رياضيات فصل أول

السابع

icon

حلول أسئلة أتحقق من فهمي 

أستعملُ ورقةً شفّافةً لرسمِ صورةِ ABCD الناتجةِ منْ دورانِ مركزِهِ (نقطةُ الأصلِ)، بزاويةِ  (°90) مع عقاربِ الساعةِ، ثمَّ أكتبُ إحداثياتِ رؤوسِ الصورةِ A'B'C'D'

الخطوةُ 1: أرسمُ رؤوسَ المضلع على ورقةٍ شفّافةٍ.

أضعُ الورقةَ فوقَ المضلع بحيثُ تغطّي أيضًا مركزَ الدورانِ، ثمَّ أرسمُ بالقلمِ رؤوسَ المضلع وأضعُ إشارةً فوقَ محورِ x الموجب 

الخطوةُ 2: أُدوِّرُ الشكلَ، ثمَّ أُحدِّدُ رؤوسَ الصورةِ.

أضغطُ برأسِ القلمِ عندَ مركزِ الدورانِ(نقطةُ الأصلِ)، ثمَّ أُدوِّرُ الورقةَ بزاويةِ(°90) مع عقاربِ الساعةِ، بحيثُ تنطبقُ الإشارةُ الّتي رسمتُها على محورِ y الموجب ثم أُحدِّدُ رؤوسِ الصورةِ. A'B'C'D' 

الخطوةُ 3: أرسمُ الصورةَ.

أرسمُ الصورةَ بالتوصيلِ بينَ إحداثياتِ رؤوسِها، ثمَّ أُسمّيها 

 

2) دورانٍ مركزُهُ نقطةُ الأصلِ بزاويةِ ° 90 عكس عقاربِ الساعةِ. 

(−y , x) (x , y) 
A' (−2, 0) A (0, 2)
B ' (−2, 2) B (2, 2)
C ' (−4, 2) C (2, 4)
D' (−4, 0) D (0, 4)

 

4)

الشكلُ ذو تماثلٍ دورانيٍّ؛ لأنَّهُ يعودُ إلى وضعِهِ الأصليِّ مرتين عندَ تدويرِهِ بزاويةِ (° 360) حولَ مركزِهِ. إذنْ، رتبةُ التماثلِ الدورانيِّ هيَ 2

5)

الشكلُ ليسَ ذا تماثلٍ دورانيٍّ؛ لأنَّهُ يعودُ إلى وضعِهِ الأصليِّ مرَّةً واحدةً فقطْ عندَ  تدويرِهِ بزاويةِ (° 360) حولَ مركزِهِ

6)

الشكلُ ذو تماثلٍ دورانيٍّ؛ لأنَّهُ يعودُ إلى وضعِهِ الأصليِّ اربع مرات عندَ تدويرِهِ بزاويةِ (° 360) حولَ مركزِهِ. إذنْ، رتبةُ التماثلِ الدورانيِّ هيَ 4



حلول أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

أستعملُ ورقةً شفّافةً لرسمِ صورةِ الشّكلِ النّاتجِ منْ دورانٍ مركزُهُ نقطةُ الأصلِ، وبالزّاوِيةِ والاتجاهِ المحددينِ في كُلٍّ ممّا يأتي:

1) 90° عكسَ عقاربِ الساعةِ.

الخطوةُ 1: أرسمُ رؤوسَ المثلث على ورقةٍ شفّافةٍ.

أضعُ الورقةَ فوقَ المثلث بحيثُ تغطّي أيضًا مركزَ الدورانِ، ثمَّ أرسمُ بالقلمِ رؤوسَ المثلث وأضعُ إشارةً فوقَ محورِ x الموجب 

الخطوةُ 2: أُدوِّرُ الشكلَ، ثمَّ أُحدِّدُ رؤوسَ الصورةِ.

أضغطُ برأسِ القلمِ عندَ مركزِ الدورانِ(نقطةُ الأصلِ)، ثمَّ أُدوِّرُ الورقةَ بزاويةِ(°90) عكس عقاربِ الساعةِ، بحيثُ تنطبقُ الإشارةُ الّتي رسمتُها على محورِ y الموجب ثم أُحدِّدُ رؤوسِ الصورةِ. 

الخطوةُ 3: أرسمُ الصورةَ.

أرسمُ الصورةَ بالتوصيلِ بينَ إحداثياتِ رؤوسِها، ثمَّ أُسمّيها A'B'C'

 

2) 180 مع عقاربِ الساعةِ. 

الخطوةُ 1: أرسمُ رؤوسَ المضلع على ورقةٍ شفّافةٍ.

أضعُ الورقةَ فوقَ المضلع بحيثُ تغطّي أيضًا مركزَ الدورانِ، ثمَّ أرسمُ بالقلمِ رؤوسَ المضلع وأضعُ إشارةً فوقَ محورِ x الموجب 

الخطوةُ 2: أُدوِّرُ الشكلَ، ثمَّ أُحدِّدُ رؤوسَ الصورةِ.

أضغطُ برأسِ القلمِ عندَ مركزِ الدورانِ(نقطةُ الأصلِ)، ثمَّ أُدوِّرُ الورقةَ بزاويةِ(°90) عكس عقاربِ الساعةِ، بحيثُ تنطبقُ الإشارةُ الّتي رسمتُها على محورِ y الموجب ثم أُحدِّدُ رؤوسِ الصورةِ. 

الخطوةُ 3: أرسمُ الصورةَ.

أرسمُ الصورةَ بالتوصيلِ بينَ إحداثياتِ رؤوسِها، ثمَّ أُسمّيها A'B'C'D'

 

أرسمُ في المستوى الإحداثيِّ الشكلَ وصورَتَهُ الناتجةَ عنْ دورانٍ مركزهُ نقطةُ الأصلِ بالاتجاهِ والزاويةِ المعطاةِ في كلٍّ ممّا يأتي:

3) مربّعٌ إحداثيّاتُ رؤوسِهِ (2,0),(5,0), (5,3),(2,3)  بزاويةِ دورانٍ °90 باتّجاهِ عقاربِ الساعةِ.

(y , -x) (x , y) 
A' (3, -2) A (2, 3)
B ' (3, -5) B (5, 3)
C ' (0, -5) C (5, 0)
D' (0, -2) D (2, 0)

 

4) مستطيلٌ إحداثيّاتُ رؤوسِهِ  (2,4), (2,2), (5,4),(5,2)  بزاويةِ دورانٍ °180 عكس عقاربِ الساعةِ.

(-x , -y) (x , y) 
A' (-2, -2) A (2, 2)
B ' (-2, -4) B (2, 4)
C ' (5, -4) C (-5, 4)
D' (5, -2) D (-5, 2)

 

أُحدِّدُ إذا كانَ الشكلُ ذا تماثلٍ دورانيٍّ أمْ لا، ثمَّ أُحدِّدُ رتبةَ الدورانِ (إنْ وُجِدَتْ)في كلٍّ ممّا يأتي:

5)

الشكلُ ليسَ ذا تماثلٍ دورانيٍّ؛ لأنَّهُ يعودُ إلى وضعِهِ الأصليِّ مرَّةً واحدةً فقطْ عندَ  تدويرِهِ بزاويةِ (° 360) حولَ مركزِهِ

 

6)

الشكلُ ليسَ ذا تماثلٍ دورانيٍّ؛ لأنَّهُ يعودُ إلى وضعِهِ الأصليِّ مرَّةً واحدةً فقطْ عندَ  تدويرِهِ بزاويةِ (° 360) حولَ مركزِهِ

 

7)

الشكلُ ليسَ ذا تماثلٍ دورانيٍّ؛ لأنَّهُ يعودُ إلى وضعِهِ الأصليِّ مرَّةً واحدةً فقطْ عندَ  تدويرِهِ بزاويةِ (° 360) حولَ مركزِهِ

 

8)

الشكلُ ذو تماثلٍ دورانيٍّ؛ لأنَّهُ يعودُ إلى وضعِهِ الأصليِّ مرتين عندَ تدويرِهِ بزاويةِ (° 360) حولَ مركزِهِ. إذنْ، رتبةُ التماثلِ الدورانيِّ هيَ 2

 

9)

الشكلُ ذو تماثلٍ دورانيٍّ؛ لأنَّهُ يعودُ إلى وضعِهِ الأصليِّ مرتين عندَ تدويرِهِ بزاويةِ (° 360) حولَ مركزِهِ. إذنْ، رتبةُ التماثلِ الدورانيِّ هيَ 2

10)

الشكلُ ذو تماثلٍ دورانيٍّ؛ لأنَّهُ يعودُ إلى وضعِهِ الأصليِّ اربع مرات عندَ تدويرِهِ بزاويةِ (° 360) حولَ مركزِهِ. إذنْ، رتبةُ التماثلِ الدورانيِّ هيَ 4

 

11) أُحدِّدُ النقطةَ التي تمثِّلُ مركزَ دورانِ المستطيلِ ABCD إلى صورتِهِ GFED مُبرِّرًا إجابتي. 

 النقطة D لأنها مشتركة في الأصل والصورة. 

 

مثلثٌ إحداثيّاتُ رؤوسِهِ A(0, 0), B(0, 3), C(4,0) أجدُ إحداثيّاتِ رؤوسِهِ تحتَ تأثيرِ كلٍّ ممّا يأتي:

12) انسحابُ وحدتينِ إلى اليسارِ، وَ 7 وحداتٍ إلى الأسفلِ

(x-2 , y-7) (x , y) 
A' (-2, -7) A (0, 0)
B ' (-2, -4) B (0, 3)
C ' (2, -7) C (4, 0)

13) دورانٌ مركزهُ نقطةُ الأصلِ بزاويةِ °270 عكسَ عقاربِ الساعةِ. 

(y , -x) (x , y) 
A'(0, 0) A (0, 0)
B '(3, 0) B (0, 3)
C '(0, -4) C (4, 0)

 

14) أنسخُ الشكلَ المجاورَ، ثمَّ أُلوِّنُ 4 مربعاتٍ إضافيةٍ ليصبحَ الشكلُ ذا تماثلٍ دورانيٍّ منَ الرتبةِ 4 

 

15) تحدٍّ إذا أُجريَ انسحابٌ للشكلِ المجاورِ بمقدارِ وحدتينِ إلى الأعلى وَ 3 وحداتٍ إلى اليمينِ، ثمَّ أجريَ لهُ دورانٌ مركزُهُ نقطةُ الأصلِ بزاويةِ °90 في اتجاهِ دورانِ عقاربِ الساعةِ،فما إحداثيّاتُ رؤوسِ الشكلِ الناتجِ؟

الدوران الانسحاب النقطة
(y , -x) (2+x+3, y) (x , y) 
H'(3, -4) (3, 4) H (1, 1)
N'(3, -6) (3, 6) N (3, 1)
E'(7,- 6) (7, 6) E (3, 5)
(4-, 7) 'M (7, 4) M (1, 5)

 

16) تبريرٌ: إذا أُجريَ لشكلٍ ما دورانانِ في اتجاهِ دورانِ عقاربِ الساعةِ، مركزُهُما نقطةُ الأصلِ، وأحدُهُما بزاويةِ (°90)، والآخرُ بزاويةِ (°180)، فهلْ لترتيبِ الدورانينِ تأثيرٌ في موقعِ الصورةِ الناتجةِ؟ أبرِّرُ إجابتي.

الترتيب لا يؤثر، لأن نتيجة الدورانين دوران مركزه نقطة  الأصل بزاوية °270 باتجاه عقارب الساعة.

 

17) مسألةٌ مفتوحةٌ: أرسمُ شكلً على المستوى الإحداثيِّ، ثمَّ أصِفُ دورانًا زاويتُةُ لا تساوي صفرًا، ويكونُ فيهِ كلٌّ منَ الصورةِ والشكلِ الأصليِّ منطبقيْنِ على بعضِهِما. 

دورانين متتاليين حول نقطة الأصل كل منهما بزاوية °180

 

18) أكتبُ المعلوماتِ التي أحتاجُ إليْها؛ لكي أُجريَ دورانًا لشكلٍ ما.

- احداثيات الشكل الاصلي 

- مركز الدوران 

- اتجاه وزاية الدوران 



حلول أسئلة كتاب التمارين 

أستَعمِلُ المِسطرةَ والمِنقلةَ لرَسمِ صورَةِ الشّكلِ النّاتجِ عنِ الدّورانِ حولَ مركزِهِ النُّقطةِ N وبالزّاوِيةِ والاتّجاهاتِ المُحدّدةِ في كُلٍّ مِمّا يأْتي: 

1) 45° باتِّجاهِ عَقاربِ السّاعةِ. 

عند استعمال المسطرة والمنقلة ستكون الصورة إلى اليمن من الأصل كما يلي: 

NA=NA', NB=NB', NC=NC' mANA'=mBNB'=mCNC'=45°

 

2) 80° عكسَ عَقاربِ السّاعةِ. 

عند استعمال المسطرة والمنقلة ستكون الصورة إلى اليسار من الأصل كما يلي: 

NA=NA', NB=NB', NC=NC', ND=ND' mANA'=mBNB'=mCNC'=mDND'=80°

 

3) 60° باتِّجاهِ عَقاربِ السّاعةِ.

عند استعمال المسطرة والمنقلة ستكون الصورة إلى اليمن من الأصل N", N  منطبقتان على بعضهما.

NA=NA', NB=NB', NC=NC'mANA'=mBNB'=mCNC'=60°

 

4) 45° عكسَ عَقاربِ السّاعةِ. 

عند استعمال المسطرة والمنقلة ستكون الصورة إلى اليسار من الأصل  N", N  منطبقتان على بعضهما.

NA=NA', NC=NC' mANA'= mCNC'=45°

 

5) 90° عكسَ عَقاربِ السّاعةِ. 

عند استعمال المسطرة والمنقلة ستكون الصورة إلى اليسار من الأصل كما يلي: 

NA=NA', NB=NB', NC=NC'mANA'=mBNB'=mCNC'=90°

 

6) 180° باتِّجاهِ عَقاربِ السّاعةِ

عند استعمال المسطرة والمنقلة ستكون الصورة متداخلة مع الأصل

NA=NA', NB=NB', NC=NC', ND=ND'mANA'=mBNB'=mCNC'=mDND'=180°

 

أَرسمُ على المُستَوى الإحْداثِيِّ المُثلّثَ الّذي إحْداثِياتُ رؤوسهِ A (1, 4), B (1,1) ,C (3, 1 ) ثُمَّ أجدُ صورتهُ تحتَ تأثيرِ دورانٍ مركزهُ نقطةُ الأصلِ، وبالاتّجاهِ والزوايةِ

7) 90° باتِّجاهِ عَقاربِ السّاعةِ

8) 180° عكس عَقاربِ السّاعةِ

9) 270° باتِّجاهِ عَقاربِ السّاعةِ

 

معتمدًا على الشّكلِ المُجاورِ، أصِفُ دوَرانًا ينقلُ النُّقطةَ A إلى كُلٍّ منَ النِّقاطِ الآتِيةِ: 

10) A  D

دوران مركزه نقطة الأصل بزاوية °90 عكس اتجاه عقارب الساعة

11) A  B

دوران مركزه نقطة الأصل بزاوية °90 باتجاه عقارب الساعة

12) A  C

دوران مركزه نقطة الأصل بزاوية °180 

 

13) إِذا أُجرِيَ انسِحابٌ للنُّقطةِ A(2,2) بمِقدارِ 4 وَحْداتٍ لليَسارِ، وأُجْرِيَ دوَرانٌ للصّورةِ النّاتجَةِ مركزهُ نقطةُ الأصلِ بزاويةِ °180 فأينَ يُصبِحُ مَوقِعُ النُّقطَةِ 

الدوران الانسحاب النقطة
(y , -x) (x-4, y) (x , y) 
A'(2, -2) (2, 2-) A (2, 2)