تجربة بيرنولي
تجربة بيرنولي هي تجربة عشوائية لها أحد ناتجين فقط، بحيث يُعبَّر عن أحدهما بالنجاح، ويُعبَّر عن الآخر بالفشل. فمثلًًا، تجربة إلقاء قطعة النقد مَرَّة واحدة وملاحظة الوجه الظاهر تُمثِّل تجربة بيرنولي؛ لأنَّ لها أحد ناتجين: صورة، أو كتابة. وفي هذه التجربة، تُعَدُّ الصورة هي النجاح، والكتابة هي الفشل، أو العكس.
بوجه عام، يُمكِن النظر إلى أيِّ تجربة عشوائية بوصفها تجربة بيرنولي، بافتراض أنَّ حدثًا مُعيَّنًا من الفضاء العيني للتجربة هو النجاح، بصرف النظر عن العدد الفعلي لعناصر ذلك الحدث.
فمثلًًا، عند إلقاء حجر نرد أوجهه مُرقَّمة بالأرقام: { 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1}، يُمكِن عَدُّ هذه التجربة تجربة بيرنولي على أساس أنَّ ظهور عدد أقلَّ من 5 هو النجاح، وأنَّ أيَّ عدد (ناتج) آخر هو الفشل.
التجربة الاحتمالية الهندسية
يُطلَق على تكرار تجربة بيرنولي عددًا من المَرّات المستقلة حتّى التوصُّل إلى أوَّل نجاح اسم التجربة الاحتمالية الهندسية
إذا توافرت الشروط الأربعة الآتية في تجربة عشوائية ما، فإنَّها تُعَدُّ تجربة احتمالية هندسية:
1 اشتمال التجربة على محاولات مستقلة ومُتكرِّرة.
2 فرز النتائج المُمكِنة في كل محاولة إلى نجاح أو فشل.
3 ثبات احتمال النجاح في كل محاولة.
4 التوقُّف عند أوَّل نجاح.
المُتغيِّر العشوائي الهندسي، وتوزيعه الاحتمالي
تعلَّمْتُ سابقًا أنَّ المُتغيِّر العشوائي هو مُتغيِّر تعتمد قِيَمه على نواتج تجربة عشوائية، وأنَّ التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي هو اقتران يربط كل قيمة للمُتغيِّر العشوائي باحتمال وقوعها في التجربة.
في التجربة الاحتمالية الهندسية، إذا دلَّ المُتغيِّر العشوائي X على عدد المحاولات وصولًًا إلى أوَّل نجاح، فإنَّ X يُسمّى المُتغيِّر العشوائي الهندسي، ويُمكِن التعبير عنه بالرموز على النحو الآتي:
حيث p احتمال النجاح الثابت في كل محاولة.
ومن ثَمَّ، فإنَّ المُتغيِّر X يأخذ القِيَم الآتية: ... , 3 , 2 , 1؛ أيْ إنَّ:
أتذكر: يُرمَز إلى قِيَم المُتغيِّر العشوائي بالرمز x، ويُرمَز إلى المُتغيِّر العشوائي نفسه بالرمز X.
إذن، إذا كان X مُتغيِّرًا عشوائيًّا هندسيًّا، فإنَّه يُمكِن إيجاد احتمال أنْ يأخذ X قيمة بعينها ضمن مجموعة قِيَمه المُمكِنة باستعمال الصيغة الآتية:
إذا كان الحادثان A و B مستقلين، فإنَّ احتمال حدوثهما معًا هو حاصل ضرب احتمالي وقوعهما؛ أيْ إنّ
أتذكر: إذا كان A و B حادثين متنافيين في تجربة عشوائية، فإنَّ احتمال وقوع أحدهما على الأقلِّ يساوي مجموع احتمالي وقوعهما:
أتذكر: احتمال وقوع مُتمِّمة الحادث A هو 1 ناقص احتمال وقوع الحادث
أتذكر: مُتمِّمة X > a هي X ≤ a ، ومُتمِّمة X < a هي X ≥ a
التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي الهندسي
تعلَّمْتُ سابقًا أنَّ التوقُّع (E(X للمُتغيِّر العشوائي X هو الوسط الحسابي لقِيَمه الناتجة من تكرار التجربة نفسها عددًا كبيرًا من المَرّات (عند اقتراب العدد من ∞)، وأنَّه يساوي مجموع حاصل ضرب كل قيمة للمُتغيِّر X في احتمال وقوعها.
يُمكِن التعبير عن ذلك بالرموز على النحو الآتي:
إذا كان X مُتغيِّرًا عشوائيًّا هندسيًّا، فإنَّه يُمكِن إيجاد توقُّعه باستعمال الصيغة الآتية:
