الرياضيات فصل ثاني

التوجيهي أدبي

icon

مسألة اليوم صفحة 15:

يمثل الاقتران S َ (t) = 500 t4 معدل تغير المبيعات الشهرية لهاتف جديد، حيث t عدد الأشهر منذ طرح الهاتف في الأسواق، و S(t) عدد الهواتف المبيعة شهريًا. أجد S(t) ، علمًا بأن S(0)=0

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد تكامل الاقتران S َ (t) = 500 t4
S (t) = 500 t4 dt S(t) =  S َ (t) dt
                      = 500 154t54 +C=50045t54+C=400 t54 +C تكامل اقتران القوة المضروب بثابت
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل C
S(t)=400 t54 +C قاعدة الاقتران
0=400 (0)54 +C بتعويض t=0 , S(0)= 0
C=0 بالتبسيط
الخطوة الثالثة: اكتب قاعدة الاقتران
S(t)=400 t54        = 400 t54 قاعدة الاقتران وقيمة ثابت التكامل

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


أتحقق من فهمي صفحة 16:

أجد قاعدة الاقتران f(x)  إذا كان:f َ (x) = 6x2 +5 ، ومر منحناه بالنقطة (1, 9)

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد تكامل الاقتران f َ(x)
f(x) =  (6x2 + 5) dx f(x) =  f َ (x) dx
f(x) = 6x33+5x + C        =2 x3 +5x + C تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل C
f(x)=2 x3 +5x + C قاعدة الاقتران
9 =2(13)  +5(1) + C

بتعويض

x=1 , f(x)= 9

9 = 2 +5 + C9 = 7  + C2 = C بحل المعادلة لــ C
الخطوة الثالثة: اكتب قاعدة الاقتران
f(x)=2 x3 +5x +2 قاعدة الاقتران وقيمة ثابت التكامل

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

أتحقق من فهمي صفحة 17:

التكلفة الحدية: يمثل الاقتران Cَ(x) = 0.3 x2 + 2x التكلفة الحديّة (بالدينار) لكل قطعة تُنتج في إحدى الشركات، حيث x عدد القطع المنتجة، و C(x) تكلفة إنتاج x قطعة بالدينار.

أجد اقتران التكلفة C(x) ، علمًا بأنّ تكلفة إنتاج 10 قطع هي 2200 JD.

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد تكامل الاقتران C َ(x)
C(x) = (0.3 x2 + 2x) dx C(x) =  C َ (x) dx
                       = 0.3 x33 +2 x22+ K=0.1 x3 + x2 + K تكامل اقتران القوة المضروب بثابت
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل K
C(x)=0.1 x3 + x2 + K قاعدة الاقتران
2200=0.1 (10)3 + (10)2 + K بتعويض x=10 , C(x)= 2200
2200=0.1 (1000) + 100 + K2200=100 + 100 + K2200=200 + K2200-200 = K2000= K بحل المعادلة لــ K
الخطوة الثالثة: اكتب اقتران التكلفة
C(x)=0.1 x3 + x2 + 2000 اقتران التكلفة C(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


أتحقق من فهمي صفحة 18:

يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، وتُعطى سرعته المتجهة بالاقتران: v(t) = 36 t - 3t2، حيث t الزمن بالثواني، v سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجُسيم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقعه بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة.

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد اقتران الموقع s(t)
s(t) =  v(t) dt بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة
                  = 36t - 3t2 dt بتعويضv(t) = 36 t - 3t2
                  = 36 t22- 3 t33 + C=18 t2 - t3 + C تكامل اقتران القوة المضروب بثابت
الخطوة الثانية: جد قيمة ثابت التكامل C
s(t)==18 t2 - t3 + C اقتران الموقع
0=18 (0)2 - (0)3 + C0=C

بتعويض t=0 , s(0) = 0

حيث بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل

الخطوة الثالثة: اكتب اقتران الموقع
s(t)=18 t2 - t3  اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة هو
الخطوة الرابعة: جد موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة
s(t)=18 t2 - t3  اقتران الموقع
s(3)=18 (3)2 - (3)3  بتعويض t=3
                 =18 (9) - 27 =162-27=135 بالتبسيط
إذن موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة هو:135 m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


أتحقق من فهمي صفحة 20:

يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، ويُعطى تسارعه بالاقتران a(t)= 4 t -4 حيث t الزمن بالثواني، و a  تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا بدأ الجُسيم حركته من نقطة الأصل بسرعة متجهة مقدارها 5 m / s ، فأجد موقعه بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة.

 

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد اقتران السرعة المتجهة v(t)
v(t) =  a(t) dt بإيجاد تكامل اقتران التسارع
                   =  4 t -4 dt بتعويض a(t)= 4 t -4
                     = 4t22 - 4t + C1= 2t2 - 4t + C1

تكامل الفرق، تكامل الثابت ،

تكامل اقتران القوة المضروب بثابت

الخطوة الثانية: جد قيمة ثابت التكامل الناتج من تكامل التسارع C1
v(t)= 2t2 - 4t + C1 اقتران السرعة المتجهة
5= 2(0)2 - 4(0) + C1 بتعويض t=0 ,v(t)= 5
5 = C1 بحل المعادلة
v(t)= 2t2 - 4t + 5 اقتران السرعة المتجهة
الخطوة الثالثة: جد اقتران الموقع
s(t) =  v(t) dt بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة
                   =  2t2 - 4t + 5dt بتعويض  (2t2 - 4t + 5)
                      = 2t33- 4t22+5t +C2=23t3 -2t2 +5t +C2

تكامل اقتران القوة المضروب بثابت،

تكامل الثابت

الخطوة الرابعة: جد قيمة ثابت التكامل C2
s(t)=23t3 -2t2 +5t +C2 اقتران الموقع
0=23(0)3 -2(0)2 +5(0) +C2 بتعويض t=0 , s(0) = 0
0 = C2 بحل المعادلة
s(t)=23t3 -2t2 +5t  اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة
الخطوة الخامسة: جد موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة
s(t)=23t3 -2t2 +5t  اقتران الموقع
s(3)=23(3)3 -2(3)2 +5(3)  بتعويض t=3
                =23(27) -2(9) +15=18-18+15=15  بالتبسيط
إذن موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة هو:15 m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

أتدرب وأحل المسائل صفحة 20:

في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران f(x) ، ونقطة يمر بها منحنى y = f(x) .

أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران f(x) :

 

1) f َ(x)= x- 3 ; (2, 9)
f(x) =x-3 dx f(x) =  f َ (x) dx
                   = x22-3x + C تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل C
f(x) = 12x2-3x + C قاعدة الاقتران
9 = 12(2)2-3(2) + C بتعويض x=2 , f(x)= 9
9 = 12(4)-6 + C9 = 2-6 + C9 = -4 + C9 +4 = C13 = C بحل المعادلة لــ C
إذن قاعدة الاقتران هي: f(x) = 12x2-3x + 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) f َ(x)= x2- 4 ; (0, 7)
f(x) =(x2-4) dx f(x) =  f َ (x) dx
                   = x33-4x+C تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل C
f(x)= x33-4x+C قاعدة الاقتران
   7= (0)33-4(0)+C بتعويض x=0 , f(x)= 7
   7= C بالتبسيط
إذن قاعدة الاقتران هي:f(x)= 13x3-4x+7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) f َ(x)= 6x2- 4x + 2 ; (1, 9)
 f(x) = 6x2 - 4x +2 dx f(x) =  f َ (x) dx
                     = 6x33-4x22+ 2x + C= 2 x3 - 2x2 + 2x + C تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل C
f(x) = 2 x3 - 2x2 + 2x + C قاعدة الاقتران
    9 = 2 (1)3 - 2(1)2 + 2(1) + C بتعويضx=1 , f(x)= 9
9 = 2 - 2 + 2 + C9 =  2 + C 9 -  2 = C 7 = C بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي:f(x) = 2 x3 - 2x2 + 2x + 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) f َ(x)=x + 14x2 ; (4, 11)
   f(x) =  x + 14x2  dx f(x) =  f َ (x) dx
                       = x3232+ 14x33 + C= 23x3 +112x3 + C تكامل اقتران القوة
جد ثابت التكامل C
 f(x)= 23x3 +112x3 + C قاعدة الاقتران
     11= 23(4)3 +112(4)3 + C  بتعويض x=4 , f(x)= 11
      11= 2364 +112(64) + C11= 23(8) +6412 + C11= 163 +163 + C11= 323  + C11- 323  = C333- 323  = C13  = C بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي: f(x)= 23x3 +112x3 + 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) f َ(x)=(x+2)2 ; (1, 7)
f(x) =  (x+2)2  dx        =  (x2+4x +4)  dx

f(x) =  f َ (x) dx

                     = x33 + 4x22+4x +C=x33 + 2 x2 + 4x +C تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل C
f(x)=x33 + 2 x2 + 4x +C قاعدة الاقتران
7=133 + 2 (1)2 + 4(1) +C بتعويض x=1 , f(x)= 7
7=13 + 2 + 4 +C7=13 + 6 +C7=193  +C7-193  =C213-193  =C23  =C بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي:f(x)=13 x3+ 2 x2 + 4x +23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) f َ(x)=3x-x ; (4, 0)
f(x) =  (3x - x)  dx       = (3 x-12 - x)  dx f(x) =  f َ (x) dx
                  = 3 x1212 - x22+C= 6 x  - x22+C تكامل اقتران القوة
جد ثابت التكامل C
f(x) = 6 x  - x22+C قاعدة الاقتران
0 = 6 4  - 422+C بتعويض x=1 , f(x)= 0
0 = 6 (2) - 162+C0 = 12 - 8+C0 = 4 +C0 - 4 =C-4  =C بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي:  f(x) = 6 x  - 12x2- 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

7) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة y هو: dydx=0.4 x + 3 ، فأجد قاعدة العلاقة y ،

    علمًا بأن منحناها يمر بالنقطة 0 , 5

 

الحل:

dydx=0.4 x + 3
 y =  (0.4 x +3)  dx y =  dydx dx
           = 0.4 x22 + 3x+C=0.2 x2 + 3x+C تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل
  y=0.2 x2 + 3x+C قاعدة العلاقة
 5=0.2 02 + 30+C5=C بتعويض x=0 , y= 5
إذن قاعدة العلاقة هي: y=0.2 x2 + 3x+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


8) إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران f(x) هو: f 'x = x2 + 10x2  ، فأجد قاعدة الاقتران f(x) ،

    علمًا بأن منحناه يمر بالنقطة 5, 2.

 

الحل:

f '(x) = x2 + 10x2 
 f(x)=  x2+10x2  dx       = x2x2dx +  10x2dx       =  1 dx +  10 x-2 dx f(x) =  f ' (x) dx
                   = x + 10 x-1-1 + C = x - 10x+C تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل
f(x)= x - 10x+C قاعدة الاقتران
 f(5)= 5 - 105+C2= 5 - 2+C2= 3 +C2- 3 =C C = -1

بتعويض x=5 , y= 2

و حل المعادلة

إذن قاعدة الاقتران هي:f(x)= x - 10x-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

9) يبين الشكل المجاور منحنى الاقتران f(x) ، حيث: f'x = 3x2 - 3 .

     أجد قاعدة الاقتران f(x) .

     

 

 

الحل:

f'(x) = 3x2 - 3
f(x) = 3x2-3 dx f(x) =  f ' (x) dx
                    = 3 x33- 3x + C= x3 - 3x + C تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل
 f(x) = x3 - 3x + C قاعدة الاقتران
 f(1) = 13 - 31 + C0 = 1 - 3 + C0 = -2  + C0 + 2  = C2  = C بتعويض نقطة تقع على منحنى f(x) بالرسم مثل 1, 0وحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي: f(x) = x3 - 3x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


بالون:  عند نفخ بالون كروي الشكل يصبح نصف قطره y سنتيمترًا بعد t ثانية.

            إذا كان:dydt= 4 t-23 , t>0 ، وكان نصف قطر البالون بعد 8 ثوانٍ من بدء نفخه 30 cm ، فأجد كلًا مما يأتي:

           10) قاعدة العلاقة y بدلالة t .       

                        11) نصف قطر البالون بعد 27 ثانية من بدء نفخه.

 

 

 

الحل:

10) قاعدة العلاقة y بدلالة t

y = (4 t-23 ) dx y =  dydx dx
           = 4 t1313 + C= 12 t3 + C تكامل اقتران القوة
 30= 12 83 + C 30= 12 2 + C30= 24 + C30- 24 = C 6 = C بتعويض t=8 , y= 30 لإيجاد ثابت التكامل
إذن قاعدة العلاقة هي: y= 12 t3 + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11) نصف قطر البالون بعد 27 ثانية من بدء نفخه.

y= 12 t3 + 6 قاعدة العلاقة
  y= 12 273 + 6   = 12 (3) + 6   = 36 +6   =42  بتعويض t=27 لإيجاد نصف قطر البالون بعد 27 ثانية من نفخه
إذن، نصف قطر البالون بعد 27 ثانية من بدء نفخه هو: 42 cm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


أشجار:  في دراسة تناولت نوعًا معينًا من الأشجار، تبين أن ارتفاع هذه الأشجار يتغير بمعدل يمكن نمذجته بالاقتران: h't = 0.2 t23 + t حيث h(t) ارتفاع الشجرة بالأقدام، و t عدد السنوات منذ لحظة زراعة الشجرة. إذا كان ارتفاع إحدى هذه الأشجار  عند زراعتها هو 2 ft ، فأجد h(t).

 

 

الحل:

h(t)= (0.2 t23 + t ) dt         = (0.2 t23 + t12 ) dt h(t) =  h ' (t) dx
                 = 0.2 t5353 + t3232+ C=0.12 t53 +23 t3 + C تكامل اقتران القوة
  h(0)=0.12 (0)53 +23 (0)3 + C 2=  C  بتعويض t=0 ,h(t)= 2 لإيجاد ثابت التكامل
إذن قاعدة الاقتران هي: h(t)=0.12 t53 +23 t3 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

13) يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، وتُعطى سرعته المتجهة بالاقتران:v(t) = 2t + 3 ، حيث t الزمن بالثواني، و v سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقعه بعد 3 ثوان من بدء الحركة.

الحل:

الخطوة الأولى: جد اقتران الموقع s(t)
s(t) =  v(t) dt بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة
               =2t + 3dt بتعويض v(t) = 2t + 3
                   = 2t22 + 3t +C= t2 + 3t +C تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل C
 s(t)= t2 + 3t +C اقتران الموقع
s(0)= 02 + 30 +C 0 = C بتعويض t=0 , s(0)= 0 لإيجاد قيمة ثابت التكامل
إذن اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة هو:s(t)= t2 + 3t 
الخطوة الثالثة: جد موقع الجسيم بعد 3 ثوان من بدء الحركة
 s(3)= 32 + 33  بتعويض t=3 في اقتران الموقع
               = 9 +9 = 18 m بالتبسيط
إذن، موقع الجسيم بعد 3 ثوان من بدء الحركة هو: 18 m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

14) يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، ويُعطى تسارعه بالاقتران:a(t)=t2 ، حيث t الزمن بالثواني، و a تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا كان الموقع الابتدائي للجسيم هو 3 m ، وكانت سرعته المتجهة هي 1 m/s بعد ثانية واحدة من بدء حركته ، فأجد موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة.

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد اقتران السرعة المتجهة v(t)
 v(t) =  a(t) dt بإيجاد تكامل اقتران التسارع
 v(t) =  t2 dt بتعويض a(t)=t2
                    = t33+ C1 تكامل اقتران القوة
v(1)= 133+ C1     1= 13+ C1       1- 13= C1  C1=23 

بتعويض t=1 , v(1)= 1

لإيجاد ثابت التكامل C1

إذن اقتران السرعة المتجهة هو: v(t)= 13t3+ 23
الخطوة الثانية: جد اقتران الموقع
s(t) =  v(t) dt بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة
 s(t) =  t33+ 23 dt بتعويضv(t)= t33+ 23
                   =13t44 + 23t + C2= 112t4 + 23t + C2 تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
  s(0)= 11204 + 230 + C2 3=  C2

بتعويض t=0 , s(0)=3

لإيجاد ثابت التكامل C2

إذن، اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة هو:s(t)= 112t4 + 23t +3
الخطوة الثالثة: جد موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة
s(2)= 112(2)4 + 23(2) +3 بتعويض t=2  باقتران الموقع
                  = 112(16) + 43 +3=43+ 43 +3= 83 +93=173m بالتبسيط
إذن موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة هو: 173 m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

15) يتحرك جسيم من السكون ، ويُعطى تسارعه بالاقتران:a(t) = 9 - 2t ، حيث t الزمن بالثواني، و a تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل بسرعة متجهة مقدارها 2 m/s ، فأجد موقعه  بعد ثانيتين من بدء الحركة.

 

الخطوة الأولى: جد اقتران السرعة المتجهة v(t)
v(t) =  a(t) dt بإيجاد تكامل اقتران التسارع
v(t) =  9 - 2t dt بتعويض a(t) = 9 - 2t
                   = 9 t - 2t22+C=9 t -t2 +C تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
 v(0)=9 0 -t2 +C    2=C بتعويض t=0 , v(0)= 2 لإيجاد ثابت التكامل C1
إذن اقتران السرعة المتجهة هو:v(t)=9 t -t2 +2
الخطوة الثانية: جد اقتران الموقع
s(t) =  v(t) dt بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة
s(t) = 9 t -t2 +2 dt بتعويض v(t)=9 t -t2 +2
                 =9 t22-t33+2t + C2 تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
s(0)=9 (0)22-(0)33+2(0) + C20=C2  بتعويض  t=0 , s(0)=0 لإيجاد ثابت التكامل C2
إذن، اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة هو: s(t)=9 t22-t33+2t 
الخطوة الثالثة: جد موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة
 s(2)=9 (2)22-(2)33+2(2)       =18 - 83+4       = 22 - 83      = 663-83      = 583=19 13m

  بتعويض  t=2  باقتران الموقع

والتبسيط

إذن موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة هو:19 13 m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


مهارات التفكير العليا:

 

16) تبرير: تُعطى مشتقة الاقتران f(x) بالقاعدة: f َ x = ax + b ، حيث a و b ثابتان.إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران f(x) عند النقطة -2, 8 هو 7، وقطع منحنى الاقتران المحور y عند النقطة 0, 18، فأجد قاعدة هذا الاقتران، مبررًا إجابتي.

 

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد الاقتران f(x)
f(x) =  (ax +b)  dx f(x) =  f َ (x) dx
                   = a x22+ bx +C تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل C
f(0)  = a 022+ b0 +C18 = C بتعويض النقطة (0, 18) بالاقتران
إذن الاقتران هو: f(x)= a x22+ bx +18
الخطوة الثانية: جد قيمة الثوابت a , b
f َ (x) = ax + b       7 = a (-2)+b       7 = -2a + b     -----(1)

بتعويض قيمة الميل عندما x= -2

 

f(-2)  = a (-2)22+ b(-2) +18  8        = a (4)2-2 b +18  8  -18      = 2 a-2 b   -10 = 2 a - 2b    -----(2) بتعويض النقطة (-2, 8) بالاقتران
             7 = -2a + b +   -10 = 2 a - 2b___________________         -3  = -b   b = 37 = -2a + b7 = -2 a + 37-3 =-2a  4      =-2a4-2  = a a = -2 بحل المعادلتين 1 ، 2 بالحذف
الخطوة الثالثة: عوض قيمة الثوابت بالاقتران f(x)
f(x)= (-2) x22+( 3)x +18 a =-2 , b = 3
f(x)=- x2+3x +18 بالتبسيط
إذن الاقتران هو:f(x)=- x2+3x +18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


17) تحدٍّ: إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران f(x) هو: 4 - 100x2 ، وكان للاقتران نقطة حرجة عند النقطة a , 10،

              حيث:a>0 ، فأجد قاعدة الاقتران.

 

الحل:
 

أولًا :استخدم النقطة الحرجة لإيجاد قيمة a

تذكر أنّ: النقطة الحرجة هي النقطة التي تكون المشتقة عندها غير موجودة أو تساوي صفرًا .

          

f َ x = 4 - 100x2 ميل المماس لمنحنى الاقتران هو المشتقة
0 = 4 - 100a2100a2 = 41004 = a2  25 = a2  a = ±5  للاقتران نقطة حرجة عند النقطة (a , 10)
بما أن a>0 بالمعطيات ؛ فإن  a = 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ثانيًا :جد قاعدة الاقتران f(x) ، باستخدام التكامل لميل المماس: 

f(x) =  (4 - 100x2) dx        =  4 -100 x-2 dx f(x) =  f َ (x) dx
                   = 4x - 100 x-1-1  +C= 4x + 100x  + C تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
 f(5)= 4(5) + 1005  + C10=20 + 20  + C10=40  + C10-40  = C -30 = C بتعويض النقطة (5 , 10) لإيجاد ثابت التكامل
إذن قاعدة الاقتران هي: f(x)= 4x + 100x  -30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


كتاب التمارين صفحة 10:

في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران f(x) ، ونقطة يمر بها منحنى y=f(x) . أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران f(x) :

 

1) f َ(x)=3x-2 ; (-1, 2)
 f(x) =  (3x-2)  dx f(x) =  f َ (x) dx
                     = 3x22- 2x + C تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
جد ثابت التكامل C
 f(x)  = 3x22- 2x + C قاعدة الاقتران
  f(-1)  = 3(-1)22- 2(-1) + C بتعويض x=-1 , f(-1)= 2
                    2  = 32+ 2 + C2  = 32+ 42 + C2  = 72+ C42  - 72= C  - 32= C بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي: f(x)  = 32x2- 2x -32 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) f َ(x)=x+1x ; (4, 5)
f(x) =  x+1x  dx       = xxdx +1x dx      = xx-12 dx +  x-12  dx      =  x12 dx +  x-12  dx f(x) =  f َ (x) dx
                = x3232+x1212  +C=23 x3 + 2 x +C تكامل اقتران القوة
جد ثابت التكامل C
  f(x) =23 x3 + 2 x +C قاعدة الاقتران
 5 =23 43 + 2 4 +C بتعويض x=4 , f(x)= 5
5 =23 64 + 2 (2) +C5 =23 (8) + 4 +C5 - 4=163  +C1 - 163=C-133 =C بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي: f(x) =23 x3 + 2 x -133

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) f َ(x)=-x (x+1) ; (-1, 5)
 f(x) =  -xx+1  dx       =  -x2- x  dx       = -x2 dx -x dx f(x) =  f َ (x) dx
                 = -x33-x22+ C تكامل اقتران القوة
جد ثابت التكامل C
f(x) = -x33-x22+ C قاعدة الاقتران
f(-1) = -(-1)33-(-1)22+ C بتعويض x=-1 , f(x)= 5
  5 = 13-12+ C5 = 26-36+ C5 =- 16+ C5 + 16= C316=C بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي:f(x) = -13 x3-12x2+ 316
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) f َ(x)=x3 - 2x2+2 ; (1, 3)
  f(x)=x3 - 2x2+2  dx       =x3-2 x-2 +2 dx f(x) =  f َ (x) dx
                 = x44-2x-1-1+2x +C=x44+2x+2x +C

تكامل اقتران القوة

وتكامل الثابت

جد ثابت التكامل C
  f(x) =x44+2x+2x +C قاعدة الاقتران
f(1) =144+21+2(1) +C بتعويض x=1 , f(x)= 3
3 =14+2+2 +C3 -4=14+C-1= 14+C-1- 14=C-54= C بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي:f(x) =14x4+2x+2x -54
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) f َ(x)=x+x  ; (1, 2)
     f(x) =  x+x dx        =  x dx +  x12 dx f(x) =  f َ (x) dx
                          = x22+ x3232+ C= x22+ 23x3 + C

تكامل اقتران القوة

 

جد ثابت التكامل
   f(x) = x22+ 23x3 + C قاعدة الاقتران
   f(1) = 122+ 2313 + C بتعويض x=1 , f(x)= 2
   2 = 12+ 23 + C2 = 36+ 46 + C2 - 76 = C126 - 76 = C56  = C بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي: f(x) = 12x2+ 23x3 + 56
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) f َ(x)=-10x2  ; (1, 15)
  f(x)= -10x2 dx       = -10 x-2 dx f(x) =  f َ (x) dx
                   = -10 x-1-1 + C = 10x+ C تكامل اقتران القوة
جد ثابت التكامل C
f(x) = 10x+ C قاعدة الاقتران
f(1) = 101+ C 15 = 10+ C بتعويض x=1 , f(x)= 15
   15 - 10= C   5 = C بحل المعادلة
إذن قاعدة الاقتران هي: f(x) = 10x+ 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


7) إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران f(x) هو: f'x = x، فأجد قاعدة الاقتران f(x) ،

    علمًا بأن منحناه يمر بالنقطة 9 , 25 .

الحل:

 f'(x) = x
 f(x) =  x dx       = x12  dx f(x) =  f '(x) dx
                   = x3232 + C=23 x3 + C تكامل اقتران القوة
     جد ثابت التكامل
 f(x) =23 x3 + C قاعدة الاقتران
 f(9) =23 (9)3 + C25 =23 (27) + C25 =2 (9) + C25 =18 + C25 -18 = C C = 7

بتعويض x=9 , f(x)= 25

وحل المعادلة

إذن قاعدة الاقتران هي: f(x) =23 x3 + 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

8) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة y هو: dydx=2x2، فأجد قاعدة العلاقة y،

     علمًا بأن منحناها يمر بالنقطة 2, 4.

الحل:

    y =  2x2 dx       = 2 x-2 dx y =  dydx dx
                  = 2 x-1-1+C = -2x+C تكامل اقتران القوة

      4= -22+C4= -1+C4+1=C C = 5

بتعويض x=2 , y= 4 لإيجاد ثابت التكامل
إذن قاعدة العلاقة هي: y= -2x+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

9) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة y هو:dydx=3x2 -12x + 8 ، ومر منحناها بنقطة الأصل،

    فأجد الإحداثي x لجميع نقاط تقاطع منحنى العلاقة مع المحور x، مبررًا إجابتي.

الحل:

أولًا: جد قاعدة العلاقة y
       y =  3x2 - 12x +8 dx  y =  dydx dx
                   = 3x33-12 x22+8x + C=    x3 - 6 x2   +8x + C

تكامل اقتران القوة

وتكامل الثابت

      0=    (0)3 - 6 (0)2   +8(0) + C C =0 بتعويض نقطة الأصل (0,0) لإيجاد ثابت التكامل
إذن قاعدة العلاقة هي: y= x3 - 6 x2   +8x 
ثانيًا: جد الإحداثي x لجميع نقاط تقاطع منحنى العلاقة مع المحور x
x=0 من المعطيات
x=2y= 23 - 6 22   +82 y= 8 - 6 (4)   +16y= 8 - 24   +16y=0 لأن الإحداثي y  يساوي 0 عند نقاط التقاطع   منحنى العلاقة مع المحور x
x=4y= (4)3 - 6 (4)2   +8(4) y= 64 - 6 (16)   +32y= 64 - 96  +32y=0 لأن الإحداثي y  يساوي 0 عند نقاط التقاطع   منحنى العلاقة مع المحور x

إذن الإحداثي x لجميع نقاط تقاطع منحنى العلاقة مع المحور x هي:

x =0 , x =2  ,  x=4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


10) الإيراد الحدّي: يمثل الاقتران: R'(x) =  x2 -3 الإيراد الحدّي (بالدينار) لكل قطعة تُباع من منتجات إحدى الشركات،

       حيث x عدد القطع المبيعة، و R(x) إيراد بيع x قطعة بالدينار.

      أجد اقتران الإيراد R(x) ، علمًا بأنّ R(0)=0.

       إرشاد: يمثل الإيراد الحدي مشتقة اقتران الإيراد.

 

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد تكامل الاقتران R'(x)
R(x) =  x2 -3 dx R(x) =  R ' (x) dx
                     =  x33 -3x+ C تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل C
R(x)=  x33 -3x+ C قاعدة الاقتران
  R(0)=  (0)33 -3(0)+ C0=  C بتعويض x=0 , R(x)=0
الخطوة الثالثة: اكتب اقتران الإيراد
R(x)=  13 x3-3x اقتران التكلفة R(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


11) يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، وتُعطى سرعته المتجهة بالاقتران:v(t)=3t2 -12t +11، حيث t الزمن بالثواني، و v سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقعه بعد ثانيتين من بدء الحركة.

 

الحل:

الخطوة الأولى: جد اقتران الموقعs(t)
s(t) =  v(t) dt بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة
s(t) =  3t2 -12t +11 dt بتعويضv(t)=3t2 -12t +11
                  =3t33 -12 t22 + 11t + C= t3 - 6 t2 + 11t + C تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
الخطوة الثانية: جد ثابت التكامل C
s(t)= t3 - 6 t2 + 11t + C اقتران الموقع
s(0)= (0)3 - 6 (0)2 + 11(0) + C0=  C بتعويض t=0 , s(0)= 0 لإيجاد قيمة ثابت التكامل
إذن اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة هو: s(t)= t3 - 6 t2 + 11t 
الخطوة الثالثة: جد موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة
 s(2)= (2)3 - 6 (2)2 + 11(2)       =8 - 24 +22      = 6 m

بتعويض t=2 باقتران الموقع

والتبسيط

إذن، موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة هو: 6 m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


12) يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، ويُعطى تسارعه بالاقتران:a(t) = 6t -30 ، حيث t الزمن بالثواني، و a  التسارع بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل بسرعة متجهة مقدارها 72 m/s، فأجد موقعه بعد 3 ثوان من بدء الحركة.

الحل:

الخطوة الأولى: جد اقتران السرعة المتجهة v(t)
v(t) =  a(t) dt بإيجاد تكامل اقتران التسارع
v(t) =   6t -30 dt بتعويض a(t) = 6t -30
                   =6t22- 30 t + C1= 3 t2 - 30 t + C1 تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
v(0)= 3 02 - 30 0 + C172 =  C1

بتعويض t=0 , v(0)= 72

لإيجاد ثابت التكاملC1

إذن اقتران السرعة المتجهة هو: v(t)= 3 t2 - 30 t +72
الخطوة الثانية: جد اقتران الموقع
s(t) =  v(t) dt بإيجاد تكامل اقتران السرعة المتجهة
s(t)= 3 t2 -30 t + 72 dt   بتعويض  v(t)= 3 t2 - 30 t +72
               =3 t33 - 30 t22 + 72 t + C2 =  t3 - 15 t2 + 72 t + C2 تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
 s(0)=  (0)3 - 15 (0)2 + 72 (0) + C2 0 =C2

بتعويض t=0 , s(0)= 0

لإيجاد ثابت التكامل C2

إذن اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة هو: s(t)=  t3 - 15 t2 + 72 t 
الخطوة الثالثة: جد موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة
s(3)= ( 3)3 - 15 (3)2 + 72 (3)       = 27 - 15×9 +216       = 27 - 135 + 216        = 108 m  بتعويض t=3 باقتران الموقع

والتبسيط

إذن، موقع الجسيم بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة هو: 108 m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


انتهت أسئلة الدرس