الرياضيات فصل ثاني

مسألة اليوم صفحة 15:

يمثل الاقتران $S \mathit{َ} \left(t\right) = 500 \sqrt[4]{t}$ معدل تغير المبيعات الشهرية لهاتف جديد، حيث $t$ عدد الأشهر منذ طرح الهاتف في الأسواق، و $S\left(t\right)$ عدد الهواتف المبيعة شهريًا. أجد $S\left(t\right)$ ، علمًا بأن $S\left(0\right)=0$

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد تكامل الاقتران $S \mathit{َ} \left(t\right) = 500 \sqrt[4]{t}$
$S \left(t\right) =\int \left(500 \sqrt[4]{t}\right) dt$	$S\left(t\right) = \int S َ \left(t\right) dt$
$$\begin{gathered} = 500 \left(\frac{1}{\frac{5}{4}}{t}^{\frac{5}{4}}\right) +C \\ =500\left(\frac{4}{5}{t}^{\frac{5}{4}}\right)+C \\ =400 t^{\frac{5}{4}} +C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل $C$
$S\left(t\right)=400 t^{\frac{5}{4}} +C$	قاعدة الاقتران
$0=400 {\left(0\right)}^{\frac{5}{4}} +C$	بتعويض $t=0 , S\left(0\right)= 0$
$C=0$	بالتبسيط
الخطوة الثالثة: اكتب قاعدة الاقتران
$$\begin{gathered} S\left(t\right)=400 t^{\frac{5}{4}} \\ = 400 \sqrt[4]{t^5} \end{gathered}$$	قاعدة الاقتران وقيمة ثابت التكامل

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 16:

أجد قاعدة الاقتران $f\left(x\right)$  إذا كان:$f \mathit{َ} \left(x\right) = 6x^{2 }+5$ ، ومر منحناه بالنقطة $(1, 9)$

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد تكامل الاقتران $f \mathit{َ}\left(x\right)$
$f\left(x\right) = \int (6x^2 + 5) dx$	$f\left(x\right) = \int f َ \left(x\right) dx$
$$\begin{gathered} f\left(x\right) = \frac{6x^3}{3}+5x + C \\ =2 x^3 +5x + C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل $C$
$f\left(x\right)=2 x^3 +5x + C$	قاعدة الاقتران
$9 =2\left(1^3\right) +5\left(1\right) + C$	بتعويض $x=1 , f\left(x\right)= 9$
$$\begin{gathered} 9 = 2 +5 + C \\ 9 = 7 + C \\ \to 2 = C \end{gathered}$$	بحل المعادلة لــ $C$
الخطوة الثالثة: اكتب قاعدة الاقتران
$f\left(x\right)=2 x^3 +5x +2$	قاعدة الاقتران وقيمة ثابت التكامل

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 17:

التكلفة الحدية: يمثل الاقتران $Cَ\left(x\right) = 0.3 x^2 + 2x$ التكلفة الحديّة (بالدينار) لكل قطعة تُنتج في إحدى الشركات، حيث $x$ عدد القطع المنتجة، و $C\left(x\right)$ تكلفة إنتاج $x$ قطعة بالدينار.

أجد اقتران التكلفة $C\left(x\right)$ ، علمًا بأنّ تكلفة إنتاج 10 قطع هي 2200 JD.

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد تكامل الاقتران $C \mathit{َ}\left(x\right)$
$C\left(x\right) = \int (0.3 x^2 + 2x) dx$	$C\left(x\right) = \int C َ \left(x\right) dx$
$$\begin{gathered} = \frac{0.3 x^3}{3} +\frac{2 x^2}{2}+ K \\ =0.1 x^3 + x^2 + K \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل $K$
$C\left(x\right)=0.1 x^3 + x^2 + K$	قاعدة الاقتران
$2200=0.1 {\left(10\right)}^3 + {\left(10\right)}^2 + K$	بتعويض $x=10 , C\left(x\right)= 2200$
$$\begin{gathered} 2200=0.1 \left(1000\right) + 100 + K \\ 2200=100 + 100 + K \\ 2200=200 + K \\ 2200-200 = K \\ 2000= K \end{gathered}$$	بحل المعادلة لــ $K$
الخطوة الثالثة: اكتب اقتران التكلفة
$C\left(x\right)=0.1 x^3 + x^2 + 2000$	اقتران التكلفة $C\left(x\right)$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 18:

يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، وتُعطى سرعته المتجهة بالاقتران: $v\left(t\right) = 36 t - 3t^2$، حيث $t$ الزمن بالثواني، $v$ سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجُسيم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقعه بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة.

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد اقتران الموقع $s\left(t\right)$
$s\left(t\right) = \int v\left(t\right) dt$	بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة
$= \int \left(36t - 3t^2\right) dt$	بتعويض$v\left(t\right) = 36 t - 3t^2$
$$\begin{gathered} = \frac{36 t^2}{2}- \frac{3 t^3}{3} + C \\ =18 t^2 - t^3 + C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت
الخطوة الثانية: جد قيمة ثابت التكامل $C$
$s\left(t\right)==18 t^2 - t^3 + C$	اقتران الموقع
$$\begin{gathered} 0=18 {\left(0\right)}^2 - {\left(0\right)}^3 + C \\ 0=C \end{gathered}$$	بتعويض $t=0 , s\left(0\right) = 0$ حيث بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل
الخطوة الثالثة: اكتب اقتران الموقع
$s\left(t\right)=18 t^2 - t^3$	اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة هو
الخطوة الرابعة: جد موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة
$s\left(t\right)=18 t^2 - t^3$	اقتران الموقع
$s\left(3\right)=18 {\left(3\right)}^2 - {\left(3\right)}^3$	بتعويض $t=3$
$$\begin{gathered} =18 \left(9\right) - 27 \\ =162-27 \\ =135 \end{gathered}$$	بالتبسيط
إذن موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة هو:$135 m$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 20:

يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، ويُعطى تسارعه بالاقتران $a\left(t\right)= 4 t -4$ حيث $t$ الزمن بالثواني، و $a$  تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا بدأ الجُسيم حركته من نقطة الأصل بسرعة متجهة مقدارها $5 m / s$ ، فأجد موقعه بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة.

 

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد اقتران السرعة المتجهة $v\left(t\right)$
$v\left(t\right) = \int a\left(t\right) dt$	بإيجاد تكامل اقتران التسارع
$=\int \left( 4 t -4\right) dt$	بتعويض $a\left(t\right)= 4 t -4$
$$\begin{gathered} = \frac{4t^2}{2} - 4t + C_1 \\ = 2t^2 - 4t + C_1 \end{gathered}$$	تكامل الفرق، تكامل الثابت ، تكامل اقتران القوة المضروب بثابت
الخطوة الثانية: جد قيمة ثابت التكامل الناتج من تكامل التسارع $C_1$
$v\left(t\right)= 2t^2 - 4t + C_1$	اقتران السرعة المتجهة
$5= 2{\left(0\right)}^2 - 4\left(0\right) + C_1$	بتعويض $t=0 ,v\left(t\right)= 5$
$5 = C_1$	بحل المعادلة
$v\left(t\right)= 2t^2 - 4t + 5$	اقتران السرعة المتجهة
الخطوة الثالثة: جد اقتران الموقع
$s\left(t\right) = \int v\left(t\right) dt$	بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة
$= \int \left(2t^2 - 4t + 5\right)dt$	بتعويض $\left(2t^2 - 4t + 5\right)$
$$\begin{gathered} = \frac{2t^3}{3}- \frac{4t^2}{2}+5t +C_2 \\ =\frac{2}{3}{t}^3 -2t^2 +5t +C_2 \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت، تكامل الثابت
الخطوة الرابعة: جد قيمة ثابت التكامل $C_2$
$s\left(t\right)=\frac{2}{3}{t}^3 -2t^2 +5t +C_2$	اقتران الموقع
$0=\frac{2}{3}{\left(0\right)}^3 -2{\left(0\right)}^2 +5\left(0\right) +C_2$	بتعويض $t=0 , s\left(0\right) = 0$
$0 = C_2$	بحل المعادلة
$s\left(t\right)=\frac{2}{3}{t}^3 -2t^2 +5t$	اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة
الخطوة الخامسة: جد موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة
$s\left(t\right)=\frac{2}{3}{t}^3 -2t^2 +5t$	اقتران الموقع
$s\left(3\right)=\frac{2}{3}{\left(3\right)}^3 -2{\left(3\right)}^2 +5\left(3\right)$	بتعويض $t=3$
$$\begin{gathered} =\frac{2}{3}\left(27\right) -2\left(9\right) +15 \\ =18-18+15 \\ =15 \end{gathered}$$	بالتبسيط
إذن موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة هو:$15 m$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

أتدرب وأحل المسائل صفحة 20:

في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران $f\left(x\right)$ ، ونقطة يمر بها منحنى $y = f\left(x\right)$ .

أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران $f\left(x\right)$ :

 

$1) f \mathit{َ}(x)= x- 3 ; (2, 9)$
$f\left(x\right) =\int \left(x-3\right) dx$	$f\left(x\right) = \int f َ \left(x\right) dx$
$= \frac{x^2}{2}-3x + C$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل $C$
$f\left(x\right) = \frac{1}{2}{x}^2-3x + C$	قاعدة الاقتران
$9 = \frac{1}{2}{\left(2\right)}^2-3\left(2\right) + C$	بتعويض $x=2 , f\left(x\right)= 9$
$$\begin{gathered} 9 = \frac{1}{2}\left(4\right)-6 + C \\ 9 = 2-6 + C \\ 9 = -4 + C \\ 9 +4 = C \\ 13 = C \end{gathered}$$	بحل المعادلة لــ $C$
إذن قاعدة الاقتران هي: $f\left(x\right) = \frac{1}{2}{x}^2-3x + 13$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$2) f \mathit{َ}(x)= x^2- 4 ; (0, 7)$
$f\left(x\right) =\int (x^2-4) dx$	$f\left(x\right) = \int f َ \left(x\right) dx$
$= \frac{x^3}{3}-4x+C$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل $C$
$f\left(x\right)= \frac{x^3}{3}-4x+C$	قاعدة الاقتران
$7= \frac{{\left(0\right)}^3}{3}-4\left(0\right)+C$	بتعويض $x=0 , f\left(x\right)= 7$
$7= C$	بالتبسيط
إذن قاعدة الاقتران هي:$f\left(x\right)= \frac{1}{3}{x}^3-4x+7$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$3) f \mathit{َ}(x)= 6x^2- 4x + 2 ; (1, 9)$
$f\left(x\right) =\int \left(6x^2 - 4x +2\right) dx$	$f\left(x\right) = \int f َ \left(x\right) dx$
$$\begin{gathered} = \frac{6x^3}{3}-\frac{4x^2}{2}+ 2x + C \\ = 2 x^{3 }- 2x^2 + 2x + C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل $C$
$f\left(x\right) = 2 x^{3 }- 2x^2 + 2x + C$	قاعدة الاقتران
$9 = 2 {\left(1\right)}^{3 }- 2{\left(1\right)}^2 + 2\left(1\right) + C$	بتعويض$x=1 , f\left(x\right)= 9$
$$\begin{gathered} 9 = 2 - 2 + 2 + C \\ 9 = 2 + C \\ 9 - 2 = C \\ 7 = C \end{gathered}$$	بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي:$f\left(x\right) = 2 x^{3 }- 2x^2 + 2x + 7$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$4) f \mathit{َ}(x)=\sqrt{x} + \frac{1}{4}{x}^2 ; (4, 11)$
$f\left(x\right) = \int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{4}{x}^2\right) dx$	$f\left(x\right) = \int f َ \left(x\right) dx$
$$\begin{gathered} = \frac{x^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{\frac{3}{2}}+ \frac{1}{4}\left(\frac{x^3}{3}\right) + C \\ = \frac{2}{3}\sqrt{x^3} +\frac{1}{12}{x}^3 + C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة
جد ثابت التكامل $C$
$f\left(x\right)= \frac{2}{3}\sqrt{x^3} +\frac{1}{12}{x}^3 + C$	قاعدة الاقتران
$11= \frac{2}{3}\sqrt{{\left(4\right)}^3} +\frac{1}{12}{\left(4\right)}^3 + C$	بتعويض $x=4 , f\left(x\right)= 11$
$$\begin{gathered} 11= \frac{2}{3}\sqrt{64} +\frac{1}{12}\left(64\right) + C \\ 11= \frac{2}{3}\left(8\right) +\frac{64}{12} + C \\ 11= \frac{16}{3} +\frac{16}{3} + C \\ 11= \frac{32}{3} + C \\ 11- \frac{32}{3} = C \\ \frac{33}{3}- \frac{32}{3} = C \\ \frac{1}{3} = C \end{gathered}$$	بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي: $f\left(x\right)= \frac{2}{3}\sqrt{x^3} +\frac{1}{12}{x}^3 + \frac{1}{3}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$5) f \mathit{َ}(x)={(x+2)}^2 ; (1, 7)$
$$\begin{gathered} f\left(x\right) = \int {(x+2)}^2 dx \\ = \int (x^2+4x +4) dx \end{gathered}$$	$f\left(x\right) = \int f َ \left(x\right) dx$
$$\begin{gathered} = \frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2}+4x +C \\ =\frac{x^3}{3} + 2 x^{2 }+ 4x +C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل $C$
$f\left(x\right)=\frac{x^3}{3} + 2 x^{2 }+ 4x +C$	قاعدة الاقتران
$7=\frac{1^3}{3} + 2 {\left(1\right)}^{2 }+ 4\left(1\right) +C$	بتعويض $x=1 , f\left(x\right)= 7$
$$\begin{gathered} 7=\frac{1}{3} + 2 + 4 +C \\ 7=\frac{1}{3} + 6 +C \\ 7=\frac{19}{3} +C \\ 7-\frac{19}{3} =C \\ \frac{21}{3}-\frac{19}{3} =C \\ \frac{2}{3} =C \end{gathered}$$	بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي:$f\left(x\right)=\frac{1}{3} x^3+ 2 x^{2 }+ 4x +\frac{2}{3}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$6) f \mathit{َ}(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}-x ; (4, 0)$
$$\begin{gathered} f\left(x\right) = \int (\frac{3}{\sqrt{x}} - x) dx \\ =\int (3 x^{\raisebox{1ex}{$-1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.} - x) dx \end{gathered}$$	$f\left(x\right) = \int f َ \left(x\right) dx$
$$\begin{gathered} = \frac{3 x^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{\frac{1}{2}} - \frac{x^2}{2}+C \\ = 6 \sqrt{x } - \frac{x^2}{2}+C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة
جد ثابت التكامل $C$
$f\left(x\right) = 6 \sqrt{x } - \frac{x^2}{2}+C$	قاعدة الاقتران
$0 = 6 \left(\sqrt{4 }\right) - \frac{4^2}{2}+C$	بتعويض $x=1 , f\left(x\right)= 0$
$$\begin{gathered} 0 = 6 \left(2\right) - \frac{16}{2}+C \\ 0 = 12 - 8+C \\ 0 = 4 +C \\ 0 - 4 =C \\ -4 =C \end{gathered}$$	بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي:  $f\left(x\right) = 6 \sqrt{x } - \frac{1}{2}{x}^2- 4$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

7) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة $y$ هو: $\frac{dy}{dx}=0.4 x + 3$ ، فأجد قاعدة العلاقة $y$ ،

    علمًا بأن منحناها يمر بالنقطة $\left(0 , 5\right)$

 

الحل:

$\frac{dy}{dx}=0.4 x + 3$
$y = \int (0.4 x +3) dx$	$y = \int \frac{dy}{dx} dx$
$$\begin{gathered} = \frac{0.4 x^2}{2} + 3x+C \\ =0.2 x^2 + 3x+C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل
$y=0.2 x^2 + 3x+C$	قاعدة العلاقة
$$\begin{gathered} 5=0.2 {\left(0\right)}^2 + 3\left(0\right)+C \\ 5=C \end{gathered}$$	بتعويض $x=0 , y= 5$
إذن قاعدة العلاقة هي: $y=0.2 x^2 + 3x+5$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

8) إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ هو: $f \text{'}\left(x\right) = \frac{x^2 + 10}{x^2}$ ، فأجد قاعدة الاقتران $f\left(x\right)$ ،

    علمًا بأن منحناه يمر بالنقطة $\left(5, 2\right)$.

 

الحل:

$f \text{'}\left(x\right) = \frac{x^2 + 10}{x^2}$
$$\begin{gathered} f\left(x\right)= \int \frac{x^2+10}{x^2} dx \\ =\int \frac{x^2}{x^2}dx + \int \frac{10}{x^2}dx \\ = \int 1 dx + \int 10 x^{-2} dx \end{gathered}$$	$f\left(x\right) = \int f \text{'} \left(x\right) dx$
$$\begin{gathered} = x + \frac{10 x^{-1}}{-1} + C \\ = x - \frac{10}{x}+C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل
$f\left(x\right)= x - \frac{10}{x}+C$	قاعدة الاقتران
$$\begin{gathered} f\left(5\right)= 5 - \frac{10}{5}+C \\ 2= 5 - 2+C \\ 2= 3 +C \\ 2- 3 =C \\ \therefore C = -1 \end{gathered}$$	بتعويض $x=5 , y= 2$ و حل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي:$f\left(x\right)= x - \frac{10}{x}-1$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

9) يبين الشكل المجاور منحنى الاقتران $f\left(x\right)$ ، حيث: $f\text{'}\left(x\right) = 3x^2 - 3$ .

     أجد قاعدة الاقتران $f\left(x\right)$ .

     

 

 

الحل:

$f\text{'}\left(x\right) = 3x^2 - 3$
$f\left(x\right) = \int \left(3x^2-3\right) dx$	$f\left(x\right) = \int f \text{'} \left(x\right) dx$
$$\begin{gathered} = \frac{3 x^3}{3}- 3x + C \\ = x^3 - 3x + C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل
$f\left(x\right) = x^3 - 3x + C$	قاعدة الاقتران
$$\begin{gathered} f\left(1\right) = {\left(1\right)}^3 - 3\left(1\right) + C \\ 0 = 1 - 3 + C \\ 0 = -2 + C \\ 0 + 2 = C \\ \therefore 2 = C \end{gathered}$$	بتعويض نقطة تقع على منحنى f(x) بالرسم مثل $\left(1, 0\right)$وحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي: $f\left(x\right) = x^3 - 3x + 2$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

بالون:  عند نفخ بالون كروي الشكل يصبح نصف قطره $y$ سنتيمترًا بعد $t$ ثانية.

            إذا كان:$\frac{dy}{dt}= 4 t^{-\frac{2}{3}} , t>0$ ، وكان نصف قطر البالون بعد $8$ ثوانٍ من بدء نفخه $30 cm$ ، فأجد كلًا مما يأتي:

           10) قاعدة العلاقة $y$ بدلالة $t$ .       

                        11) نصف قطر البالون بعد 27 ثانية من بدء نفخه.

 

 

 

الحل:

10) قاعدة العلاقة $y$ بدلالة $t$

$y = \int (4 t^{-\frac{2}{3}} ) dx$	$y = \int \frac{dy}{dx} dx$
$$\begin{gathered} = \frac{4 t^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C \\ = 12 \sqrt[3]{t} + C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة
$$\begin{gathered} 30= 12 \sqrt[3]{8} + C \\ 30= 12 \left(2\right) + C \\ 30= 24 + C \\ 30- 24 = C \\ \therefore 6 = C \end{gathered}$$	بتعويض $t=8 , y= 30$ لإيجاد ثابت التكامل
إذن قاعدة العلاقة هي: $y= 12 \sqrt[3]{t} + 6$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11) نصف قطر البالون بعد 27 ثانية من بدء نفخه.

$y= 12 \sqrt[3]{t} + 6$	قاعدة العلاقة
$$\begin{gathered} y= 12 \sqrt[3]{27} + 6 \\ = 12 \left(3\right) + 6 \\ = 36 +6 \\ =42 \end{gathered}$$	بتعويض $t=27$ لإيجاد نصف قطر البالون بعد 27 ثانية من نفخه
إذن، نصف قطر البالون بعد 27 ثانية من بدء نفخه هو: $\mathbf{42}\mathbf{ }\mathit{c}\mathit{m}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أشجار:  في دراسة تناولت نوعًا معينًا من الأشجار، تبين أن ارتفاع هذه الأشجار يتغير بمعدل يمكن نمذجته بالاقتران: $h\text{'}\left(t\right) = 0.2 t^{\frac{2}{3}} + \sqrt{t}$ حيث $h\left(t\right)$ ارتفاع الشجرة بالأقدام، و $t$ عدد السنوات منذ لحظة زراعة الشجرة. إذا كان ارتفاع إحدى هذه الأشجار  عند زراعتها هو $2 ft$ ، فأجد $h\left(t\right)$.

 

 

الحل:

$$\begin{gathered} h\left(t\right)= \int (0.2 t^{\frac{2}{3}} + \sqrt{t} ) dt \\ = \int (0.2 t^{\frac{2}{3}} + t^{\frac{1}{2}} ) dt \end{gathered}$$	$h\left(t\right) = \int h \text{'} \left(t\right) dx$
$$\begin{gathered} = \frac{0.2 t^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+ C \\ =0.12 \sqrt[3]{t^5} +\frac{2}{3} \sqrt{t^3} + C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة
$$\begin{gathered} h\left(0\right)=0.12 \sqrt[3]{{\left(0\right)}^5} +\frac{2}{3} \sqrt{{\left(0\right)}^3} + C \\ 2= C \end{gathered}$$	بتعويض $t=0 ,h\left(t\right)= 2$ لإيجاد ثابت التكامل
إذن قاعدة الاقتران هي: $h\left(t\right)=0.12 \sqrt[3]{t^5} +\frac{2}{3} \sqrt{t^3} + 2$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

13) يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، وتُعطى سرعته المتجهة بالاقتران:$v\left(t\right) = 2t + 3$ ، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $v$ سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقعه بعد 3 ثوان من بدء الحركة.

الحل:

الخطوة الأولى: جد اقتران الموقع $s\left(t\right)$
$s\left(t\right) = \int v\left(t\right) dt$	بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة
$=\int \left(2t + 3\right)dt$	بتعويض $v\left(t\right) = 2t + 3$
$$\begin{gathered} = \frac{2t^2}{2} + 3t +C \\ = t^2 + 3t +C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل $C$
$s\left(t\right)= t^2 + 3t +C$	اقتران الموقع
$$\begin{gathered} s\left(0\right)= 0^2 + 3\left(0\right) +C \\ 0 = C \end{gathered}$$	بتعويض $t=0 , s\left(0\right)= 0$ لإيجاد قيمة ثابت التكامل
إذن اقتران الموقع بعد $t$ ثانية من بدء الحركة هو:$s\left(t\right)= t^2 + 3t$
الخطوة الثالثة: جد موقع الجسيم بعد 3 ثوان من بدء الحركة
$s\left(3\right)= {\left(3\right)}^2 + 3\left(3\right)$	بتعويض $t=3$ في اقتران الموقع
$$\begin{gathered} = 9 +9 \\ = 18 m \end{gathered}$$	بالتبسيط
إذن، موقع الجسيم بعد 3 ثوان من بدء الحركة هو: $18 m$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

14) يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، ويُعطى تسارعه بالاقتران:$a\left(t\right)=t^2$ ، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $a$ تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا كان الموقع الابتدائي للجسيم هو $3 m$ ، وكانت سرعته المتجهة هي $1 m/s$ بعد ثانية واحدة من بدء حركته ، فأجد موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة.

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد اقتران السرعة المتجهة $v\left(t\right)$
$v\left(t\right) = \int a\left(t\right) dt$	بإيجاد تكامل اقتران التسارع
$v\left(t\right) = \int t^2 dt$	بتعويض $a\left(t\right)=t^2$
$= \frac{t^3}{3}+ C_1$	تكامل اقتران القوة
$$\begin{gathered} v\left(1\right)= \frac{{\left(1\right)}^3}{3}+ C_1 \\ 1= \frac{1}{3}+ C_1 \\ 1- \frac{1}{3}= C_1 \\ \therefore C_1=\frac{2}{3} \end{gathered}$$	بتعويض $t=1 , v\left(1\right)= 1$ لإيجاد ثابت التكامل $C_1$
إذن اقتران السرعة المتجهة هو: $v\left(t\right)= \frac{1}{3}{t}^3+ \frac{2}{3}$
الخطوة الثانية: جد اقتران الموقع
$s\left(t\right) = \int v\left(t\right) dt$	بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة
$s\left(t\right) = \int \left(\frac{t^3}{3}+ \frac{2}{3}\right) dt$	بتعويض$v\left(t\right)= \frac{t^3}{3}+ \frac{2}{3}$
$$\begin{gathered} =\frac{1}{3}\left(\frac{t^4}{4}\right) + \frac{2}{3}t + C_2 \\ = \frac{1}{12}{t}^4 + \frac{2}{3}t + C_2 \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
$$\begin{gathered} s\left(0\right)= \frac{1}{12}{\left(0\right)}^4 + \frac{2}{3}\left(0\right) + C_2 \\ 3= C_2 \end{gathered}$$	بتعويض $t=0 , s\left(0\right)=3$ لإيجاد ثابت التكامل $C_2$
إذن، اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة هو:$s\left(t\right)= \frac{1}{12}{t}^4 + \frac{2}{3}t +3$
الخطوة الثالثة: جد موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة
$s\left(2\right)= \frac{1}{12}{\left(2\right)}^4 + \frac{2}{3}\left(2\right) +3$	بتعويض $t=2$ باقتران الموقع
$$\begin{gathered} = \frac{1}{12}\left(16\right) + \frac{4}{3} +3 \\ =\frac{4}{3}+ \frac{4}{3} +3 \\ = \frac{8}{3} +\frac{9}{3} \\ =\frac{17}{3}m \end{gathered}$$	بالتبسيط
إذن موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة هو: $\frac{17}{3} m$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

15) يتحرك جسيم من السكون ، ويُعطى تسارعه بالاقتران:$a\left(t\right) = 9 - 2t$ ، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $a$ تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل بسرعة متجهة مقدارها $2 m/s$ ، فأجد موقعه  بعد ثانيتين من بدء الحركة.

 

الخطوة الأولى: جد اقتران السرعة المتجهة $v\left(t\right)$
$v\left(t\right) = \int a\left(t\right) dt$	بإيجاد تكامل اقتران التسارع
$v\left(t\right) = \int \left( 9 - 2t\right) dt$	بتعويض $a\left(t\right) = 9 - 2t$
$$\begin{gathered} = 9 t - \frac{2t^2}{2}+C \\ =9 t -t^2 +C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
$$\begin{gathered} v\left(0\right)=9 \left(0\right) -{\left(t\right)}^2 +C \\ 2=C \end{gathered}$$	بتعويض $t=0 , v\left(0\right)= 2$ لإيجاد ثابت التكامل $C_1$
إذن اقتران السرعة المتجهة هو:$v\left(t\right)=9 t -t^2 +2$
الخطوة الثانية: جد اقتران الموقع
$s\left(t\right) = \int v\left(t\right) dt$	بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة
$s\left(t\right) =\int \left(9 t -t^2 +2\right) dt$	بتعويض $v\left(t\right)=9 t -t^2 +2$
$=\frac{9 t^2}{2}-\frac{t^3}{3}+2t + C_2$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
$$\begin{gathered} s\left(0\right)=\frac{9 {\left(0\right)}^2}{2}-\frac{{\left(0\right)}^3}{3}+2\left(0\right) + C_2 \\ 0=C_2 \end{gathered}$$	بتعويض  $t=0 , s\left(0\right)=0$ لإيجاد ثابت التكامل $C_2$
إذن، اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة هو: $s\left(t\right)=\frac{9 t^2}{2}-\frac{t^3}{3}+2t$
الخطوة الثالثة: جد موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة
$$\begin{gathered} s\left(2\right)=\frac{9 {\left(2\right)}^2}{2}-\frac{{\left(2\right)}^3}{3}+2\left(2\right) \\ =18 - \frac{8}{3}+4 \\ = 22 - \frac{8}{3} \\ = \frac{66}{3}-\frac{8}{3} \\ = \frac{58}{3}=19 \frac{1}{3}m \end{gathered}$$	بتعويض  $t=2$ باقتران الموقع والتبسيط
إذن موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة هو:$19 \frac{1}{3} m$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

مهارات التفكير العليا:

 

16) تبرير: تُعطى مشتقة الاقتران $f\left(x\right)$ بالقاعدة: $f \mathit{َ} \left(x\right) = ax + b$ ، حيث $a$ و $b$ ثابتان.إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند النقطة $\left(-2, 8\right)$ هو $7$، وقطع منحنى الاقتران المحور $y$ عند النقطة $\left(0, 18\right)$، فأجد قاعدة هذا الاقتران، مبررًا إجابتي.

 

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد الاقتران $f\left(x\right)$
$f\left(x\right) = \int (ax +b) dx$	$f\left(x\right) = \int f َ \left(x\right) dx$
$= \frac{a x^2}{2}+ bx +C$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل $C$
$$\begin{gathered} f\left(0\right) = \frac{a {\left(0\right)}^2}{2}+ b\left(0\right) +C \\ 18 = C \end{gathered}$$	بتعويض النقطة $(0, 18)$ بالاقتران
إذن الاقتران هو: $f\left(x\right)= \frac{a x^2}{2}+ bx +18$
الخطوة الثانية: جد قيمة الثوابت $a , b$
$$\begin{gathered} f \mathit{َ} \left(x\right) = ax + b \\ 7 = a (-2)+b \\ 7 = -2a + b -----\left(1\right) \end{gathered}$$	بتعويض قيمة الميل عندما $x= -2$
$$\begin{gathered} f(-2) = \frac{a {(-2)}^2}{2}+ b(-2) +18 \\ 8 = \frac{a \left(4\right)}{2}-2 b +18 \\ 8 -18 = 2 a-2 b \\ -10 = 2 a - 2b -----\left(2\right) \end{gathered}$$	بتعويض النقطة $(-2, 8)$ بالاقتران
$$\begin{gathered} 7 = -2a + b \\ + -10 = 2 a - 2b \\ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ -3 = -b \\ \therefore b = 3 \\ 7 = -2a + b \\ 7 = -2 a + 3 \\ 7-3 =-2a \\ 4 =-2a \\ \frac{4}{-2} = a \\ \therefore a = -2 \end{gathered}$$	بحل المعادلتين 1 ، 2 بالحذف
الخطوة الثالثة: عوض قيمة الثوابت بالاقتران $f\left(x\right)$
$f\left(x\right)= \frac{\left(-2\right) x^2}{2}+\left( 3\right)x +18$	$a =-2 , b = 3$
$f\left(x\right)=- x^2+3x +18$	بالتبسيط
إذن الاقتران هو:$f\left(x\right)=- x^2+3x +18$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

17) تحدٍّ: إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ هو: $\left(4 - \frac{100}{x^2}\right)$ ، وكان للاقتران نقطة حرجة عند النقطة $\left(a , 10\right)$،

              حيث:$a>0$ ، فأجد قاعدة الاقتران.

 

الحل:
 

أولًا :استخدم النقطة الحرجة لإيجاد قيمة $a$

تذكر أنّ: النقطة الحرجة هي النقطة التي تكون المشتقة عندها غير موجودة أو تساوي صفرًا .

          

$f \mathit{َ} \left(x\right) = 4 - \frac{100}{x^2}$	ميل المماس لمنحنى الاقتران هو المشتقة
$$\begin{gathered} 0 = 4 - \frac{100}{a^2} \\ \frac{100}{a^2} = 4 \\ \frac{100}{4} = a^2 \\ 25 = a^2 \to a = \pm 5 \end{gathered}$$	للاقتران نقطة حرجة عند النقطة $(a , 10)$
بما أن $a>0$ بالمعطيات ؛ فإن  $a = 5$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ثانيًا :جد قاعدة الاقتران $f\left(x\right)$ ، باستخدام التكامل لميل المماس: 

$$\begin{gathered} f\left(x\right) = \int (4 - \frac{100}{x^2}) dx \\ = \int \left(4 -100 x^{-2}\right) dx \end{gathered}$$	$f\left(x\right) = \int f َ \left(x\right) dx$
$$\begin{gathered} = 4x - \frac{100 x^{-1}}{-1} +C \\ = 4x + \frac{100}{x} + C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
$$\begin{gathered} f\left(5\right)= 4\left(5\right) + \frac{100}{5} + C \\ 10=20 + 20 + C \\ 10=40 + C \\ 10-40 = C \\ \therefore -30 = C \end{gathered}$$	بتعويض النقطة $(5 , 10)$ لإيجاد ثابت التكامل
إذن قاعدة الاقتران هي: $f\left(x\right)= 4x + \frac{100}{x} -30$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

كتاب التمارين صفحة 10:

في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران $f\left(x\right)$ ، ونقطة يمر بها منحنى $y=f\left(x\right)$ . أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران $f\left(x\right)$ :

 

$1) f \mathit{َ}(x)=3x-2 ; (-1, 2)$
$f\left(x\right) = \int (3x-2) dx$	$f\left(x\right) = \int f َ \left(x\right) dx$
$= \frac{3x^2}{2}- 2x + C$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل $C$
$f\left(x\right) = \frac{3x^2}{2}- 2x + C$	قاعدة الاقتران
$f\left(-1\right) = \frac{3{(-1)}^2}{2}- 2(-1) + C$	بتعويض $x=-1 , f(-1)= 2$
$$\begin{gathered} 2 = \frac{3}{2}+ 2 + C \\ 2 = \frac{3}{2}+ \frac{4}{2} + C \\ 2 = \frac{7}{2}+ C \\ \frac{4}{2} - \frac{7}{2}= C \\ - \frac{3}{2}= C \end{gathered}$$	بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي: $f\left(x\right) = \frac{3}{2}{x}^2- 2x -\frac{3}{2}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$2) f \mathit{َ}(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x}} ; (4, 5)$
$$\begin{gathered} f\left(x\right) = \int \frac{x+1}{\sqrt{x}} dx \\ =\int \frac{x}{\sqrt{x}}dx +\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx \\ =\int x\left(x^{\raisebox{1ex}{$-1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\right) dx + \int x^{\raisebox{1ex}{$-1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right. }dx \\ = \int x^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.} dx + \int x^{\raisebox{1ex}{$-1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right. }dx \end{gathered}$$	$f\left(x\right) = \int f َ \left(x\right) dx$
$$\begin{gathered} = \frac{x^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{\frac{3}{2}}+\frac{x^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{\frac{1}{2}} +C \\ =\frac{2}{3} \sqrt{x^3} + 2 \sqrt{x} +C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة
جد ثابت التكامل $C$
$f\left(x\right) =\frac{2}{3} \sqrt{x^3} + 2 \sqrt{x} +C$	قاعدة الاقتران
$5 =\frac{2}{3} \sqrt{4^3} + 2 \sqrt{4} +C$	بتعويض $x=4 , f\left(x\right)= 5$
$$\begin{gathered} 5 =\frac{2}{3} \sqrt{64} + 2 \left(2\right) +C \\ 5 =\frac{2}{3} \left(8\right) + 4 +C \\ 5 - 4=\frac{16}{3} +C \\ 1 - \frac{16}{3}=C \\ \frac{-13}{3} =C \end{gathered}$$	بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي: $f\left(x\right) =\frac{2}{3} \sqrt{x^3} + 2 \sqrt{x} -\frac{13}{3}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$3) f \mathit{َ}(x)=-x (x+1) ; (-1, 5)$
$$\begin{gathered} f\left(x\right) = \int -x\left(x+1\right) dx \\ = \int \left(-x{}^2- x \right) dx \\ =\int -x^{2 }dx -\int x dx \end{gathered}$$	$f\left(x\right) = \int f َ \left(x\right) dx$
$= \frac{-x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+ C$	تكامل اقتران القوة
جد ثابت التكامل $C$
$f\left(x\right) = \frac{-x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+ C$	قاعدة الاقتران
$f(-1) = \frac{-{\left(-1\right)}^3}{3}-\frac{{\left(-1\right)}^2}{2}+ C$	بتعويض $x=-1 , f\left(x\right)= 5$
$$\begin{gathered} 5 = \frac{1}{3}-\frac{1}{2}+ C \\ 5 = \frac{2}{6}-\frac{3}{6}+ C \\ 5 =- \frac{1}{6}+ C \\ 5 + \frac{1}{6}= C \\ \frac{31}{6}=C \end{gathered}$$	بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي:$f\left(x\right) = -\frac{1}{3} x^3-\frac{1}{2}{x}^2+ \frac{31}{6}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$4) f \mathit{َ}(x)=x^3 - \frac{2}{x^2}+2 ; (1, 3)$
$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\int \left(x^3 - \frac{2}{x^2}+2\right) dx \\ =\int \left(x^3-2 x^{-2} +2\right) dx \end{gathered}$$	$f\left(x\right) = \int f َ \left(x\right) dx$
$$\begin{gathered} = \frac{x^4}{4}-\frac{2x^{-1}}{-1}+2x +C \\ =\frac{x^4}{4}+\frac{2}{x}+2x +C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل $C$
$f\left(x\right) =\frac{x^4}{4}+\frac{2}{x}+2x +C$	قاعدة الاقتران
$f\left(1\right) =\frac{1^4}{4}+\frac{2}{1}+2\left(1\right) +C$	بتعويض $x=1 , f\left(x\right)= 3$
$$\begin{gathered} 3 =\frac{1}{4}+2+2 +C \\ 3 -4=\frac{1}{4}+C \\ -1= \frac{1}{4}+C \\ -1- \frac{1}{4}=C \\ -\frac{5}{4}= C \end{gathered}$$	بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي:$f\left(x\right) =\frac{1}{4}{x}^4+\frac{2}{x}+2x -\frac{5}{4}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$5) f \mathit{َ}(x)=x+\sqrt{x} ; (1, 2)$
$$\begin{gathered} f\left(x\right) = \int \left(x+\sqrt{x}\right) dx \\ = \int x dx + \int x^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.} dx \end{gathered}$$	$f\left(x\right) = \int f َ \left(x\right) dx$
$$\begin{gathered} = \frac{x^2}{2}+ \frac{x^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{\frac{3}{2}}+ C \\ = \frac{x^2}{2}+ \frac{2}{3}\sqrt{x^3} + C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة
جد ثابت التكامل
$f\left(x\right) = \frac{x^2}{2}+ \frac{2}{3}\sqrt{x^3} + C$	قاعدة الاقتران
$f\left(1\right) = \frac{1^2}{2}+ \frac{2}{3}\sqrt{1^3} + C$	بتعويض $x=1 , f\left(x\right)= 2$
$$\begin{gathered} 2 = \frac{1}{2}+ \frac{2}{3} + C \\ 2 = \frac{3}{6}+ \frac{4}{6} + C \\ 2 - \frac{7}{6} = C \\ \frac{12}{6} - \frac{7}{6} = C \\ \frac{5}{6} = C \end{gathered}$$	بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي: $f\left(x\right) = \frac{1}{2}{x}^2+ \frac{2}{3}\sqrt{x^3} + \frac{5}{6}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$6) f \mathit{َ}(x)=-\frac{10}{x^2} ; (1, 15)$
$$\begin{gathered} f\left(x\right)= \int -\frac{10}{x^2} dx \\ = \int -10 x^{-2} dx \end{gathered}$$	$f\left(x\right) = \int f َ \left(x\right) dx$
$$\begin{gathered} = \frac{-10 x^{-1}}{-1} + C \\ = \frac{10}{x}+ C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة
جد ثابت التكامل $C$
$f\left(x\right) = \frac{10}{x}+ C$	قاعدة الاقتران
$$\begin{gathered} f\left(1\right) = \frac{10}{1}+ C \\ 15 = 10+ C \end{gathered}$$	بتعويض $x=1 , f\left(x\right)= 15$
$$\begin{gathered} 15 - 10= C \\ 5 = C \end{gathered}$$	بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي: $f\left(x\right) = \frac{10}{x}+ 5$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

7) إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ هو: $f\text{'}\left(x\right) = \sqrt{x}$، فأجد قاعدة الاقتران $f\left(x\right)$ ،

    علمًا بأن منحناه يمر بالنقطة $\left(9 , 25\right)$ .

الحل:

$f\text{'}\left(x\right) = \sqrt{x}$
$$\begin{gathered} f\left(x\right) = \int \sqrt{x} dx \\ =\int x^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.} dx \end{gathered}$$	$f\left(x\right) = \int f \text{'}\left(x\right) dx$
$$\begin{gathered} = \frac{x^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{\frac{3}{2}} + C \\ =\frac{2}{3} \sqrt{x^3} + C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة
جد ثابت التكامل
$f\left(x\right) =\frac{2}{3} \sqrt{x^3} + C$	قاعدة الاقتران
$$\begin{gathered} f\left(9\right) =\frac{2}{3} \sqrt{{\left(9\right)}^3} + C \\ 25 =\frac{2}{3} \left(27\right) + C \\ 25 =2 \left(9\right) + C \\ 25 =18 + C \\ 25 -18 = C \\ \therefore C = 7 \end{gathered}$$	بتعويض $x=9 , f\left(x\right)= 25$ وحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي: $f\left(x\right) =\frac{2}{3} \sqrt{x^3} + 7$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

8) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة $y$ هو: $\frac{dy}{dx}=\frac{2}{x^2}$، فأجد قاعدة العلاقة $y$،

     علمًا بأن منحناها يمر بالنقطة $\left(2, 4\right)$.

الحل:

$$\begin{gathered} y = \int \frac{2}{x^2} dx \\ =\int 2 x^{-2} dx \end{gathered}$$	$y = \int \frac{dy}{dx} dx$
$$\begin{gathered} = \frac{2 x^{-1}}{-1}+C \\ = -\frac{2}{x}+C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة
$$\begin{gathered} 4= -\frac{2}{2}+C \\ 4= -1+C \\ 4+1=C \\ \therefore C = 5 \end{gathered}$$	بتعويض $x=2 , y= 4$ لإيجاد ثابت التكامل
إذن قاعدة العلاقة هي: $y= -\frac{2}{x}+5$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

9) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة $y$ هو:$\frac{dy}{dx}=3x^2 -12x + 8$ ، ومر منحناها بنقطة الأصل،

    فأجد الإحداثي $x$ لجميع نقاط تقاطع منحنى العلاقة مع المحور $x$، مبررًا إجابتي.

الحل:

أولًا: جد قاعدة العلاقة $y$
$y = \int \left(3x^2 - 12x +8\right) dx$	$y = \int \frac{dy}{dx} dx$
$$\begin{gathered} = \frac{3x^3}{3}-\frac{12 x^2}{2}+8x + C \\ = x^3 - 6 x^2 +8x + C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
$$\begin{gathered} 0= {\left(0\right)}^3 - 6 {\left(0\right)}^2 +8\left(0\right) + C \\ \to C =0 \end{gathered}$$	بتعويض نقطة الأصل (0,0) لإيجاد ثابت التكامل
إذن قاعدة العلاقة هي: $y= x^3 - 6 x^2 +8x$
ثانيًا: جد الإحداثي $x$ لجميع نقاط تقاطع منحنى العلاقة مع المحور $x$
$x=0$	من المعطيات
$$\begin{gathered} x=2 \\ y= {\left(2\right)}^3 - 6 {\left(2\right)}^2 +8\left(2\right) \\ y= 8 - 6 \left(4\right) +16 \\ y= 8 - 24 +16 \\ y=0 \end{gathered}$$	لأن الإحداثي y  يساوي 0 عند نقاط التقاطع   منحنى العلاقة مع المحور x
$$\begin{gathered} x=4 \\ y= {\left(4\right)}^3 - 6 {\left(4\right)}^2 +8\left(4\right) \\ y= 64 - 6 \left(16\right) +32 \\ y= 64 - 96 +32 \\ y=0 \end{gathered}$$	لأن الإحداثي y  يساوي 0 عند نقاط التقاطع   منحنى العلاقة مع المحور x
إذن الإحداثي $x$ لجميع نقاط تقاطع منحنى العلاقة مع المحور $x$ هي: $x =0 , x =2 , x=4$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

10) الإيراد الحدّي: يمثل الاقتران: $R\text{'}\left(x\right) = x^2 -3$ الإيراد الحدّي (بالدينار) لكل قطعة تُباع من منتجات إحدى الشركات،

       حيث $x$ عدد القطع المبيعة، و $R\left(x\right)$ إيراد بيع $x$ قطعة بالدينار.

      أجد اقتران الإيراد $R\left(x\right)$ ، علمًا بأنّ $R\left(0\right)=0$.

       إرشاد: يمثل الإيراد الحدي مشتقة اقتران الإيراد.

 

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد تكامل الاقتران $R\mathbf{\text{'}}\left(x\right)$
$R\left(x\right) = \int \left( x^2 -3\right) dx$	$R\left(x\right) = \int R \text{'} \left(x\right) dx$
$= \frac{ x^3}{3} -3x+ C$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل $C$
$R\left(x\right)= \frac{ x^3}{3} -3x+ C$	قاعدة الاقتران
$$\begin{gathered} R\left(0\right)= \frac{ {\left(0\right)}^3}{3} -3\left(0\right)+ C \\ 0= C \end{gathered}$$	بتعويض $x=0 , R\left(x\right)=0$
الخطوة الثالثة: اكتب اقتران الإيراد
$R\left(x\right)= \frac{ 1}{3} x^3-3x$	اقتران التكلفة $R\left(x\right)$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

11) يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، وتُعطى سرعته المتجهة بالاقتران:$v\left(t\right)=3t^2 -12t +11$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $v$ سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقعه بعد ثانيتين من بدء الحركة.

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد اقتران الموقع$s\left(t\right)$
$s\left(t\right) = \int v\left(t\right) dt$	بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة
$s\left(t\right) = \int \left(3t^2 -12t +11\right) dt$	بتعويض$v\left(t\right)=3t^2 -12t +11$
$$\begin{gathered} =\frac{3t^3}{3} -\frac{12 t^2}{2} + 11t + C \\ = t^3 - 6 t^2 + 11t + C \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل $C$
$s\left(t\right)= t^3 - 6 t^2 + 11t + C$	اقتران الموقع
$$\begin{gathered} s\left(0\right)= {\left(0\right)}^3 - 6 {\left(0\right)}^2 + 11\left(0\right) + C \\ 0= C \end{gathered}$$	بتعويض $t=0 , s\left(0\right)= 0$ لإيجاد قيمة ثابت التكامل
إذن اقتران الموقع بعد $t$ ثانية من بدء الحركة هو: $s\left(t\right)= t^3 - 6 t^2 + 11t$
الخطوة الثالثة: جد موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة
$$\begin{gathered} s\left(2\right)= {\left(2\right)}^3 - 6 {\left(2\right)}^2 + 11\left(2\right) \\ =8 - 24 +22 \\ = 6 m \end{gathered}$$	بتعويض $t=2$ باقتران الموقع والتبسيط
إذن، موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة هو: $6 m$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

12) يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، ويُعطى تسارعه بالاقتران:$a\left(t\right) = 6t -30$ ، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $a$  التسارع بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل بسرعة متجهة مقدارها $72 m/s$، فأجد موقعه بعد 3 ثوان من بدء الحركة.

الحل:

الخطوة الأولى: جد اقتران السرعة المتجهة $v\left(t\right)$
$v\left(t\right) = \int a\left(t\right) dt$	بإيجاد تكامل اقتران التسارع
$v\left(t\right) = \int \left( 6t -30\right) dt$	بتعويض $a\left(t\right) = 6t -30$
$$\begin{gathered} =\frac{6t^2}{2}- 30 t + C_1 \\ = 3 t^2 - 30 t + C_1 \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
$$\begin{gathered} v\left(0\right)= 3 {\left(0\right)}^2 - 30 \left(0\right) + C_1 \\ 72 = C_1 \end{gathered}$$	بتعويض $t=0 , v\left(0\right)= 72$ لإيجاد ثابت التكامل$C_1$
إذن اقتران السرعة المتجهة هو: $v\left(t\right)= 3 t^2 - 30 t +72$
الخطوة الثانية: جد اقتران الموقع
$s\left(t\right) = \int v\left(t\right) dt$	بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة
$s\left(t\right)= \int \left(3 t^2 -30 t + 72\right) dt$	بتعويض  $v\left(t\right)= 3 t^2 - 30 t +72$
$$\begin{gathered} =\frac{3 t^3}{3} - \frac{30 t^2}{2} + 72 t + C_2 \\ = t^3 - 15 t^2 + 72 t + C_2 \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
$$\begin{gathered} s\left(0\right)= {\left(0\right)}^3 - 15 {\left(0\right)}^2 + 72 \left(0\right) + C_2 \\ 0 =C_2 \end{gathered}$$	بتعويض $t=0 , s\left(0\right)= 0$ لإيجاد ثابت التكامل $C_2$
إذن اقتران الموقع بعد $t$ ثانية من بدء الحركة هو: $s\left(t\right)= t^3 - 15 t^2 + 72 t$
الخطوة الثالثة: جد موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة
$$\begin{gathered} s\left(3\right)= {\left( 3\right)}^3 - 15 {\left(3\right)}^2 + 72 \left(3\right) \\ = 27 - 15\times 9 +216 \\ = 27 - 135 + 216 \\ = 108 m \end{gathered}$$	بتعويض $t=3$ باقتران الموقع والتبسيط
إذن، موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة هو: $108 m$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

انتهت أسئلة الدرس