مسألة اليوم صفحة 15:
يمثل الاقتران معدل تغير المبيعات الشهرية لهاتف جديد، حيث عدد الأشهر منذ طرح الهاتف في الأسواق، و عدد الهواتف المبيعة شهريًا. أجد ، علمًا بأن
الحل:
الخطوة الأولى: جد تكامل الاقتران | |
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت | |
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض | |
بالتبسيط | |
الخطوة الثالثة: اكتب قاعدة الاقتران | |
قاعدة الاقتران وقيمة ثابت التكامل |
أتحقق من فهمي صفحة 16:
أجد قاعدة الاقتران إذا كان: ، ومر منحناه بالنقطة
الحل:
الخطوة الأولى: جد تكامل الاقتران | |
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت | |
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض
|
|
بحل المعادلة لــ | |
الخطوة الثالثة: اكتب قاعدة الاقتران | |
قاعدة الاقتران وقيمة ثابت التكامل |
أتحقق من فهمي صفحة 17:
التكلفة الحدية: يمثل الاقتران التكلفة الحديّة (بالدينار) لكل قطعة تُنتج في إحدى الشركات، حيث عدد القطع المنتجة، و تكلفة إنتاج قطعة بالدينار.
أجد اقتران التكلفة ، علمًا بأنّ تكلفة إنتاج 10 قطع هي 2200 JD.
الحل:
الخطوة الأولى: جد تكامل الاقتران | |
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت | |
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض | |
بحل المعادلة لــ | |
الخطوة الثالثة: اكتب اقتران التكلفة | |
اقتران التكلفة |
أتحقق من فهمي صفحة 18:
يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، وتُعطى سرعته المتجهة بالاقتران: ، حيث الزمن بالثواني، سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجُسيم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقعه بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة.
الحل:
الخطوة الأولى: جد اقتران الموقع | |
بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة | |
بتعويض | |
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت | |
الخطوة الثانية: جد قيمة ثابت التكامل | |
اقتران الموقع | |
بتعويض حيث بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل |
|
الخطوة الثالثة: اكتب اقتران الموقع | |
اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة هو | |
الخطوة الرابعة: جد موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة | |
اقتران الموقع | |
بتعويض | |
بالتبسيط | |
إذن موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة هو: |
أتحقق من فهمي صفحة 20:
يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، ويُعطى تسارعه بالاقتران حيث الزمن بالثواني، و تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا بدأ الجُسيم حركته من نقطة الأصل بسرعة متجهة مقدارها ، فأجد موقعه بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة.
الحل:
الخطوة الأولى: جد اقتران السرعة المتجهة | |
بإيجاد تكامل اقتران التسارع | |
بتعويض | |
تكامل الفرق، تكامل الثابت ، تكامل اقتران القوة المضروب بثابت |
|
الخطوة الثانية: جد قيمة ثابت التكامل الناتج من تكامل التسارع | |
اقتران السرعة المتجهة | |
بتعويض | |
بحل المعادلة | |
اقتران السرعة المتجهة | |
الخطوة الثالثة: جد اقتران الموقع | |
بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة | |
بتعويض | |
تكامل اقتران القوة المضروب بثابت، تكامل الثابت |
|
الخطوة الرابعة: جد قيمة ثابت التكامل | |
اقتران الموقع | |
بتعويض | |
بحل المعادلة | |
اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة | |
الخطوة الخامسة: جد موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة | |
اقتران الموقع | |
بتعويض | |
بالتبسيط | |
إذن موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة هو: |
أتدرب وأحل المسائل صفحة 20:
في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران ، ونقطة يمر بها منحنى .
أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران :
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض | |
بحل المعادلة لــ | |
إذن قاعدة الاقتران هي: |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض | |
بالتبسيط | |
إذن قاعدة الاقتران هي: |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض | |
بحل المعادلة | |
إذن قاعدة الاقتران هي: |
تكامل اقتران القوة | |
جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض | |
بحل المعادلة | |
إذن قاعدة الاقتران هي: |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض | |
بحل المعادلة | |
إذن قاعدة الاقتران هي: |
تكامل اقتران القوة | |
جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض | |
بحل المعادلة | |
إذن قاعدة الاقتران هي: |
7) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة هو: ، فأجد قاعدة العلاقة ،
علمًا بأن منحناها يمر بالنقطة
الحل:
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
جد ثابت التكامل | |
قاعدة العلاقة | |
بتعويض | |
إذن قاعدة العلاقة هي: |
8) إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران هو: ، فأجد قاعدة الاقتران ،
علمًا بأن منحناه يمر بالنقطة .
الحل:
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض و حل المعادلة |
|
إذن قاعدة الاقتران هي: |
9) يبين الشكل المجاور منحنى الاقتران ، حيث: .
أجد قاعدة الاقتران .
الحل:
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض نقطة تقع على منحنى f(x) بالرسم مثل وحل المعادلة | |
إذن قاعدة الاقتران هي: |
بالون: عند نفخ بالون كروي الشكل يصبح نصف قطره سنتيمترًا بعد ثانية.
إذا كان: ، وكان نصف قطر البالون بعد ثوانٍ من بدء نفخه ، فأجد كلًا مما يأتي:
10) قاعدة العلاقة بدلالة .
11) نصف قطر البالون بعد 27 ثانية من بدء نفخه.
الحل:
10) قاعدة العلاقة بدلالة
تكامل اقتران القوة | |
بتعويض لإيجاد ثابت التكامل | |
إذن قاعدة العلاقة هي: |
11) نصف قطر البالون بعد 27 ثانية من بدء نفخه.
قاعدة العلاقة | |
بتعويض لإيجاد نصف قطر البالون بعد 27 ثانية من نفخه | |
إذن، نصف قطر البالون بعد 27 ثانية من بدء نفخه هو: |
أشجار: في دراسة تناولت نوعًا معينًا من الأشجار، تبين أن ارتفاع هذه الأشجار يتغير بمعدل يمكن نمذجته بالاقتران: حيث ارتفاع الشجرة بالأقدام، و عدد السنوات منذ لحظة زراعة الشجرة. إذا كان ارتفاع إحدى هذه الأشجار عند زراعتها هو ، فأجد .
الحل:
تكامل اقتران القوة | |
بتعويض لإيجاد ثابت التكامل | |
إذن قاعدة الاقتران هي: |
13) يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، وتُعطى سرعته المتجهة بالاقتران: ، حيث الزمن بالثواني، و سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقعه بعد 3 ثوان من بدء الحركة.
الحل:
الخطوة الأولى: جد اقتران الموقع | |
بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة | |
بتعويض | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل | |
اقتران الموقع | |
بتعويض لإيجاد قيمة ثابت التكامل | |
إذن اقتران الموقع بعد ثانية من بدء الحركة هو: | |
الخطوة الثالثة: جد موقع الجسيم بعد 3 ثوان من بدء الحركة | |
بتعويض في اقتران الموقع | |
بالتبسيط | |
إذن، موقع الجسيم بعد 3 ثوان من بدء الحركة هو: |
14) يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، ويُعطى تسارعه بالاقتران: ، حيث الزمن بالثواني، و تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا كان الموقع الابتدائي للجسيم هو ، وكانت سرعته المتجهة هي بعد ثانية واحدة من بدء حركته ، فأجد موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة.
الحل:
الخطوة الأولى: جد اقتران السرعة المتجهة | |
بإيجاد تكامل اقتران التسارع | |
بتعويض | |
تكامل اقتران القوة | |
بتعويض لإيجاد ثابت التكامل |
|
إذن اقتران السرعة المتجهة هو: | |
الخطوة الثانية: جد اقتران الموقع | |
بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة | |
بتعويض | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
بتعويض لإيجاد ثابت التكامل |
|
إذن، اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة هو: | |
الخطوة الثالثة: جد موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة | |
بتعويض باقتران الموقع | |
بالتبسيط | |
إذن موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة هو: |
15) يتحرك جسيم من السكون ، ويُعطى تسارعه بالاقتران: ، حيث الزمن بالثواني، و تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل بسرعة متجهة مقدارها ، فأجد موقعه بعد ثانيتين من بدء الحركة.
الخطوة الأولى: جد اقتران السرعة المتجهة | |
بإيجاد تكامل اقتران التسارع | |
بتعويض | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
بتعويض لإيجاد ثابت التكامل | |
إذن اقتران السرعة المتجهة هو: | |
الخطوة الثانية: جد اقتران الموقع | |
بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة | |
بتعويض | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
بتعويض لإيجاد ثابت التكامل | |
إذن، اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة هو: | |
الخطوة الثالثة: جد موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة | |
بتعويض باقتران الموقع والتبسيط |
|
إذن موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة هو: |
مهارات التفكير العليا:
16) تبرير: تُعطى مشتقة الاقتران بالقاعدة: ، حيث و ثابتان.إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة هو ، وقطع منحنى الاقتران المحور عند النقطة ، فأجد قاعدة هذا الاقتران، مبررًا إجابتي.
الحل:
الخطوة الأولى: جد الاقتران | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
جد ثابت التكامل | |
بتعويض النقطة بالاقتران | |
إذن الاقتران هو: | |
الخطوة الثانية: جد قيمة الثوابت | |
بتعويض قيمة الميل عندما
|
|
بتعويض النقطة بالاقتران | |
بحل المعادلتين 1 ، 2 بالحذف | |
الخطوة الثالثة: عوض قيمة الثوابت بالاقتران | |
بالتبسيط | |
إذن الاقتران هو: |
17) تحدٍّ: إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران هو: ، وكان للاقتران نقطة حرجة عند النقطة ،
حيث: ، فأجد قاعدة الاقتران.
الحل:
أولًا :استخدم النقطة الحرجة لإيجاد قيمة
تذكر أنّ: النقطة الحرجة هي النقطة التي تكون المشتقة عندها غير موجودة أو تساوي صفرًا .
ميل المماس لمنحنى الاقتران هو المشتقة | |
للاقتران نقطة حرجة عند النقطة | |
بما أن بالمعطيات ؛ فإن |
ثانيًا :جد قاعدة الاقتران ، باستخدام التكامل لميل المماس:
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
بتعويض النقطة لإيجاد ثابت التكامل | |
إذن قاعدة الاقتران هي: |
كتاب التمارين صفحة 10:
في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران ، ونقطة يمر بها منحنى . أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران :
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض | |
بحل المعادلة | |
إذن قاعدة الاقتران هي: | |
تكامل اقتران القوة | |
جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض | |
بحل المعادلة | |
إذن قاعدة الاقتران هي: |
تكامل اقتران القوة | |
جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض | |
بحل المعادلة | |
إذن قاعدة الاقتران هي: | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت |
|
جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض | |
بحل المعادلة | |
إذن قاعدة الاقتران هي: | |
تكامل اقتران القوة
|
|
جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض | |
بحل المعادلة | |
إذن قاعدة الاقتران هي: | |
تكامل اقتران القوة | |
جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض | |
بحل المعادلة | |
إذن قاعدة الاقتران هي: |
7) إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران هو: ، فأجد قاعدة الاقتران ،
علمًا بأن منحناه يمر بالنقطة .
الحل:
تكامل اقتران القوة | |
جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض وحل المعادلة |
|
إذن قاعدة الاقتران هي: |
8) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة هو: ، فأجد قاعدة العلاقة ،
علمًا بأن منحناها يمر بالنقطة .
الحل:
تكامل اقتران القوة | |
|
بتعويض لإيجاد ثابت التكامل |
إذن قاعدة العلاقة هي: |
9) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة هو: ، ومر منحناها بنقطة الأصل،
فأجد الإحداثي لجميع نقاط تقاطع منحنى العلاقة مع المحور ، مبررًا إجابتي.
الحل:
أولًا: جد قاعدة العلاقة | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت |
|
بتعويض نقطة الأصل (0,0) لإيجاد ثابت التكامل | |
إذن قاعدة العلاقة هي: | |
ثانيًا: جد الإحداثي لجميع نقاط تقاطع منحنى العلاقة مع المحور | |
من المعطيات | |
لأن الإحداثي y يساوي 0 عند نقاط التقاطع منحنى العلاقة مع المحور x | |
لأن الإحداثي y يساوي 0 عند نقاط التقاطع منحنى العلاقة مع المحور x | |
إذن الإحداثي لجميع نقاط تقاطع منحنى العلاقة مع المحور هي:
|
10) الإيراد الحدّي: يمثل الاقتران: الإيراد الحدّي (بالدينار) لكل قطعة تُباع من منتجات إحدى الشركات،
حيث عدد القطع المبيعة، و إيراد بيع قطعة بالدينار.
أجد اقتران الإيراد ، علمًا بأنّ .
إرشاد: يمثل الإيراد الحدي مشتقة اقتران الإيراد.
الحل:
الخطوة الأولى: جد تكامل الاقتران | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل | |
قاعدة الاقتران | |
بتعويض | |
الخطوة الثالثة: اكتب اقتران الإيراد | |
اقتران التكلفة |
11) يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، وتُعطى سرعته المتجهة بالاقتران:، حيث الزمن بالثواني، و سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقعه بعد ثانيتين من بدء الحركة.
الحل:
الخطوة الأولى: جد اقتران الموقع | |
بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة | |
بتعويض | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل | |
اقتران الموقع | |
بتعويض لإيجاد قيمة ثابت التكامل | |
إذن اقتران الموقع بعد ثانية من بدء الحركة هو: | |
الخطوة الثالثة: جد موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة | |
بتعويض باقتران الموقع والتبسيط |
|
إذن، موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة هو: |
12) يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، ويُعطى تسارعه بالاقتران: ، حيث الزمن بالثواني، و التسارع بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل بسرعة متجهة مقدارها ، فأجد موقعه بعد 3 ثوان من بدء الحركة.
الحل:
الخطوة الأولى: جد اقتران السرعة المتجهة | |
بإيجاد تكامل اقتران التسارع | |
بتعويض | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
بتعويض لإيجاد ثابت التكامل |
|
إذن اقتران السرعة المتجهة هو: | |
الخطوة الثانية: جد اقتران الموقع | |
بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة | |
بتعويض | |
تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت | |
بتعويض لإيجاد ثابت التكامل |
|
إذن اقتران الموقع بعد ثانية من بدء الحركة هو: | |
الخطوة الثالثة: جد موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة | |
بتعويض باقتران الموقع
والتبسيط |
|
إذن، موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة هو: |
انتهت أسئلة الدرس