الدرس الثاني: الشرط الأولي : صفحة (15-21)
سنتعرف في درس الشرط الأولي إلى:
1) مفهوم الشرط الأولي.
2) إيجاد قيمة ثابت التكامل C ، وقاعدة الاقتران.
3) استعمال الشرط الأولي في المواقف الحياتية والعملية.
أولًا: مفهوم الشرط الأولي:
الشرط الأولي هو: النقطة المعطاة في المسألة -عادة- والتي تحقق الاقتران الأصلي عند تعويضها، وتستخدم لإيجاد قيمة ثابت التكامل C.
حيث يتطلب حل بعض المسائل إيجاد ثابت التكامل ، لإيجاد الاقتران الأصلي الوحيد الذي يحققه.
سؤال : إذا علمتَ أنّ ، ويمر منحناه بالنقطة ، فحدّد الشرط الأولي بالمسألة.
الـحـل : الشرط الأولي هو النقطة وتعني أن
ثانيًا: إيجاد قيمة ثابت التكامل، وقاعدة الاقتران:
للاقتران عدد لا نهائي من الاقترانات الأصلية التي يمكن التعبير عنها بالصور الآتية:
حيث :
ولكن لإيجاد قاعدة الاقتران الأصلي الوحيد الذي يحقق المسألة عليك اتباع الخطوات الآتية:
مثال(1): جد قاعدة الاقتران إذا كان ، ويمر منحناه بالنقطة
الحل:
الخطوة الأولى: جد تكامل الاقتران
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت
|
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل
قاعدة الاقتران | |
بتعويض | |
بحل المعادلة لــ |
الخطوة الثالثة: اكتب قاعدة الاقتران
ثالثًا:استعمال الشرط الأولي في المواقف الحياتية والعملية:
يستعمل الشرط الأولي لتحديد اقترانات تنمذج مواقف علمية وحياتية، مثل:
1) التكلفة الحدية: وهي مشتقة اقتران التكلفة ، وترتبط بالتكاليف التي تتغير بتغير الإنتاج.
مثال(2): يمثل الاقتران التكلفة الحديّة (بالدينار) لكل قطعة ينتجها مصنع للأثاث، حيث عدد القطع المنتجة ، و تكلفة إنتاج قطعة بالدينار .
جد اقتران التكلفة ، علمًا بأن تكلفة إنتاج 5 قطع من الأثاث هي 575 JD.
الحل:
الخطوة الأولى: جد تكامل الاقتران
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت | |
ملاحظة: بما أنّ يمثل اقتران التكلفة، فتم استعمال للتعبير عن ثابت التكامل. |
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل
قاعدة الاقتران | |
بتعويض |
|
بحل المعادلة لــ |
الخطوة الثالثة: اكتب اقتران التكلفة
2) الحركة في مسار مستقيم: وهو إيجاد موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم إذا عُلم أحد الاقترانات الآتية:
1) اقتران السرعة المتجهة.
2) اقتران التسارع.
وذلك باتباع الخطوات الآتية:
تذكر أنّ:
1) اقتران الموقع هو الاقتران الأصلي لاقتران السرعة المتجهة :
أي أنّ: مشتقة اقتران الموقع تعطي اقتران السرعة المتجهة
وتكامل اقتران السرعة المتجهة يعطي اقتران الموقع
2) اقتران السرعة المتجهة هو اقتران أصلي لاقتران التسارع:
أي أنّ: مشتقة اقتران السرعة المتجهة تعطي اقتران التسارع
وتكامل اقتران التسارع يعطي اقتران السرعة المتجهة
ويمكن تلخيص ذلك بالمخطط الآتي:
مثال(3): يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، وتُعطى سرعته المتجهة بالاقتران: حيث الزمن بالثواني ،
و سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا كان الموقع الابتدائي للجُسيم هو ، فجد موقع الجسيم بعد 5 ثوانٍ من بدء الحركة.
الحل:
الخطوة الأولى: جد اقتران الموقع
بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة | |
بتعويض | |
تكامل اقتران القوة المضروب في ثابت |
الخطوة الثانية: جد قيمة ثابت التكامل
بما أن الموقع الابتدائي للجُسيم هو ، فإن ، وهو الشرط الأولي لإيجاد ثابت التكامل :
اقتران الموقع | |
بتعويض | |
بحل المعادلة |
الخطوة الثالثة: اكتب اقتران الموقع اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة هو: الخطوة الرابعة: جد موقع الجسيم بعد 5 ثوانٍ من بدء الحركة
اقتران الموقع | |
بتعويض | |
بالتبسيط | |
إذن موقع الجسيم بعد 5 ثوانٍ من بدء الحركة هو: |
مثال(4): يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، ويُعطى تسارعه بالاقتران حيث الزمن بالثواني، و تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع.
إذا كان الموقع الابتدائي للجُسيم هو وكانت سرعته المتجهة هي بعد ثانية واحدة من بدء حركته، فجد موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة.
الحل:
الخطوة الأولى: جد اقتران السرعة المتجهة
بإيجاد تكامل اقتران التسارع | |
بتعويض | |
تكامل الفرق، تكامل الثابت ، تكامل اقتران القوة المضروب في ثابت |
الخطوة الثانية: جد قيمة ثابت التكامل الناتج من تكامل التسارع
اقتران السرعة المتجهة | |
بتعويض (تم استنتاج المعلومة من سرعة الجسم المتجهة بعد ثانية واحدة من بدء حركته) |
|
بحل المعادلة | |
اقتران السرعة المتجهة |
الخطوة الثالثة: جد اقتران الموقع
بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة | |
بتعويض
|
|
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت، تكامل الثابت |
الخطوة الرابعة: جد قيمة ثابت التكامل
اقتران الموقع | |
بتعويض (تم استنتاج المعلومة من موقع الجسم الابتدائي) |
|
بحل المعادلة | |
اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة |
الخطوة الخامسة: جد موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة
اقتران الموقع | |
بتعويض | |
بالتبسيط | |
إذن موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة هو: |