\right)-\left(\frac{{\left(0\right)}^2}{2}-5\left(0\right)\right) \\ = \frac{25}{2}-10 - 0 \\ = \frac{25}{2}-\frac{20}{2}=\frac{5}{2} \end{gathered}$$
$6){\int }_0^{6}x\left(6-x\right) dx$	$$\begin{gathered} {\int }_0^{6}x\left(6-x\right) dx= {\int }_0^6\left(6x - x^2\right) dx \\ =\left( \frac{6x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right) \overline{)\begin{array}{c}6\\ 0\end{array} } \\ =\left(3 x^2-\frac{x^3}{3}\right) \overline{)\begin{array}{c}6\\ 0\end{array} } \\ = \left(3 {\left(6\right)}^2-\frac{{\left(6\right)}^3}{3}\right)-\left(3 {\left(0\right)}^2-\frac{{\left(0\right)}^3}{3}\right) \\ = 108-72 \\ =36 \end{gathered}$$
$7) {\int }_1^2\left(6x-\frac{12}{x^4}+3\right)dx$	$$\begin{gathered} {\int }_1^2(6x-\frac{12}{x^4}+3)dx={\int }_1^2(6x-12 x^{-4}+3)dx \\ =\left(\frac{6x^2}{2}-\frac{12x^{-3}}{-3}+3x\right) \overline{)\begin{array}{c}2\\ 1\end{array} } \\ = (3x^2+\frac{4}{x^3}+3x) \overline{)\begin{array}{c}2\\ 1\end{array} } \\ = (3{\left(2\right)}^2+\frac{4}{{\left(2\right)}^3}+3\left(2\right))-(3{\left(1\right)}^2+\frac{4}{{\left(1\right)}^3}+3\left(1\right)) \\ = \left(12 + \frac{1}{2}+6\right)-\left(3+4+3\right) \\ =18.5 -10 \\ = 8.5 \end{gathered}$$
$8) {\int }_0^7\left|2x-1\right| dx$	$$\begin{gathered} \left|2x-1\right|=\left\{\begin{array}{l}1-2x , x<\frac{1}{2}\\ 2x-1, x\ge \frac{1}{2}\end{array}\right. \\ {\int }_0^7|2x-1| dx = {\int }_0^{\frac{1}{2 }} \left(1-2x\right) dx + {\int }_{\frac{1}{2 }}^7 \left(2x-1\right) dx \\ = \left(x-\frac{2x^2}{2}\right) \overline{)\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ 0\end{array}+\left(\frac{2x^2}{2}-x\right)} \overline{)\begin{array}{c}7\\ \frac{1}{2}\end{array}} \\ = \left(x-x^2\right) \overline{)\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ 0\end{array}+\left(x^2-x\right)} \overline{)\begin{array}{c}7\\ \frac{1}{2}\end{array}} \\ = \left(\left(\frac{1}{2}-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right)-\left(0-{\left(0\right)}^2\right)\right)+ \left(\left({\left(7\right)}^2-7\right)-\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}\right)\right) \\ = \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right) + \left(49-7\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right) \\ = \frac{1}{4} +42 +\frac{1}{4} \\ =42 \frac{2}{4}=42.5 \end{gathered}$$
$9) {\int }_{-3}^4\left|x\right| dx$	$$\begin{gathered} \left|x\right|=\{\begin{array}{l}-x , x<0\\ x , x\ge 0\end{array} \\ {\int }_{-3}^4\left|x\right| dx = {\int }_{-3}^{ 0} (-x) dx + {\int }_0^4 x dx \\ = (-\frac{x^2}{2}) \overline{)\begin{array}{c} 0\\ -3\end{array}+\left(\frac{x^2}{2}\right)} \overline{)\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}} \\ = (\left(-\frac{0^2}{2}-\left(-\frac{{\left(-3\right)}^2}{2}\right)\right)+ (\left(\frac{4^2}{2}\right)-\frac{0^2}{2}) \\ =- (-\frac{9}{2}) +\left(\frac{16}{2}\right) \\ =4.5 +8 \\ = 12.5 \end{gathered}$$
$10) {\int }_1^2\frac{x^2+x^3}{x} dx$	$$\begin{gathered} {\int }_1^2\frac{x^2+x^3}{x} dx = {\int }_1^2 \left(\frac{x^2}{x}+ \frac{x^3}{x}\right) dx \\ = {\int }_1^2 (x+ x^2) dx \\ = \left(\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right) \overline{)\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}} \\ = (\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}) - (\frac{1^2}{2}+\frac{1^3}{3}) \\ = \frac{4}{2}+ \frac{8}{3}- \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \\ = \frac{3}{2}+\frac{7}{3} \\ = \frac{9}{6}+\frac{14}{6}= \frac{23}{6} \end{gathered}$$
$11) {\int }_4^3\left(6x^2-4x\right) dx$	$$\begin{gathered} {\int }_3^4(6x^2-4x) dx = (\frac{6x^3}{3}-\frac{4x^2}{2}) \overline{)\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}} \\ = (2x^3- 2x^2) \overline{)\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}} \\ =(2{\left(4\right)}^3- 2{\left(4\right)}^2)-(2{\left(3\right)}^3- 2{\left(3\right)}^2) \\ =(128-32)- (54-18) \\ = 96 - 36 \\ = 60 \end{gathered}$$
$12) {\int }_{10}^{10} \frac{x+1}{x^2} dx$	${\int }_{10}^{10} \frac{x+1}{x^2} dx = 0$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

إذا كان: ${\int }_{-3}^2 f\left(x\right) dx = 5 , {\int }_{-3}^1 f\left(x\right) dx = 4 , {\int }_{-3}^2 g\left(x\right) dx = -2$ ، فأجد كلًا مما يأتي:

 

$13) {\int }_2^2 f(x) dx = 0$

$$\begin{gathered} 14) {\int }_1^2 \left(f\left(x\right)-5\right) dx = {\int }_1^2 f\left(x\right) dx dx -{\int }_1^2 5 dx \\ = {\int }_1^{-3}f\left(x\right) dx +{\int }_{-3}^{2}f\left(x\right) dx - 5x \overline{)\begin{array}{c}2\\ 1\end{array} } \\ =-4 + 5 - \left(5\left(2-1\right)\right) \\ = 1 -5 = -4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 15) {\int }_{-3}^{ 2} \left(-2f\left(x\right)+5g\left(x\right)\right) dx =-2{\int }_{-3}^{2}f\left(x\right) dx + 5 {\int }_{-3}^2 g\left(x\right) dx \\ = -2 \left(5\right) + 5 (-2) \\ = -10 -10 \\ = -20 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 16) {\int }_2^{-3} \left(g\left(x\right)+2x\right) dx ={\int }_2^{-3}g\left(x\right) dx + {\int }_2^{-3}\left(2x\right) dx \\ = -{\int }_{-3}^{2}g\left(x\right) dx + \frac{2x^2}{2} \overline{)\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}} \\ = - \left(-2\right) + x^2 \overline{)\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}} \\ = 2 + \left(9 - 4\right) \\ = 2 + 5 = 7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 17) {\int }_2^{-3} \left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) dx ={\int }_2^{-3}f\left(x\right) dx + {\int }_2^{-3}g\left(x\right) dx \\ = -{\int }_{-3}^{2}f\left(x\right) dx +- {\int }_{-3}^{2}g\left(x\right) dx \\ = -5 -\left(-2\right) \\ =-5 + 2 = -3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 18) {\int }_{-3}^{ 2} \left(4f\left(x\right)-3g\left(x\right)\right) dx =4{\int }_{-3}^{2}f\left(x\right) dx -3{\int }_{-3}^{2}g\left(x\right) dx \\ = 4\left(5\right) - 3( -2) \\ = 20 + 6 = 26 \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

19) إذا كان:$f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}{x}^2 , x<2\\ 8-x , x\ge 2\end{array}\right.$ ، فأجد قيمة: ${\int }_{-3}^6 f\left(x\right) dx$ .

 

الحل:

                  $$\begin{gathered} {\int }_{-3}^6 f\left(x\right) dx = {\int }_{-3}^2 x^2 dx +{\int }_2^6\left(8-x\right)dx \\ = \frac{x^3}{3} \overline{)\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}} + \left(8x-\frac{x^2}{2}\right) \overline{)\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}} \\ =\left(\frac{2^3}{3}-\frac{{\left(-3\right)}^3}{3}\right)+\left(\left(8\left(6\right)-\frac{6^2}{2}\right)-\left(8\left(2\right)-\frac{2^2}{2}\right)\right) \\ = \left(\frac{8}{3}+\frac{27}{3}\right)+\left(48 -18\right)-\left(16-2\right) \\ =\frac{8}{3}+ 9+30 - 14 \\ = \frac{8}{3}+25 \\ = \frac{8}{3}+\frac{75}{3}=\frac{83}{3} \end{gathered}$$

 

---

 

19)سكان: أشارت دراسة إلى أن عدد السكان في إحدى القرى يتغير شهريًا بمعدل يمكن نمذجته بالاقتران: 

                  $P َ \left(t\right) = 5 + 3t^{\raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}$، حيث $t$ عدد الآشهر من الآن، و $P\left(t\right)$ عدد السكان.

                 أجد مقدار الزيادة في عدد سكان القرية في الأشهر الثمانية القادمة.

 

الحل:

                 $$\begin{gathered} P\left(t\right) = {\int }_0^8 \left(5+ 3t^{\raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}\right) dt \\ = \left(5t + \frac{3 t^{\raisebox{1ex}{$5$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}}{\frac{5}{3}}\right) \overline{)\begin{array}{c}8\\ 0\end{array} } \\ = \left(5t + \frac{9}{5}\sqrt[3]{t^5}\right) \overline{)\begin{array}{c}8\\ 0\end{array} } \\ = \left(5\left(8\right) + \frac{9}{5}\sqrt[3]{{\left(8\right)}^5}\right)-\left(5\left(0\right) + \frac{9}{5}\sqrt[3]{0^5}\right) \\ = 40 + \frac{9}{5}\left(2^5\right) \\ = 40 + \frac{9\times 32}{5} \\ = 40 + \frac{288}{5} \\ = \frac{200}{5}+ \frac{288}{5}= \frac{488}{5}=97.6 \end{gathered}$$

إذن مقدار الزيادة في عدد سكان القرية في الأشهر الثمانية القادمة هو تقريبًا 97 شخصًا.

---

21) إذا كان: ${\int }_2^3\left(x^2-a\right) dx = 5$ ، فأجد قيمة الثابت $a$.

الحل:

               $$\begin{gathered} {\int }_2^3(x^2-a) dx = 5 \\ \left(\frac{x^3}{3}-ax\right) \overline{)\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}=5} \\ \left(\frac{3^3}{3}-a\left(3\right)\right)- \left(\frac{2^3}{3}-a\left(2\right)\right)=5 \\ \left(\frac{27}{3}-3a\right)- \left(\frac{8}{3}-2a\right)=5 \\ \frac{27}{3}-3a -\frac{8}{3}+2a = 5 \\ \frac{19}{3}-a=5 (\times 3) \\ 19 - 3a = 15 \\ \to 19 - 15 = 3a \\ \to 4 = 3a \\ \to \frac{4}{3} = a \end{gathered}$$

---

انتهت أسئلة الدرس