الفيزياء 11 فصل ثاني

 

كما أنّه يلزم بذل شغلٍ لرفع جسم إلى أعلى بسرعةٍ ثابتة في مجال الجاذبيّة الأرضيّة، فإنّه يلزم بذل شغل لتحريك شحنة كهربائيّة موجبة بسرعةٍ ثابتة بين نقطتين ضد قوة المجال الكهربائي.

في الشكل تقوم قوة خارجية تساوي قوة المجال الكهربائي وتعاكسها في الاتّجاه بنقل شحنة (q) من (a) إلى (b) بسرعة ثابتة. فتبذل القوة الخارجية شغلاً كهربائياً (W)، والشغل المبذول في نقل الشحنة يزيد من طاقة الوضع الكهربائيّة لتلك الشحنة في الموقع (b)، ويزداد بزيادة الشحنة المنقولة بين النقطتين، ويُسمّى التغيّرُ في طاقة الوضع الكهربائيّة لوحدة الشحنات الموجبة عند انتقالها بين نقطتين في المجال الكهربائي فرقَ الجهد الكهربائي بين النقطتين، ويساوي التغيّر في طاقة الوضع الكهربائيّة للشحنة مقسوماً على مقدار الشحنة؛ أي أنّ:

$∆V=\frac{∆PE}{q_{°}}$

وبما أن شغل القوة الخارجية يساوي التغير في طاقة الوضع في الأنظمة المحافظة، فإن:

$W_{a\to b}=q{V}_{ba}$

ونلاحظ أنّ المعادلة السابقة تعطي فرق الجهد بين موضعيْن، فإذا اعتبرنا النقطة (a) بعيدة جداً(في الما لانهاية)، فإنّ المجال الكهربائيّ لا يؤثّر في شحنة اختبار موضوعة عندها بأيّة قوّة كهربائيّة؛ ما يعني أنّ طاقة الوضع الكهربائيّة عندها تكون صفراً، وكذلك يكون الجهد. وتحسب طاقة الوضع الكهربائية من العلاقة:

$P{E}_b=q{V}_b$

المثال )11) نقلت شحنة اختبار $q = 2 \times {10}^{-6} C$  من اللانهاية إلى نقطة في مجال كهربائي، بسرعة ثابتة تحت تأثيرقوة خارجية بذلت عليها شغلا مقداره $1\times {10}^{-5 }J$  أحسب:

أ . طاقة الوضع الكهربائية لهذه الشحنة الموضوعة عند النقطة.

ب . جهد النقطة.

الحل:

أ. الشغل المبذول على الشحنة يختزن فيها على شكل طاقة:

$PE=W=1\times {10}^{-5} J$

 

ب . الجهد عند نقطة يحسب من العلاقة:

$V=\frac{PE}{q}=\frac{1\times {10}^{-5} J}{2\times {10}^{-6}}=5V$

---

الجهد الكهربائي عند نقطة تقع في مجال شحنة نقطية، يعتمد على موقع النقطة. فإذا كانت النقطة ( a) المبينة في الشكل تقع على بعد (r) من الشحنة المولدة للمجال (Q) ، فإن الشغل (W) الذي تبذله القوة الخارجية لنقل شحنة (q) من اللانهاية؛ حيث $(PEi= 0)$ إلى النقطة (a) يعطى بالعلاقة:

$W=k \frac{qQ}{r}$

 

هذا الشغل يختزن على شكل طاقة وضع كهربائية في الشحنة، ومن تعريف الجهد الكهربائي:

$V=\frac{PE}{q}=\frac{W}{q}$

 

وبتعويض W في المعادلة، واختصار  (q):

$V=\frac{k {\displaystyle \frac{qQ}{r}}}{q}$

فإن الجهد الكهربائي عند النقطة يعطى بالعلاقة:

$V=k \frac{Q}{r}$

تستخدم هذه العلاقة لحساب الجهد الكهربائي الناشئ عن شحنة نقطية، وقد تكون الشحنة المولّدة للمجال موجبة أو سالبة. ويبين الشكل التمثيل البياني للعلاقة بين الجهد الكهربائي عند نقطة وبعد النقطة عن الشحنة في الحالتين؛ عندما تكون الشحنة موجبة وعندما تكون الشحنة سالبة. وتبين هذه العلاقة أن الجهد عند نقطة يعتمد على الشحنة المولدة للمجال، ولا يعتمد على الشحنة الموضوعة عند النقطة.

أما إذا كانت النقطة المطلوب حساب الجهد عندها تقع في مجال عدّة شحنات نقطية $(\dots , Q1, Q2,Q3 )$ وبما أنّ الجهد الكهربائيّ كمّية قياسية؛ فإنّ الجهد الكهربائيّ عند النقطة يساوي المجموع الجبري للجهود الناشئة عن تلك الشحنات عند تلك النقطة:

$V = V1 + V2 + V3 + ...$

$V=k(\frac{Q1}{r1}+\frac{Q2}{r2}+\frac{Q3}{r3}+\cdots )$

 

أتحقّق: ما العوامل التي يعتمد عليها الجهد الكهربائيّ عند نقطة،والناشئ عن شحنة نقطية؟

الحل:

1-يعتمد على مقدار الشحنة المولدة للمجال

2- يعتمد على بعد النقطة عن الشحنة

---

المثال (12) شحنة كهربائية في الهواء مقدارها $30 nC$ موضوعة عند نقطة الأصل على محور (x) أحسب الجهد الكهربائي على المحور، عند كل من المواقع ( a, b, c ) المبيّنة في الشكل حيث:

$(x_a=-50cm) و (xb = 50 cm) و (xc = 1 m)$ 

---

تمرين : شحنة كهربائيّة موضوعة في الهواء، والجهد الكهربائيّ الناشئ عنها عند نقطة تبعد مسافة(0.08m)  عن تلك الشحنة يساوي  $-4.5 \times {10}^3 V$ أجيب عمّا يأتي:

أ . ما نوع الشحنة الكهربائيّة المولدة للمجال؟ وما مقدارها؟

ب. هل يقل الجهد أم يزداد بزيادة البعد عن الشحنة؟

الحل:

أ. نوع الشحنة سالبة؛ لأن الجهد الكهربائي الناشئ عنها سالب $-4.5\times {10}^3 V$ 

 

ب. يزداد الجهد الكهربائي بالابتعاد عن الشحنة السالبة المسببة للجهد.

---

المثال (13) يوضّح الشكل شحنتين نقطيتين مختلفتين $(Q_1,Q_2)$ في الهواء تفصلهما مسافة $90 cm$ . أحسب الجهد الكهربائي الكلي عند النقطة ( a) المبينة في الشكل.

---

المثال(14) شحنتان موضوعتان في الهواء كما في الشكل بناءً على البيانات المُبيّنة في الشكل، أحسبُ الجهد الكهربائيّ:

 

 

أ . عند النقطة(b)

ب . عند موقع الشحنة الأولى (الناشئ عن الشحنة الثانية).

الحل:

أ. جهد النقطة ( b) الناشىء عن الشحنتين:

 

ب . الجهد عند موقع الشحنة الأولى )الناشئ عن الشحنة الثانية(:

---

الجهد الكهربائي عند نقطة لا يعتمد على الشحنة الموضوعة عند النقطة. فإذا افترضنا أن مقدار الجهد V  عند نقطة كان معلومًا، ووضعنا عند النقطة شحنة q ، فإن طاقة الوضع المختزنة في الشحنة الموضوعة عند تلك النقطة تحسب من العلاقة:

$PE = qV$

فإذا انتقلنا من نقطة ابتدائية (i) إلى نقطة نهائية (f ) في مجال كهربائي، فإن فرق الجهد الكهربائي بين النقطتين يرمز إليه  ΔV  حيث

$\Delta V = Vf – Vi$

وبذلك فإن التغير في طاقة الوضع الكهربائية للشحنة (q) عند انتقالها بين النقطتين يعطى بالعلاقة:

 $\Delta PE = \Delta Vq = (Vf - Vi) q$

يمكن أن يكون التغير في طاقة الوضع موجبًا أو سالبًا، حسب إشارة ( q )  و   ΔV   كما يمكن أن يساوي التغير في طاقة الوضع صفرًا، عند نقل الشحنة بين نقطتين متساويتين في الجهد.

ومن ثم، فإن فرق الجهد الكهربائي بين نقطتين يساوي التغير في طاقة الوضع الكهربائية للشحنة ( q ) عند انتقالها من نقطة إلى أخرى مقسومًا على تلك الشحنة.

 

---

مثال (15) شحنة كهربائيّة $Q=-0.05 \mu C$  موضوعة في الهواء كما في الشكل أحسبُ:

 

 

 

أ . الجهد الكهربائيّ عند كل من النقطتين ($a ,b$)

ب . الفرق في الجهد الكهربائيّ ($Va – Vb$)

الحل:

أ. الجهد الكهربائيّ $V_a$    $V_b$ و 

 

ب . الفرق في الجهد الكهربائيّ $Va – Vb$

 

الإشارة السالبة في مقدار الفرق في الجهد $( Va - Vb )$ تعني أن جهد النقطة b أعلى من جهد النقطة .a

---

المثال (16): شحنتان موضوعتان في الهواء ( Q1, Q2 ) المسافة بينهما ( 40 mm ). ، كما في الشكل أجد بُعد نقطة عن الشحنة ( Q2 ) تقع على الخطّ الواصل بين الشحنتين، بحيث يكون الجهد الكهربائيّ عندها يساوي صفرًا.

الحل:

أفترضُ نقطة مثل b تقع على بعد $2r$ من الشحنة الثانية، وعلى بعد $1r$  من الشحنة الأولى كما هو مُبيّن في الشكل ، والجهد الكهربائيّ عندها يساوي صفرًا. ومن ثمّ:

---

تمرين:ثلاث شحنات كهربائيّة 

($\mathit{Q}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathit{Q}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{-}\mathit{Q}$) موضوعة في الهواء كما في الشكل، إذا علمتُ أنّ الجهد الكهربائيّ الناشئ عن الشحنة Q عند النقطة b يساوي $360 V$؛ فأحسبُ:

أ. مقدار كلّ من الشحنات الكهربائيّة الثلاث.

ب. الجهد الكهربائيّ الكلي عند النقطة  .b

الحل:

أ. نحسب الشحنة 𝑄 من الجهد الناشئ عنها عند b :

 

ب. الجهد عند النقطة b يساوي مجموع الجهود الناشئة عن الشحنات الثلاث:

المجال الكهربائي يؤثر في الشحنات بقوة كهربائية، وهي قوة محافظة، ويكون شغل القوة المحافظة يساوي سالب التغير في طاقة الوضع. هذا يعني أنه عند انتقال شحنة بين نقطتين في مجال كهربائي، فإن شغل القوة الكهربائية ( WE ) المبذول على الشحنة يعطى بالصورة الآتية:

1 حفظ الطاقة الميكانيكة

عندما تكون القوة الكهربائية هي القوة الوحيدة المؤثرة في الشحنة، فإن مجموع الطاقة الميكانيكية للنظام يكون ثابتًا، أي أنّ الطاقة الميكانيكيةللنظام محفوظة، ويمكن صياغة ذلك بالعلاقة:

 

 

 

$\Delta PE + \Delta KE = 0$

أي أن النقصان في أحد شكلي الطاقة الميكانيكية يقابله زيادة مساوية في الشكل الآخر:

 

 

 

 

 $\Delta KE = -\Delta PE$

فإذا تحركت الشحنة الكهربائية (الموجبة أو السالبة) تحت تأثير القوة الكهربائية ($F_E$) وباتجاهها، كما يبين الشكل فإن ذلك يؤدي إلى نقصان طاقة الوضع الكهربائية المختزنة في الشحنة، مقابل زيادة مساوية في الطاقة الحركية.

 

2 شغل القوة الخارجية

لنقل شحنة بين نقطتين في المجال الكهربائي بسرعة ثابتة، يجب التأثير فيها بقوة خارجية مساوية للقوة الكهربائية في المقدار ومعاكسة لها في الاتجاه، كما يبين الشكل ، وفي هذه الحالة فإن الشغل الكلي المبذول على الشحنة يساوي صفرًا؛ من مبرهنة (الشغل-الطاقة الحركية):

$W_{Total}=\Delta KE$

وبما أن $\Delta KE = 0$ ، فإن شغل القوة الخارجية W يساوي سالب شغل القوة الكهربائية، ويعطى العلاقة:

$W = -WE = \Delta PE = (Vf - Vi)q$

 

أتحقّق: أصف العلاقة التي تربط بين الشغل الذي تبذله قوّة خارجية وشغل القوة الكهربائية، عند نقل بروتون بسرعةٍ ثابتةٍ من نقطة إلى أخرى بعكس اتجاه المجال.

الحل:

عند نقل بروتون بسرعة ثابتة من نقطة إلى أخرى بعكس اتجاه المجال الكهربائي، فإن العلاقة بين الشغل الذي تبذله القوة الخارجية وشغل القوة الكهربائية تكون على النحو التالي:

• شغل القوة الكهربائية: يعمل المجال الكهربائي على دفع البروتون في اتجاهه الطبيعي، أي من الجهد العالي إلى الجهد المنخفض، ولذلك فإن القوة الكهربائية تبذل شغلاً سالبًا على البروتون، أي أنها تفقد طاقة.
• شغل القوة الخارجية: حتى يتم نقل البروتون بعكس اتجاه المجال وبسرعة ثابتة، يجب أن تبذل القوة الخارجية شغلاً يعادل تمامًا مقدار الشغل الذي تبذله القوة الكهربائية، ولكن بإشارة معاكسة، أي أن شغل القوة الخارجية يكون موجبًا.

---

مثال (17) تحرّك بروتون من النقطة a إلى النقطة b باتجاه المجال الكهربائيّ كما في الشكل إذا علمتُ أنّ فرق الجهد بين النقطتين $(V_b-V_a=-5V)$  وشحنة البروتون $1.6 \times {10}^{-19} C$ ؛ فأحسبُ:

أ. شغل القوّة الكهربائيّة المبذول لتحريك البروتون من a إلى .b

ب. التغيّر في طاقة الوضع الكهربائيّة للبروتون.

 

الحل:

أ.

$WE(a\to b)=-q(Vb-Va)=-(1.6\times {10}^{-19})\times -5=8\times {10}^{-19}J$

 

ب.

$WE(a\to b)=-\Delta PE \to \Delta PE=-8\times {10}^{-19}J$

 

والإشارة السالبة تعني أنّ طاقة الوضع الكهربائيّة للبروتون قلّت عند انتقاله من النقطة a إلى النقطة  .b

---

مثال 18) وُضِع إلكترون في حالة السكون عند النقطة c في المجال الكهربائيّ للشحنة Q ؛ فتحرّك بفعل قوّة المجال الكهربائيّ إلى النقطة d كما في الشكل ليخسر من طاقة وضعه الكهربائيّة $3.2\times {10}^{-18 }J$

إذا علمتُ أنّ شحنة الإلكترون $-1.6\times {10}^{-19 }C$ ؛ فأُجيب عمّا يأتي:

أ . أُحدّد اتّجاه خطوط المجال الكهربائيّ.

ب . أحسبُ مقدار فرق الجهد بين النقطتين.

ج . أيّهما أكبر، جهد النقطة c أم النقطةd  ؟

د . أحسبُ مقدار الشغل الذي بذلته القوّة الكهربائيّة في تحريك الإلكترون من النقطة c إلى النقطة .d

 

الحل:

أ. بما أنّ شحنة الإلكترون سالبة؛ فإنّ حركته تكون بعكس اتّجاه المجال الكهربائيّ تحت تأثير القوّة الكهربائيّة. وبما أنّ الحركة من النقطة c إلى النقطة d بعكس اتّجاه المجال، أستنتجُ أنّ اتّجاه خطوط المجال نحو مركز الشحنة؛ ما يدلّ على أنّ الشحنة سالبة.

ب.

ج. بما أنّ $\mathrm{Vd} - \mathrm{Vc} = 20$ فهذا يعني أنّ $Vd$ أكبر من $Vc$  إذ إنّ خط المجال يكون دائمًا باتّجاه تناقص الجهد.