التوزيع الهندسي
Geometric Distribution
أتحقَّق من فهمي (صفحة 72)
أُبين إذا كانت التجربة العشوائية تُمثِّل تجربة احتمالية هندسية في كلٍّ ممّا يأتي:
a) إلقاء ريّان حجر نرد منتظمًا مَرّات، ثم كتابة الأعداد الظاهرة.
الحل:
التجربة: ليست تجربة احتمالية هندسية لأنها ليس بها فصل للنتائج إلى نجاح أو فشل وإنما كتابة الرقم الظاهر، كما أن التجربة لا تحتوي على شرط التوقف عند أوَّل نجاح. وبالتالي لا تحقق شروط التجربة الاحتمالية الهندسية.
b) إلقاء حنان قطعة نقد منتظمة بشكل مُتكرِّر، ثم التوقف عند ظهور الصورة.
الحل:
التجربة هي تجربة احتمالية هندسية لأنها تحقق الشروط الأربعة:
1) تكرار التجربة عدة مرات مستقلة.
2) فرز النتائج في كل محاولة إلى ناتجين فقط هما:النجاح (ظهور الصورة)، أو الفشل (عدم ظهور الصورة أي ظهور الكتابة).
3) احتمال النجاح(ظهور الصورة) ثابت في جميع المحاولات ويساوي .
4) التوقف عند ظهور الصورة أوَّل مَرَّة.
أتحقَّق من فهمي (صفحة 74)
إذا كان:، فأجد كُلاً ممّا يأتي:
الحل:
صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسة | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
احتمال الحوادث المتنافية | |
باستعمال صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسة | |
بالتبسيط |
احت مال الحوادث المتنافية | |
احتمال المتممة | |
صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي | |
بالتبسيط |
أتحقَّق من فهمي (صفحة 75)
صناعة: في دراسة لقسم الجودة في مصنع للأواني الفخارية، تبيَّن أنَّ في %10من الأواني الفخارية، عيبًا مصنعيًّا. إذا مَثَّل عدد الأواني الفخارية التي سيفحصها مُراقِب الجودة حتى إيجاد أوَّل إناء مَعيب، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:
a) احتمال أنْ يكون الإناء العاشر هو أوَّل إناء مَعيب يجده مُراقِب الجودة.
b) احتمال أنْ يفحص مُراقِب الجودة أكثر من 3 أوانٍ حتى إيجاد أوَّل إناء مَعيب.
الحل:
a) احتمال أنْ يكون الإناء العاشر هو أوَّل إناء مَعيب يجده مُراقِب الجودة هو:
صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسة | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
إذًا، احتمال أنْ يكون الإناء العاشر هو أوَّل إناء مَعيب يجده مُراقِب الجودة هو: تقريبًا
b) احتمال أنْ يفحص مُراقِب الجودة أكثر من 3 أوانٍ حتى إيجاد أوَّل إناء مَعيب هو:
احتمال الحوادث المتنافية | |
احتمال المتممة | |
باستعمال صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي | |
بالتبسيط |
إذًا،احتمال أنْ يفحص مُراقِب الجودة أكثر من 3 أوانٍ حتى إيجاد أوَّل إناء مَعيب هو:
أتحقَّق من فهمي (صفحة 76)
لعبة: قرَّر ريّان إلقاء حجر نرد منتظم بشكل مُتكرَّر، والتوقُّف عند ظهور العدد . كم مَرَّة يُتوقَّع أنْ يرمي ريّان حجر النرد.
الحل:
صيغة التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي الهندسي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
إذًا، يُتوقَّع أنْ يرمي ريّان حجر نرد مَرَّات حتى يظهر العدد 4
أتدرَّب وأحلُّ المسائل (صفحة 77, 78)
أُبيِّن إذا كانت التجربة العشوائية تُمثِّل تجربة احتمالية هندسية في كلٍّ ممّا يأتي:
1) عدد الأسئلة التي ستجيب عنها أسماء إجابة صحيحة من بين 25 سؤالاً من نوع الاختيار من مُتعدِّد لكلٍّ منها 5 بدائل، واحد منها فقط صحيح، في حالة الإجابة عن الأسئلة جميعها بصورة عشوائية.
الحل:
التجربة لا تُمثِّل تجربة احتمالية هندسية لأنها لا تتوقف عند أول إجابة صحيحة.
2) يرمي لاعب كرة سلة الكرة نحو الهدف بشكل متكرر، ويتوقَّف عند إحراز الهدف أوَّل مَرَّة، علمًا بأنَّ احتمال إحراز الهدف في كل مَرَّة هو 0.3
الحل:
التجربة هي تجربة احتمالية هندسية لأنها تحقق الشروط الأربعة:
1- تكرار التجربة عدة مرات مستقلة.
2- فرز النتائج في كل محاولة إلى ناتجين فقط هما:النجاح (إحراز الهدف)، أو الفشل (عدم إحراز الهدف).
3- احتمال النجاح (إحراز الهدف) ثابت في جميع المحاولات ويساوي 0.3
4- التوقف عند إحراز الهدف أوَّل مَرَّة.
إذا كان: ، فأجد كُلاً ممّا يأتي، مُقربًا إجابتي إلى أقرب 3 منازل عشرية:
:الحل
صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسة | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
:الحل
احتمال الحوادث المتنافية | |
باستعمال صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسة | |
بالتبسيط |
:الحل
احتمال الحوادث المتنافية | |
احتمال المتممة | |
باستعمال صيغة احتمال المُتغيِّر العشوائي الهندسي | |
بالتبسيط |
:الحل
هي | |
باستعمال صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسة | |
بالتبسيط |
:الحل
احتمال الحوادث المتنافية | |
باستعمال صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسة | |
بالتبسيط |
:الحل
احتمال الحوادث المتنافية | |
احتمال المتممة | |
باستعمال صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي | |
بالتبسيط |
:الحل
هي: | |
صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسة | |
بتعويض
|
|
بالتبسيط |
الحل:
هي | |
باستعمال صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي | |
بالتبسيط |
الحل:
السبب أنه لا توجد قيم ل أقل من 1
12) ألقي حجر نرد مُنتظم ذو ثمانية أوجه مُرقَّمة بالأرقام من 1 إلى 8 بشكل مُتكرِّر حتى ظهور العدد 7. أجد احتمال إلقاء حجر النرد 6 مَرّات.
الحل:
احتمال إلقاء حجر النرد 6 مرات حتى ظهور العدد 7 | |
صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسة | |
بتعويض
|
|
بالتبسيط |
أجد التوقُّع لكلٍّ من المُتغيِّرات العشوائية الآتية:
الحل:
صيغة التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي الهندسي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
:الحل
صيغة التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي الهندسي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
صناعة: وجد مصنع لوحدات الإنارة المكتبية أنَّ احتمال أنْ تكون وحدة الإنارة مَعيبة هو 0.10.إذا مثَّل عدد وحدات الإنارة التي سيفحصها مُراقب الجودة حتى إيجاد أوَّل وحدة إنارة مَعيبة، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:
16) احتمال أنْ تكون وحدة الإنارة الخامسة هي أوَّل وحدة مَعيبة يجدها مُراقب الجودة.
17) احتمال أنْ يفحص مُراقب الجودة أكثر من 4 وحدات إنارة حتى إيجاد أوَّل وحدة إنارة مَعيبة.
18) العدد المُتوقَّع من وحدات الإنارة التي سيفحصها مُراقب الجودة حتى إيجاد أوَّل وحدة إنارة مَعيبة.
الحل:
16)احتمال أنْ تكون وحدة الإنارة الخامسة هي أوَّل وحدة مَعيبة يجدها مُراقب الجودة هي:
صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسة | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
إذًا، احتمال أنْ تكون وحدة الإنارة الخامسة هي أوَّل وحدة مَعيبة يجدها مُراقب الجودة هي: 0.06561
17) احتمال أنْ يفحص مُراقب الجودة أكثر من 4 وحدات إنارة حتى إيجاد أوَّل وحدة إنارة مَعيبة هي:
احتمال الحوادث المتنافية | |
احتمال المتممة | |
باستعمال صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي | |
بالتبسيط |
إذًا، احتمال أنْ يفحص مُراقب الجودة أكثر من 4 وحدات إنارة حتى إيجاد أوَّل وحدة إنارة مَعيبة هو: 0.6561
18) العدد المُتوقَّع من وحدات الإنارة التي سيفحصها مُراقب الجودة حتى إيجاد أوَّل وحدة إنارة مَعيبة هو:
صيغة التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي الهندسي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
إذًا، العدد المُتوقَّع من وحدات الإنارة التي سيفحصها مُراقب الجودة حتى إيجاد أوَّل وحدة إنارة مَعيبة هو: 10
لعبة: اتفقت ليلى وزميلاتها على ألا تُشارِك أيٌّ منهن في لعبة حتى ترمي حجر نرد منتظمًا، ويظهر الرقم 6. إذا أرادت ليلى المشاركة في اللعبة، وكان يُمثِّل عدد مَرّات رميها حجر النرد حتى ظهور العدد 6، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:
19) احتمال أنْ ترمي ليلى حجر النرد 3 مَرّات لكي تشارك في اللعبة.
20) احتمال أنْ ترمي ليلى حجر النرد أكثر من 3 مَرّات لكي تشارك في اللعبة.
الحل:
19) احتمال أنْ ترمي ليلى حجر النرد 3 مَرّات لكي تشارك في اللعبة هو:
صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسة | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
إذًا، احتمال أنْ ترمي ليلى حجر النرد 3 مَرّات لكي تشارك في اللعبة هو:
20) احتمال أنْ ترمي ليلى حجر النرد أكثر من 3 مَرّات لكي تشارك في اللعبة هو:
احتمال الحوادث المتنافية | |
احتمال المتممة | |
باستعمال صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي | |
بالتبسيط |
إذًا، احتمال أنْ ترمي ليلى حجر النرد أكثر من 3 مَرّات لكي تشارك في اللعبة هو:
مهارات التفكير العليا
21) أكتشف الخطأ: أرادت لانا حَلَّ السؤال الآتي:
" عند إلقاء قطعة نقد غير منتظمة، كان احتمال ظهور الصورة . إذا أُلقِيت قطعة النقد بصورة مُتكرِّرة حتى تظهر الصورة أوَّل مَرَّة، فما احتمال ظهور الصورة أوَّل مَرَّة عند إلقاء قطعة النقد في المَرَّة الثانية؟". وكان حَلُّها على النحو الآتي:
أكتشف الخطأ في حَلَّ لانا ، ثم أُصحِّحه، مُبرِّرًا إجابتي.
الحل:
الخطأ في الاُس والصح حسب صيغة المتغير العشوائي الهندسي أن يكون الأس لأن صيغة المتغير العشوائي الهندسي هي:
وتكون الإجابة الصحيحة هي:
22) تبرير: إذا كان: ، وكان: ، فأجد ، مُبِّررًا إجابتي.
الحل:
احتمال المتممة | |
بتعويض | |
بالتبسيط توحيد المقامات |
23) تحدٍّ: إذا كان: ، وكان: ، فأجد التوقُّع .
الحل:
بما أن ، فإن
صيغة التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي الهندسي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
إذًا، التوقَّع هو:
حلول تمارين كتاب التمارين ( صفحة 17)
إذا كان: ، فأجد كُلاً ممّا يأتي، مُقرِّبًا إجابتي إلى أقرب منازل عشرية:
(1
الحل:
صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
2)
:الحل
احتمال الحوادث المتنافية | |
باستعمال صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسي | |
بالتبسيط |
3)
:الحل
احتمال الحوادث المتنافية | |
احتمال المتممة | |
باستعمال صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي | |
بالتبسيط |
4)
الحل:
هو | |
صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
5)
الحل:
احتمال الحوادث المتنافية | |
باستعمال صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي | |
بالتبسيط |
6)
الحل:
احتمال الحوادث المتنافية | |
احتمال المتممة | |
باستعمال صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي | |
بالتبسيط |
7)
الحل:
صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
8)
الحل:
احتمال الحوادث المتنافية | |
باستعمال صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي | |
بالتبسيط |
9)
:الحل
احتمال الحوادث المتنافية | |
باستعمال صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي | |
بالتبسيط |
أجد التوقُّع لكلٍّ من المُتغيِّرات العشوائية الآتية:
10)
الحل:
صيغة التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي الهندسي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
11)
:الحل
صيغة التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي الهندسي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
*** أطلق عماد رصاصة نحو هدف بصورة مُتكرِّرة، ثم توقَّف عند إصابته الهدف أوَّل مَرَّة. إذا كان احتمال إصابته الهدف في كل مَرَّة هو ، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:
13) احتمال أنْ يصيب الهدف أوَّل مَرَّة في المحاولة العاشرة.
14) احتمال أنْ يُطلِق رصاصتين على الأقل حتى يصيب الهدف أوَّل مَرَّة.
15) العدد المُتوقَّع من الرصاصات التي سيُطلِقها عماد حتى يصيب الهدف أوَّل مَرَّة.
الحل:
13) احتمال أنْ يصيب الهدف أوَّل مَرَّة في المحاولة العاشرة هو:
صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
إذًا، احتمال أنْ يصيب الهدف أوَّل مَرَّة في المحاولة العاشرة هو: 0.0000041
(الاحتمال يكاد يقترب من الصفر، لأن من المستبعد أن تكون أول إصابة للهدف في المحاولة العاشرة).
14) احتمال أنْ يُطلِق رصاصتين على الأقل حتى يصيب الهدف أوَّل مَرَّة هو:
احتمال الحوادث المتنافية | |
احتمال المتممة | |
باستعمال صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي | |
بالتبسيط |
إذًا،احتمال أنْ يُطلِق رصاصتين على الأقل حتى يصيب الهدف أوَّل مَرَّة هو: 0.3
15) العدد المُتوقَّع من الرصاصات التي سيُطلِقها عماد حتى يصيب الهدف أوَّل مَرَّةهو:
صيغة التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي الهندسي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
إذًا، العدد المُتوقَّع من الرصاصات التي سيُطلِقها عماد حتى يصيب الهدف أوَّل مَرَّة هو: رصاصة واحدة.
*** دوَّرت هديل مُؤشّر قرص بشــكل مُتكرِّر، وكان القرص مُقسَّمًا إلى4 قطاعات مُتطابِقة ومُلوَّ نة بالأحمر، والأخضر، والأزرق، والأصفر، إذا دلَّ المُتغيِّر العشــوائي على عدد مَرّات تدوير مُؤشِّــر القرص حتى توقُّفه عند اللون الأصفر أوَّ ل مَرَّ ة، فأجد كُلاًً ممّا يأتي:
16) احتمال أنْ تكون المَرَّة الثالثة هي أوَّل مَرَّة يتوقَّف فيها مُؤشِّر القرص عند اللون الأصفر.
17) احتمال أنْ تُدوَّر هديل مُؤشّر القرص أكثر من 4 مَرّات حتى يتوقَّف المُؤشِّر عند اللون الأصفر أوَّل مَرَّ ة.
الحل:
16) احتمال أنْ تكون المَرَّة الثالثة هي أوَّل مَرَّة يتوقَّف فيها مُؤشِّر القرص عند اللون الأصفر هو:
صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
إذًا، احتمال أنْ تكون المَرَّة الثالثة هي أوَّل مَرَّة يتوقَّف فيها مُؤشِّر القرص عند اللون الأصفر هو:
17) احتمال أنْ تُدوّر هديل مُؤشّر القرص أكثر من 4 مَرّات حتى يتوقَّف المُؤشِّر عند اللون الأصفر أوَّل مَرَّة هو:
احتمال الحوادث المتنافية | |
احتمال المتممة | |
باستعمال صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي | |
بالتبسيط |
إذًا، احتمال أنْ تُدوّر هديل مُؤشّر القرص أكثر من 4 مَرّات حتى يتوقَّف المُؤشِّر عند اللون الأصفر أوَّل مَرَّة هو:
*** إذا كان مُتغيِّرًا عشوائيًا هندسيًا، وكان التوقُّع ، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:
الحل:
أجد احتمال المُتغيِّر العشوائي الهندسي وهو
صيغة التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي الهندسي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
إذًا،
18)
صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسي | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
حل آخر
إذًا،
19)
احتمال الحوادث المتنافية | |
احتمال المتممة | |
باستعمال صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي | |
بالتبسيط |