رياضيات10 فصل أول

أتحقق من فهمي صفحة 52

إذا كانت النقطة O هي مركز الدائرة في الشكل المجاور، فما قيمة كل من x و y؟ 

$m\angle y=57\times 2=114°$

$C \mathrm{المحيطة} \mathrm{الزاوية} \mathrm{مع} \mathrm{القوس} \mathrm{نفس} \mathrm{على} \mathrm{مرسومة} \mathrm{مركزية} \mathrm{زاوية} \mathrm{لانها}$

$\mathrm{بالتالي} \mathrm{متساوية} \mathrm{القاعدة} \mathrm{زاويا} \mathrm{بالتالي} \mathrm{اقطار} \mathrm{انصاف} \stackrel{-}{OB},\stackrel{-}{OA} \mathrm{لان} \mathrm{الضلعين} \mathrm{متطابق} AOB \mathrm{المثلث}$

$m\angle x=\frac{(180-114)}{2}=\frac{66}{2}=33°$

$180° \mathrm{يساوي} \mathrm{المثلث} \mathrm{زاويا} \mathrm{مجموع} \mathrm{ملاحظة}$

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 53

إذا كانت النقطة O هي مركز الدائرة في الشكل المجاور، والنقاط A, B, C على استقامة واحدة، فما قيمة x؟ 

$360-140=220° \mathrm{يساوي} \mathrm{قياسها} AOD \mathrm{العليا} \mathrm{المركزية} \mathrm{الزاوية}$

$\frac{220}{2}=110°\mathrm{تساوي} \mathrm{بالتالي} \mathrm{القوس} \mathrm{نفس} \mathrm{على} \mathrm{معها} \mathrm{مرسومة} \mathrm{محيطية} ABD \mathrm{الزاوية}$

$ABD \mathrm{الزاوية} \mathrm{مع} \mathrm{استقامة} \mathrm{على} \mathrm{تجاور} CBD \mathrm{الزاوية}$

$180-110=70° \mathrm{يساوي} \mathrm{قياسها} \mathrm{بالتالي}$

$x=70° اذا$

---

أتحقق من فهمي صفحة 54

إذا كانت النقطة O هي مركز الدائرة في الشكل المجاور، فما قيمة كل من x و y ؟ 

$\mathrm{زاويا} \mathrm{مجموع} \mathrm{من} \mathrm{بالتالي} \mathrm{الدائرة} \mathrm{قطر} \mathrm{على} \mathrm{مرسومة} \mathrm{محيطية} \mathrm{لانها} \mathrm{قائمة} \mathrm{زاوية} ACD \mathrm{الزاوية}$

$\mathrm{ان} \mathrm{ينتج} \mathrm{المثلث}$

$y=180-(90+54)=180-144=36°$

$\mathrm{بالتالي} \mathrm{دائري} \mathrm{رباعي} ABCD \mathrm{الشكل}$

$x=180-54=126°$

$180° \mathrm{يساوي} \mathrm{مجموعهما} \mathrm{متقابلتين} \mathrm{زاويتين} \mathrm{كل} \mathrm{الدائري} \mathrm{الرباعي} \mathrm{الشكل} \mathrm{في} \mathrm{لانه}$

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 54

في الشكل المجاور، $\overleftrightarrow{AB}$  مماس للدائرة في T

أجد قياس كل من الزوايا: TQP،و TPQ،و QTP 

$m\angle TOP=69°$

$PTB \mathrm{المماسية} \mathrm{مع} \mathrm{القوس} \mathrm{نفس} \mathrm{على} \mathrm{مرسومة} \mathrm{محيطية} \mathrm{لانها}$

$m\angle TPQ=65°$

$QTA \mathrm{المماسية} \mathrm{مع} \mathrm{القوس} \mathrm{نفس} \mathrm{على} \mathrm{مرسومة} \mathrm{محيطية} \mathrm{لانها}$

$m\angle QTP=180-(69+65)=180-134=46°$

$180° \mathrm{يساوي} \mathrm{المثلث} \mathrm{زوايا} \mathrm{مجموع} \mathrm{لان}$

 

---

أتدرب وأحل المسائل صفحة 55

أجد قيمة x في كل مما يأتي: 

 

$1) x=\frac{210}{2}105° \mathrm{المركزية} \mathrm{نصف} \mathrm{محيطية}$

$2)x=50°$

$3) x=90-60=30$

 

إذا كانت النقطة O هي مركز الدائرة في الشكل المجاور، فأجد كلا مما يأتي: 

 

    

$m\angle EDG=90$

$4) m\angle EGF=72°\left(EDF\mathrm{المحيطية} \mathrm{الزاوية} \mathrm{مع} \mathrm{القوس} \mathrm{نفس} \mathrm{على} \mathrm{مرسومة} \mathrm{محيطية} \mathrm{لانها}\right)$

$5) m\angle DEG=37°(DFG\mathrm{المحيطية} \mathrm{الزاوية} \mathrm{مع} \mathrm{القوس} \mathrm{نفس} \mathrm{على} \mathrm{مرسومة} \mathrm{محيطية} \mathrm{لانها})$

$6) m\angle EDF=90-18=72°(90\mathrm{قياسها} \mathrm{يكون} و \mathrm{القطر} \mathrm{على} \mathrm{مرسومة} \mathrm{محيطية} EDG\mathrm{الزاوية} \mathrm{لان})$

 

إذا كانت النقطة O هي مركز الدائرة، فأجد قياس الزاويا المشار إليها بالحرفين x و y في كل من الدوائر الآتية: 

$7) X=Y=40 \mathrm{القوس} \mathrm{نفس} \mathrm{على} \mathrm{مرسومتان} \mathrm{محيطيتان}$

$8) 180-\left(31+31\right)=118$

$X=\frac{118}{2}=59°, Y=31°$

$9)\frac{25}{2}=12.5$

$X=180-25=155° \mathrm{تحالف}$

$Y=12.5°\mathrm{تناظر}$

في الشكل المجاور دائرة مركزها O، وقياس الزاوية ABO هو $x°$، وقياس الزاوية CBO هو $y°$: 

10) أجد قياس الزاوية BAO 

$m\angle BAO=x \mathrm{الضلعين} \mathrm{متطابق} \mathrm{مثلث} OAB$

11) أجد قياس الزاوية AOD 

$m\angle AOD=2x \left(ABO \mathrm{المحيطية} \mathrm{الزاوية} \mathrm{مع} \mathrm{القوس} \mathrm{نفس} \mathrm{على} \mathrm{مرسومة} \mathrm{مركزية} \mathrm{لانها}\right)$

12) أثبت أن قياس الزاوية المركزية يساوي مثلي قياس الزاوية المحيطية المرسومة على القوس نفسه

$m\angle 1 +m\angle 2+m\angle 9+m\angle 10=360°$

$m\angle 9=180-\left(m\angle 4+m\angle 6\right)$

$m\angle 10=180-(m\angle 3+m\angle 5)$

$\Rightarrow m\angle 1+m\angle 2+180-(m\angle 4+m\angle 6)+180-(m\angle 3+m\angle 5)=360$

$m\angle 1+m\angle 2+180-(m\angle 4+m\angle 4)+180-(m\angle 3+m\angle 3)=360$

$m\angle 1+m\angle 2+360=360+2m\angle 4+2m\angle 3$

$m\angle 1+m\angle 2=2(m\angle 4+m\angle 3)$

$m\angle AOC=2m\angle ABC$

 

أجد قياس الزاويا المشار إليها بأحرف في كل من الدوائر الآتية: 

$13) a=180-130=50°, b=180-85=95°$

$14) e=180-70=110 \mathrm{تحالف}$

$d=180-70=110 180\mathrm{الدائري} \mathrm{الرباعي} \mathrm{الشكل} \mathrm{في} \mathrm{متقابلتين} \mathrm{زاويتين} \mathrm{كل} \mathrm{مجموع} \mathrm{لان}$

$f=70° (180\mathrm{يساوي} \mathrm{الدائري} \mathrm{لبرباعي} \mathrm{الشكل} \mathrm{في} \mathrm{متقابلين} \mathrm{زاويتين} \mathrm{كل} \mathrm{مجموع} \mathrm{لان})$

$15) x=180-(85+40)=55°$

$y=180-55=125°$

 

في الشكل الرباعي الدائري PQRT، قياس الزاوية ROQ هو $38°$، حيث O مركز الدائرة، و POT قطر فيها يوازي QR. أجد قياس كل من الزوايا الآتية:

$16) ROT 17) QRT 18) QPT$

$m\angle ORQ=\frac{180-38}{2}=71°$

$16) m\angle ROT=71 \mathrm{تبادل}$

$17) m\angle TRO=54.5 \mathrm{الضلعين} \mathrm{متطابق} \mathrm{المثلث} \Rightarrow m\angle QRT=71+54.5=125.5°$

$18) m\angle QPT=180-125.5=54.5°$

 

يمثل الشكل المجاور دائرة مركزها O: 

19) لماذا $3x-30°=180°$؟ 

لان مجموع كل زاويتين متقابلتين في الشكل الرباعي الدائري يساوي 180

20) أجد قياس الزاوية CDO المشار إليها بالحرف y، مبررا كل خطوة في حلي 

$3x-30=180\Rightarrow x=70°$

$m\angle DOB=2\times 70=140-DAB\mathrm{المحيطية} \mathrm{الزاوية} \mathrm{مع} \mathrm{القوس} \mathrm{نفس} \mathrm{على} \mathrm{مرسومة} \mathrm{مركزية} \mathrm{لانها}$

$\Rightarrow m\angle DCB=110$

$y=360-(30+140+110)=80° 360\mathrm{الرباعي} \mathrm{الشكل} \mathrm{في} \mathrm{الزوايا} \mathrm{قياس} \mathrm{مجموع} \mathrm{لان}$

$y=360-(30+140+110)=80° 360\mathrm{الرباعي} \mathrm{الشكل} \mathrm{في} \mathrm{الزوايا} \mathrm{قياس} \mathrm{مجموع} \mathrm{لان}$

 

21) يمثل الشكل المجاور ABCDE متوازي أضلاع. أبين أن قياس الزاوية AED يساوي الزاوية ADE، مبررا كل خطوة في حلي 

$\mathrm{نفرض} m\angle AED=x\Rightarrow m\angle ABC=x$

$\Rightarrow m\angle ADC+m\angle ABC=180 \left(\mathrm{دائري} \mathrm{رباعي} \mathrm{شكل} \mathrm{في} \mathrm{متقابلتين} \mathrm{زاويتين} \mathrm{لانها}\right)$

$m\angle ADE+m\angle ADC=180 (\mathrm{واحدة} \mathrm{استقامة} \mathrm{على} \mathrm{زاويتان} \mathrm{لانهما})$

$m\angle ADE+180-x=180 (\mathrm{استقامة} \mathrm{على} \mathrm{تجاور} )$

$\Rightarrow m\angle ADE=x\Rightarrow m\angle ADE=m\angle AED$

أجد قياس الزاويا المشار إليها بأحرف في كل من الدوائر الآتية: 

$22) x=38 \left(\mathrm{محيطية} \mathrm{زاوية} \mathrm{ضلعها} \mathrm{على} \mathrm{مرسوم} \mathrm{مماسية} \mathrm{زاوية}\right)$

$y=\frac{140}{2}=70 \left(\mathrm{المحيطية} \mathrm{الزاوية} \mathrm{مع} \mathrm{القوس} \mathrm{نفس} \mathrm{على} \mathrm{مرسومة} \mathrm{مركزية} \mathrm{زاوية}\right)$

$z=\frac{180-140}{2}=20 (\mathrm{متساوية} \mathrm{القاعدة} \mathrm{زوايا} \mathrm{بالتالي} \mathrm{الضلعين} \mathrm{متطابق} CTB)$

$23) y=42° \left(\mathrm{مماسية} \mathrm{زاوية} \mathrm{ضلع} \mathrm{على} \mathrm{مرسومة} \mathrm{محيطية} \mathrm{زاوية}\right)$

$x=180-\left(90+42\right)=48° \left(180 \mathrm{المثلث} \mathrm{زوايا} \mathrm{مجموع}- 90 \mathrm{قطر} \mathrm{على} \mathrm{محيطية} \right)$

 

أجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين: 

$24) 2x+x+x=180°\to x=45°$

$25) x-30+x+x=180°\to x=70°$

 

26) تمثل النقطة O مركز الدائرة في الشكل الآتي، ويمثل $\overleftrightarrow{XY}$ مماسا للدائرة عند A. إذا كانت النقاط B و C و X تمثل خطا على استقامة واحدة، فأثبت أن المثلث ACX متطابق الضلعين، مبررا إجابتي 

$m\angle BCA=64° \left(64\mathrm{قياسها} \mathrm{هي} \mathrm{مماسية} \mathrm{زاوية} \mathrm{ضلع} \mathrm{على} \mathrm{مرسومة} \mathrm{محيطية} \mathrm{زاوية} \right)$

$m\angle XCA=116° \left(\mathrm{استقامة} \mathrm{على} \mathrm{تجاور}\right)$

$m\angle XCA=116° (\mathrm{استقامة} \mathrm{على} \mathrm{تجاور})$

$m\angle CAX=180-(116+32)=32° (\mathrm{المثلث} \mathrm{زوايا} \mathrm{مجموع})$

$\mathrm{الضلعين} \mathrm{متطابق} \mathrm{المثلث} \mathrm{بالتالي} \mathrm{متساوية} \mathrm{القاعدة} \mathrm{زوايا} \mathrm{بالتالي}$

مهارات التفكير العليا 

27) تبرير: قالت فاتن إن الزاوية المحيطية المرسومة على قطر الدائرة زاوية قائمة. هل قول فاتن صحيح؟ أبرر إجابتي 

نعم صحيح قول فاتن لان الزاوية المركزية المشتركة معها في نفس القوس تساوي 180

28) تبرير: في الشكل المجاور، $\overleftrightarrow{PT}$ مماس لدائرة مركزها O. إذا كان قياس الزاوية PBA هو $x°$، فأثبت أن قياس الزاوية APT يساوي قياس الزاوية ABP، مبررا  خطوات الحل 

$m\angle ABP=x° \left(\mathrm{معطيات}\right)$

$m\angle AOP=2x° \left(\mathrm{القوس} \mathrm{نفس} \mathrm{على} \mathrm{محيطية} و \mathrm{مركزية}\right)$

$△AOP (\mathrm{متساوية} \mathrm{القاعدة} \mathrm{زوايا} \mathrm{بالتالي} و \mathrm{الضلعين} \mathrm{متطابق})$

$\Rightarrow m\angle OPA=\frac{180-2x}{2}=90-x$

$m\angle OPT=90°(\mathrm{مماس} و \mathrm{قطر} \mathrm{نصف} \mathrm{من} \mathrm{تتكون})$

$m\angle OPT=m\angle OPA+m\angle APT$

$90=90-x+m\angle APT$

$0=-x+m\angle APT$

$x=m\angle APT$

$(\mathrm{الوتر} \mathrm{من} \mathrm{الاخرى} \mathrm{الجهة} \mathrm{على} \mathrm{المرسومة} \mathrm{المحيطية} \mathrm{تساوي} \mathrm{مماسية} \mathrm{زاوية} \angle APT )$

$\Rightarrow m\angle APT=m\angle ABP$

 

29) تحد: أجد قيمة x  في الشكل المجاور 

$m\angle 1 =180-(5x+3x)=180-8x(\mathrm{المثلث} \mathrm{زوايا} \mathrm{مجموع})$

$m\angle 2=180-5x (180\mathrm{مجموعهما} \mathrm{دائري} \mathrm{رباعي} \mathrm{شكل} \mathrm{في} \mathrm{متقابلتين} \mathrm{زاويتين} \mathrm{كل})$

$m\angle 3=180-(5x+2x)=180-7x(\mathrm{المثلث} \mathrm{زوايا} \mathrm{مجموع})$

$\Rightarrow 5x+(180-8x)+(180-5x)+(180-7x)=360$

$5x-8x-5x+180-7x=0$

$180-15x=0\to x=12$

---

كتاب التمارين صفحة 22

إذا كانت النقطة O هي مركز الدائرة، فما قيمة x في كل من الشكلين الآتيين؟ 

$1) x=\frac{180-120}{2}=30 (\mathrm{الضلعين} \mathrm{متطابق} \mathrm{المثلث})$

$2) x=\frac{180-90}{2}=45 (90\mathrm{قطر} \mathrm{على} \mathrm{محيطية} - \mathrm{الضلعين} \mathrm{متطايق} \mathrm{المثلث})$

أجد قياس الزوايا المشار إليها بأحرف في ما يأتي (افترض أن O هي مركز الدائرة):

$3) 180-(44+23)=113°$

$x=360-\left(2\times 113\right)=360-226=134°$

$x+2y=180\Rightarrow 134+2y=180\Rightarrow y=23°$

 

$4) 180-(51+78)=51°$

$180-(59+51+51)=19\Rightarrow y=19°$

$x+51+78+19=180\Rightarrow x=32°$

 

$5) 180-(14+76+38)=52\Rightarrow x=52°$

$x+y+76=180$

$52+y+76=180\Rightarrow y=52°$

 

$6) 42+x=90\Rightarrow x=48°$

$y=\frac{180-90}{2}=45°$

 

$7)a=75°, c=75°, b=75°$

$c+d+b=180$

$75+d+75=180\Rightarrow d=30$

 

$8) 180-106=74$

$74+2a=180\Rightarrow a=53°$

$a=b=53°$

 

 

9) تقع النقاط: A، و B،و C،و D على دائرة مركزها O. اعتمادا على القياسات المبينة في الشكل المجاور، أجد قياس كل من الزاويتين OCA، و DCA 

$m\angle CDA=180-75=105°$

$m\angle DCA=180-(31+105)=44°$

$m\angle COA=2\times 75=150$

$150+2\times m\angle OCA=180$

$m\angle OCA=\frac{180-150}{2}=15°$

10) تقع النقاط: A،و B،و C،و D على دائرة مركزها O. اعتمادا على القياسات المبينة في الشكل المجاور، أجد قياس كل من الزاويتين OAC،و BCA

$m\angle OAC=18°$

$m\angle COA=180-2\times 18=180-36=144°$

$m\angle CDA+m\angle CBA=180$

$72+m\angle CBA=180\Rightarrow m\angle CBA=108°$

$m\angle BCA=180-(108+31)=41°$