الرياضيات 12 فصل ثاني

المنحنى الطبيعي

هو منحنى تكراري يستخدم لنمذجة البيانات العددية المتصلة التي يتم اختيارها عشوائيًا في مواقف حياتية مختلفة بحيث يكون عدد البيانات كبير جدًا والذي يمتاز بما يلي:

منحنى متصل له شكل الجرس

تطابق الوسط الحسابي والوسيط والمنوال، ويتوسط البيانات.

تماثل البيانات حول الوسط الحسابي.

اقتراب المنحنى عند طرفيه من المحور الأفقي x دون أن يمسّه.

المساحة الكلية أسفل المنحنى الطبيعي المعياري هي 1. 

ويعتمد المنحنى الطبيعي على قيمة كل من الوسط الحسابي ($\mu$) والانحراف المعياري ($\sigma$) حيث:

* زيادة الوسط الحسابي, تؤدي إلى انسحاب أفقي نحو اليمين

* زيادة الانحراف المعياري تؤدي إلى زيادة انتشار وتوسع المنحنى.

لاحظ الشكل التالي:

 

---

القاعدة التجريبية

إذا اتخذت مجموعة من البيانات شكل المنحنى الطبيعي بوسط حسابي $\mu$  وانحراف معياري $\sigma$ فإنه ما يقارب:

أولاً :

68% من البيانات تقع بين $\mu +\sigma و \mu -\sigma$

(لا يزيد البعد بينها وبين الوسط الحسابي عن انحراف معياري واحد)

ثانياً :

95% من البيانات تقع بين $\mu +2\sigma و \mu -2\sigma$ 

(لا يزيد البعد بينها وبين الوسط الحسابي عن انحرافين معياريين)

ثالثاً : 

 99.7% من البيانات تقع بين $\mu +3\sigma و \mu -3\sigma$  

(لا يزيد البعد بينها وبين الوسط الحسابي عن ثلاثة انحرافات معيارية)

ويمكن تلخيص القاعدة التجريبية بالشكل التالي:

مثال 1

إذا اتخذت كتل مجموعة من طلبة الصف التاسع شكل المنحنى الطبيعي, فجد كلًا مما يلي:

1) النسبة المئوية للطلبة الذين تقل كتلتهم عن الوسط الحسابي.

الحل: بسبب التماثل حول الوسط الحسابي ، فإن 50% من الطلبة تقل كتلهم عن الوسط الحسابي.كما في الشكل ادناه.

2) النسبة المئوية للطلبة الذين تزيد كتلهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على انحراف معياري واحد.

الحل: لاحظ الشكل أدناه:

34% من الطلبة تزيد كتلهم عن الوسط الحسابي بما لا يزيد عن انحراف معياري واحد.

3) نسبة الطلبة الذين تقل كتلهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد عن انحرافين معياريين ، أو تزيد عليه بمقدار لا يزيد عن ثلاثة انحرافات معيارية.

الحل: لاحظ الشكل أدناه:

النسبة هي: $49.85\%+47.5\%=97.35\%$

4) النسبة المئوية للطلبة الذين تزيد كتلهم على الوسط الحسابي بمقدار لا يقل عن انحراف معياري واحد:

الحل: لاحظ الشكل أدناه:

النسبة هي: $50\%-34\%=16\%$

---

المتغير العشوائي الطبيعي والتوزيع الطبيعي

أولاً: المتغير العشوائي المنفصل:

هو متغير عشوائي يأخذ قيمًا معدودة ومن الأمثلة عليه:

المتغير العشوائي الهندسي والمتغير العشوائي ذي الحدين

مثل: عدد الأشجار التي ستنمو عند زراعة 10000 شجرة.

ثانياً: المتغير العشوائي المتصل:

هو متغير عشوائي يأخذ قيمًا متصلة ضمن فترة معينة من الأعداد الحقيقية ومن الأمثلة عليه: التوزيع الطبيعي.

مثل: طول الشجرة يتم اختيارها عشوائيًا من أشجار غابة ما.

فالتوزيع الطبيعي: هو التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المتصل x الذي يتخذ تمثيله البياني شكل المنحنى الطبيعي ،

ويسمى هذا المتغير العشوائي: متغيرًا عشوائيًا طبيعيًا ويرمز له بالرمز: $X~N(\mu ,{\sigma }^2)$

حيث:$\mu$: الوسط الحسابي

        $\sigma$: الانحراف المعياري

       ${\sigma }^2$: التباين

ويمكن استخدام القاعدة التجريبية لإيجاد احتمال حادث معين لمتغير عشوائي طبيعي, والتي تمثل النسبة المئوية للمساحة تحت المنحنى.

مثال 2

 يدل المتغير العشوائي x على سعة علبة عصير (بالميلمتر) ينتجه مصنع معين حيث: $X~N(250,32)$

فجد كلًا مما يلي:

$P(x<250) (1$

الحل: بسبب التماثل حول الوسط الحسابي:  $P(x<250)=0.5$

$P(247>x>265) (2$

الحل:

$247=250-3=\mu -\sigma$

$265=250+6=\mu +2\sigma$

$P(247<X<256)=0.34+.475=0.815$

$P(x<244) (3$

الحل:

$244=250-6=\mu -2\sigma$

$P(X<244)=0.5-0.475=0.025$

---

التوزيع الطبيعي المعياري

التوزيع  الطبيعي المعياري: هو توزيع طبيعي وسطه الحسابي (0) وانحرافه المعياري (1)و ويرمز للمتغير العشوائي الطبيعي المعياري بالرمز:$Z~N(0,1)$

و يمكن استخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري لإيجاد المساحة تحت المنحنى الطبيعي المعياري (وهي نفسها الاحتمال)

فتكون المساحة المظللة تساوي احتمال قيم المتغير العشوائي الطبيعي المعياري Z التي تقل عن (أو تساوي) القيمة المعيارية Z

المساحة المظللة= $P(Z<z) \equiv P(Z\le z)$

ونلاحظ أن الجدول يعطي المساحة تحت المنحمى الطبيعي المعياري على يسار قيم Z الموجبة ،

لذلك نستخدم خصائص المنحنى الطبيعي المعياري والتماثل لقيم Z السالبة ، اعتمادًا على المفاهيم التالية:

(حيث $Z , Z_1 , Z_2$ قيمة موجبة)

$1) P(Z>z)=1-P(Z<z)$

 

 

$2) P(Z<-z)=P(Z>z)=1-P(Z<z)$

 

$3) P(Z>-z)=P(Z<z)$

$4) P(z_1<Z<z_2)=P(Z<z_2)-P(Z<z_1)$

$5) P(-z_2<Z<-z_1)=P(z_1<Z<z_2)=P(Z<z_2)-P(Z<z_1)$

 

$6) P(-z_1<Z<z_2)=P(Z<z_2)-P(Z<-z_1)=P(Z<z_2)+P(Z<z_1)-1$

 

مثال 3

مستخدمًا جدول التوزيع الطبيعي المعياري ، جد كلًا مما يلي:

$1) P(Z\le 1.7)$

$Solution: P(Z\le 1.7)=0.9554 directly$

 

$2) P(Z\ge 1.7)$

$Solution:P(Z\le 1.7)=1-0.9554=0.0446 directly$

 

$3) P(Z>-1.08)$

$Solution: P(Z>-1.08)=P(Z<1.08)=0.8599$

 

$4) P(Z<-0.97)$

$Solution:P(Z<-0.97)=P(Z>0.97)=1- P(Z<0.97)=1-0.8340=0.1660$

 

$5) P(-1<Z<0.5)$

$Solution:P(-1<Z<0.5)=P(Z<0.5)-P(Z<-1)$

$=P(Z<0.5)-\left(1- P(Z<1)\right)=0.6915+0.8413-1=0.5328$

---

إيجاد احتمال المتغير العشوائي الطبيعي غير المعياري

يمكن تحويل المتغير العشوائي الطبيعي غير المعياري  $(X~N(\mu ,{\sigma }^2\left)\right)$ إلى متغير طبيعي معياري  $(Z~N(0,1\left)\right)$   

باستخدام القيم المعيارية Z المقابلة للقيم الحقيقية X حسب الصيغة: $Z=\frac{x-\mu }{\sigma }$

بحيث نستخدم جدول التوزيع الطبيعي المعياري لإيجاد الاحتمال.

مثال 4

إذا كان X متغيرًا عشوائيًا طبيعيًا، حيث: $X~N(40,25)$

فجد كلًا مما يلي:

 $1) P(X\ge 42.5)$

$Solution:P(X\ge 42.5)=P(Z\ge \frac{42.5-40}{5})$

$=P(Z\ge 0.5)=1-P(Z\le 0.5)=1-0.6915=0.3085$

 

$2) P(35<X<40)$

$Solution:P(35<X<40)=P(\frac{35-40}{5}<Z<\frac{40-40}{5})$

$=P(-1<Z<0)=P(Z<0)-P(Z<-1)$

$=P(Z<0)+P(Z<1)-1=0.5+0.8413-1=0.3413$

 

$3) P(X\le 33)$

$Solution:P(X\le 33)=P(Z\le \frac{33-40}{5})$

$=P(Z\le -1.4)=1-P(Z\le 1.4)=1-0.9192=0.0807$

مثال 5

في دراسة شملت طلبة إحدى الجامعات, كان معدل الطلبة يتبع توزيعًا طبيعيًا بوسط حسابي 73 ، وانحراف معياري 8 علامات.إذا اختير طالب عشوائيًا، ما احتمال:

1) أن يكون معدله أعلى من 75:

$Solution:\sigma =8 , \mu =73$ 

$P(X>75)=P(Z>\frac{75-73}{8})=P(Z>0.25)$

$=1-P(Z\le 0.25)=1-0.5987=0.4013$    

2) أن يكون معدله أعلى من 69.

 

 $Solution:\sigma =8 , \mu =73$

$P(X>69)=P(Z>\frac{69-73}{8})=P(Z>-0.5)=P(Z<0.5)=0.6915$

3) أن يكون معدله محصورًا بين 75 و 83.

$Solution:\sigma =8 , \mu =73$

$P(75<X<83)=P(\frac{75-73}{8}<Z<\frac{83-73}{8})$

$=P(0.25<Z<1.25)=P(Z<1.25)-P(Z<0.25)=0.8944-0.5987=0.2957$

---

إيجاد قيمة المتغير العشوائي إذا علم الاحتمال

عند معرفة الاحتمال ، نجد قيم Z التي تقابل هذا الاحتمال باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري وخصائصه ، ثم نجد قيمة X المقابلة لقيمة Z الناتجة.

مثال 6 

إذا كان X متغيرًا عشوائيًا طبيعيًا وسطه الحسابي 25 وانحرافه المعياري 7 فجد قيمة x التي تحقق الاحتمال المعطى في كل مما يلي:

$1) P(X<x)=0.994$

الحل:

لاحظ أن $0.994>0.5$  (وأن المساحة على اليسار) ، مما يعني أن Z المقابلة لقيمة x هي قيمة موجبة

من جدول التوزيع الطبيعي المعياري, نجد أن هذه المساحة تقابل $Z=2.51$ Z=2.51

           

           $Solution:Z=\frac{x-\mu }{\sigma }\to 2.51=\frac{x-25}{7}\to x=42.57$

 

$2) P(X<x)=0.3446$

الحل:

لاحظ أن: $0.3446<0.5$  وأن المساحة على اليسار مما يعني أن Z سالبة 

       

$Solution:P(Z<-z)=1-P(Z<z)$

$0.3446=1-P(Z<z)$

$P(Z<z)=0.6554$

$Z=0.4\Rightarrow -Z=-0.4$

$-Z=\frac{x-\mu }{\sigma } \to -0.4=\frac{x-25}{7}\Rightarrow x=22.2$

 

$3) P(X>x)=0.79$

 

الحل: لاحظ أن: $0.79>0.5$ ، وأن المساحة على اليمين مما يعني أن قيمة z قيمة سالبة.

          

من الجدول نجد أن أقرب قيمة إلى 0.79 هي 0.7910 تقابل

 

         $Solution:P(Z>-z)=P(Z<z)$

$Z=-0.81$

$-0.81=\frac{x-25}{7}\Rightarrow x=19.33$

 

         $4) P(X\ge x)=0.063$ 

الحل: لاحظ أن:  0.5>0.063  ، وأن المساحة على اليمين, مما يعني أن قيمة z موجبة

 

         

$Solution:P(Z>z)=1-P(Z\le z)$

$0.063=1-P(Z\le z)=0.9370 from the table$

$1.53=\frac{x-25}{7} \Rightarrow x=35.71$

---

إيجاد الوسط الحسابي أو الانحراف المعياري إذا علم الاحتمال

يمكن توظيف الخصائص السابقة في حل مسائل عملية وإيجاد الوسط الحسابي أو الانحراف المعياري لتوزيع طبيعي.

مثال 7

يمثل $X~N(500,{\sigma }^2)$   المتغير العشوائي الطبيعي لكتلة حبة دواء (بالميلغرام) التي ينتجها أحد مصانع الأدوية إذا زادت كتلة 4% منها على mg 510 .

فجد الانحراف المعياري لكتل حبات الدواء.

الحل:

لاحظ أن 0.5 >0.04 ، وأن المساحة على اليمين مما يعني أن قيمة z موجبة

$4\%=0.04 , \mu =500 mg$

     

$Solution:P(Z>z)=1-P(Z\le z)$

$0.05=1-P(Z\le z)$

$P(Z\le z)=0.96$

$from the table: 0.96 \approx 0.9599$

$\Rightarrow Z=1.75$

$z=\frac{x-\mu }{\sigma }$

$1.75=\frac{510-500}{\sigma }\Rightarrow \sigma =\frac{10}{1.75}\Rightarrow \sigma \approx 5.71$