الرياضيات فصل ثاني

التوجيهي أدبي

icon

التوزيع الطبيعي المعياري

مسألة اليوم: سجَّلت محطَّة رصد جوي درجات الحرارة في منطقة قطبية باردة. وكانت درجات الحرارة هذه تتبع توزيعًا طبيعيًا، وسطه الحسابي 0°C، وانحرافه المعياري 1. إذا اختير أحد الأيام عشوائيًّا، فما احتمال أنْ تكون درجة الحرارة المُسجَّلة في المحطَّة أكثر من 2.64°C في ذلك اليوم.

الحل:

المطلوب: PZ>2.64

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي PZ>2.64=1-PZ<2.64
بتعويض PZ<2.64=0.9959 PZ>2.64=1-0.9959
بالتبسيط P(Z>2.64)=0.0041

إذًا، احتمال أن تكون درجة الحرارة المُسجَّلة في المحطة أكثر من 2.64°C هو: 0.0041

 

أتحقق من فهمي (صفحة 100)

أجد كُلاًّ ممّا يأتي، مستعمِلاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

a) PZ<0.69                       b) PZ<3.05c) PZ>-1.67                    d) PZ>-2.88

الحل:

a) P(Z<0.69)  

من الجدول مباشرة نجد أن: PZ<0.69=0.7549

 

b) P(Z<3.05) 

من الجدول مباشرة نجد أن:   PZ<3.05=0.9989

 

c) P(Z>-1.67) 

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي PZ>-1.67=PZ<1.67
بتعويض P(Z<1.67)=0.9525 P(Z>-1.67)=0.9525

 

d) P(Z>-2.88) 

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z>-2.88)=P(Z<2.88)
بتعويضP(Z<2.88)=0.9980 P(Z>-2.88)=0.9980

 

أتحقق من فهمي (صفحة 101)

أجد كُلاًّ ممّا يأتي، مستعمِلاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

a) P(Z>2.56)                       b) P(Z>1.01)c) P(Z<-0.09)                    d) P(Z<-1.52)

الحل:

a) P(Z>2.56) 

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z>2.56)=1-P(Z<2.56)
بتعويضP(Z<2.56)=0.9948 P(Z>2.56)=1-0.9948
بالتبسيط P(Z>2.56)=0.0052

 

b) P(Z>1.01) 

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z>1.01)=1-P(Z<1.01)
بتعويضP(Z<1.01)=0.8438 P(Z>1.01)=1-0.8438
بالتبسيط P(Z>1.01)=0.1562

 

c) P(Z<-0.09) 

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z<-0.09)=P(Z>0.09)                      =1-P(Z<0.09)
بتعويضP(Z<0.09)=0.5359  P(Z<-0.09)=1-0.5359
بالتبسيط P(Z<-0.09)=0.4641

 

d) P(Z<-1.52) 

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z<-1.52)=P(Z>1.52)                      =1-P(Z<1.52)
بتعويضP(Z<1.52)=0.9357 P(Z<-1.52)=1-0.9357
بالتبسيط P(Z<-1.52)=0.0643

 

أتحقق من فهمي (صفحة 102)

أجد كُلاًّ ممّا يأتي، مستعمِلاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

a) P(0<Z<0.33)                 b) P(-1<Z<1.25)            

الحل:

a) P(0<Z<0.33)

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(0<Z<0.33)=P(Z<0.33)-P(Z<0)
بتعويضP(Z<0.33)=0.6293P(Z<0)=0.5 P(0<Z<0.33)=0.6293-0.5
بالتبسيط P(0<Z<0.33)=0.1293

 

b) P(-1<Z<1.25) 

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(-1<Z<1.25)=P(Z<1.25)-P(Z<-1)                            =P(Z<1.25)-P(Z>1)                            =P(Z<1.25)-(1-P(Z<1))
بتعويضP(Z<1.25)=0.8944P(Z<1)=0.8413 P(-1<Z<1.25)=0.8944-(1-0.8413)
بالتبسيط P(-1<Z<1.25)=0.8944-(1-0.8413)                            =0.8944-0.1587                            =0.7357

 

أتحقق من فهمي (صفحة 106)

أجد قيمة a  التي تُحقِّق الاحتمال المعطى في كلٍّ ممّا يأتي:

a) PZ<a=0.9788                        b) PZ<a=0.25c) PZ>a=0.9738                        d) PZ>a=0.2

الحل:

a) P(Z<a)=0.9788   

P(Z<a)=P(Z<z)=0.9788

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد 0.9788  فنجده تحت العمود 0.03  ويقابل العدد 2.0 تحت العمود Z

إذًا، z=2.03 ، لكن a=z

إذًا، a=2.03

 

b)  P(Z<a)=0.25  

                             

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي PZ<-z=PZ>z                 =1-PZ<z
بتعويض P(Z<-z)=0.25  0.25 =1-P(Z<z)        
بالتبسيط P(Z<z)=0.75   

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد 0.75 فلا نجده نأخذ العدد الأقل منه مباشرة 0.7486 حيث يقع تحت عمود 0.07 ويقابل العدد 0.6 تحت العمود z.

إذًا، z=0.67 لكن a=-z

إذًا، a=-0.67

 

c) P(Z>a)=0.9738  

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي PZ>a=PZ>-z=PZ<z           
بتعويض P(Z>a)=0.9738 0.9738=P(Z<z)     
بإعادة الترتيب P(Z<z)=0.9738

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد 0.9738 فنجده يقع تحت العمود 0.04 ويقابل العدد 1.9تحت العمود z.

إذًا، z=1.94 لكن a=-z

إذًا، a=-1.94

 

d) P(Z>a)=0.2 

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z>a)=P(Z>z)              =1-P(Z<z)
بتعويض  P(Z>a)=0.2 0.2=1-P(Z<z)                      
بالتبسيط P(Z<z)=1-0.2             =0.8

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد 0.8 فلا نجده نأخذ العدد الأقل منه مباشرة 0.7995 حيث يقع تحت عمود 0.04  ويقابل العدد 0.8 تحت العمود z,

إذًا، z=0.84 لكن a=z

إذًا، a=0.84

 

أتدرَّب وأحُلُّ المسائل

أجد كُلاًّ ممّا يأتي، مُستعمِلاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

 1) PZ<0.68

الحل:

من الجدول مباشرة   P(Z<0.68)=0.7517

2) P(Z<1.54)  

الحل:

من الجدول مباشرة     P(Z<1.54)=0.9382

 

3) PZ>0.27  

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z>0.27)=1-P(Z<0.27)
بتعويضP(Z<0.27)=0.6064 P(Z>0.27)=1-0.6064
بالتبسيط P(Z>0.27)=0.3936

 

4) P0.49<Z<2.9  

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(0.49<Z<2.9)=P(Z<2.9)-P(Z<0.49)
بتعويضP(Z<2.9)=0.9981 P(Z<0.49)=0.6879 P(0.49<Z<2.9)=0.9981-0.6879
بالتبسيط P(0.49<Z<2.9)=0.3102

 

5) P(-0.08<Z<0.8) 

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(-0.08<Z<0.8)=P(Z<0.8)-P(Z<-0.08)                               =P(Z<0.8)-P(Z>0.08)                               =P(Z<0.8)-(1-P(Z<0.08))

بتعويضP(Z<0.8)=0.7881

P(Z<0.08)=0.5319

P(-0.08<Z<0.8)=0.7881-(1-0.5319)
بالتبسيط P(-0.08<Z<0.8)=0.7881-0.4681                               =0.32

 

6) P(0<Z<1.07)  

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(0<Z<1.07)=P(Z<1.07)-P(Z<0)

بتعويضP(Z<1.07)=0.8577P(Z<0)=0.5

P(0<Z<1.07)=0.8577-0.5
بالتبسيط P(0<Z<1.07)=0.3577

 

7) P(Z<-1.25)  

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z<-1.25)=P(Z>1.25)                      =1-P(Z<1.25)
بتعويضP(Z<1.25)=0.8944 P(Z<-1.25)=1-0.8944
بالتبسيط P(Z<-1.25)=0.1056

 

8) P(Z>-1.99)  

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z>-1.99)=P(Z<1.99)
بتعويضP(Z<1.99)=0.9767 P(Z>-1.99)=0.9767

 

9) P(-0.5<Z<0) 

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(-0.5<Z<0)=P(Z<0)-P(Z<-0.5)                          =P(Z<0)-P(Z>0.5)                          =P(Z<0)-(1-PZ<0.5)
بتعويضP(Z<0)=0.5P(Z<0.5)=0.6915 P(-0.5<Z<0)=0.5-(1-0.6915)
بالتبسيط P(-0.5<Z<0)=0.5-0.3085                          =0.1915

 

10) P(Z<0.43)  

الحل:

من الجدول مباشرة    P(Z<0.43)=0.6664

 

11) P(Z>3.08) 

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z>3.08)=1-P(Z<3.08)
بتعويض P(Z<3.08)=0.9990 P(Z>3.08)=1-0.9990
بالتبسيط P(Z>3.08)=0.001

 

2) P(Z<-2.03)  

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z<-2.03)=P(Z>2.03)                      =1-P(Z<2.03)
بتعويضP(Z<2.03)=0.9788 P(Z<-2.03)=1-0.9788
بالتبسيط P(Z<-2.03)=0.0212

 

13) P(Z>2.2)  

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z>2.2)=1-P(Z<2.2)
بتعويضP(Z<2.2)=0.9861 P(Z>2.2)=1-0.9861
بالتبسيط P(Z>2.2)=0.0139

 

14) P(-0.72<Z<3.26)  

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(-0.72<Z<3.26)=P(Z<3.26)-P(Z<-0.72)                                 =P(Z<3.26)-P(Z>0.72)                                 =P(Z<3.26)-1-P(Z<0.72)                                                                         
بتعويضP(Z<3.26)=0.9994P(Z<0.72)=0.7642 P(-0.72<Z<3.26)=0.9994-(1-0.7642)
بالتبسيط P(-0.72<Z<3.26)=0.9994-0.2358                                 =0.7636

 

15) P(1.5<Z<2.5)  

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(1.5<Z<2.5)=P(Z<2.5)-P(Z<1.5)
بتعويضP(Z<2.5)=0.9938P(Z<1.5)=0.9332 P(1.5<Z<2.5)=0.9938-0.9332
بالتبسيط P(1.5<Z<2.5)=0.0606

 


أجد مساحة المنطقة المُظلَّلة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي المعياري في كلٍّ ممّا يأتي:

                                         (17                                               (16

              

الحل:

16) المساحة المطلوبة =P(Z>2)

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z>2)=1-P(Z<2)
بتعويضP(Z<2)=0.9772 P(Z>2)=1-0.9772
بالتبسيط P(Z>2)=0.0228

إذًا، مساحة المنطقة المُظلَّلة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي المعياري تساوي: 0.0228

 

17) المساحة المطلوبة = P-2.25<Z<0

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(-2.25<Z<0)=P(Z<0)-P(Z<-2.25)                            =P(Z<0)-P(Z>2.25)                               =P(Z<0)-(1-P(Z<2.25))
بتعويضPZ<0=0.5P(Z<2.25)=0.9878 P(-2.25<Z<0)=0.5-(1-0.9878)
بالتبسيط P(-2.25<Z<0)=0.5-0.0122                             =0.4878

إذًا، مساحة المنطقة المُظلَّلة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي المعياري تساوي: 0.4878


أجد قيمة a التي تُحقِّق الاحتمال المعطى في كلٍّ ممّا يأتي:

 

18)  P(Z<a)=0.7642  

الحل:

بما أن الاحتمال(المساحة) الأقل من a يساوي 0.7642  فإن a تقع على يمين المساحة، وبما أن المساحة أكبر من 0.5، فإن a موجبة.

إذًا، P(Z<a)= P(Z<z)=0.7642  

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد 0.7642 فنجده تحت العمود 0.02 ويقابل العدد 0.7 الواقع تحت العمود Z.

إذًا، z=0.72 لكن a=z

إذًا، a=0.72

 

19) P(Z<a)=0.13 

الحل:

بما أن الاحتمال(المساحة) الأقل من a يساوي 0.13 فإن a تقع على يمين المساحة، وبما أن المساحة أقل من0.5 فإنa سالبة

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي PZ<a=PZ<-z=PZ>z              =1-PZ<z              
بتعويض P(Z<a)=0.13  0.13=1-P(Z<z)              
بالتبسيط  P(Z<z)=1-0.13              =0.87

 نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد 0.87  فلا نجده فنأخذ العدد الأقل منه مباشرة 0.8686 حيث  يقع تحت العمود 0.02 ويقابل العدد 1.1 الواقع تحت العمود Z.

إذًا،  z=1.12  لكن  a=-z

إذًا، a=-1.12

 

  20) P(Z>a)=0.8531  

الحل:

بما أن الاحتمال(المساحة) الأكبر من a يساوي 0.8531 وهذه المساحة أكبر من 0.5 ، فإن a تقع على يسار المساحة؛أي إن a سالبة.

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي  P(Z>a)= P(Z>-z)=P(Z<z)            
بتعويض P(Z>a)=0.8531    0.8531=P(Z<z)        
بإعادة الترتيب P(Z<z)=0.8531   

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد 0.8531 فنجده تحت العمود 0.05 ويقابل العدد 1.0 الواقع تحت العمود Z.

إذًا، z=1.05 لكن a=-z

إذًا، a=-1.05

 

21) P(Z>a)=0.372  

الحل:

بما أن الاحتمال(المساحة) الأكبر من a يساوي 0.372  وهذه المساحة أقل من 0.5، فإن a تقع على يسار المساحة ؛أي إن a موجب

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z>a)=P(Z>z)              =1-P(Z<z)
بتعويضP(Z>a)=0.372 0.372=1-P(Z<z)           
بالتبسيط P(Z<z)=1-0.372             =0.628

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد 0.628  فلا نجده نأخذ العدد الأقل منه مباشرة 0.6255  حيث  يقع تحت العمود 0.02 ويقابل العدد 0.3 الواقع تحت العمود Z.

إذًا، z=0.32 لكن z=a

 إذًا، a=0.32 


مهارات التفكير العليا

22) أكتشف الخطأ: عبَّرت روان عن المُتغيِّر العشوائي الطبيعي المعياري على النحو الآتي:

                                   

أكتشف جميع الأخطاء التي وقعت بها روان، ثم أُصحِّحها.

الحل:

الخطأ الذي وقعت به روان أنها عوضت الوسط الحسابي للتوزيع الطبيعي 1 والصحيح 0 والانحراف المعياري 0 والصحيح 1

إذًا الصحيح هو: N0, 1


23) تحدٍّ: إذا كان a>0، فأُثبِت أنَّ:       P-a<Z<a=2PZ<a-1    

البرهان:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(-a<Z<a)=P(Z<a)-P(Z<-a)                       =P(Z<a)-P(Z>a)                       =P(Z<a)-(1-P(Z<a))
بالتبسيط P(-a<Z<a)=P(Z<a)-1+P(Z<a)                       =2P(Z<a)-1

إذُا، P(-a<Z<a)=2P(Z<a)-1 وهو المطلوب


تبرير: أجد قيمة a التي تُحقِّق الاحتمال المعطى في كلٍّ ممّا يأتي، مُبرِّرًا إجابتي:

24) P0<Z<a=0.45            25) P-a<Z<a=0.1272

الحل:

24)  P(0<Z<a)=0.45   

بما أن  Z أكبر من 0 وأقل من a ، فإن a موجبة

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(0<Z<a)=P(Z<a)-P(Z<0)
بتعويضP(0<Z<a)=0.45P(Z<0)=0.5 0.45=P(Z<a)-0.5
بالتبسيط P(Z<a)=0.45+0.5              =0.95

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد 0.95  فلا نجده نأخذ العدد الأقل منه مباشرة 0.9495 حيث يقع تحت العمود 0.04 ويقابل العدد 1.6 الواقع تحت العمود Z.

إذًا، z=1.64 لكن a=z

 إذًا، a=1.64

 

25) P(-a<Z<a)=0.1272    

الحل:

بما أن P(-a<Z<a)=2P(Z<a)-1
بتعويضP(-a<Z<a)=0.1272                            0.1272=2P(Z<a)-1
بالتبسيط 2P(Z<a)=0.1272+1                =1.1272P(Z<a)=1.12722              =0.5636 

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد 0.5636 فنجده تحت العمود 0.06 ويقابل العدد 0.1 الواقع تحت العمود Z.

إذًا، z=0.16  لكن  a=z

إذًا، a=0.16


أسئلة كتاب التمارين (صفحة 20)

أجد كُلاًّ ممّا يأتي، مُستعمِلاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

1) PZ<1.42    

الحل:

من الجدول مباشرة    P(Z<1.42)=0.9222

 

2) P(Z<0.87)    

الحل:

من الجدول مباشرةP(Z<0.87)=0.8078  

 

3) P(Z>1.06)   

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z>1.06)=1-P(Z<1.06)

بتعويض

P(Z<1.06)=0.8554

P(Z>1.06)=1-0.8554
بالتبسيط P(Z>1.06)=0.1446

 

4) P(Z<-2.78)   

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z<-2.78)=P(Z>2.78)                      =1-P(Z<2.78)
بتعويض P(Z<2.78)=0.9973 P(Z<-2.78)=1-0.9973
بالتبسيط P(Z<-2.78)=0.0027

 

5) P(Z>-1.33)    

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z>-1.33)=PZ<1.33 
بتعويض P(Z<1.33)=0.9082 P(Z>-1.33)=0.9082

 

6) P(1.1<Z<2.1)    

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(1.1<Z<2.1)=P(Z<2.1)-P(Z<1.1)
بتعويضP(Z<2.1)=0.9821P(Z<1.1)=0.8643 P(1.1<Z<2.1)=0.9821-0.8643
بالتبسيط P(1.1<Z<2.1)=0.1178

 

7) P(-2.65<Z<-1.43)    

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(-2.65<Z<-1.43)                   =P(Z<-1.43)-P(Z<-2.65)                   =(1-P(Z<1.43))-(1-P(Z<2.65))                   =P(Z<2.65)-P(Z<1.43)
بتعويضP(Z<2.65)=0.9960P(Z<1.43)=0.9236 P(-2.65<Z<-1.43)=0.9960-0.9236
بالتبسيط P(-2.65<Z<-1.43)=0.0724

 

8) P(0.24<Z<1.1)    

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(0.24<Z<1.1)=P(Z<1.1)-P(Z<0.24)
بتعويضP(Z<1.1)=0.8643P(Z<0.24)=0.5948 P(0.24<Z<1.1)=0.8643-0.5948
بالتبسيط P(0.24<Z<1.1)=0.2695

 

9) P(Z<-0.56)    

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z<-0.56)=P(Z>0.56)                      =1-P(Z<0.56)
بتعويض P(Z<0.56)=0.7123 P(Z<-0.56)=1-0.7123
بالتبسيط P(Z<-0.56)=0.2877

 

10) P(-1.8<Z<1.8)   

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(-1.8<Z<1.8)=P(Z<1.8)-P(Z<-1.8)                             =P(Z<1.8)-P(Z>1.8)                             =P(Z<1.8)-(1-P(Z<1.8))
بتعويضP(Z<1.8)=0.9641 P(-1.8<Z<1.8)=0.9641-(1-0.9641)
بالتبسيط P(-1.8<Z<1.8)=0.9641-0.0359                             =0.9282

 

11) P(Z<-1.75)    

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z<-1.75)=P(Z>1.75)                      =1-P(Z<1.75)
بتعويض P(Z<1.75)=0.9599 P(Z<-1.75)=1-0.9599
بالتبسيط P(Z<-1.75)=0.0401

 

12) P(Z>0.81)   

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z>0.81)=1-P(Z<0.81)
بتعويضP(Z<0.81)=0.7910 P(Z>0.81)=1-0.7910
بالتبسيط P(Z>0.81)=0.209

 

13) P(-1<Z<-0.33)    

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(-1<Z<-0.33)=P(Z<-0.33)-P(Z<-1)                         =(1-P(Z<0.33))-(1-P(Z<1))                         =P(Z<1)-P(Z<0.33)
بتعويضP(Z<1)=0.8413P(Z<0.33)=0.6293 P(-1<Z<-0.33)=0.8413-0.6293
بالتبسيط P(-1<Z<-0.33)=0.212

 

14) P(0.4<Z<1.7)    

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(0.4<Z<1.7)=PZ<1.7-PZ<0.4
بتعويضP(Z<1.7)=0.9554P(Z<0.4)=0.6554 P(0.4<Z<1.7)=0.9554-0.6554
بالتبسيط P(0.4<Z<1.7)=0.3

 

15) P(Z>2.09)   

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z>2.09)=1-P(Z<2.09)
بتعويضP(Z<2.09)=0.9817 P(Z>2.09)=1-0.9817
بالتبسيط P(Z>2.09)=0.0183

 


أجد مساحة المنطقة المُظلَّلة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي المعياري في كل ممّا يأتي:

(16         

       

الحل:

المساحة المطلوبة هي: P0<Z<1.2

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(0<Z<1.2)=P(Z<1.2)-P(Z<0)
بتعويضP(Z<1.2)=0.8849P(Z<0)=0.5 P(0<Z<1.2)=0.8849-0.5
بالتبسيط P(0<Z<1.2)=0.3849

إذًا، مساحة المنطقة المُظلَّلة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي المعياري تساوي: 0.3849

 

(17 

                   

الحل:

المساحة المطلوبة هي: P(-0.5<Z<1.5)

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(-0.5<Z<1.5)                   =P(Z<1.5)-P(Z<-0.5)                   =P(Z<1.5)-(1-PZ<0.5)
بتعويضP(Z<1.5)=0.9332P(Z<0.5)=0.6915 P(-0.5<Z<1.5)=0.9332-(1-0.6915)
بالتبسيط P(-0.5<Z<1.5)=0.9332-0.3085                             =0.6247

إذًا، مساحة المنطقة المُظلَّلة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي المعياري تساوي: 0.6247

 

(18

                           

الحل:

المساحة المطلوبة هي: P(Z>1.6)

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z>1.6)=1-P(Z<1.6)
بتعويض P(Z<1.6)=0.9452 P(Z>1.6)=1-0.9452
بالتبسيط P(Z>1.6)=0.0548

إذًا، مساحة المنطقة المُظلَّلة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي المعياري تساوي: 0.0548

 

(19

                      

الحل:

المساحة المطلوبة هي: P(-0.88<Z<1.65)

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(-0.88<Z<1.65)                     =P(Z<1.65)-P(Z<-0.88)                     =P(Z<1.65)-P(Z>0.88)                     =P(Z<1.65)-(1-PZ<0.88)
بتعويضPZ<1.65=0.9505P(Z<0.88)=0.8106 P(-0.88<Z<1.65)=0.9505-(1-0.8106)                                 =0.9505-0.1894
بالتبسيط P(-0.88<Z<1.65)=0.7611

إذًا، مساحة المنطقة المُظلَّلة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي المعياري تساوي: 0.1399


أجد قيمة a التي تُحقِّق الاحتمال المعطى في كلٍّ ممّا يأتي:

20) P(Z<a)=0.9082          21) P(Z<a)=0.031422) P(Z>a)=0.95              23) P(Z<a)=0.544224) P(Z>a)=0.2743          25)  P(Z>a)=0.6231

 

20) P(Z<a)=0.9082    

الحل:

بما أن الاحتمال(المساحة) الأقل من a يساوي0.9082 ، فإن a تقع على يمين المساحة، وبما أن المساحة أكبر من 0.5، فإن a موجبة.

إذًا، P(Z<a)=P(Z<z)=0.9082  

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد 0.9082 فنجده تحت عمود 0.03 ويقابل العدد 1.3الواقع تحت عمود Z.

إذًا،z=1.33 لكن z=a

إذًا، a=1.33

 

21) P(Z<a)=0.0314     

الحل:

بما أن الاحتمال(المساحة) الأقل من a يساوي 0.0314  فإن a تقع على يمين المساحة، وبما أن المساحة أقل من 0.5 فإن a سالبة.

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z<a)=P(Z<-z)=P(Z>z)              =1-P(Z<z)
بتعويض P(Z<a)=0.0314       0.0314=1-P(Z<z)
بالتبسيط  P(Z<z)=1-0.0314              =0.9686

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد 0.9686 فنجده تحت عمود 0.06 ويقابل العدد 1.8 الواقع تحت عمود Z

إذًا، z=1.86 لكن a=-z

إذًا، a=-1.86

 

22) P(Z>a)=0.95    

الحل:

بما أن الاحتمال(المساحة) الأكبر من a يساوي 0.95  فإن a تقع على يسار المساحة، وبما أن المساحة أكبر من 0.5 فإن a سالبة.

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z>a)=P(Z>-z)              =P(Z<z)
بتعويضP(Z>a)=0.95                  0.95=P(Z<z)
بإعادة الترتيب P(Z<z)=0.95

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد 0.95 فلا نجده نأخد العدد الأقل منه مباشرة 0.9495 حيث يقع تحت عمود 0.04 ويقابل العدد 1.6 الواقع تحت عمود Z.

إذًا،  z=1.64 لكن a=-z

إذًا، a=-1.64

 

23) P(Z<a)=0.5442    

الحل:

بما أن الاحتمال(المساحة) الأقل من a يساوي 0.5442 فإن a تقع على يمين المساحة، وبما أن المساحة أكبر من 0.5 فإن a موجبة.

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد 0.5442 فلا نجده نأخذ العدد الأقل منه مباشرة 0.5438 حيث يقع تحت العمود 0.01 ويقابل العدد 0.1 الواقع تحت عمود Z.

إذًا، z=0.11 لكن a=z

إذًا، a=0.11

 

24) P(Z>a)=0.2743   

الحل:

بما أن الاحتمال(المساحة) الأكبر من a يساوي 0.2743 فإن a تقع على يسار المساحة، وبما أن المساحة أقل من 0.5 فإن a موجبة.

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z>a)=P(Z>z)              =1-P(Z<z)
بتعويضP(Z>a)=0.2743        0.2743=1-P(Z<z)
بالتبسيط P(Z<z)=1-0.2743             =0.7257

 نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد 0.7257 فنجده يقع تحت العمود 0.00 ويقابل العدد 0.6 الواقع تحت عمود Z.

إذًا، z=0.6  لكن a=z

إذًا، a=0.6

 

25) P(Z>a)=0.6231  

الحل:

بما أن الاحتمال(المساحة) الأكبر من a يساوي 0.6231 فإن a تقع على يسار المساحة، وبما أن المساحة أكبر من 0.5 فإن a سالبة.

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P(Z>a)=P(Z>-z)              =P(Z<z)
بتعويض P(Z>a)=0.6231        0.6231=P(Z<z)
بإعادة الترتيب P(Z<z)=0.6231

 نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد 0.6231 فلا نجده نأخذ العدد الأقل منه مباشرة 0.6217 حيث يقع تحت العمود 0.01 ويقابل العدد 0.3  تحت عمود z.

إذًا، z=0.31 لكن a=-z

إذًا، a=-0.31


(26 إذا كان: Z~N0, 1، وكان: P1<Z<c=0.1408، فأجد قيمة الثابت c.

الحل:

بما أن P(1<Z<c)، فإن c>1 ؛ أي أن c موجبة.

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي P1<Z<z=PZ<z-PZ<1
بتعويضP(1<Z<z)=0.1408PZ<1=0.8413 0.1408=P(Z<z)-0.8413
بالتبسيط P(Z<z)=0.1408+0.8413             =0.9821

 نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد 0.9821 فنجده يقع تحت العمود 0.00 ويقابل العدد 2.1 الواقع تحت عمود Z.

إذًا، z=2.1 لكن c=z

إذًا، c=2.1