التوزيع الطبيعي

Normal Distribution

 

يتم تصنيف البيانات العددية إلى نوعين هما:

• بيانات منفصلة: وهي البيانات القابلة للعد مثل عدد الأشخاص، عدد الكتب، عدد الأجهزة،....
• بيانات متصلة: وهي البيانات الغير قابلة للعد مثل الطول، الكتلة، السرعة، ..

وتعلمت سابقًا أن البيانات العددية تُمثَّل بيانيًا باستعمال المخططات التكرارية.

إذا كان تمثيل البيانات لتوزيع ما يُعطي الشكل الآتي:

فإن التوزيع يسمى بالتوزيع الطبيعي ويسمى المنحنى السابق منحنى التوزيع الطبيعي.

خصائص منحنى التوزيع الطبيعي

• منحنى متصل له شكل الجرس.
• تطابق الوسط الحسابي والوسيط والمنوال، وتوسط كُلٍّ منهما البيانات.
• تماثل البيانات حول الوسط الحسابي.
• اقتراب المنحنى عند طرفيه من المحور $x$ من دون أنْ يمسَّه.
• المساحة الكلية أسفل المنحنى تساوي 1.

يرمز للوسط الحسابي بالرمز  $\mu$

يرمز للانحراف المعياري بالرمز $\sigma$

 

النسبة المئوية للبيانات.

القاعدة التجريبية

مفهوم أساسي

إذا اتخذت مجموعة من البيانات شكل المنحنى الطبيعي، وكان وسطها الحسابي $\mu$، وانحرفها المعياري $\sigma$، فإنَّ:

• $68\%$ من المشاهدات تقريبًا تقع بين $\mu +\sigma و \mu -\sigma$؛ أيْ إنَّ $68\%$من البيانات لا يزيد البُعْد بينها وبين الوسط الحسابي على قيمة الانحراف المعياري.
• $95\%$من المشاهدات تقريبًا تقع بين $\mu +2\sigma و \mu -2\sigma$؛ أيْ إنَّ$95\%$من البيانات لا يزيد البُعْد بينها وبين الوسط الحسابي على مثلي قيمة الانحراف المعياري.
• $99.7\%$من المشاهدات تقريبًا تقع بين $\mu +3\sigma و \mu -3\sigma$؛ أيْ إنَّ $99.7\%$ من البيانات لا يزيد البُعْد بينها وبين الوسط الحسابي على ثلاثة أمثال قيمة الانحراف المعياري.

 

مفهوم أساسي

• المُتغيِّر العشوائي المنفصل: هو متغير عشوائي يأخذ قيمًا معدودة.

أمثلة:

• عدد الطلبة الذين تقل علاماتهم عن 70 في امتحان علامته القصوى 100.
•  عدد الطلبة في الصف الثاني  عاشر الذين أطوالهم أقل من155cm.
•   عدد الأطفال في كل أسرة في مدينة معينة.
•   عدد المصابيح التي يتم إنتاجها خلال زمن معين في أحد المصانع.

 

• المُتغيِّر العشوائي المتصل: هو متغير عشوائي يأخذ قيمًا متصلة ضمن فترة مُعيَّنة من الأعدد الحقيقية.

​​​​أمثلة:

• سرعة أول سيارة ستمرُّ أمام إحدى الحدائق خلال الساعة القادمة. 
• كتل الطلابفي مدرسة معينة.
• معدل هطول الأمطار على مدار عامفي مدينة معينة.

 

*** إذا ارتبط المُتغيِّر العشوائي المتصل $X$بتجربة عشوائية، وكان شكل تمثيلها البياني هو شكل المنحنى الطبيعي، فإن المُتغيِّر العشوائي  $X$  يسمى مُتغيِّرًا  عشوائيًا  طبيعيًا، ويسمى توزيعه الاحتمالي التوزيع الطبيعي.$(normal distribution)$، ويمكن التعبير عنه بالرموز على النحو الآتي:$X~N(\mu , {\sigma }^2)$

حيث:

$\mu$: الوسط الحسابي

$\sigma$:الانحراف المعياري